ورودبرابری های مثلثاتی هویت های مثلثاتی اساسی، فرمول بندی و اشتقاق آنها
اطلاعات مرجع در مورد توابع مثلثاتی سینوس (sin x) و کسینوس (cos x). تعریف هندسی، خواص، نمودارها، فرمول ها. جدول سینوس ها و کسینوس ها، مشتقات، انتگرال ها، بسط های سری، سکانت، کوسکانت. عبارات از طریق متغیرهای پیچیده ارتباط با توابع هذلولی
تعریف هندسی سینوس و کسینوس
|BD|- طول کمان دایره با مرکز در یک نقطه آ.
α
- زاویه بیان شده در رادیان.
تعریف
سینوس (sin α)تابع مثلثاتی بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه است که برابر با نسبت طول است. پای مخالف|پیش از میلاد| به طول هیپوتنوز |AC|.
کسینوس (cos α)تابع مثلثاتی بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه است که برابر با نسبت طول است. پای مجاور|AB| به طول هیپوتنوز |AC|.
نمادهای پذیرفته شده
;
;
.
;
;
.
نمودار تابع سینوس، y = sin x
نمودار تابع کسینوس، y = cos x
خواص سینوس و کسینوس
دوره ای
توابع y = گناه xو y = cos xدوره ای با دوره 2π.
برابری
تابع سینوس فرد است. تابع کسینوس زوج است.
دامنه تعریف و ارزش، افراط، افزایش، کاهش
توابع سینوس و کسینوس در دامنه تعریف خود، یعنی برای همه x پیوسته هستند (به اثبات پیوستگی مراجعه کنید). خواص اصلی آنها در جدول (n - عدد صحیح) ارائه شده است.
| y = گناه x | y = cos x | |
| دامنه و تداوم | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| محدوده ارزش ها | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| در حال افزایش است | ||
| نزولی | ||
| ماکسیما، y = 1 | ||
| حداقل، y = - 1 | ||
| صفر، y = 0 | ||
| نقاط قطع را با محور مختصات، x = 0 | y = 0 | y = 1 |
فرمول های پایه
مجموع مجذورات سینوس و کسینوس
فرمول های سینوس و کسینوس از مجموع و تفاوت
;
;
فرمول های حاصلضرب سینوس ها و کسینوس ها
فرمول های حاصل جمع و تفاوت
بیان سینوس از طریق کسینوس
;
;
;
.
بیان کسینوس از طریق سینوس
;
;
;
.
بیان از طریق مماس
; .
وقتی، داریم:
;
.
در:
;
.
جدول سینوس ها و کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها
این جدول مقادیر سینوس ها و کسینوس ها را برای مقادیر معینی از آرگومان نشان می دهد. 
عبارات از طریق متغیرهای پیچیده
;
فرمول اویلر
{ -∞ < x < +∞ }
سکانت، متقاطع
توابع معکوس
توابع معکوسبه سینوس و کسینوس به ترتیب آرکسین و آرکوزین هستند.
آرکسین، آرکسین
آرکوزین، آرکوس
منابع:
که در. برونشتاین، ک.ا. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.
دوره ویدیویی "Get a A" شامل تمام موضوعات لازم برای موفقیت است قبولی در آزمون دولتی یکپارچهدر ریاضیات برای 60-65 امتیاز. به طور کامل تمام مشکلات 1-13 نمایه آزمون یکپارچه ایالتیریاضیات همچنین برای قبولی در آزمون پایه یکپارچه دولتی در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید در آزمون یکپارچه دولتی با 90-100 امتیاز قبول شوید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!
دوره آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 آزمون دولتی واحد ریاضی (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه یک دانش آموز 100 امتیازی و نه دانش آموز علوم انسانی نمی تواند بدون آنها باشد.
تمام تئوری لازم راه حل های سریع، دام ها و اسرار آزمون یکپارچه دولتی. تمام وظایف فعلی بخش 1 از بانک وظیفه FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات آزمون یکپارچه دولتی 2018 مطابقت دارد.
این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا، ساده و واضح ارائه شده است.
صدها تکلیف یکپارچه آزمون دولتی. مسائل کلمه و نظریه احتمال. الگوریتم های ساده و آسان برای به خاطر سپردن برای حل مسائل. هندسه. تئوری، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع وظایف آزمون دولتی واحد. استریومتری. ترفندهای حیله گرراه حل ها، برگه های تقلب مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا تا مسئله 13. درک به جای انباشته کردن. توضیحات واضح مفاهیم پیچیده جبر. ریشه ها، توان ها و لگاریتم ها، تابع و مشتق. مبنایی برای حل مشکلات پیچیده قسمت 2 آزمون یکپارچه دولتی.
داده های مرجع برای مماس (tg x) و کوتانژانت (ctg x). تعریف هندسی، خواص، نمودارها، فرمول ها. جدول مماس ها و کوتانژانت ها، مشتقات، انتگرال ها، بسط سری. عبارات از طریق متغیرهای پیچیده ارتباط با توابع هذلولی
تعریف هندسی
|BD| - طول قوس دایره ای با مرکز در نقطه A.
α زاویه ای است که بر حسب رادیان بیان می شود.
مماس ( قهوهای مایل به زرد α) تابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتونوس و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پایه مقابل |BC| به طول پای مجاور |AB| .
کوتانژانت ( ctg α) تابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پایه مجاور |AB| به طول پای مقابل |پیش از میلاد| .
مماس
جایی که n- کل
در ادبیات غرب، مماس را به صورت زیر نشان می دهند:
.
;
;
.
نمودار تابع مماس، y = tan x
کوتانژانت
جایی که n- کل
در ادبیات غربی، کوتانژانت به صورت زیر نشان داده می شود:
.
نمادهای زیر نیز پذیرفته شده است:
;
;
.
نمودار تابع کتانژانت، y = ctg x
خواص مماس و کوتانژانت
دوره ای
توابع y = tg xو y = ctg xتناوبی با دوره π هستند.
برابری
توابع مماس و کتانژانت فرد هستند.
حوزه های تعریف و ارزش، افزایش، کاهش
توابع مماس و کتانژانت در حوزه تعریف خود پیوسته هستند (به اثبات پیوستگی مراجعه کنید). خواص اصلی مماس و کوتانژانت در جدول ارائه شده است ( n- کل).
| y = tg x | y = ctg x | |
| دامنه و تداوم | ||
| محدوده ارزش ها | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| در حال افزایش است | - | |
| نزولی | - | |
| افراط | - | - |
| صفر، y = 0 | ||
| نقاط قطع را با محور مختصات، x = 0 | y = 0 | - |
فرمول ها
عبارات با استفاده از سینوس و کسینوس
;
;
;
;
;
فرمول های مماس و کتانژانت از مجموع و تفاوت
به عنوان مثال، فرمول های باقی مانده به راحتی به دست می آیند
محصول مماس ها
فرمول مجموع و تفاضل مماس ها
این جدول مقادیر مماس ها و کوتانژانت ها را برای مقادیر معینی از آرگومان نشان می دهد.
عبارات با استفاده از اعداد مختلط
عبارات از طریق توابع هذلولی
;
;
مشتقات
; .
.
مشتق از مرتبه n با توجه به متغیر x تابع:
.
استخراج فرمول های مماس > > > ; برای کوتانژانت > > >
انتگرال ها
گسترش سری
برای به دست آوردن انبساط مماس در توان های x، باید چندین ترم از بسط در سری پاوربرای توابع گناه xو cos xو این چند جمله ای ها را بر یکدیگر تقسیم کنید، . این فرمول های زیر را تولید می کند.
در .
در .
جایی که Bn- اعداد برنولی آنها یا از رابطه عود تعیین می شوند:
;
;
جایی که .
یا طبق فرمول لاپلاس: 
توابع معکوس
توابع معکوس مماس و کوتانژانت به ترتیب تانژانت و کوتانژانت هستند.
Arctangent، arctg
، جایی که n- کل
Arccotangent، arcctg
، جایی که n- کل
منابع:
که در. برونشتاین، ک.ا. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.
جی کورن، کتابچه راهنمای ریاضیات برای دانشمندان و مهندسان، 2012.
هویت های مثلثاتی- اینها برابری هایی هستند که بین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه رابطه برقرار می کنند، که به شما امکان می دهد هر یک از این توابع را پیدا کنید، مشروط بر اینکه هر یک از آنها شناخته شده باشد.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)، \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
این هویت می گوید که مجموع مجذور سینوس یک زاویه و مجذور کسینوس یک زاویه برابر با یک است که در عمل محاسبه سینوس یک زاویه را زمانی ممکن می سازد که کسینوس آن مشخص باشد و بالعکس. .
هنگام تبدیل عبارات مثلثاتی، اغلب از این هویت استفاده می شود که به شما امکان می دهد مجموع مجذورهای کسینوس و سینوس یک زاویه را با یک جایگزین کنید و همچنین عملیات جایگزینی را به ترتیب معکوس انجام دهید.
یافتن مماس و کتانژانت با استفاده از سینوس و کسینوس
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)،\enspace
این هویت ها از تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت شکل می گیرند. به هر حال، اگر به آن نگاه کنید، بنا به تعریف، مختص y یک سینوس است، و آبسیسا x یک کسینوس است. سپس مماس برابر با نسبت خواهد بود \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)، و نسبت \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- یک کوتانژانت خواهد بود.
بیایید اضافه کنیم که فقط برای چنین زوایایی \آلفا که توابع مثلثاتی موجود در آنها معنی دارند، هویت ها پابرجا خواهند بود. ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
مثلا: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)برای زوایای \alpha که متفاوت از \frac(\pi)(2)+\pi z، آ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- برای یک زاویه \alpha غیر از \pi z، z یک عدد صحیح است.
رابطه مماس و کوتانژانت
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
این هویت فقط برای زوایای \alpha معتبر است که متفاوت از \frac(\pi)(2) z. در غیر این صورت کوتانژانت یا مماس مشخص نمی شود.
با توجه به نکات فوق به این نتیجه می رسیم tg \alpha = \frac(y)(x)، آ ctg \alpha=\frac(x)(y). نتیجه می شود که tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. بنابراین، مماس و کوتانژانت همان زاویه ای که در آن معنا پیدا می کنند، اعداد متقابل معکوس هستند.
روابط بین مماس و کسینوس، کوتانژانت و سینوس
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- مجموع مجذور مماس زاویه \آلفا و 1 برابر است با مجذور معکوس کسینوس این زاویه. این هویت برای همه \alpha غیر از \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- مجموع 1 و مجذور کتانژانت زاویه \آلفا برابر است با مجذور معکوس سینوس زاویه داده شده. این هویت برای هر \alpha متفاوت از \pi z معتبر است.
مثال هایی با راه حل مسائل با استفاده از هویت های مثلثاتی
مثال 1
\sin \alpha و tg \alpha if را پیدا کنید \cos \alpha=-\frac12و \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
نشان دادن راه حل
راه حل
توابع \sin \alpha و \cos \alpha با فرمول مرتبط هستند \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. جایگزینی در این فرمول \cos \alpha = -\frac12، ما گرفتیم:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \راست)^2 = 1
این معادله 2 راه حل دارد:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
با شرط \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . در سه ماهه دوم سینوس مثبت است، بنابراین \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
برای پیدا کردن tan \alpha از فرمول استفاده می کنیم tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2): \frac12 = \sqrt 3
مثال 2
\cos \alpha و ctg \alpha if and را پیدا کنید \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
نشان دادن راه حل
راه حل
جایگزین کردن در فرمول \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1شماره داده شده \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2)، ما گرفتیم \ چپ (\frac(\sqrt3)(2)\راست)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. این معادله دو راه حل دارد \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
با شرط \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . در سه ماهه دوم کسینوس منفی است، بنابراین \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
برای پیدا کردن ctg \alpha از فرمول استفاده می کنیم ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). ما مقادیر مربوطه را می دانیم.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).