EntradaCómo hallar el valor mayor y menor de una función. Extremos de función
Con este servicio, puede encontrar el mayor y valor más pequeño funciones una variable f(x) con el diseño de la solución en Word. Si se da la función f(x,y), por lo tanto, es necesario encontrar el extremo de la función de dos variables. También puedes encontrar los intervalos de aumento y disminución de la función.
Reglas de entrada de funciones:
Una condición necesaria para un extremo de una función de una variable
La ecuación f" 0 (x *) = 0 es condición necesaria extremo de una función de una variable, es decir, en el punto x * la primera derivada de la función debe desaparecer. Selecciona puntos estacionarios x c en los que la función no crece ni decrece.Una condición suficiente para un extremo de una función de una variable
Sea f 0 (x) dos veces diferenciable con respecto a x perteneciente al conjunto D . Si en el punto x* se cumple la condición:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x*) > 0
Entonces el punto x * es el punto del mínimo local (global) de la función.
Si en el punto x* se cumple la condición:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x*)< 0
Ese punto x * es un máximo local (global).
Ejemplo 1. Encuentra los valores mayor y menor de la función: en el segmento.
Decisión. 
El punto crítico es uno x 1 = 2 (f'(x)=0). Este punto pertenece al segmento . (El punto x=0 no es crítico, ya que 0∉).
Calculamos los valores de la función en los extremos del segmento y en el punto crítico.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Respuesta: f min = 5 / 2 para x=2; f máx = 9 en x = 1
Ejemplo #2. Usando derivadas de orden superior, encuentra el extremo de la función y=x-2sin(x) .
Decisión.
Encuentra la derivada de la función: y’=1-2cos(x) . Encontremos los puntos críticos: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Hallamos y''=2sin(x), calculemos , entonces x= π / 3 +2πk, k∈Z son los puntos mínimos de la función; 
, entonces x=- π / 3 +2πk, k∈Z son los puntos máximos de la función.
Ejemplo #3. Investiga la función extrema en la vecindad del punto x=0.
Decisión. Aquí es necesario encontrar los extremos de la función. Si el extremo x=0, averigüe su tipo (mínimo o máximo). Si entre los puntos encontrados no hay x = 0, entonces calcule el valor de la función f(x=0).
Cabe señalar que cuando la derivada a cada lado de un punto dado no cambia de signo, las situaciones posibles no se agotan ni siquiera para funciones diferenciables: puede ocurrir que para una vecindad arbitrariamente pequeña a un lado del punto x 0 o en ambos lados, la derivada cambia de signo. En estos puntos, uno tiene que aplicar otros métodos para estudiar funciones hasta el extremo.
¿Cómo encontrar los valores mayor y menor de una función en un segmento?
Para esto seguimos el conocido algoritmo:
1 . Encontramos funciones odz.
2 . Hallar la derivada de una función
3 . Igualar la derivada a cero
4 . Encontramos los intervalos en los que la derivada conserva su signo, y a partir de ellos determinamos los intervalos de aumento y disminución de la función:
Si en el intervalo I la derivada de la función 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} aumenta en este intervalo.
Si en el intervalo I la derivada de la función , entonces la función disminuye en este intervalo.
5 . Encontramos puntos máximos y mínimos de la función.
EN el punto máximo de la función, la derivada cambia de signo de "+" a "-".
EN punto mínimo de la funciónla derivada cambia de signo de "-" a "+".
6 . Encontramos el valor de la función en los extremos del segmento,
- luego comparamos el valor de la función en los extremos del segmento y en los puntos máximos, y elige el mayor de ellos si necesitas encontrar el mayor valor de la función
- o comparamos el valor de la función en los extremos del segmento y en los puntos mínimos, y elige el más pequeño de ellos si necesitas encontrar el valor más pequeño de la función
Sin embargo, dependiendo de cómo se comporte la función en el intervalo, este algoritmo puede reducirse significativamente.
Considere la función 
. La gráfica de esta función se ve así:
Consideremos varios ejemplos de resolución de problemas del Open Task Bank para
uno . Tarea B15 (#26695)
en el corte
1. La función está definida para todos los valores reales de x
Obviamente, esta ecuación no tiene soluciones, y la derivada es positiva para todos los valores de x. Por tanto, la función crece y toma el mayor valor en el extremo derecho del intervalo, es decir, en x=0.
Respuesta: 5.
2 . Tarea B15 (No. 26702)
Encuentra el mayor valor de una función 
en el segmento.
1 función ODZ title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
La derivada es cero en , sin embargo, en estos puntos no cambia de signo:
Por lo tanto, title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} aumenta y toma el mayor valor en el extremo derecho del intervalo, en .
Para aclarar por qué la derivada no cambia de signo, transformamos la expresión de la derivada de la siguiente manera:
Título="(!LANG:y^(primo)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sen^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Respuesta: 5.
3 . Tarea B15 (#26708)
Encuentre el valor más pequeño de la función en el intervalo .
1. Funciones ODZ: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Coloquemos las raíces de esta ecuación en un círculo trigonométrico.
El intervalo contiene dos números: y
Pongamos los letreros. Para ello, determinamos el signo de la derivada en el punto x=0: 
. Al pasar por los puntos y la derivada cambia de signo.
Representemos el cambio de signos de la derivada de la función en la línea de coordenadas:
Obviamente, el punto es un punto mínimo (donde la derivada cambia de signo de "-" a "+"), y para encontrar el valor más pequeño de la función en el segmento, debe comparar los valores de la función en el punto mínimo y en el extremo izquierdo del segmento, .
Desde un punto de vista práctico, lo más interesante es el uso de la derivada para encontrar el valor mayor y menor de una función. ¿Con qué está conectado? Maximizar beneficios, minimizar costes, determinar la carga óptima de los equipos... En otras palabras, en muchos ámbitos de la vida hay que resolver el problema de optimizar algunos parámetros. Y este es el problema de encontrar los valores mayor y menor de la función.
Cabe señalar que el valor mayor y menor de una función generalmente se busca en algún intervalo X, que es todo el dominio de la función o parte del dominio. El intervalo X en sí mismo puede ser un segmento de línea, un intervalo abierto 
, un intervalo infinito .
En este artículo, hablaremos sobre cómo encontrar los valores más grandes y más pequeños de manera explícita. función dada una variable y=f(x) .
Navegación de página.
El valor más grande y más pequeño de una función: definiciones, ilustraciones.
Detengámonos brevemente en las principales definiciones.
El mayor valor de la función. 
, que para cualquier 
la desigualdad es verdadera.
El valor más pequeño de la función. y=f(x) en el intervalo X se llama tal valor 
, que para cualquier la desigualdad es verdadera.
Estas definiciones son intuitivas: el valor mayor (menor) de una función es el valor mayor (menor) aceptado en el intervalo considerado con la abscisa.
Puntos estacionarios son los valores del argumento en los que se anula la derivada de la función.
¿Por qué necesitamos puntos estacionarios al encontrar los valores más grandes y más pequeños? La respuesta a esta pregunta viene dada por el teorema de Fermat. De este teorema se deduce que si una función derivable tiene un extremo (mínimo local o máximo local) en algún punto, entonces ese punto es estacionario. Por lo tanto, la función a menudo toma su valor máximo (menor) en el intervalo X en uno de los puntos estacionarios de este intervalo.
Además, una función a menudo puede tomar los valores más grandes y más pequeños en los puntos donde la primera derivada de esta función no existe y la función en sí está definida.
Respondamos de inmediato una de las preguntas más comunes sobre este tema: "¿Siempre es posible determinar el valor más grande (más pequeño) de una función"? No, no siempre. A veces los límites del intervalo X coinciden con los límites del dominio de la función, o el intervalo X es infinito. Y algunas funciones en el infinito y en los límites del dominio de definición pueden tomar valores infinitamente grandes e infinitamente pequeños. En estos casos, no se puede decir nada sobre el valor mayor y menor de la función.
Para mayor claridad, damos una ilustración gráfica. Mire las imágenes, y mucho se aclarará.
en el segmento
En la primera figura, la función toma los valores mayor (max y ) y menor (min y ) en puntos estacionarios dentro del segmento [-6;6] .
Considere el caso que se muestra en la segunda figura. Cambia el segmento a . En este ejemplo, el valor más pequeño de la función se logra en un punto estacionario y el más grande, en un punto con una abscisa que corresponde al límite derecho del intervalo.
En la figura No. 3, los puntos límite del segmento [-3; 2] son las abscisas de los puntos correspondientes al mayor y menor valor de la función.
en el campo abierto
En la cuarta figura, la función toma los valores mayor (max y ) y menor (min y ) en puntos estacionarios dentro del intervalo abierto (-6;6).
En el intervalo , no se pueden sacar conclusiones sobre el valor más grande.
en el infinito
En el ejemplo que se muestra en la séptima figura, la función toma el valor más grande (max y ) en un punto estacionario con la abscisa x=1, y el valor más pequeño (min y ) se alcanza en el límite derecho del intervalo. En menos infinito, los valores de la función se aproximan asintóticamente a y=3.
En el intervalo, la función no alcanza ni el valor más pequeño ni el más grande. Como x=2 tiende a la derecha, los valores de la función tienden a menos infinito (la recta x=2 es una asíntota vertical), y como la abscisa tiende a más infinito, los valores de la función tienden asintóticamente a y=3 . En la Figura 8 se muestra una ilustración gráfica de este ejemplo.
Algoritmo para encontrar los valores mayor y menor de una función continua sobre el segmento.
Escribimos un algoritmo que nos permite encontrar el valor más grande y más pequeño de una función en un segmento.
- Encontramos el dominio de la función y verificamos si contiene el segmento completo.
- Encontramos todos los puntos en los que no existe la primera derivada y que están contenidos en el segmento (por lo general, estos puntos aparecen en funciones con un argumento bajo el signo del módulo y en funciones de potencia con un exponente racional fraccionario). Si no hay tales puntos, entonces vaya al siguiente punto.
- Determinamos todos los puntos estacionarios que caen en el segmento. Para ello, lo igualamos a cero, resolvemos la ecuación resultante y elegimos las raíces adecuadas. Si no hay puntos estacionarios o ninguno de ellos cae en el segmento, vaya al siguiente paso.
- Calculamos los valores de la función en los puntos estacionarios seleccionados (si los hay), en los puntos donde no existe la primera derivada (si los hay), y también en x=a y x=b.
- De los valores obtenidos de la función, seleccionamos el más grande y el más pequeño; serán los valores máximo y más pequeño deseados de la función, respectivamente.
Analicemos el algoritmo al resolver un ejemplo para encontrar los valores más grandes y más pequeños de una función en un segmento.
Ejemplo.
Encuentra el valor mayor y menor de una función
- en el segmento;
- en el intervalo [-4;-1] .
Decisión.
El dominio de la función es todo el conjunto de los números reales, excepto el cero, es decir, . Ambos segmentos caen dentro del dominio de la definición.
Encontramos la derivada de la función con respecto a: 
Obviamente, la derivada de la función existe en todos los puntos de los segmentos y [-4;-1] .
Los puntos estacionarios se determinan a partir de la ecuación. La única raíz real es x=2. Este punto estacionario cae en el primer segmento.
Para el primer caso, calculamos los valores de la función en los extremos del segmento y en un punto estacionario, es decir, para x=1, x=2 y x=4: 
Por lo tanto, el mayor valor de la función 
se alcanza en x=1, y el valor más pequeño 
– en x=2 .
Para el segundo caso, calculamos los valores de la función solo en los extremos del segmento [-4;-1] (ya que no contiene puntos estacionarios): 
El proceso de encontrar los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento recuerda a un fascinante vuelo alrededor de un objeto (el gráfico de una función) en un helicóptero disparando desde un cañón de largo alcance en ciertos puntos y eligiendo entre estos puntos puntos muy especiales para tiros de control. Los puntos se seleccionan de cierta manera y de acuerdo con ciertas reglas. ¿Por qué reglas? Hablaremos de esto más adelante.
Si la función y = F(X) continua en el segmento [ un, b] , luego llega a este segmento menos y valores más altos . Esto puede suceder en puntos extremos o en los extremos del segmento. Por lo tanto, para encontrar menos y los valores más grandes de la función , continua en el segmento [ un, b] , necesitas calcular sus valores en todos puntos críticos y en los extremos del segmento, y luego elige el más pequeño y el más grande de ellos.
Supongamos, por ejemplo, que se requiere determinar el valor máximo de la función F(X) en el segmento [ un, b] . Para hacer esto, encuentre todos sus puntos críticos sobre [ un, b] .
punto crítico se llama el punto en el que función definida, y ella derivado es cero o no existe. Luego debes calcular los valores de la función en los puntos críticos. Y, finalmente, se deben comparar los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del segmento ( F(un) y F(b) ). El mayor de estos números será el mayor valor de la función en el intervalo [un, b] .
El problema de encontrar los valores más pequeños de la función .
Estamos buscando los valores más pequeños y más grandes de la función juntos
Ejemplo 1. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función 
en el segmento [-1, 2]
.
Decisión. Encontramos la derivada de esta función. Iguale la derivada a cero () y obtenga dos puntos críticos: y . Para encontrar los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento dado, basta con calcular sus valores en los extremos del segmento y en el punto, ya que el punto no pertenece al segmento [-1, 2] . Estos valores de función son los siguientes: , , . Resulta que valor de función más pequeño(marcado en rojo en el gráfico siguiente), igual a -7, se alcanza en el extremo derecho del segmento - en el punto , y mayor(también rojo en el gráfico), es igual a 9, - en el punto crítico.
Si la función es continua en un cierto intervalo y este intervalo no es un segmento (pero es, por ejemplo, un intervalo; la diferencia entre un intervalo y un segmento: los puntos de la frontera del intervalo no están incluidos en el intervalo, pero el los puntos límite del segmento están incluidos en el segmento), entonces entre los valores de la función puede no haber el más pequeño y el más grande. Entonces, por ejemplo, la función representada en la siguiente figura es continua en ]-∞, +∞[ y no tiene el valor más grande.
Sin embargo, para cualquier intervalo (cerrado, abierto o infinito), se cumple la siguiente propiedad de las funciones continuas.
Ejemplo 4. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función en el segmento [-1, 3] .
Decisión. Encontramos la derivada de esta función como la derivada del cociente:
.
Igualamos la derivada a cero, lo que nos da un punto crítico: . Pertenece al intervalo [-1, 3] . Para encontrar los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:
Comparemos estos valores. Conclusión: igual a -5/13, en el punto y el mayor valor igual a 1 en el punto .
Seguimos buscando juntos los valores más pequeños y más grandes de la función
Hay docentes que en el tema de encontrar los valores menor y mayor de una función, no dan a los alumnos ejemplos más complicados que los recién considerados, es decir, aquellos en los que la función es un polinomio o una fracción, el numerador. y denominador de los cuales son polinomios. Pero no nos limitaremos a tales ejemplos, ya que entre los profesores hay amantes de hacer pensar a los estudiantes en su totalidad (tabla de derivados). Por lo tanto, se utilizará el logaritmo y la función trigonométrica.
Ejemplo 6. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función en el segmento .
Decisión. Encontramos la derivada de esta función como derivado del producto :
Igualamos la derivada a cero, lo que da un punto crítico: . Pertenece al segmento. Para encontrar los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:
El resultado de todas las acciones: la función alcanza su valor mínimo, igual a 0, en un punto y en un punto y el mayor valor igual a mi², en el punto.
Ejemplo 7. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función 
en el segmento .
Decisión. Encontramos la derivada de esta función:
Igualar la derivada a cero:
El único punto crítico pertenece al segmento. Para encontrar los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:
Conclusión: la función alcanza su valor mínimo, igual a , en el punto y el mayor valor, igual a , en el punto .
En problemas extremos aplicados, encontrar los valores de función más pequeños (más grandes), por regla general, se reduce a encontrar el mínimo (máximo). Pero no son los mínimos o máximos en sí mismos los que tienen mayor interés práctico, sino los valores del argumento en el que se logran. Al resolver problemas aplicados, surge una dificultad adicional: la compilación de funciones que describen el fenómeno o proceso en consideración.
Ejemplo 8 Se debe estañar un tanque de capacidad para 4 personas, que tenga forma de paralelepípedo de base cuadrada y abierto en la parte superior. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del tanque para cubrirlo con la menor cantidad de material?
Decisión. Permitir X- lado base h- altura del tanque, S- su superficie sin cubierta, V- su volumen. El área de superficie del tanque se expresa mediante la fórmula, es decir. es una función de dos variables. Para expresar S como una función de una variable, usamos el hecho de que , de donde . Sustituyendo la expresión encontrada h en la fórmula para S:
Examinemos esta función para un extremo. Está definida y diferenciable en todas partes en ]0, +∞[ , y
.
Igualamos la derivada a cero () y encontramos el punto crítico. Además, en , la derivada no existe, pero este valor no está incluido en el dominio de definición y por lo tanto no puede ser un punto extremo. Entonces, - el único punto crítico. Comprobemos la presencia de un extremo usando el segundo signo suficiente. Encontremos la segunda derivada. Cuando la segunda derivada es mayor que cero (). Esto significa que cuando la función alcanza un mínimo 
. Porque esto mínimo - el único extremo de esta función, es su valor más pequeño. Entonces, el lado de la base del tanque debe ser igual a 2 my su altura.
Ejemplo 9 Del párrafo UN, situado sobre la vía férrea, hasta el punto Con, a una distancia de ella yo, las mercancías deben ser transportadas. El costo de transportar una unidad de peso por unidad de distancia por ferrocarril es igual a , y por carretera es igual a . hasta que punto METRO líneas ferrocarril debe construirse una carretera para que el transporte de mercancías desde PERO en Con era el mas economico AB se supone que el ferrocarril es recto)?
Deja que la función y=F(X) continua en el segmento [ un, b]. Como es sabido, dicha función alcanza sus valores máximo y mínimo en este intervalo. La función puede tomar estos valores ya sea en un punto interior del segmento [ un, b], o en el límite del segmento.
Para encontrar los valores mayor y menor de una función en el segmento [ un, b] necesario:
1) encontrar los puntos críticos de la función en el intervalo ( un, b);
2) calcular los valores de la función en los puntos críticos encontrados;
3) calcular los valores de la función en los extremos del segmento, es decir, para X=un y x = b;
4) de todos los valores calculados de la función, elija el más grande y el más pequeño.
Ejemplo. Encuentra los valores mayor y menor de una función
en el segmento.
Encontrar puntos críticos:
Estos puntos se encuentran dentro del segmento; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
en el punto X= 3 y en el punto X= 0.
Investigación de una función para la convexidad y un punto de inflexión.
Función y = F (X) llamado convexo entre (un, b) , si su gráfica se encuentra bajo una tangente trazada en cualquier punto de este intervalo, y se llama convexo hacia abajo (cóncavo) si su gráfica está por encima de la tangente.
El punto en la transición a través del cual la convexidad es reemplazada por concavidad o viceversa se llama punto de inflexión.
Algoritmo para estudiar la convexidad y el punto de inflexión:
1. Encuentre los puntos críticos de segundo tipo, es decir, los puntos en los que la segunda derivada es igual a cero o no existe.
2. Coloca puntos críticos en la recta numérica, dividiéndola en intervalos. Encuentre el signo de la segunda derivada en cada intervalo; si , entonces la función es convexa hacia arriba, si, entonces la función es convexa hacia abajo.
3. Si al pasar por un punto crítico de segunda especie cambia de signo y en ese punto la segunda derivada es igual a cero, entonces ese punto es la abscisa del punto de inflexión. Encuentra su ordenada.
Asíntotas de la gráfica de una función. Investigación de una función en asíntotas.
Definición. La asíntota de la gráfica de una función se llama derecho, que tiene la propiedad de que la distancia de cualquier punto de la gráfica a esta línea tiende a cero con una remoción ilimitada del punto de la gráfica del origen.
Hay tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales e inclinadas.
Definición. Llamada directa asíntota vertical gráfico de función y = f(x), si al menos uno de los límites unilaterales de la función en este punto es igual a infinito, es decir
donde es el punto de discontinuidad de la función, es decir, no pertenece al dominio de definición.
Ejemplo.
D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
X= 2 - punto de ruptura.
Definición. Derecho y=UN llamado asíntota horizontal gráfico de función y = f(x) en , si
Ejemplo.
|
X | |||
|
y |
Definición. Derecho y=kx +b (k≠ 0) se llama asíntota oblicua gráfico de función y = f(x) en donde
Esquema general para el estudio de funciones y graficación.
Algoritmo de investigación de funcionesy = f(x) :
1. Encuentra el dominio de la función D (y).
2. Encuentra (si es posible) los puntos de intersección del gráfico con los ejes de coordenadas (con X= 0 y en y = 0).
3. Investigue las funciones pares e impares ( y (‒ X) = y (X) ‒ paridad; y(‒ X) = ‒ y (X) ‒ impar).
4. Encuentra las asíntotas de la gráfica de la función.
5. Hallar intervalos de monotonicidad de la función.
6. Encuentra los extremos de la función.
7. Encuentra los intervalos de convexidad (concavidad) y los puntos de inflexión de la gráfica de la función.
8. Sobre la base de la investigación realizada, construya un gráfico de la función.
Ejemplo. Investiga la función y traza su gráfica.
1) D (y) =
X= 4 - punto de ruptura.
2) cuando X = 0,
(0; – 5) – punto de intersección con oye.
En y = 0,
3)
y(‒
X)=
función vista general(ni pares ni impares).
4) Investigamos por asíntotas.
a) verticales
b) horizontales
c) encontrar asíntotas oblicuas donde
‒ecuación asíntota oblicua
5) En esta ecuación no se requiere encontrar intervalos de monotonicidad de la función.
6)
Estos puntos críticos dividen todo el dominio de la función en el intervalo (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) y (10; +∞). Es conveniente presentar los resultados obtenidos en forma de la siguiente tabla.