تابع خطی k 0. تابع خطی. نظریه تفصیلی با مثال (2019)

ویژگی ها و وظایف نمودارها تابع درجه دومهمانطور که تمرین نشان می دهد، مشکلات جدی ایجاد می کند. این کاملاً عجیب است، زیرا آنها تابع درجه دوم را در کلاس هشتم مطالعه می کنند و سپس در طول سه ماهه اول کلاس نهم ویژگی های سهمی را "عذاب" می کنند و نمودارهای آن را برای پارامترهای مختلف می سازند.

این به این دلیل است که هنگام وادار کردن دانش آموزان به ساخت سهمی، آنها عملاً زمانی را به "خواندن" نمودارها اختصاص نمی دهند، یعنی درک اطلاعات دریافت شده از تصویر را تمرین نمی کنند. ظاهراً فرض بر این است که پس از ساخت یک دوجین یا دو نمودار، خود یک دانش آموز باهوش رابطه بین ضرایب موجود در فرمول و فرمول را کشف و فرموله خواهد کرد. ظاهرهنرهای گرافیکی در عمل این کار نمی کند. برای چنین تعمیم، تجربه جدی در تحقیقات کوچک ریاضی لازم است، که البته اکثر دانش آموزان کلاس نهم از آن بی بهره هستند. در همین حال، سازمان بازرسی دولتی پیشنهاد می کند که علائم ضرایب را با استفاده از برنامه تعیین کند.

ما از دانش آموزان غیرممکن را مطالبه نخواهیم کرد و به سادگی یکی از الگوریتم های حل چنین مشکلاتی را ارائه خواهیم داد.

بنابراین، تابعی از فرم y = تبر 2 + bx + cبه نام درجه دوم، نمودار آن سهمی است. همانطور که از نام آن پیداست، اصطلاح اصلی است تبر 2. به این معنا که آنباید برابر با صفر باشد، ضرایب باقیمانده ( بو با) می تواند برابر با صفر باشد.

بیایید ببینیم که چگونه علائم ضرایب آن بر ظاهر یک سهمی تأثیر می گذارد.

ساده ترین وابستگی برای ضریب آ. اکثر دانش‌آموزان با اطمینان پاسخ می‌دهند: «اگر آ> 0، سپس شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند و اگر آ < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой آ > 0.

y = 0.5x 2 - 3x + 1

در این مورد آ = 0,5

و اکنون برای آ < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

در این مورد آ = - 0,5

تاثیر ضریب بادنبال کردن آن نیز بسیار آسان است. بیایید تصور کنیم که می خواهیم مقدار یک تابع را در یک نقطه پیدا کنیم ایکس= 0. صفر را جایگزین فرمول کنید:

y = آ 0 2 + ب 0 + ج = ج. معلوم می شود که y = c. به این معنا که بامنتخب نقطه تقاطع سهمی با محور y است. به طور معمول، این نقطه به راحتی در نمودار پیدا می شود. و تعیین کنید که بالای صفر است یا پایین. به این معنا که با> 0 یا با < 0.

با > 0:

y = x 2 + 4x + 3

با < 0

y = x 2 + 4x - 3

بر این اساس، اگر با= 0، پس سهمی لزوماً از مبدا عبور می کند:

y = x 2 + 4x

با پارامتر مشکل تر است ب. نقطه ای که ما آن را پیدا خواهیم کرد نه تنها به آن بستگی دارد ببلکه از آ. این قسمت بالای سهمی است. آبسیسا آن (مختصات محور ایکس) با فرمول پیدا می شود x در = - b/(2a). بدین ترتیب، b = - 2x اینچ. یعنی به صورت زیر عمل می کنیم: راس سهمی را روی نمودار پیدا می کنیم، علامت آبسیسا آن را تعیین می کنیم، یعنی به سمت راست صفر نگاه می کنیم ( x در> 0) یا به سمت چپ ( x در < 0) она лежит.

با این حال، این همه چیز نیست. باید به علامت ضریب هم توجه کنیم آ. یعنی ببینید شاخه های سهمی به کجا هدایت می شوند. و تنها پس از آن، طبق فرمول b = - 2x اینچعلامت را تعیین کنید ب.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

شاخه ها به سمت بالا هدایت می شوند، یعنی آ> 0، سهمی محور را قطع می کند درزیر صفر یعنی با < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x در> 0. بنابراین b = - 2x اینچ = -++ = -. ب < 0. Окончательно имеем: آ > 0, ب < 0, با < 0.

تابع خطیتابعی از فرم است

آرگومان x (متغیر مستقل)،

تابع y (متغیر وابسته)،

k و b تعدادی اعداد ثابت هستند

نمودار یک تابع خطی است سر راست.

برای ایجاد یک نمودار کافی است دوامتیاز، زیرا از طریق دو نقطه می توانید یک خط مستقیم و علاوه بر این، فقط یک نقطه بکشید.

اگر k˃0 باشد، نمودار در ربع مختصات 1 و 3 قرار دارد. اگر k˂0 باشد، نمودار در ربع مختصات 2 و 4 قرار دارد.

عدد k نامیده می شود شیبنمودار مستقیم تابع y(x)=kx+b. اگر k˃0، آنگاه زاویه تمایل خط مستقیم y(x)= kx+b نسبت به جهت مثبت Ox تند است. اگر k˂0 باشد، این زاویه مات است.

ضریب b نقطه تقاطع نمودار را با محور op-amp نشان می دهد (0؛ b).

y(x)=k∙x-- یک مورد خاص از یک تابع معمولی تناسب مستقیم نامیده می شود. نمودار یک خط مستقیم است که از مبدا می گذرد، بنابراین یک نقطه برای ساخت این نمودار کافی است.

نمودار یک تابع خطی

بنابراین، جایی که ضریب k = 3 است

نمودار تابع افزایش خواهد یافت و خواهد داشت گوشه ی تیزبا محور آه چون ضریب k دارای علامت مثبت است.

تابع خطی OOF

OPF یک تابع خطی

مگر در موردی که

همچنین یک تابع خطی از فرم

تابع شکل کلی است.

ب) اگر k=0; b≠0،

در این حالت، نمودار یک خط مستقیم موازی با محور Ox است و از نقطه (0؛ b) می گذرد.

ب) اگر k≠0; b≠0، سپس تابع خطی شکل y(x)=k∙x+b را دارد.

مثال 1 . تابع y(x)= -2x+5 را رسم کنید

مثال 2 . بیایید صفرهای تابع y=3x+1، y=0 را پیدا کنیم.

- صفرهای تابع

پاسخ: یا (;0)

مثال 3 . مقدار تابع y=-x+3 را برای x=1 و x=-1 تعیین کنید

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

پاسخ: y_1=2; y_2=4.

مثال 4 . مختصات نقطه تقاطع آنها را تعیین کنید یا ثابت کنید که نمودارها قطع نمی شوند. اجازه دهید توابع y 1 =10∙x-8 و y 2 =-3∙x+5 داده شوند.

اگر نمودارهای توابع با هم قطع شوند، مقادیر توابع در این نقطه برابر است

x=1 را جایگزین کنید، سپس y 1 (1)=10∙1-8=2.

اظهار نظر. همچنین می توانید مقدار حاصل از آرگومان را با تابع y 2 =-3∙x+5 جایگزین کنید، سپس همان پاسخ y 2 (1)=-3∙1+5=2 را دریافت می کنیم.

y=2- منتخب نقطه تقاطع.

(1;2) - نقطه تقاطع نمودارهای توابع y=10x-8 و y=-3x+5.

پاسخ: (1;2)

مثال 5 .

نمودارهایی از توابع y 1 (x)= x+3 و y 2 (x)= x-1 بسازید.

می توانید متوجه شوید که ضریب k=1 برای هر دو تابع است.

از موارد فوق چنین استنباط می شود که اگر ضرایب یک تابع خطی با هم برابر باشند، نمودارهای آنها در سیستم مختصات موازی قرار می گیرند.

مثال 6 .

بیایید دو نمودار از تابع بسازیم.

نمودار اول دارای فرمول است

نمودار دوم دارای فرمول است

در این حالت، نموداری از دو خط داریم که در نقطه (0;4) قطع می شوند. این بدان معنی است که ضریب b که مسئول ارتفاع بالا آمدن نمودار از محور Ox است، اگر x = 0 باشد. یعنی می توانیم فرض کنیم که ضریب b هر دو نمودار برابر با 4 است.

ویراستاران: آگیوا لیوبوف الکساندرونا، گاوریلینا آنا ویکتورونا

بیایید مشکل را در نظر بگیریم. یک موتورسوار که شهر A را ترک کرده است در حال حاضر 20 کیلومتر با آن فاصله دارد. اگر موتورسوار با سرعت 40 کیلومتر در ساعت حرکت کند بعد از t ساعت در چه فاصله s (km) از A قرار خواهد گرفت؟

بدیهی است در t ساعت موتورسوار 50 تن کیلومتر را طی خواهد کرد. در نتیجه، پس از t ساعت او در فاصله (20 + 50 تن) کیلومتر از A قرار خواهد گرفت، یعنی. s = 50t + 20، که t ≥ 0.

هر مقدار t مربوط به یک مقدار s است.

فرمول s = 50t + 20، که در آن t ≥ 0، تابع را تعریف می کند.

بیایید یک مشکل دیگر را در نظر بگیریم. برای ارسال تلگرام به ازای هر کلمه 3 کوپک و 10 کوپک اضافه دریافت می شود. برای ارسال یک تلگرام حاوی n کلمه چند کوپک (u) باید بپردازید؟

از آنجایی که فرستنده باید 3n کوپک برای n کلمه بپردازد، هزینه ارسال تلگرام از n کلمه را می توان با استفاده از فرمول u = 3n + 10 پیدا کرد، که در آن n هر عدد طبیعی است.

در هر دو مسئله در نظر گرفته شده، با توابعی مواجه شدیم که با فرمول هایی به شکل y = kx + l، که k و l تعدادی اعداد و x و y متغیر هستند، به دست می آیند.

تابعی را که بتوان با فرمولی به شکل y = kx + l که k و l تعدادی اعداد هستند مشخص کرد، خطی نامیده می شود.

از آنجایی که عبارت kx + l برای هر x معنی دارد، دامنه تعریف یک تابع خطی می تواند مجموعه تمام اعداد یا هر زیر مجموعه ای از آن باشد.

یک مورد خاص از یک تابع خطی، تناسب مستقیم است که قبلاً مورد بحث قرار گرفت. به یاد بیاورید که برای l = 0 و k ≠ 0 فرمول y = kx + l شکل y = kx را به خود می گیرد و این فرمول، همانطور که مشخص است، برای k ≠ 0 تناسب مستقیم را مشخص می کند.

اجازه دهید یک تابع خطی f را که با فرمول ارائه شده است رسم کنیم
y = 0.5x + 2.

بیایید چندین مقدار متناظر از متغیر y را برای برخی از مقادیر x بدست آوریم:

ایکس	-6	-4	-2	0	2	4	6	8
y	-1	0	1	2	3	4	5	6

بیایید نقاط را با مختصاتی که دریافت کردیم مشخص کنیم: (-6; -1), (-4; 0); (-2; 1)، (0; 2)، (2; 3)، (4; 4); (6؛ 5)، (8؛ 6).

بدیهی است که نقاط ساخته شده روی یک خط مشخص قرار دارند. از این نتیجه نمی شود که نمودار این تابع یک خط مستقیم است.

برای اینکه بفهمیم نمودار تابع f مورد بررسی به چه شکل است، اجازه دهید آن را با نمودار آشنای تناسب مستقیم x – y، که در آن x = 0.5 مقایسه کنیم.

برای هر x، مقدار عبارت 0.5x + 2 بیشتر از مقدار متناظر عبارت 0.5x در 2 واحد است. بنابراین، ترتیب هر نقطه در نمودار تابع f، 2 واحد بزرگتر از ترتیب مربوطه در نمودار تناسب مستقیم است.

در نتیجه، نمودار تابع f مورد بحث را می توان از نمودار تناسب مستقیم با ترجمه موازی 2 واحد در جهت محور y بدست آورد.

از آنجایی که نمودار تناسب مستقیم یک خط مستقیم است، پس نمودار تابع خطی f مورد بررسی نیز یک خط مستقیم است.

به طور کلی، نمودار یک تابع که با فرمولی به شکل y = kx + l به دست می آید، یک خط مستقیم است.

می دانیم که برای ساخت یک خط مستقیم کافی است موقعیت دو نقطه آن را مشخص کنیم.

به عنوان مثال، باید تابعی را ترسیم کنید که با فرمول داده می شود
y = 1.5x - 3.

بیایید دو مقدار دلخواه x را در نظر بگیریم، به عنوان مثال، x 1 = 0 و x 2 = 4. مقادیر مربوط به تابع y 1 = -3، y 2 = 3 را محاسبه کنید، نقاط A را بسازید (-3؛ 0) و B (4؛ 3) و یک خط مستقیم از میان این نقاط بکشید. این خط مستقیم نمودار مورد نظر است.

اگر دامنه تعریف یک تابع خطی به طور کامل نشان داده نشود اعداد، سپس نمودار آن زیر مجموعه ای از نقاط روی یک خط خواهد بود (به عنوان مثال، یک پرتو، یک قطعه، مجموعه ای از نقاط منفرد).

مکان نمودار تابع مشخص شده با فرمول y = kx + l به مقادیر l و k بستگی دارد. به طور خاص، زاویه تمایل نمودار یک تابع خطی به محور x به ضریب k بستگی دارد. اگر k یک عدد مثبت باشد، این زاویه حاد است. اگر k - یک عدد منفی، سپس زاویه مات است. عدد k را شیب خط می گویند.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

"نقاط بحرانی یک تابع" - نقاط بحرانی. در میان نقاط بحرانی نقاط افراطی وجود دارد. پيش نيازنقاط بحرانی. جواب: 2. تعریف. اما اگر f" (x0) = 0 باشد، لازم نیست که نقطه x0 یک نقطه منتهی باشد. نقاط افراطی (تکرار).

"هواپیما مختصات کلاس ششم" - ریاضیات پایه ششم. 1. X. 1. مختصات را پیدا کرده و یادداشت کنید نقاط A، B, C,D: -6. هواپیمای مختصات. O. -3. 7. U.

"توابع و نمودارهای آنها" - تداوم. بزرگترین و کوچکترین ارزشکارکرد. مفهوم تابع معکوس. خطی. لگاریتمی. یکنواخت. اگر k > 0 باشد، زاویه تشکیل شده تند است، اگر k باشد< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

"توابع کلاس نهم" - قابل قبول است عملیات حسابیبیش از توابع [+] - جمع، [-] - تفریق، [*] - ضرب، [:] - تقسیم. در چنین مواردی، ما در مورد تعیین گرافیکی تابع صحبت می کنیم. تشکیل یک کلاس از توابع ابتدایی. تابع توان y=x0.5. ایولف ماکسیم نیکولاویچ، دانش آموز کلاس نهم در مدرسه متوسطه RMOU Raduzhskaya.

"معادله مماس درس" - 1. مفهوم مماس بر نمودار یک تابع را روشن کنید. لایب نیتس مشکل رسم مماس بر یک منحنی دلخواه را در نظر گرفت. الگوریتم توسعه یک معادله برای مماس بر نمودار تابع y=f(x). موضوع درس: تست: مشتق یک تابع را پیدا کنید. معادله مماس. فلاکسیون. پایه 10. چیزی را که اسحاق نیوتن تابع مشتق نامید، رمزگشایی کنید.

"ساخت نمودار یک تابع" - تابع y=3cosx داده شده است. نمودار تابع y=m*sin x. تابع را نمودار کنید. محتویات: با توجه به تابع: y=sin (x+?/2). کشش نمودار y=cosx در امتداد محور y. برای ادامه روی l کلیک کنید. دکمه ی ماوس. با توجه به تابع y=cosx+1. نمودار y=sinx را به صورت عمودی جبران می کند. با توجه به تابع y=3sinx. جابجایی افقی نمودار y=cosx.

در مجموع 25 ارائه در این موضوع وجود دارد

معادلات و نابرابری های خطی I

§ 3 توابع خطی و نمودارهای آنها

برابری را در نظر بگیرید

در = 2ایکس + 1. (1)

مقدار هر حرف ایکس این برابری معنای بسیار خاصی از حرف را به تناسب می آورد در . اگر مثلاً ایکس = 0، سپس در = 2 0 + 1 = 1; اگر ایکس = 10، پس در = 2 10 + 1 = 21; در ایکس = - 1/2 داریم y = 2 (- 1/2) + 1 = 0 و غیره. اجازه دهید به تساوی دیگری بپردازیم:

در = ایکس 2 (2)

هر مقدار ایکس این برابری، مانند برابری (1)، یک ارزش کاملاً تعریف شده را به همراه دارد در . اگر مثلاً ایکس = 2، پس در = 4; در ایکس = - 3 می گیریم در = 9 و غیره. تساوی (1) و (2) دو کمیت را به هم متصل می کنند ایکس و در به طوری که هر مقدار یکی از آنها ( ایکس ) با مقدار مشخصی از کمیت دیگر مطابقت دارد ( در ).

اگر هر مقدار از کمیت ایکسمربوط به یک مقدار بسیار خاص است در، سپس این مقدار درتابعی از نامیده می شود ایکس. اندازه ایکساین آرگومان تابع نامیده می شود در.

بنابراین، فرمول های (1) و (2) دو تابع متفاوت از آرگومان را تعریف می کنند ایکس .

تابع آرگومان ایکس ، داشتن فرم

y = تبر + ب , (3)

جایی که آ و ب - برخی از اعداد داده شده فراخوانی می شوند خطی. یک مثال از یک تابع خطی می تواند هر یک از توابع باشد:

y = x + 2 (آ = 1, ب = 2);
در = - 10 (آ = 0, ب = - 10);
در = - 3ایکس (آ = - 3, ب = 0);
در = 0 (a = b = 0).

همانطور که از دوره کلاس هشتم مشخص است، نمودار تابع y = تبر + بیک خط مستقیم است. از همین رو این تابعو خطی نامیده می شود.

بیایید نحوه ساخت نمودار یک تابع خطی را به یاد بیاوریم y = تبر + ب .

1. نمودار یک تابع y = ب . در آ = 0 تابع خطی y = تبر + ب به نظر می رسد y = ب . نمودار آن یک خط مستقیم موازی با محور است ایکس و محور متقاطع در در نقطه تعیین شده ب . در شکل 1 نموداری از تابع y = 2 ( ب > 0)، و در شکل 2 نمودار تابع است در = - 1 (ب < 0).

اگر نه تنها آ ، اما همچنین ب برابر با صفر، سپس تابع است y= تبر + ب به نظر می رسد در = 0. در این حالت نمودار آن با محور منطبق است ایکس (شکل 3.)

2. نمودار یک تابع y = آه . در ب = 0 تابع خطی y = تبر + ب به نظر می رسد y = آه .

اگر آ =/= 0، سپس نمودار آن یک خط مستقیم است که از مبدا می گذرد و به محور متمایل است. ایکس در یک زاویه φ ، که مماس آن برابر است با آ (شکل 4). برای ایجاد یک خط مستقیم y = آه کافی است هر یک از نقاط آن را متفاوت از مبدأ مختصات پیدا کنیم. به عنوان مثال، در برابری فرض کنید y = آه ایکس = 1، دریافت می کنیم در = آ . بنابراین نقطه M با مختصات (1; آ ) روی خط مستقیم ما قرار دارد (شکل 4). حال با کشیدن یک خط مستقیم از مبدا و نقطه M، خط مستقیم مورد نظر را به دست می آوریم y = تبر .

در شکل 5 یک خط مستقیم به عنوان مثال ترسیم شده است در = 2ایکس (آ > 0)، و در شکل 6 - مستقیم y = - x (آ < 0).

3. نمودار یک تابع y = تبر + ب .

اجازه دهید ب > 0. سپس خط مستقیم y = تبر + ب y = آه بر ب واحد بالا. به عنوان مثال، شکل 7 ساخت یک خط مستقیم را نشان می دهد در = ایکس / 2 + 3.

اگر ب < 0, то прямая y = تبر + ب با جابجایی موازی خط به دست می آید y = آه بر - ب واحد پایین به عنوان مثال، شکل 8 ساخت یک خط مستقیم را نشان می دهد در = ایکس / 2 - 3

مستقیم y = تبر + ب می توان به شکل دیگری ساخت.

هر خط مستقیم به طور کامل توسط دو نقطه آن مشخص می شود. بنابراین، برای رسم نمودار از تابع y = تبر + ب کافی است هر دو نقطه از آن را پیدا کنید و سپس یک خط مستقیم از میان آنها بکشید. اجازه دهید این را با استفاده از مثال تابع توضیح دهیم در = - 2ایکس + 3.

در ایکس = 0 در = 3 و در ایکس = 1 در = 1. بنابراین، دو نقطه: M با مختصات (0؛ 3) و N با مختصات (1؛ 1) - روی خط ما قرار می گیرند. با علامت گذاری این نقاط در صفحه مختصات و اتصال آنها با یک خط مستقیم (شکل 9)، نمودار تابع را به دست می آوریم. در = - 2ایکس + 3.

به جای نقاط M و N، البته می توان دو نقطه دیگر را گرفت. به عنوان مثال، به عنوان ارزش ایکس ما می توانستیم نه 0 و 1 را مانند بالا، بلکه - 1 و 2.5 را انتخاب کنیم. سپس برای در به ترتیب مقادیر 5 و - 2 را بدست می آوریم.به جای نقاط M و N، نقاط P با مختصات (- 1; 5) و Q با مختصات (2.5; - 2) خواهیم داشت. این دو نقطه و همچنین نقاط M و N خط مورد نظر را کاملا مشخص می کنند در = - 2ایکس + 3.

تمرینات

15. نمودارهای تابع را روی همان شکل بسازید:

آ) در = - 4; ب) در = -2; V) در = 0; ز) در = 2; د) در = 4.

آیا این نمودارها محورهای مختصات را قطع می کنند؟ اگر همدیگر را قطع کردند، مختصات نقاط تقاطع را مشخص کنید.

16. نمودارهای تابع را روی همان شکل بسازید:

آ) در = ایکس / 4 ; ب) در = ایکس / 2 ; V) در =ایکس ; ز) در = 2ایکس ; د) در = 4ایکس .

17. نمودارهای تابع را روی همان شکل بسازید:

آ) در = - ایکس / 4 ; ب) در = - ایکس / 2 ; V) در = - ایکس ; ز) در = - 2ایکس ; د) در = - 4ایکس .

نمودارهایی از این توابع (شماره 21-18) بسازید و مختصات نقاط تقاطع این نمودارها را با محورهای مختصات مشخص کنید.

18. در = 3+ ایکس . 20. در = - 4 - ایکس .

19. در = 2ایکس - 2. 21. در = 0,5(1 - 3ایکس ).

22. یک تابع را رسم کنید

در = 2ایکس - 4;

با استفاده از این نمودار، دریابید: الف) در چه مقادیری x y = 0;

ب) در چه مقادیری ایکس ارزش های در منفی و تحت چه شرایطی - مثبت؛

ج) در چه مقادیری ایکس مقادیر ایکس و در علائم مشابهی دارند؛

د) در چه مقادیری ایکس مقادیر ایکس و در نشانه های مختلفی دارند

23. معادلات خطوط ارائه شده در شکل 10 و 11 را بنویسید.

24. کدام یک را می شناسید؟ قوانین فیزیکیبا استفاده از توابع خطی توصیف می شوند؟

25. چگونه یک تابع را نمودار کنیم در = - (تبر + ب ، اگر نمودار تابع داده شود y = تبر + ب ?