EingangWas sind trigonometrische Funktionen für Dummies? Trigonometrie von Grund auf: Grundkonzepte, Geschichte. Respektieren Sie Ihre Privatsphäre auf Unternehmensebene
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1. Einleitung.
Als ich mich der Schule nähere, höre ich die Stimmen der Jungs aus der Turnhalle, ich gehe weiter – sie singen, zeichnen ... Emotionen und Gefühle sind überall. Mein Büro, Algebra-Unterricht, Zehntklässler. Hier ist unser Lehrbuch, in dem der Trigonometriekurs die Hälfte seines Volumens ausmacht und in dem sich zwei Lesezeichen befinden – das sind die Stellen, an denen ich Wörter gefunden habe, die nichts mit der Theorie der Trigonometrie zu tun haben.
Zu den wenigen gehören Studenten, die Mathematik lieben, ihre Schönheit spüren und sich nicht fragen, warum es notwendig ist, Trigonometrie zu studieren, wo wird der gelernte Stoff angewendet? Die Mehrheit sind diejenigen, die einfach Aufgaben erledigen, um keine schlechte Note zu bekommen. Und wir glauben fest daran, dass der angewandte Wert der Mathematik darin besteht, ausreichende Kenntnisse zu erwerben, um das Einheitliche Staatsexamen erfolgreich zu bestehen und eine Universität zu besuchen (einschreiben und vergessen).
Das Hauptziel der vorgestellten Lektion besteht darin, den angewandten Wert der Trigonometrie in verschiedenen Bereichen menschlicher Tätigkeit aufzuzeigen. Die gegebenen Beispiele sollen den Schülern helfen, den Zusammenhang zwischen diesem Teil der Mathematik und anderen in der Schule gelernten Fächern zu erkennen. Der Inhalt dieser Lektion ist Bestandteil der Berufsausbildung der Studierenden.
Erzählen Sie etwas Neues über eine scheinbar schon lange bekannte Tatsache. Zeigen Sie eine logische Verbindung zwischen dem, was wir bereits wissen, und dem, was noch gelernt werden muss. Öffnen Sie die Tür ein wenig und schauen Sie über den Lehrplan hinaus. Ungewöhnliche Aufgaben, Bezüge zum heutigen Geschehen – das sind die Techniken, mit denen ich meine Ziele erreiche. Schließlich trägt das Fach Schulmathematik weniger zum Lernen als vielmehr zur Entwicklung des Einzelnen, seines Denkens und seiner Kultur bei.
2. Zusammenfassung der Lektion über Algebra und Prinzipien der Analyse (Klasse 10).
Organisationszeit: Ordnen Sie sechs Tische im Halbkreis an (Winkelmessermodell), Arbeitsblätter für Schüler auf den Tischen (Anhang 1).
Ankündigung des Unterrichtsthemas: „Trigonometrie ist einfach und klar.“
Im Laufe der Algebra und Elementaranalysis beginnen wir mit dem Studium der Trigonometrie; ich möchte über die angewandte Bedeutung dieses Teils der Mathematik sprechen.
Unterrichtsarbeit:
„Das große Buch der Natur kann nur von denen gelesen werden, die die Sprache kennen, in der es geschrieben ist, und diese Sprache ist die Mathematik.“
(G. Galilei).
Am Ende der Lektion werden wir gemeinsam darüber nachdenken, ob wir in der Lage waren, in dieses Buch hineinzuschauen und die Sprache zu verstehen, in der es geschrieben wurde.
Trigonometrie eines spitzen Winkels.
Trigonometrie ist ein griechisches Wort und bedeutet übersetzt „Messung von Dreiecken“. Die Entstehung der Trigonometrie ist mit Messungen auf der Erde, im Bauwesen und in der Astronomie verbunden. Und Ihre erste Bekanntschaft damit hatten Sie, als Sie einen Winkelmesser in die Hand nahmen. Haben Sie bemerkt, wie die Tische positioniert sind? Denken Sie darüber nach: Wenn wir eine Tabelle als Akkord betrachten, welches Gradmaß hat dann der Bogen, den sie umfasst?
Erinnern wir uns an das Winkelmaß: 1 ° = 1/360 Teil eines Kreises („Grad“ – vom lateinischen grad – Schritt). Wissen Sie, warum der Kreis in 360 Teile geteilt wurde, warum nicht in 10, 100 oder 1000 Teile, wie es zum Beispiel bei der Längenmessung der Fall ist? Ich erzähle Ihnen eine der Versionen.
Früher glaubten die Menschen, dass die Erde das Zentrum des Universums ist und bewegungslos ist und dass die Sonne pro Tag eine Umdrehung um die Erde macht, das geozentrische System der Welt, „Geo“ – Erde ( Abbildung Nr. 1). Babylonische Priester, die astronomische Beobachtungen durchführten, entdeckten, dass die Sonne am Tag der Tagundnachtgleiche von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang einen Halbkreis im Himmelsgewölbe beschreibt, in den der sichtbare Durchmesser (Durchmesser) der Sonne genau 180 Mal passt, 1 ° - Spur der Sonne. ( Abbildung Nr. 2).
Lange Zeit war die Trigonometrie rein geometrischer Natur. In setzen Sie Ihre Einführung in die Trigonometrie fort, indem Sie rechtwinklige Dreiecke lösen. Sie erfahren, dass der Sinus eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse ist, der Kosinus das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse, der Tangens das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete und der Kotangens ist das Verhältnis der Nachbarseite zur Gegenseite. Und denken Sie daran, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit einem bestimmten Winkel das Verhältnis der Seiten nicht von der Größe des Dreiecks abhängt. Lernen Sie die Sinus- und Kosinussätze zum Lösen beliebiger Dreiecke.
Im Jahr 2010 wurde die Moskauer U-Bahn 75 Jahre alt. Jeden Tag gehen wir zur U-Bahn und merken das nicht...
Aufgabe Nr. 1. Der Neigungswinkel aller Rolltreppen in der Moskauer U-Bahn beträgt 30 Grad. Wenn Sie dies, die Anzahl der Lampen auf der Rolltreppe und den ungefähren Abstand zwischen den Lampen kennen, können Sie die ungefähre Tiefe der Station berechnen. Auf der Rolltreppe an der Station Tsvetnoy Boulevard gibt es 15 Lampen und an der Station Prazhskaya 2 Lampen. Berechnen Sie die Tiefe dieser Stationen, wenn die Abstände zwischen den Lampen, vom Rolltreppeneingang bis zur ersten Lampe und von der letzten Lampe bis zum Rolltreppenausgang, 6 m betragen ( Abbildung Nr. 3). Antwort: 48 m und 9 m
Hausaufgaben. Die tiefste Station der Moskauer U-Bahn ist Victory Park. Wie tief ist es? Ich schlage vor, dass Sie die fehlenden Daten selbstständig finden, um Ihr Hausaufgabenproblem zu lösen.
Ich habe einen Laserpointer in der Hand, der gleichzeitig ein Entfernungsmesser ist. Messen wir zum Beispiel den Abstand zur Tafel.
Der chinesische Designer Huan Qiaokun vermutete, zwei Laser-Entfernungsmesser und einen Winkelmesser in einem Gerät zu kombinieren und erhielt ein Werkzeug, mit dem Sie den Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Ebene bestimmen können ( Abbildung Nr. 4). Welcher Satz löst Ihrer Meinung nach dieses Problem? Erinnern Sie sich an die Formulierung des Kosinussatzes. Stimmen Sie mir zu, dass Ihr Wissen bereits ausreicht, um eine solche Erfindung zu machen? Lösen Sie Geometrieprobleme und machen Sie jeden Tag kleine Entdeckungen!
Sphärische Trigonometrie.
Neben der flachen Geometrie von Euklid (Planimetrie) kann es andere Geometrien geben, bei denen die Eigenschaften von Figuren nicht auf einer Ebene, sondern auf anderen Flächen, beispielsweise auf der Oberfläche einer Kugel, berücksichtigt werden ( Abbildung Nr. 5). Der erste Mathematiker, der den Grundstein für die Entwicklung nichteuklidischer Geometrien legte, war N.I. Lobatschewski – „Kopernikus der Geometrie“. Ab 1827 war er 19 Jahre lang Rektor der Kasaner Universität.
Die sphärische Trigonometrie, die Teil der sphärischen Geometrie ist, berücksichtigt die Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln von Dreiecken auf einer Kugel, die durch Bögen von Großkreisen auf einer Kugel gebildet werden ( Abbildung Nr. 6).
Historisch gesehen entstanden die sphärische Trigonometrie und Geometrie aus den Bedürfnissen der Astronomie, Geodäsie, Navigation und Kartographie. Überlegen Sie, welcher dieser Bereiche in den letzten Jahren eine so rasante Entwicklung erfahren hat, dass seine Ergebnisse bereits in modernen Kommunikatoren zum Einsatz kommen. ... Eine moderne Anwendung der Navigation ist ein Satellitennavigationssystem, mit dem Sie anhand des Signals seines Empfängers den Standort und die Geschwindigkeit eines Objekts bestimmen können.
Globales Navigationssystem (GPS). Um den Breiten- und Längengrad des Empfängers zu bestimmen, ist es notwendig, Signale von mindestens drei Satelliten zu empfangen. Der Empfang eines Signals vom vierten Satelliten ermöglicht es, die Höhe des Objekts über der Oberfläche zu bestimmen ( Abbildung Nr. 7).
Der Empfängercomputer löst vier Gleichungen in vier Unbekannten, bis eine Lösung gefunden ist, die alle Kreise durch einen Punkt zeichnet ( Abbildung Nr. 8).
Für die Lösung komplexerer praktischer Probleme erwiesen sich die Kenntnisse der Spitzwinkeltrigonometrie als unzureichend. Bei der Untersuchung von Rotations- und Kreisbewegungen sind die Werte für Winkel und Kreisbogen nicht begrenzt. Es entstand die Notwendigkeit, zur Trigonometrie eines verallgemeinerten Arguments überzugehen.
Trigonometrie eines verallgemeinerten Arguments.
Der Kreis ( Abbildung Nr. 9). Positive Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn aufgetragen, negative Winkel werden im Uhrzeigersinn aufgetragen. Kennen Sie die Geschichte einer solchen Vereinbarung?
Wie Sie wissen, sind mechanische und Sonnenuhren so konstruiert, dass sich ihre Zeiger „entlang der Sonne“ drehen, d. h. in die gleiche Richtung, in der wir die scheinbare Bewegung der Sonne um die Erde sehen. (Erinnern Sie sich an den Beginn der Lektion – das geozentrische System der Welt). Aber mit der Entdeckung der wahren (positiven) Bewegung der Erde um die Sonne durch Kopernikus ist die Bewegung der Sonne um die Erde, die wir sehen (d. h. scheinbar), fiktiv (negativ). Heliozentrisches System der Welt (Helio - Sonne) ( Abbildung Nr. 10).
Sich warm laufen.
- Strecken Sie Ihren rechten Arm parallel zur Tischoberfläche nach vorne aus und führen Sie eine kreisförmige Drehung von 720 Grad aus.
- Strecken Sie Ihren linken Arm parallel zur Tischoberfläche vor sich aus und führen Sie eine kreisförmige Drehung von (–1080) Grad aus.
- Legen Sie Ihre Hände auf Ihre Schultern und machen Sie 4 kreisende Bewegungen hin und her. Wie groß ist die Summe der Drehwinkel?
Im Jahr 2010 fanden die Olympischen Winterspiele in Vancouver statt; wir lernen die Kriterien für die Bewertung der Übung eines Skaters durch die Lösung des Problems.
Aufgabe Nr. 2. Wenn ein Skater bei der Übung „Schraube“ in 12 Sekunden eine 10.800-Grad-Kurve schafft, erhält er die Note „sehr gut“. Bestimmen Sie, wie viele Umdrehungen der Skater in dieser Zeit machen wird und wie schnell er sich dreht (Umdrehungen pro Sekunde). Antwort: 2,5 Umdrehungen/Sek.
Hausaufgaben. In welchem Winkel dreht sich der Skater, der mit „ungenügend“ bewertet wurde, wenn seine Geschwindigkeit bei gleicher Rotationszeit 2 Umdrehungen pro Sekunde betrug?
Als bequemstes Maß für Bögen und Winkel im Zusammenhang mit Rotationsbewegungen erwies sich das Bogenmaß (Radius) als größere Maßeinheit für einen Winkel oder Bogen ( Abbildung Nr. 11). Dieses Maß zur Messung von Winkeln gelangte durch die bemerkenswerten Arbeiten von Leonhard Euler in die Wissenschaft. Der gebürtige Schweizer lebte 30 Jahre in Russland und war Mitglied der St. Petersburger Akademie der Wissenschaften. Ihm verdanken wir die „analytische“ Interpretation aller Trigonometrie, er leitete die Formeln ab, die Sie jetzt studieren, führte einheitliche Zeichen ein: Sünde X,cos X, tg X,ctg X.
Wenn bis zum 17. Jahrhundert die Entwicklung der Lehre von den trigonometrischen Funktionen auf einer geometrischen Grundlage aufgebaut war, dann begann man ab dem 17. Jahrhundert, trigonometrische Funktionen zur Lösung von Problemen in der Mechanik, Optik, Elektrizität, zur Beschreibung von Schwingungsvorgängen und Wellen einzusetzen Vermehrung. Überall dort, wo es um periodische Vorgänge und Schwingungen geht, finden trigonometrische Funktionen Anwendung. Funktionen, die die Gesetze periodischer Prozesse ausdrücken, haben eine besondere Eigenschaft, die nur ihnen innewohnt: Sie wiederholen ihre Werte im gleichen Intervall der Argumentänderung. Änderungen in einer Funktion werden am deutlichsten in ihrem Diagramm dargestellt ( Abbildung Nr. 12).
Bei der Lösung von Rotationsproblemen haben wir uns bereits hilfesuchend an unseren Körper gewandt. Hören wir auf unseren Herzschlag. Das Herz ist ein eigenständiges Organ. Das Gehirn steuert alle unsere Muskeln außer dem Herzen. Es verfügt über ein eigenes Kontrollzentrum – den Sinusknoten. Mit jeder Kontraktion des Herzens breitet sich ein elektrischer Strom im gesamten Körper aus – ausgehend vom Sinusknoten (in der Größe eines Hirsekorns). Es kann mit einem Elektrokardiographen aufgezeichnet werden. Er zeichnet ein Elektrokardiogramm (Sinuskurve) ( Abbildung Nr. 13).
Jetzt reden wir über Musik. Mathematik ist Musik, sie ist eine Vereinigung von Intelligenz und Schönheit.
Musik ist Mathematik in der Berechnung, Algebra in der Abstraktion, Trigonometrie in der Schönheit. Die harmonische Schwingung (harmonisch) ist eine Sinusschwingung. Die Grafik zeigt, wie sich der Luftdruck am Trommelfell des Zuhörers ändert: periodisch in einem Bogen auf und ab. Die Luft drückt, mal stärker, mal schwächer. Die Aufprallkraft ist sehr gering und die Vibrationen treten sehr schnell auf: Hunderte und Tausende von Stößen pro Sekunde. Solche periodischen Schwingungen nehmen wir als Schall wahr. Die Addition zweier verschiedener Harmonischer ergibt eine Schwingung mit komplexerer Form. Die Summe der drei Harmonischen ist noch komplexer, und natürliche Klänge und Klänge von Musikinstrumenten bestehen aus einer großen Anzahl von Harmonischen. ( Abbildung Nr. 14.)
Jede Harmonische wird durch drei Parameter charakterisiert: Amplitude, Frequenz und Phase. Die Schwingungsfrequenz gibt an, wie viele Luftdruckstöße in einer Sekunde auftreten. Hohe Frequenzen werden als „hohe“, „dünne“ Töne wahrgenommen. Über 10 KHz – Quietschen, Pfeifen. Kleine Frequenzen werden als „tiefe“, „bassige“ Geräusche und Rumpeln wahrgenommen. Die Amplitude ist der Schwingungsbereich. Je größer das Zielfernrohr, desto größer ist die Wirkung auf das Trommelfell und desto lauter ist der Ton, den wir hören ( Abbildung Nr. 15). Phase ist die zeitliche Verschiebung von Schwingungen. Die Phase kann in Grad oder Bogenmaß gemessen werden. Abhängig von der Phase verschiebt sich der Nullpunkt im Diagramm. Um eine Harmonische einzustellen, reicht es aus, die Phase von –180 bis +180 Grad anzugeben, da sich die Schwingung bei großen Werten wiederholt. Zwei Sinussignale mit gleicher Amplitude und Frequenz, aber unterschiedlichen Phasen werden algebraisch addiert ( Abbildung Nr. 16).
Zusammenfassung der Lektion. Glauben Sie, dass wir ein paar Seiten aus dem Großen Buch der Natur lesen konnten? Nachdem Sie die angewandte Bedeutung der Trigonometrie kennengelernt haben, ist Ihnen ihre Rolle in verschiedenen Bereichen der menschlichen Tätigkeit klarer geworden. Haben Sie das präsentierte Material verstanden? Dann merken und listen Sie die Anwendungsgebiete der Trigonometrie auf, die Sie heute kennengelernt haben oder schon einmal kannten. Ich hoffe, dass jeder von Ihnen in der heutigen Lektion etwas Neues und Interessantes gefunden hat. Vielleicht wird Ihnen diese neue Sache den Weg bei der Wahl eines zukünftigen Berufs weisen, aber egal, wer Sie werden, Ihre mathematische Ausbildung wird Ihnen helfen, ein professioneller und intellektuell entwickelter Mensch zu werden.
Hausaufgaben. Lesen Sie die Zusammenfassung der Lektion ( Anhang Nr. 2), Probleme lösen ( Anhang Nr. 1).
Befolgen Sie bei der Durchführung trigonometrischer Konvertierungen die folgenden Tipps:
- Versuchen Sie nicht, sofort eine Lösung für das Beispiel von Anfang bis Ende zu finden.
- Versuchen Sie nicht, das gesamte Beispiel auf einmal zu konvertieren. Machen Sie kleine Schritte vorwärts.
- Denken Sie daran, dass Sie in der Trigonometrie neben trigonometrischen Formeln auch alle fairen algebraischen Transformationen verwenden können (Klammern, Brüche abkürzen, abgekürzte Multiplikationsformeln usw.).
- Glaube daran, dass alles gut wird.
Grundlegende trigonometrische Formeln
Die meisten Formeln in der Trigonometrie werden häufig sowohl von rechts nach links als auch von links nach rechts verwendet. Daher müssen Sie diese Formeln so gut lernen, dass Sie eine bestimmte Formel problemlos in beide Richtungen anwenden können. Schreiben wir zunächst die Definitionen trigonometrischer Funktionen auf. Es sei ein rechtwinkliges Dreieck:
Dann die Definition von Sinus:
Definition von Kosinus:
Tangentendefinition:
Definition des Kotangens:
Grundlegende trigonometrische Identität:
Die einfachsten Folgerungen aus der grundlegenden trigonometrischen Identität:
Doppelwinkelformeln. Sinus des Doppelwinkels:
Kosinus des doppelten Winkels:
Tangente des Doppelwinkels:
Kotangens des Doppelwinkels:
Zusätzliche trigonometrische Formeln
Trigonometrische Additionsformeln. Sinus der Summe:
Sinus der Differenz:
Kosinus der Summe:
Kosinus der Differenz:
Tangens der Summe:
Tangens der Differenz:
Kotangens des Betrags:
Kotangens der Differenz:
Trigonometrische Formeln zur Umrechnung einer Summe in ein Produkt. Summe der Sinuswerte:
Sinusdifferenz:
Summe der Kosinuswerte:
Differenz der Kosinuswerte:
Summe der Tangenten:
Tangentendifferenz:
Summe der Kotangenten:
Kotangensdifferenz:
Trigonometrische Formeln zur Umrechnung eines Produkts in eine Summe. Produkt von Sinus:
Produkt aus Sinus und Cosinus:
Produkt von Kosinus:
Formeln zur Gradreduzierung.
Halbwinkelformeln.
Trigonometrische Reduktionsformeln
Die Kosinusfunktion wird aufgerufen Kofunktion Sinusfunktionen und umgekehrt. Ebenso sind die Tangens- und Kotangensfunktionen Kofunktionen. Reduktionsformeln können wie folgt formuliert werden:
- Wenn in der Reduktionsformel ein Winkel von 90 Grad oder 270 Grad subtrahiert (addiert) wird, dann geht die reduzierte Funktion in eine Kofunktion über;
- Wenn in der Reduktionsformel der Winkel von 180 Grad oder 360 Grad subtrahiert (addiert) wird, bleibt der Name der reduzierten Funktion erhalten;
- In diesem Fall wird das Vorzeichen, das die reduzierte (d. h. ursprüngliche) Funktion im entsprechenden Quadranten hat, vor die reduzierte Funktion gestellt, wenn wir den subtrahierten (addierten) Winkel als spitz betrachten.
Reduktionsformeln werden in Tabellenform angegeben:
Von trigonometrischer Kreis leicht zu ermittelnde Tabellenwerte trigonometrischer Funktionen:
Trigonometrische Gleichungen
Um eine bestimmte trigonometrische Gleichung zu lösen, muss sie auf eine der einfachsten trigonometrischen Gleichungen reduziert werden, auf die weiter unten eingegangen wird. Dafür:
- Sie können die oben angegebenen trigonometrischen Formeln verwenden. Gleichzeitig müssen Sie nicht versuchen, das gesamte Beispiel auf einmal zu transformieren, sondern müssen in kleinen Schritten vorankommen.
- Wir dürfen die Möglichkeit nicht vergessen, einen Ausdruck mit algebraischen Methoden umzuwandeln, d.h. Nehmen Sie beispielsweise etwas aus Klammern heraus oder öffnen Sie umgekehrt Klammern, reduzieren Sie einen Bruch, wenden Sie eine abgekürzte Multiplikationsformel an, bringen Sie Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und so weiter.
- Beim Lösen trigonometrischer Gleichungen können Sie verwenden Gruppierungsmethode. Es muss daran erinnert werden, dass es ausreicht, dass einer von ihnen gleich Null ist, damit das Produkt mehrerer Faktoren gleich Null ist der Rest existierte.
- Bewirbt sich Variablenersetzungsmethode Wie üblich sollte die Gleichung nach Einführung der Ersetzung einfacher werden und nicht die ursprüngliche Variable enthalten. Sie müssen auch daran denken, einen umgekehrten Austausch durchzuführen.
- Denken Sie daran, dass in der Trigonometrie häufig homogene Gleichungen vorkommen.
- Wenn Sie Module öffnen oder irrationale Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen lösen, müssen Sie sich alle Feinheiten der Lösung der entsprechenden Gleichungen mit gewöhnlichen Funktionen merken und berücksichtigen.
- Denken Sie an die ODZ (in trigonometrischen Gleichungen beschränken sich die Einschränkungen der ODZ hauptsächlich auf die Tatsache, dass Sie nicht durch Null dividieren können, aber vergessen Sie nicht andere Einschränkungen, insbesondere die Positivität von Ausdrücken in rationalen Potenzen und unter den Wurzeln gerader Potenzen). Denken Sie auch daran, dass die Werte von Sinus und Cosinus nur im Bereich von minus eins bis einschließlich plus eins liegen können.
Die Hauptsache ist, wenn Sie nicht wissen, was Sie tun sollen, tun Sie zumindest etwas, und die Hauptsache ist, trigonometrische Formeln richtig zu verwenden. Wenn das, was Sie erhalten, immer besser wird, fahren Sie mit der Lösung fort. Wenn es schlechter wird, kehren Sie zum Anfang zurück und versuchen Sie, andere Formeln anzuwenden. Tun Sie dies, bis Sie auf die richtige Lösung stoßen.
Formeln für Lösungen der einfachsten trigonometrischen Gleichungen. Für Sinus gibt es zwei äquivalente Schreibweisen der Lösung:
Für andere trigonometrische Funktionen ist die Notation eindeutig. Für Kosinus:
Für Tangente:
Für Kotangens:
Lösung trigonometrischer Gleichungen in einigen Sonderfällen:
Die erfolgreiche, sorgfältige und verantwortungsvolle Umsetzung dieser drei Punkte ermöglicht es Ihnen, beim CT ein hervorragendes Ergebnis zu zeigen, das Maximum Ihrer Leistungsfähigkeit.
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In dieser Lektion werden wir darüber sprechen, wie die Notwendigkeit entsteht, trigonometrische Funktionen einzuführen und warum sie untersucht werden, was Sie in diesem Thema verstehen müssen und wo Sie es einfach besser machen müssen (was ist eine Technik). Beachten Sie, dass Technik und Verständnis zwei verschiedene Dinge sind. Ich stimme zu, es gibt einen Unterschied: Fahrradfahren lernen, also verstehen, wie man es macht, oder Profi-Radfahrer werden. Wir werden speziell über das Verständnis sprechen, darüber, warum trigonometrische Funktionen benötigt werden.
Es gibt vier trigonometrische Funktionen, aber sie können alle mithilfe von Identitäten (Gleichheiten, die sie in Beziehung setzen) als eine ausgedrückt werden.
Formale Definitionen trigonometrischer Funktionen für spitze Winkel in rechtwinkligen Dreiecken (Abb. 1).
Sinus Der spitze Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur Hypotenuse.
Kosinus Der spitze Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse.
Tangente Der spitze Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite.
Kotangens Der spitze Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite.
Reis. 1. Bestimmung trigonometrischer Funktionen eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks
Diese Definitionen sind formal. Es ist richtiger zu sagen, dass es nur eine Funktion gibt, zum Beispiel Sinus. Wenn sie in der Technik nicht so benötigt (nicht so oft verwendet) würden, würden nicht so viele verschiedene trigonometrische Funktionen eingeführt.
Beispielsweise ist der Kosinus eines Winkels gleich dem Sinus desselben Winkels mit der Addition von (). Darüber hinaus kann der Kosinus eines Winkels immer durch den Sinus desselben Winkels bis zum Vorzeichen ausgedrückt werden, wobei die grundlegende trigonometrische Identität () verwendet wird. Der Tangens eines Winkels ist das Verhältnis von Sinus zu Kosinus oder ein umgekehrter Kotangens (Abb. 2). Manche verwenden überhaupt keinen Kotangens und ersetzen ihn durch . Daher ist es wichtig, eine trigonometrische Funktion zu verstehen und damit arbeiten zu können.
Reis. 2. Beziehung zwischen verschiedenen trigonometrischen Funktionen
Aber warum brauchte man solche Funktionen überhaupt? Welche praktischen Probleme werden damit gelöst? Schauen wir uns ein paar Beispiele an.
Zwei Menschen ( A Und IN) schieben Sie das Auto aus der Pfütze (Abb. 3). Menschlich IN kann das Auto zur Seite schieben, obwohl es unwahrscheinlich ist, dass es hilft A. Andererseits kann sich die Richtung seiner Bemühungen allmählich ändern (Abb. 4).
Reis. 3. IN schiebt das Auto zur Seite
Reis. 4. IN beginnt, die Richtung seiner Bemühungen zu ändern
Es ist klar, dass ihre Bemühungen am effektivsten sind, wenn sie das Auto in eine Richtung schieben (Abb. 5).
Reis. 5. Die effektivste gemeinsame Anstrengungsrichtung
Wie viel IN hilft dabei, die Maschine soweit anzutreiben, dass die Richtung ihrer Kraft der Richtung der Kraft, mit der sie wirkt, nahe kommt A, ist eine Funktion des Winkels und wird durch seinen Kosinus ausgedrückt (Abb. 6).
Reis. 6. Kosinus als Merkmal der Aufwandseffizienz IN
Wenn wir die Größe der Kraft multiplizieren, mit der IN, auf dem Kosinus des Winkels erhalten wir die Projektion seiner Kraft auf die Richtung der Kraft, mit der er wirkt A. Je näher der Winkel zwischen den Kraftrichtungen liegt, desto effektiver ist das Ergebnis gemeinsamer Aktionen. A Und IN(Abb. 7). Wenn sie das Auto mit der gleichen Kraft in entgegengesetzte Richtungen schieben, bleibt das Auto an Ort und Stelle (Abb. 8).
Reis. 7. Wirksamkeit gemeinsamer Anstrengungen A Und IN
Reis. 8. Entgegengesetzte Kraftrichtung A Und IN
Es ist wichtig zu verstehen, warum wir einen Winkel (seinen Beitrag zum Endergebnis) durch einen Kosinus (oder eine andere trigonometrische Funktion eines Winkels) ersetzen können. Tatsächlich folgt dies aus dieser Eigenschaft ähnlicher Dreiecke. Denn eigentlich sagen wir Folgendes: Der Winkel kann durch das Verhältnis zweier Zahlen (Seite-Hypotenuse oder Seite-Seite) ersetzt werden. Dies wäre unmöglich, wenn beispielsweise für den gleichen Winkel verschiedener rechtwinkliger Dreiecke diese Verhältnisse unterschiedlich wären (Abb. 9).
Reis. 9. Gleiche Seitenverhältnisse in ähnlichen Dreiecken
Wenn beispielsweise Verhältnis und Verhältnis unterschiedlich wären, könnten wir die Tangensfunktion nicht einführen, da für den gleichen Winkel in verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken die Tangente unterschiedlich wäre. Da jedoch die Verhältnisse der Schenkellängen ähnlicher rechtwinkliger Dreiecke gleich sind, hängt der Wert der Funktion nicht vom Dreieck ab, was bedeutet, dass der spitze Winkel und die Werte seiner trigonometrischen Funktionen gleich sind eins zu eins.
Angenommen, wir kennen die Höhe eines bestimmten Baumes (Abb. 10). Wie misst man die Höhe eines nahegelegenen Gebäudes?
Reis. 10. Veranschaulichung des Zustands von Beispiel 2
Wir finden einen Punkt, an dem eine durch diesen Punkt und die Spitze des Hauses gezogene Linie durch die Spitze des Baumes verläuft (Abb. 11).
Reis. 11. Veranschaulichung der Lösung des Problems von Beispiel 2
Wir können die Entfernung von diesem Punkt zum Baum und die Entfernung von ihm zum Haus messen und kennen die Höhe des Baumes. Aus den Proportionen können Sie die Höhe des Hauses ermitteln: .
Anteil ist die Gleichheit des Verhältnisses zweier Zahlen. In diesem Fall ist das Verhältnis der Längen der Schenkel gleichartiger rechtwinkliger Dreiecke gleich. Darüber hinaus entsprechen diese Verhältnisse einem bestimmten Winkelmaß, das durch eine trigonometrische Funktion ausgedrückt wird (per Definition ist dies eine Tangente). Wir stellen fest, dass für jeden spitzen Winkel der Wert seiner trigonometrischen Funktion eindeutig ist. Das heißt, Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sind eigentlich Funktionen, da jeder spitze Winkel jeweils genau einem Wert von ihnen entspricht. Dadurch können sie weiter erforscht und ihre Eigenschaften genutzt werden. Die Werte der trigonometrischen Funktionen für alle Winkel wurden bereits berechnet und können verwendet werden (sie können aus den Bradis-Tabellen oder mit einem beliebigen technischen Taschenrechner ermittelt werden). Aber wir können das inverse Problem nicht immer lösen (z. B. indem wir den Wert des Sinus verwenden, um das ihm entsprechende Winkelmaß wiederherzustellen).
Der Sinus eines Winkels sei gleich oder ungefähr (Abb. 12). Welcher Winkel entspricht diesem Sinuswert? Natürlich können wir wieder die Bradis-Tabelle verwenden und einen Wert finden, aber es stellt sich heraus, dass dies nicht der einzige ist (Abb. 13).
Reis. 12. Ermitteln eines Winkels anhand seines Sinuswerts
Reis. 13. Polysemie inverser trigonometrischer Funktionen
Folglich ergibt sich bei der Rekonstruktion des Wertes der trigonometrischen Funktion eines Winkels der mehrwertige Charakter der inversen trigonometrischen Funktionen. Das mag schwierig erscheinen, aber in Wirklichkeit sind wir jeden Tag mit ähnlichen Situationen konfrontiert.
Wenn man die Fenster vorhängt und nicht weiß, ob es draußen hell oder dunkel ist, oder wenn man sich in einer Höhle befindet, dann ist es beim Aufwachen schwer zu sagen, ob es ein Uhr nachmittags, nachts oder … ist am nächsten Tag (Abb. 14). Wenn Sie uns tatsächlich fragen: „Wie spät ist es?“, müssen wir ehrlich antworten: „Stunde plus multipliziert mit wo“
Reis. 14. Veranschaulichung der Polysemie am Beispiel einer Uhr
Wir können daraus schließen, dass es sich um einen Zeitraum handelt (das Intervall, nach dem die Uhr dieselbe Zeit wie jetzt anzeigt). Auch trigonometrische Funktionen haben Perioden: Sinus, Cosinus usw. Das heißt, ihre Werte werden nach einer gewissen Änderung im Argument wiederholt.
Wenn es auf dem Planeten keinen Wechsel von Tag und Nacht oder Jahreszeiten gäbe, könnten wir die periodische Zeit nicht nutzen. Schließlich nummerieren wir nur die Jahre in aufsteigender Reihenfolge, aber die Tage haben Stunden, und an jedem neuen Tag beginnt die Zählung von neuem. Ähnlich verhält es sich mit den Monaten: Wenn jetzt Januar ist, kommt in ein paar Monaten wieder Januar usw. Externe Referenzpunkte helfen uns, periodische Zeitzählungen (Stunden, Monate) zu nutzen, beispielsweise die Drehung der Erde um ihre Achse und die Änderung der Position von Sonne und Mond am Himmel. Wenn die Sonne immer in der gleichen Position stünde, würden wir zur Berechnung der Zeit die Anzahl der Sekunden (Minuten) ab dem Moment zählen, in dem diese Berechnung begann. Datum und Uhrzeit könnten dann etwa so lauten: eine Milliarde Sekunden.
Fazit: Es gibt keine Schwierigkeiten hinsichtlich der Polysemie von Umkehrfunktionen. Tatsächlich kann es Optionen geben, wenn für denselben Sinus unterschiedliche Winkelwerte vorliegen (Abb. 15).
Reis. 15. Einen Winkel aus dem Wert seines Sinus wiederherstellen
Normalerweise arbeiten wir bei der Lösung praktischer Probleme immer im Standardbereich von bis . In diesem Bereich gibt es für jeden Wert der trigonometrischen Funktion nur zwei entsprechende Werte des Winkelmaßes.
Stellen Sie sich ein bewegliches Band und ein Pendel in Form eines Eimers mit einem Loch vor, aus dem Sand herausfließt. Das Pendel schwingt, das Band bewegt sich (Abb. 16). Dadurch hinterlässt der Sand eine Spur in Form eines Diagramms der Sinus- (oder Cosinus-)Funktion, die als Sinuswelle bezeichnet wird.
Tatsächlich unterscheiden sich die Graphen von Sinus und Cosinus nur im Bezugspunkt voneinander (wenn Sie einen von ihnen zeichnen und dann die Koordinatenachsen löschen, können Sie nicht feststellen, welcher Graph gezeichnet wurde). Daher macht es keinen Sinn, den Kosinusgraphen als Graphen zu bezeichnen (warum sollte man sich einen separaten Namen für denselben Graphen ausdenken)?
Reis. 16. Veranschaulichung der Problemstellung in Beispiel 4
Der Graph einer Funktion kann Ihnen auch helfen zu verstehen, warum Umkehrfunktionen viele Werte haben. Wenn der Wert des Sinus fest ist, d. h. Zeichnen Sie eine gerade Linie parallel zur Abszissenachse, dann erhalten wir am Schnittpunkt alle Punkte, an denen der Sinus des Winkels gleich dem angegebenen ist. Es ist klar, dass es unendlich viele solcher Punkte geben wird. Wie im Beispiel mit der Uhr, wo sich der Zeitwert um unterschied, unterscheidet sich hier nur der Winkelwert um den Betrag (Abb. 17).
Reis. 17. Illustration der Polysemie für Sinus
Betrachten wir das Beispiel einer Uhr, dann bewegt sich der Punkt (Ende im Uhrzeigersinn) um den Kreis. Trigonometrische Funktionen können auf die gleiche Weise definiert werden – betrachten Sie nicht die Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck, sondern den Winkel zwischen dem Radius des Kreises und der positiven Richtung der Achse. Die Anzahl der Kreise, die der Punkt durchläuft (wir haben vereinbart, die Bewegung im Uhrzeigersinn mit einem Minuszeichen und gegen den Uhrzeigersinn mit einem Pluszeichen zu zählen), das ist ein Punkt (Abb. 18).
Reis. 18. Der Wert des Sinus auf einem Kreis
Die Umkehrfunktion ist also in einem bestimmten Intervall eindeutig definiert. Für dieses Intervall können wir seine Werte berechnen und den Rest aus den gefundenen Werten erhalten, indem wir die Periode der Funktion addieren und subtrahieren.
Schauen wir uns ein weiteres Beispiel einer Periode an. Das Auto bewegt sich entlang der Straße. Stellen wir uns vor, dass ihr Rad in Farbe oder eine Pfütze gefahren ist. Gelegentlich sind Farbspuren oder Pfützen auf der Straße zu sehen (Abbildung 19).
Reis. 19. Periodenillustration
Im Schulunterricht gibt es viele trigonometrische Formeln, aber im Großen und Ganzen reicht es aus, sich nur eine zu merken (Abb. 20).
Reis. 20. Trigonometrische Formeln
Die Doppelwinkelformel lässt sich auch leicht aus dem Sinus der Summe durch Einsetzen (analog zum Kosinus) ableiten. Sie können auch Produktformeln ableiten.
Tatsächlich müssen Sie sich nur sehr wenig merken, da sich diese Formeln beim Lösen von Problemen von selbst merken. Natürlich wird jemand zu faul sein, viel zu entscheiden, aber dann wird er diese Technik und damit die Formeln selbst nicht brauchen.
Und da die Formeln nicht benötigt werden, besteht keine Notwendigkeit, sie auswendig zu lernen. Sie müssen nur die Idee verstehen, dass trigonometrische Funktionen Funktionen sind, die beispielsweise zur Berechnung von Brücken verwendet werden. Fast kein Mechanismus kommt ohne deren Verwendung und Berechnung aus.
1. Oft stellt sich die Frage, ob Leitungen absolut parallel zum Boden verlaufen können. Antwort: Nein, das können sie nicht, da eine Kraft nach unten wirkt und die anderen parallel wirken – sie werden niemals im Gleichgewicht sein (Abb. 21).
2. Ein Schwan, ein Krebs und ein Hecht ziehen einen Karren in derselben Ebene. Der Schwan fliegt in die eine Richtung, der Krebs zieht in die andere und der Hecht in die dritte (Abb. 22). Ihre Kräfte können ausgeglichen werden. Dieser Ausgleich kann mithilfe trigonometrischer Funktionen berechnet werden.
3. Schrägseilbrücke (Abb. 23). Mithilfe trigonometrischer Funktionen lässt sich die Anzahl der Kabel sowie deren Ausrichtung und Spannung berechnen.
Reis. 23. Schrägseilbrücke
Reis. 24. „Saitenbrücke“
Reis. 25. Bolschoi-Obuchowski-Brücke
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Mathematik 6. Klasse:
Geometrie 8. Klasse:
Der Videokurs „Get an A“ beinhaltet alle notwendigen Themen, um das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik mit 60-65 Punkten erfolgreich zu bestehen. Vollständig alle Aufgaben 1-13 des Profileinheitlichen Staatsexamens in Mathematik. Auch zum Bestehen der Grundprüfung in Mathematik geeignet. Wenn Sie das Einheitliche Staatsexamen mit 90-100 Punkten bestehen möchten, müssen Sie Teil 1 in 30 Minuten und ohne Fehler lösen!
Vorbereitungskurs für das Einheitliche Staatsexamen für die Klassen 10-11 sowie für Lehrer. Alles, was Sie zum Lösen von Teil 1 des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik (die ersten 12 Aufgaben) und Aufgabe 13 (Trigonometrie) benötigen. Und das sind mehr als 70 Punkte beim Einheitlichen Staatsexamen, auf die weder ein 100-Punkte-Student noch ein Geisteswissenschaftler verzichten können.
Die ganze nötige Theorie. Schnelle Lösungen, Fallstricke und Geheimnisse des Einheitlichen Staatsexamens. Alle aktuellen Aufgaben von Teil 1 aus der FIPI Task Bank wurden analysiert. Der Kurs entspricht vollständig den Anforderungen des Einheitlichen Staatsexamens 2018.
Der Kurs umfasst 5 große Themen zu je 2,5 Stunden. Jedes Thema wird von Grund auf einfach und klar vermittelt.
Hunderte von Aufgaben zum Einheitlichen Staatsexamen. Textaufgaben und Wahrscheinlichkeitstheorie. Einfache und leicht zu merkende Algorithmen zur Lösung von Problemen. Geometrie. Theorie, Referenzmaterial, Analyse aller Arten von Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens. Stereometrie. Knifflige Lösungen, nützliche Spickzettel, Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens. Trigonometrie von Grund auf bis zum Problem 13. Verstehen statt pauken. Klare Erklärungen komplexer Konzepte. Algebra. Wurzeln, Potenzen und Logarithmen, Funktion und Ableitung. Eine Grundlage zur Lösung komplexer Probleme von Teil 2 des Einheitlichen Staatsexamens.
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