Rationale Ungleichungen mit der Intervallmethode lösen. Rationale Ungleichheiten und ihre Systeme. Systeme rationaler Ungleichheiten

Das Konzept der mathematischen Ungleichheit entstand in der Antike. Dies geschah, als primitiver Mann Bei der Zählung und Handhabung verschiedener Gegenstände bestand die Notwendigkeit, deren Menge und Größe zu vergleichen. Seit der Antike verwendeten Archimedes, Euklid und andere berühmte Wissenschaftler: Mathematiker, Astronomen, Designer und Philosophen Ungleichungen in ihren Überlegungen.

In ihren Werken verwendeten sie jedoch in der Regel verbale Terminologie. Erstmals wurden in England moderne Zeichen zur Bezeichnung der Begriffe „mehr“ und „weniger“ in der Form erfunden und in die Praxis umgesetzt, wie sie heute jedes Schulkind kennt. Der Mathematiker Thomas Harriot leistete seinen Nachkommen einen solchen Dienst. Und das geschah vor etwa vier Jahrhunderten.

Es sind viele Arten von Ungleichheiten bekannt. Darunter sind einfache, die eine, zwei oder mehr Variablen enthalten, quadratische, gebrochene, komplexe Verhältnisse und sogar solche, die durch ein Ausdruckssystem dargestellt werden. Der beste Weg, um zu verstehen, wie man Ungleichungen löst, ist die Verwendung verschiedener Beispiele.

Verpassen Sie nicht den Zug

Stellen wir uns zunächst vor, dass ein Bewohner eines ländlichen Gebiets zum Bahnhof eilt, der 20 km von seinem Dorf entfernt liegt. Um die Abfahrt des Zuges um 11 Uhr nicht zu verpassen, muss er das Haus pünktlich verlassen. Zu welchem ​​Zeitpunkt sollte dies geschehen, wenn die Geschwindigkeit 5 km/h beträgt? Die Lösung dieses praktischen Problems besteht darin, die Bedingungen des Ausdrucks zu erfüllen: 5 (11 - X) ≥ 20, wobei X die Abfahrtszeit ist.

Das ist verständlich, denn die Entfernung, die ein Dorfbewohner zum Bahnhof zurücklegen muss, entspricht der Bewegungsgeschwindigkeit multipliziert mit der Anzahl der Stunden auf der Straße. Eine Person kann früher kommen, aber sie darf nicht zu spät kommen. Wenn Sie wissen, wie man Ungleichungen löst, und Ihre Fähigkeiten in der Praxis anwenden, erhalten Sie am Ende X ≤ 7, was die Antwort ist. Das bedeutet, dass der Dorfbewohner um sieben Uhr morgens oder etwas früher zum Bahnhof gehen sollte.

Numerische Intervalle auf einer Koordinatenlinie

Lassen Sie uns nun herausfinden, wie die beschriebenen Beziehungen auf die oben beschriebene Ungleichung abgebildet werden können. Die oben erhaltene Ungleichung ist nicht streng. Das bedeutet, dass die Variable Werte kleiner als 7 annehmen oder gleich dieser Zahl sein kann. Lassen Sie uns andere Beispiele nennen. Betrachten Sie dazu sorgfältig die vier unten dargestellten Zahlen.

Auf der ersten davon sehen Sie eine grafische Darstellung des Intervalls [-7; 7]. Es besteht aus einer Reihe von Zahlen, die auf einer Koordinatenlinie zwischen -7 und 7, einschließlich der Grenzen, platziert sind. In diesem Fall werden die Punkte im Diagramm als gefüllte Kreise dargestellt und das Intervall mit aufgezeichnet

Die zweite Abbildung ist eine grafische Darstellung der strengen Ungleichung. In diesem Fall sind die Grenzzahlen -7 und 7, dargestellt durch punktierte (nicht ausgefüllte) Punkte, nicht in der angegebenen Menge enthalten. Und das Intervall selbst wird in Klammern wie folgt geschrieben: (-7; 7).

Das heißt, nachdem wir herausgefunden haben, wie man Ungleichungen dieser Art löst, und eine ähnliche Antwort erhalten haben, können wir schließen, dass es sich um Zahlen handelt, die zwischen den fraglichen Grenzen liegen, außer -7 und 7. Die nächsten beiden Fälle müssen in a ausgewertet werden ähnliche Weise. Die dritte Abbildung zeigt Bilder der Intervalle (-∞; -7] U)