خانه / جو/ مجموع یک سری را به صورت آنلاین محاسبه کنید. پیشرفت هندسی راهنمای جامع با مثال (2019)

مجموع یک سری را به صورت آنلاین محاسبه کنید. پیشرفت هندسی راهنمای جامع با مثال (2019)

دیوید برمن، ماریان فرایبرگر

اخیراً یک نتیجه بسیار عجیب مورد بحث قرار گرفت. بیان می شود که وقتی همه اعداد طبیعی را جمع کنید

سپس مجموع خواهد شد . این ایده در ویدیو نشان داده شده است شماره فیل، جایی که گفته شده که نتیجه ثابت شده است و همچنین گفته شده است که در فیزیک کاربرد زیادی دارد. این ایده آنقدر مردم را تحت تأثیر قرار داد که حتی به نیویورک تایمز هم رسید. خب معنی اینها چیه؟

ریاضیات

اول از همه، مجموع نامتناهی همه اعداد طبیعیبرابر نیست با . شما به راحتی می توانید این موضوع را با محاسبه مبالغ جزئی در ماشین حساب تأیید کنید.

و غیره با رشد، یعنی با افزایش تعداد اعداد طبیعی اضافه شده، بیشتر و بیشتر می شود. در واقع با انتخاب اندازه کافی می توانید آن را به اندازه دلخواهتان بزرگ کنید. به عنوان مثال، زمانی که شما دریافت کنید

و زمانی که دریافت کردید

بنابراین، ریاضیدانان می گویند که این سری واگرا است. یا، به طور ساده تر، این که مجموع بی نهایت است.

سرینیواسا رامانوجان

پس از کجا می آید؟ در واقع، نتیجه اشتباه در کار ریاضیدان مشهور هندی سرینیواسا رامانوجان در سال 1913 ظاهر شد. اما رامانوجان می دانست که دارد چه می کند و دلیلی برای نوشتن آن داشت. او تابع زتای اویلر را مطالعه کرد. برای اینکه بفهمید این چیست، ابتدا مجموع نامتناهی را در نظر بگیرید

می بینید که این مجموع زمانی به دست می آید که متقابل مجذورهای اعداد طبیعی را جمع کنید:

حالا این مقدار با هم فرق نمی کند. اگر دنباله ای از مجموع جزئی را در نظر بگیریم، همانطور که در بالا انجام دادیم،

سپس نتایجی که به دست می آیند به طور دلخواه به عدد نزدیک می شوند، اما هرگز از آن تجاوز نمی کنند. ریاضیدانان می گویند که این سری به , یا به طور ضعیف تر همگرا می شود که مجموع سری برابر است .

حال ببینیم اگر به جای مجذور کردن اعداد طبیعی در مخرج، آنها را به توان دیگری برسانیم چه اتفاقی می‌افتد؟ معلوم می شود که مقدار مربوطه

به مقدار نهایی همگرا می شود اگر درجه یک عدد بزرگتر از . برای هر عنوان="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> сумма имеет определенное конечное значение. — это то, что называется функцией, и эта функция называется дзета-функцией Эйлера в честь !} ریاضیدان برجستهقرن هفدهم توسط لئونارد اویلر.

تا اینجا همه چیز خوب است. اما چه اتفاقی می افتد اگر اعداد کوچکتر از را در نظر بگیریم؟ به عنوان مثال، اگر شما مصرف کنید چه اتفاقی می افتد؟ اجازه بدید ببینم.

بنابراین ما مجموع اصلی خود را داریم که می دانیم واگرا است. همین امر برای هر مقدار دیگری که کمتر یا مساوی باشد صادق است: مجموع واگرا می شود.

اظهار نظر.بسط تابع زتا اویلر. تابع زتا اویلر در نظر گرفته شده برای اعداد واقعی بزرگتر از تعریف شده است. اعداد حقیقی بخشی از خانواده بزرگتری از اعداد به نام اعداد مختلط هستند. و در حالی که اعداد واقعی با تمام نقاط روی خط اعداد واقعی مطابقت دارند، اعداد مختلط با تمام نقاط صفحه حاوی خط اعداد واقعی مطابقت دارند. به این صفحه، صفحه پیچیده می گویند. همانطور که توابعی را تعریف می کنید که آرگومان های آنها اعداد واقعی هستند، می توانید توابعی را که آرگومان های آنها اعداد مختلط هستند تعریف کنید.

یکی حقیقت جالبمربوط به توابع متغیرهای مختلط این است که اگر مقدار تابع را در مجموعه‌ای از داده‌ها بدانید، آنگاه (تا برخی جزئیات فنی) می‌توانید مقدار تابع را در هر نقطه از صفحه مختلط پیدا کنید. این روش گسترش دامنه یک تابع به عنوان ادامه تحلیلی شناخته می شود. تابع زتا اویلر برای اعداد واقعی بزرگتر از تعریف شده است. از آنجایی که اعداد واقعی اعداد مختلط هستند، می‌توانیم این تابع را به عنوان یک تابع مختلط در نظر بگیریم و سپس از ادامه تحلیلی برای بدست آوردن یک تابع جدید تعریف شده در کل صفحه استفاده کنیم، اما برای اعداد واقعی بزرگتر از تابع زتا اویلر سازگار است. این تابع زتا ریمان است.

یه کار دیگه هم میشه کرد استفاده از ریاضی قدرتمند ( تجزیه و تحلیل پیچیدهبه یادداشت مراجعه کنید)، می‌توان دامنه تابع زتای اویلر را به گونه‌ای گسترش داد که برای اعداد کمتر یا مساوی این تابع مقادیر متناهی بگیرد. به عبارت دیگر، راهی برای تعریف یک تابع جدید وجود دارد، اجازه دهید آن را فراخوانی کنیم، بنابراین برای title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">!}

و برای تابع مقادیر نهایی خاصی را می گیرد. این روش ادامه تحلیلی نامیده می‌شود و تابع جدیدی که تولید می‌کند تابع زتای ریمان نامیده می‌شود، به نام برنهارد ریمان، ریاضی‌دان قرن هجدهم. (ایجاد این تابع جدید، که مقادیر متناهی را برای آن می گیرد، شامل تفریق یک سری واگرا دیگر از یک سری واگرا است، به طوری که بی نهایت حاصل از مجموع واگرا اول، منهای بی نهایتی که مجموع واگرا دوم می دهد، با چیزی برابر شود. محدود، فانی.)

خوب ما اکنون تابعی داریم که برای title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> принимает те же значения, что и дзета-функция Эйлера . И для дзета-функция Римана принимает конечные значения. Какое значение вы получите, когда подставите в дзета-функцию? Вы угадали:!}

و اگر اشتباه فرض کنید که برای

این توضیح می دهد که چرا رامانوجان این عبارت مرموز را یادداشت کرد.

حیله گری

پس چگونه افراد حاضر در ویدئو ثابت کردند که مجموع همه اعداد طبیعی برابر است؟ در واقع این کار را نکردند. تماشای این ویدئو مانند نگاه کردن به یک شعبده باز است و سعی می کنید بفهمید که خرگوش چه زمانی در کلاه پایین می آید. اولین قدم "اثبات" سعی می کند شما را نسبت به یک چیز نسبتاً احمقانه متقاعد کند، یعنی یک مبلغ نامحدود

این ویدیو برای مدت طولانی در این مورد نمی‌گذرد و به نظر می‌رسد به این معناست که واضح است. اما بیایید نگاهی دقیق تر به این موضوع بیندازیم تا ببینیم آیا اصلاً منطقی است یا خیر. اجازه دهید مجموع آن برابر با یک عدد متناهی باشد، آن را صدا کنیم. با اضافه کردن به خود، یک مجموع نامحدود بدست می آوریم

اما این فقط مبلغ اولیه است، از کجا

از آنجایی که چه چیزی نادرست است. بنابراین، این جمله که می توان مجموع نامتناهی را برابر با آن در نظر گرفت، صحیح نیست. در واقع شما می توانید دریافت کنید نتایج متفاوت، با استفاده از مجموع نامتناهی که واگرا می شوند. این یک ترفند است!

فیزیک

اما چگونه همانطور که در ویدیو نشان داده شده است، این نتیجه عجیب و غریب اشتباه در یک کتاب درسی فیزیک قرار گرفت؟ اینجاست که همه چیز واقعا جالب می شود. فرض کنید دو صفحه فلزی رسانا را بردارید و آنها را در خلاء قرار دهید تا موازی یکدیگر باشند. طبق فیزیک کلاسیک، هیچ نیرویی نباید بین این دو صفحه وارد شود.

اثر کازیمیر

اما فیزیک کلاسیک تأثیرات عجیبی را که هنگام نگاه کردن به جهان در مقیاس های بسیار کوچک مشاهده می کنید، در نظر نمی گیرد. برای در نظر گرفتن آنها، ما به فیزیک کوانتومی نیاز داریم که چیزهای بسیار عجیبی را ادعا می کند. یکی از آنها این است که خلاء خالی نیست، پر از فعالیت است. ذرات به اصطلاح مجازی همیشه در آن ظاهر می شوند و ناپدید می شوند. این فعالیت چیزی را تولید می کند که انرژی صفر نامیده می شود: کوچکترین انرژی که هر چیزی می تواند داشته باشد هرگز صفر نیست. وقتی سعی می کنید چگالی انرژی کل بین دو صفحه را با استفاده از ریاضی یا فیزیک کوانتومی محاسبه کنید، در نهایت به یک مجموع بی نهایت می رسید.

این مجموع نامتناهی نیز همان چیزی است که وقتی مقدار را به تابع زتا اویلر وصل می کنید به دست می آورید:

این مایه تاسف است زیرا مجموع داده شده واگرا می شود (حتی سریعتر از ) این کار را انجام می دهد که به معنای چگالی انرژی بی نهایت است. این واضح است که مزخرف است. اما چه می شود اگر شما به طور گستاخانه فرض کنید که مجموع نامتناهی برابر تابع زتای ریمان است، نه تابع زتای اویلر، چه زمانی؟ خوب، سپس چگالی انرژی نهایی را دریافت می کنید. این به این معنی است که باید بین صفحات فلزی یک نیروی جاذبه وجود داشته باشد که این نیز مضحک به نظر می رسد، زیرا فیزیک کلاسیک نشان می دهد که نباید هیچ نیرویی وجود داشته باشد.

اما شگفتی اینجاست. هنگامی که فیزیکدانان آزمایش را راه اندازی کردند، متوجه شدند که این نیرو واقعا وجود دارد، و با چگالی انرژی دقیقاً برابر است!

این نتیجه فیزیکی شگفت انگیز به عنوان اثر کازیمیر شناخته می شود که به نام فیزیکدان هلندی هندریک کازیمیر نامگذاری شده است.

برای قدردانی از این یک لحظه وقت بگذارید. فیزیک کوانتومی می گوید که چگالی انرژی باید برابر باشد

این مزخرف است، اما آزمایشات نشان می دهد که اگر (به اشتباه) این مقدار را محاسبه کنید برابر با ارزشتوابع زتا برای، پاسخ صحیح را دریافت خواهید کرد. بنابراین به نظر می رسد که طبیعت از ایده های رامانوجان پیروی می کند. او تابع زتای اویلر را گسترش داد تا مقادیر کمتر از را شامل شود، بی‌نهایت را به طرز ماهرانه‌ای کم کرد، و اینگونه شد که مقدار نهایی به دست آمد. شگفت انگیزه!

دلیل اینکه ما هم در ویدیوی Numberphile و هم در کتاب فیزیک می بینیم و نه این است که وقتی تصور می کنید اثر کازیمیر در یک بعد (در امتداد یک خط، نه در سه بعدی) اتفاق می افتد، چگالی انرژی که در نظر می گیرید برابر است با نه .

پس چرا افراد Numberphile این "نتیجه" عجیب را تبلیغ می کنند؟ آنها البته از ادامه تحلیلی که این ویژگی را کاملاً مشخص می کند آگاه هستند، اما برای ویدیوی آنها بسیار فنی است. آنها با دانستن روش تحلیلی ادامه که نتیجه نهایی را معقول می کند و آن را در جیب پشتی خود پنهان می کنند، ماهرانه جلو رفتند. با انجام این کار، آنها بیش از یک میلیون بازدید دریافت کردند و جهان شروع به صحبت در مورد تابع زتا و ریاضیات کرد. در این مورد می توان به آنها تبریک گفت. ریاضی تابع زتا فوق‌العاده است، و آنچه در اینجا توضیح داده‌ایم تازه شروع کار است. لیست طولانیخواص ریاضی شگفت انگیز وقتی ریاضیات و فیزیک را رایج می کنیم، همیشه باید انتخاب کنیم: آنچه را که نمی گوییم، اما آنچه را که توضیح می دهیم. اینکه کجا این خط را ترسیم کنیم به ما بستگی دارد.

به منظور. واسه اینکه. برای اینکه مجموع سری را محاسبه کنید، فقط باید عناصر سریال را چند بار اضافه کنید. مثلا:

در مثال بالا، این کار بسیار ساده انجام شد، زیرا باید تعداد محدودی بار جمع می شد. اما اگر حد بالای جمع بی نهایت باشد چه؟ به عنوان مثال، اگر ما نیاز به یافتن مجموع چنین سری هایی داشته باشیم:

با قیاس با مثال قبلی، می‌توانیم این مقدار را به صورت زیر رنگ کنیم:

اما بعد چه باید کرد؟! در این مرحله لازم است مفهوم را معرفی کنیم مجموع جزئی یک سری. بنابراین، مجموع جزئی یک سری(با S n نشان داده می شود) مجموع n جمله اول سری است. آن ها در مورد ما:

سپس مجموع سری اصلی را می توان به عنوان حد مجموع جزئی محاسبه کرد:

بنابراین برای محاسبه مجموع یک سری، لازم است به نحوی عبارتی برای مجموع جزئی سری (S n ) پیدا کنیم. در مورد خاص ما، سری یک پیشرفت هندسی کاهشی با مخرج 1/3 است. همانطور که می دانید، مجموع n عنصر اول یک پیشرفت هندسی با فرمول محاسبه می شود:

در اینجا b 1 اولین عنصر پیشرفت هندسی است (در مورد ما 1 است) و q مخرج پیشرفت است (در مورد ما 1/3). بنابراین، مجموع جزئی S n برای سری ما به صورت زیر است:

سپس مجموع سری ما (S) طبق تعریف فوق برابر است با:

مثال هایی که در بالا مورد بحث قرار گرفت بسیار ساده هستند. معمولاً محاسبه مجموع یک سری بسیار دشوارتر است و بیشترین مشکل دقیقاً در یافتن مجموع جزئی سری نهفته است. در زیر ارائه شده است ماشین حساب آنلاین، بر اساس سیستم Wolfram Alpha، به شما امکان می دهد مجموع سری های نسبتاً پیچیده را محاسبه کنید. علاوه بر این، اگر ماشین حساب نتواند مجموع سری را پیدا کند، احتمالاً سری داده شده واگرا هستند (در این مورد، ماشین حساب پیامی مانند "جمع واگرا" را نمایش می دهد)، یعنی. این ماشین حساب همچنین به طور غیرمستقیم به دریافت ایده از همگرایی سری کمک می کند.

برای یافتن مجموع سری خود، باید متغیر سری، حد جمع بندی پایین و بالا و همچنین عبارت برای ترم n سری (یعنی عبارت واقعی برای خود سری) را مشخص کنید.

مجموع تمام اعداد طبیعی را می توان با استفاده از سری اعداد زیر نوشت

با این حال، در نگاه اول، این نتیجه کاملاً غیرمنتظره است، با این حال، می توان به شدت ثابت کرد. اما قبل از صحبت در مورد اثبات، لازم است مفاهیم اساسی را به انحراف بکشیم و یادآوری کنیم.

بیایید با این واقعیت شروع کنیم که مجموع "کلاسیک" یک سری، حد مجموع جزئی سری است، اگر وجود داشته باشد و متناهی باشد. جزئیات را می توان در ویکی پدیا و ادبیات مرتبط یافت. اگر حد محدود وجود نداشته باشد، آنگاه گفته می شود که سری واگرا است.

به عنوان مثال، مجموع جزئی k جمله اول سری اعداد 1 + 2 + 3 + 4 +… به صورت زیر نوشته می شود.

به راحتی می توان دید که این مجموع به طور نامحدودی رشد می کند، زیرا k به سمت بی نهایت می رود. بنابراین، سریال اصلی واگرا است و به عبارت دقیق تر، مجموع ندارد. با این حال، راه‌های زیادی برای اختصاص مقدار محدود به سری‌های واگرا وجود دارد.

سریال 1+2+3+4+… از اینکه تنها سریال واگرا باشد فاصله زیادی دارد. برای مثال سری Grandi را در نظر بگیرید

که همچنین واگرا می شود، اما مشخص است که روش جمع سزارو به ما اجازه می دهد تا مقدار محدود 1/2 را به این سری نسبت دهیم. جمع سزارو شامل عمل کردن نه با مجموع جزئی یک سری، بلکه با میانگین حسابی آنهاست. به خودم اجازه می‌دهم در سبک آزاد حدس بزنم، می‌توان گفت که مجموع جزئی سری Grandi بین 0 و 1 در نوسان است، بسته به اینکه کدام عضو سری در مجموع (+1 یا -1) آخرین عضو است، بنابراین مقدار 1/ 2، به عنوان یک حساب، میانگین دو مقدار ممکن از مجموع جزئی.

نمونه جالب دیگر از سری واگرا، سری متناوب 1 - 2 + 3 - 4 +... است که مجموع جزئی آنها نیز نوسان دارند. جمع آبل به ما این امکان را می دهد که مقدار نهایی 1/4 را به این سری اختصاص دهیم. توجه داشته باشید که روش آبل نوعی توسعه روش جمع سزارو است، بنابراین نتیجه 1/4 از نظر شهود قابل درک است.

در اینجا ذکر این نکته ضروری است که روش‌های جمع‌بندی، ترفندهایی نیستند که ریاضی‌دانان برای کنار آمدن با سری‌های واگرا به‌نحوی ارائه کرده باشند. اگر جمع سزارو یا روش آبل را برای یک سری همگرا اعمال کنید، پاسخ داده شده توسط این روش ها برابر است با مجموع کلاسیک یک سری همگرا.

با این حال، نه جمع سزارو و نه روش هابیل به شخص اجازه نمی دهد با سری 1 + 2 + 3 + 4 +... کار کند، زیرا میانگین های حسابی مجموع جزئی و همچنین میانگین حسابی میانگین های حسابی از هم جدا می شوند. علاوه بر این، اگر مقادیر 1/2 یا 1/4 را بتوان به نحوی پذیرفت و با سری مربوطه همبستگی کرد، در این صورت ارتباط -1/12 با سری 1 + 2 + 3 + 4 +... دشوار است. که یک دنباله نامتناهی از اعداد صحیح مثبت است.

راه های مختلفی برای رسیدن به نتیجه 1/12- وجود دارد. در این یادداشت، من فقط به طور خلاصه به یکی از آنها، یعنی منظم سازی توسط تابع زتا می پردازم. بیایید تابع زتا را معرفی کنیم

جایگزین کردن s=-1، سری اعداد اصلی 1+2+3+4+ را دریافت می کنیم. بیایید تعدادی عملیات ساده ریاضی روی این تابع انجام دهیم.

این تابع دیریکله کجاست

با یک ارزش s=-1این تابع 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... بعدی برای ما آشنا می شود که برابر با 1/4 است. حالا به راحتی می توانیم معادله را حل کنیم

جالب اینجاست که این نتیجه در فیزیک کاربرد دارد. مثلا در نظریه ریسمان. با اشاره به صفحه 22 "نظریه ریسمان" جوزف پولچینسکی:

اگر نظریه ریسمان به دلیل فقدان شواهد برای بسیاری از پیامدهای این نظریه، مثال قانع‌کننده‌ای برای کسی نیست، می‌توان گفت که روش‌های مشابهی در نظریه میدان کوانتومی هنگام تلاش برای محاسبه اثر کازیمیر ظاهر می‌شود.

برای اینکه دو بار نروید، چند مثال جالب دیگر با تابع زتا

برای کسانی که مایل به کسب اطلاعات بیشتر در مورد موضوع هستند، خاطرنشان می کنم که تصمیم گرفتم این یادداشت را پس از ترجمه مقاله مربوطه در ویکی پدیا بنویسم، جایی که در بخش "پیوندها" می توانید موارد زیادی پیدا کنید. مواد اضافی، بیشتر به زبان انگلیسی.

برخی از مسائل در فیزیک و ریاضیات را می توان با استفاده از خواص حل کرد سری اعداد. دو دنباله اعداد ساده که در مدارس تدریس می شود جبری و هندسی است. در این مقاله، ما با جزئیات بیشتری به این سوال می پردازیم که چگونه جمع را پیدا کنیم پیشرفت بی پایانکاهش هندسی

پیشرفت هندسی

این کلمات به معنای مجموعه ای از اعداد واقعی هستند که عناصر a i عبارت را برآورده می کند:

در اینجا i تعداد عنصر در سری است، r یک عدد ثابت است که به آن مخرج می گویند.

این تعریف نشان می دهد که با دانستن هر عبارتی از پیشرفت و مخرج آن، می توان کل سری اعداد را بازیابی کرد. به عنوان مثال، اگر عنصر 10 شناخته شده باشد، با تقسیم آن بر r، عنصر 9 را بدست می آوریم، سپس با تقسیم مجدد آن، به عدد 8 و غیره می رسیم. این آرگومان های ساده به ما اجازه می دهند تا عبارتی بنویسیم که برای سری اعداد مورد بررسی معتبر است:

نمونه ای از یک پیشروی با مخرج 2 خواهد بود:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

اگر مخرج -2 باشد، یک سری کاملاً متفاوت به دست می آید:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

یک پیشرفت هندسی بسیار سریعتر از یک پیشرفت جبری است، یعنی اصطلاحات آن به سرعت افزایش می یابد و به سرعت کاهش می یابد.

مجموع i اعضای پیشرفت

برای حل مسائل عملی، اغلب لازم است که مجموع چندین عنصر از دنباله عددی در نظر گرفته شده را محاسبه کنیم. برای این مورد، فرمول زیر معتبر است:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

مشاهده می شود که برای محاسبه مجموع ترم های i، فقط دو عدد باید بدانید: a 1 و r، که منطقی است، زیرا آنها به طور منحصر به فرد کل دنباله را تعیین می کنند.

دنباله نزولی و مجموع عبارت های آن

حال بیایید یک مورد خاص را در نظر بگیریم. فرض می کنیم که قدر مطلق مخرج r از یک، یعنی -1 تجاوز نمی کند

در نظر گرفتن یک پیشروی هندسی رو به کاهش جالب است زیرا مجموع نامتناهی عبارات آن به یک عدد واقعی محدود تمایل دارد.

بیایید فرمول مجموع را بدست آوریم اگر عبارت S i را که در پاراگراف قبل داده شد را بنویسیم، انجام این کار آسان است. ما داریم:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

موردی را در نظر بگیرید که i->∞. از آنجایی که مدول مخرج کوچکتر از 1 است، با بالا بردن آن به توان بی نهایت صفر می شود. این را می توان با استفاده از مثال r=0.5 تأیید کرد:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

در نتیجه، مجموع عبارت‌های یک پیشرفت هندسی بی‌نهایت در حال کاهش به شکل زیر خواهد بود:

این فرمول اغلب در عمل، به عنوان مثال، برای محاسبه مساحت ارقام استفاده می شود. همچنین در حل پارادوکس Zeno of Elea با لاک پشت و آشیل استفاده می شود.

بدیهی است که با در نظر گرفتن مجموع یک پیشروی نامتناهی یک افزایش هندسی (r>1)، به نتیجه S ∞ = +∞ منجر می شود.

مشکل یافتن ترم اول پیشرفت

ما نشان خواهیم داد که چگونه فرمول های بالا باید با استفاده از مثال حل مسئله اعمال شوند. مشخص است که مجموع یک تصاعد هندسی نامتناهی 11 است. به علاوه، جمله هفتم آن 6 برابر کمتر از جمله سوم است. اولین عنصر برای این سری اعداد چیست؟

ابتدا، اجازه دهید دو عبارت برای تعیین عناصر 7 و 3 بنویسیم. ما گرفتیم:

با تقسیم عبارت اول بر دومی و بیان مخرج، داریم:

a 7 / a 3 = r 4 => r = 4 √ (a 7 / a 3)

از آنجایی که نسبت ترم هفتم و سوم در شرط مسئله داده شده است، می توانیم آن را جایگزین کرده و r را پیدا کنیم:

r \u003d 4 √ (a 7 / a 3) \u003d 4 √ (1/6) ≈ 0.63894

ما r را با دقت پنج رقم قابل توجه بعد از نقطه اعشار محاسبه کرده ایم. از آنجایی که مقدار حاصل کمتر از یک است، به این معنی است که پیشرفت در حال کاهش است، که استفاده از فرمول را برای مجموع نامتناهی آن توجیه می کند. عبارت اولین جمله را بر اساس جمع S ∞ می نویسیم:

مقادیر شناخته شده را با این فرمول جایگزین می کنیم و جواب می گیریم:

a 1 \u003d 11 * (1-0.63894) \u003d 3.97166.

پارادوکس معروف زنو با آشیل سریع و لاک پشت کند

Zeno of Elea فیلسوف مشهور یونانی است که در قرن پنجم قبل از میلاد می‌زیسته است. ه. تعدادی از اوج ها یا پارادوکس های آن به زمان حال رسیده است که در آن مسئله بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک در ریاضیات فرمول بندی شده است.

یکی از پارادوکس های شناخته شده زنو، رقابت بین آشیل و لاک پشت است. زنو معتقد بود که اگر آشیل از فاصله دور به لاک پشت برتری بدهد، هرگز نمی تواند از آن سبقت بگیرد. مثلاً اجازه دهید آشیل 10 برابر سریعتر از یک حیوان خزنده بدود که مثلاً 100 متر از او جلوتر است. وقتی جنگجو 100 متر بدود، لاک پشت 10 متر به عقب می خزد. آشیل دوباره 10 متر بدود، می بیند که لاک پشت 1 متر دیگر خزیده است. شما می توانید اینطور بی نهایت بحث کنید، فاصله بین رقبا واقعاً کاهش می یابد، اما لاک پشت همیشه جلوتر خواهد بود.

او زنو را به این نتیجه رساند که حرکت وجود ندارد و تمام حرکات اطراف اجسام یک توهم است. البته فیلسوف یونان باستان اشتباه می کرد.

راه‌حل پارادوکس در این واقعیت نهفته است که مجموع نامتناهی از بخش‌های همیشه در حال کاهش به یک عدد محدود تمایل دارند. در مورد فوق، برای مسافت طی شده توسط آشیل، به دست می آید:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

با اعمال فرمول حاصل از مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت، به دست می آوریم:

S ∞ \u003d 100 / (1-0.1) ≈ 111.111 متر

این نتیجه نشان می دهد که آشیل زمانی که لاک پشت تنها 1111/11 متر می خزد از آن سبقت می گیرد.

یونانیان باستان نمی دانستند چگونه در ریاضیات با مقادیر بی نهایت کار کنند. با این حال، این پارادوکس را می توان حل کرد اگر به تعداد نامتناهی شکاف هایی که آشیل باید بر آنها غلبه کند، توجه کنیم، بلکه به تعداد محدودی از گام هایی که دونده برای رسیدن به هدف نیاز دارد، توجه کنیم.

با معرفی نماد در ابتدای فصل، ماهرانه از سؤال مبالغ نامتناهی طفره رفتیم و در اصل گفتیم: «بیایید آن را برای بعد ذخیره کنیم. در ضمن، می‌توانیم فرض کنیم که تمام مجموع‌های رخ‌داده فقط تعداد متناهی جمله غیر صفر دارند! اما بالاخره زمان محاسبه فرا رسیده است - ما باید این واقعیت را بشناسیم

مجموع می تواند بی نهایت باشد. و در حقیقت، مبالغ بی پایان با شرایط خوشایند و ناخوشایند همراه است.

اول، در مورد ناخوشایند: معلوم می شود که روش هایی که ما هنگام برخورد با مبالغ استفاده می کردیم، همیشه برای مبالغ نامحدود معتبر نیستند. و اکنون برای چیزهای خوشایند: یک کلاس بسیار ساده از مبالغ بی نهایت وجود دارد که تمام عملیاتی که ما انجام دادیم کاملاً قانونی هستند. دلایل پشت هر دو شرایط پس از اینکه معنای واقعی جمع را دریابیم مشخص خواهد شد.

همه می دانند که مجموع نهایی چیست: همه عبارت ها را یکی یکی به کل کل اضافه می کنیم تا همه آنها جمع شوند. اما جمع بی نهایت باید با ظرافت بیشتری تعریف شود تا دچار مشکل نشوید.

برابر 2 است، زیرا وقتی دو برابر شود، به دست می آوریم

اما پس از همان منطق، باید جمع را محاسبه کرد

برابر با 1- است، زیرا وقتی دو برابر شد، دریافت می کنیم

اتفاق عجیبی می افتد: چگونه می توان با جمع کردن اعداد مثبت یک عدد منفی به دست آورد؟ به نظر می رسد بهتر است مجموع T را نامحدود بگذاریم، و شاید باید این را فرض کنیم زیرا عبارات در T از هر عدد محدود ثابتی بزرگتر می شوند. (توجه داشته باشید که کمیت یکی دیگر از راه حل های معادله است؛ همچنین معادله را حل می کند.

بیایید سعی کنیم تعریف مناسبی از مقدار یک مجموع دلخواه ارائه کنیم که در آن مجموعه K می تواند بی نهایت باشد. اجازه دهید ابتدا فرض کنیم که تمام عبارات a غیر منفی هستند. در این مورد، یافتن یک تعریف مناسب دشوار نیست: اگر برای هر زیرمجموعه محدودی یک ثابت مرزی A وجود داشته باشد به طوری که

سپس مجموع را کوچکترین از همه این A در نظر می گیریم. (همانطور که از ویژگی های شناخته شده اعداد واقعی بر می آید، مجموعه همه A چنین A همیشه حاوی کوچکترین عنصر است.) اما اگر چنین ثابت محدود کننده A وجود نداشته باشد. ، ما این را به این معنا در نظر می گیریم که اگر A -

تعدادی عدد واقعی، سپس تعداد محدودی از جمله‌های a وجود دارد که مجموع آنها از A بیشتر است.

تعریف پاراگراف قبل به قدری ظریف فرموله شده است که به ترتیبی که ممکن است در مجموعه شاخص K وجود داشته باشد بستگی ندارد. بلکه برای مجموع چندگانه با شاخص های بسیار

به ویژه، زمانی که K مجموعه ای از اعداد صحیح غیر منفی است، تعریف ما برای عبارت های غیر منفی یک به این معنی است که

و به این دلیل است: هر دنباله غیر نزولی از اعداد حقیقی یک حد دارد (احتمالاً برابر است اگر این حد مساوی باشد، مجموعه‌ای محدود از اعداد صحیح غیر منفی، که همه آن‌ها هستند؛ بنابراین، A یک ثابت محدود کننده است. اگر A عددی کوچکتر از مرز تعیین شده A باشد، آنگاه چنین وجود دارد که در نتیجه، یک مجموعه متناهی گواه بر این واقعیت است که A یک ثابت محدود کننده نیست.

و اکنون به راحتی می توانیم مقادیر مجموع نامتناهی خاص را مطابق با تعریفی که ارائه شد محاسبه کنیم. به عنوان مثال، اگر پس از آن

به طور خاص، مجموع نامتناهی و T، که چند لحظه پیش مورد بحث قرار گرفت، به ترتیب 2 و - همانطور که انتظار داشتیم هستند. مثال قابل توجه دیگر:

حال این مورد را در نظر بگیرید که در کنار عبارات غیرمنفی، مجموع ممکن است دارای عبارات منفی باشد. مثلاً مقدار جمع چقدر باید باشد

اگر اصطلاحات را به صورت جفت گروه بندی کنیم، به دست می آید:

بنابراین مجموع به صفر می رسد. اما اگر یک مرحله بعد شروع به گروه بندی بر اساس جفت کنیم، دریافت می کنیم

یعنی جمع برابر با یک است.

ما همچنین می توانیم سعی کنیم یک فرمول قرار دهیم زیرا می دانیم که این فرمول برای آن معتبر است، اما پس از آن مجبور خواهیم شد بپذیریم که این مجموع نامتناهی برابر است زیرا مجموع اعداد صحیح است!

مثال جالب دیگر مجموع بی نهایت در هر دو جهت است که در آن برای k 0 و برای E می توان به صورت زیر نوشت

اگر این مجموع را با شروع از عنصر "مرکز" و حرکت به سمت خارج محاسبه کنیم،

سپس 1 می گیریم. و اگر همه براکت ها را یک عنصر به سمت چپ حرکت دهیم، همان 1 را دریافت می کنیم،

از آنجایی که مجموع تمام اعداد داخل پرانتز است

استدلال مشابه نشان می‌دهد که اگر این براکت‌ها هر تعداد ثابتی از عناصر را به چپ یا راست منتقل کنند، مقدار مجموع برابر با 1 باقی می‌ماند - این نظر ما را تقویت می‌کند که مجموع واقعاً برابر با 1 است. اما، از سوی دیگر، اگر ما اصطلاحات را به صورت زیر گروه بندی می کنیم:

سپس جفت براکت های داخلی حاوی اعداد خواهند بود

در فصل نشان داده خواهد شد که بنابراین، این روش گروه‌بندی منجر به این ایده می‌شود که مجموع، نامتناهی در هر دو جهت، در واقع باید برابر باشد با

چیزی غیرمعنی در مورد مجموع وجود دارد که وقتی به روش های مختلف با هم جمع شوند مقادیر متفاوتی به دست می دهند. در کتابچه راهنمای تجزیه و تحلیل مدرن تعدادی از تعاریف وجود دارد که توسط آنها مقادیر معنی دار به چنین مبالغ آسیب شناختی اختصاص داده می شود. اما اگر این تعاریف را به عاریت بگیریم، نمی‌توانیم به همان راحتی که تا به حال انجام داده‌ایم، با -نشان‌گذاری کار کنیم. اهداف این کتاب به گونه ای است که ما نیازی به اصلاحات دقیق مفهوم "همگرایی مشروط" نداریم - ما به تعریفی از مبالغ نامتناهی می پردازیم که تمام عملیات هایی را که در این فصل استفاده کرده ایم به قوت خود باقی می گذارد.

در اصل، تعریف ما از مجموع بی نهایت بسیار ساده است. اجازه دهید K یک مجموعه باشد، و اجازه دهید a یک عضو با ارزش واقعی از مجموع تعریف شده برای هر یک باشد. (در واقع، می تواند به معنای چندین شاخص باشد، بنابراین مجموعه K خود می تواند چند بعدی باشد.) هر عدد واقعی x را می توان به عنوان تفاوت بین قسمت های مثبت و منفی آن نشان داد.

(یا ما قبلاً نحوه تعیین مقدار مجموع نامتناهی را توضیح داده ایم، زیرا آنها غیر منفی هستند. بنابراین، تعریف کلی ما به شرح زیر است:

مگر اینکه هر دو مجموع سمت راست برابر باشند. در مورد دوم، جمع Khleck تعریف نشده باقی می ماند.

اجازه دهید Tskekak و اگر مجموع محدود هستند، سپس آنها می گویند که مجموع به طور مطلق همگرا. اگر متناهی باشد، می گویند که مجموع به اگر واگرا می شود، همین طور اگر متناهی است، می گویند به اگر واگرا می شود، پس چیزی نمی گویند.

ما با تعریفی شروع کردیم که برای عبارت‌های غیرمنفی مجموع کار می‌کرد، و سپس آن را به هر عبارت با ارزش واقعی تعمیم دادیم. اگر عبارت‌های حاصل از مجموع اعداد مختلط باشند، به روشی واضح می‌توان تعریف ما را به آن تعمیم داد. در این حالت: مجموع به صورت - قسمت a واقعی و خیالی تعریف می شود، مشروط بر اینکه هر دوی این مجموع وجود داشته باشند، در غیر این صورت مجموع Hkek تعریف نشده است (به تمرین 18 مراجعه کنید.)

مشکل، همانطور که قبلاً ذکر شد، این است که برخی از مبالغ نامتناهی باید تعریف نشده باقی بمانند، زیرا عملیاتی که ما روی آنها انجام می‌دهیم می‌تواند منجر به پوچی شود. (به تمرین 34 مراجعه کنید.) نکته خوب این است که همه عملیات های این فصل در هر زمان که با مبالغی سروکار داریم که کاملاً به معنایی که به تازگی مشخص شده است همگرا می شوند، کاملاً صادق هستند.

ما می توانیم این واقعیت خوب را با نشان دادن اینکه هر یک از قوانین تبدیل مجموع ما ارزش هر مجموع کاملاً همگرا را بدون تغییر می گذارد تأیید کنیم. به طور خاص، این بدان معنی است که باید قوانین توزیعی، تداعی و جابجایی را بررسی کرد، به علاوه این قاعده که می توان شروع به جمع کردن بر روی هر متغیری کرد. هر چیز دیگری که در این فصل انجام داده‌ایم را می‌توان از این چهار عمل جمع پایه استنتاج کرد.

قانون توزیعی (2.15) را می توان با دقت بیشتری به صورت زیر فرموله کرد: اگر مجموع Hkek a مطلقاً به و اگر c مقداری مختلط باشد، آنگاه Lkek مطلقاً به همگرا می شود. همانطور که قبلا انجام دادیم به قسمت های مثبت و منفی و اثبات حالت خاص که و هر جمله از جمع غیر منفی است. اثبات در این مورد خاص به موجب این واقعیت است که برای هر مجموعه متناهی آخرین واقعیت با استقرا بر اندازه مجموعه اثبات می شود.

قانون ترکیب (2.16) را می توان به صورت زیر فرموله کرد: اگر مجموع مطلقاً به ترتیب به A و B همگرا شوند، مجموع مطلقاً به همگرا می شود، معلوم می شود که این یک مورد خاص از یک قضیه کلی تر است که به زودی آن را ثابت خواهیم کرد. .