ورودنحوه گرفتن مشتق از یک تابع مشتق e به توان x و تابع نمایی
مشکل یافتن مشتق از عملکرد داده شدهیکی از دروس اصلی ریاضی در دبیرستان و آموزش عالی است موسسات آموزشی. کاوش کامل یک تابع و ساخت نمودار آن بدون گرفتن مشتق آن غیرممکن است. اگر قوانین اساسی تمایز و همچنین جدول مشتقات توابع پایه را بدانید، مشتق یک تابع را به راحتی می توانید پیدا کنید. بیایید بفهمیم که چگونه مشتق یک تابع را پیدا کنیم.
مشتق یک تابع حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان است وقتی که افزایش آرگومان به صفر میل می کند.
درک این تعریف بسیار دشوار است، زیرا مفهوم محدودیت در مدرسه به طور کامل مطالعه نشده است. اما برای یافتن مشتقات توابع مختلف، نیازی به درک تعریف نیست؛ بیایید آن را به ریاضیدانان بسپاریم و مستقیماً به یافتن مشتق برویم.
فرآیند یافتن مشتق را تمایز می گویند. وقتی یک تابع را متمایز می کنیم، یک تابع جدید به دست می آوریم.
برای نشان دادن آنها استفاده خواهیم کرد نامه ها f، g، و غیره
نمادهای مختلفی برای مشتقات وجود دارد. از سکته مغزی استفاده خواهیم کرد. مثلاً نوشتن g به این معناست که مشتق تابع g را پیدا می کنیم.
جدول مشتقات
برای پاسخ به این سوال که چگونه مشتق را پیدا کنیم، لازم است جدولی از مشتقات توابع اصلی ارائه شود. برای محاسبه مشتقات توابع ابتدایی، نیازی به انجام محاسبات پیچیده نیست. فقط کافی است به ارزش آن در جدول مشتقات نگاه کنیم.
- (سین x)"=cos x
- (cos x)"= –sin x
- (x n)"=n x n-1
- (e x)"=e x
- (ln x)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/sin 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
مثال 1. مشتق تابع y=500 را بیابید.
می بینیم که این ثابت است. از جدول مشتقات مشخص می شود که مشتق یک ثابت برابر با صفر است (فرمول 1).
مثال 2. مشتق تابع y=x 100 را بیابید.
این تابع توانکه توان آن 100 است و برای یافتن مشتق آن باید تابع را در توان ضرب کرده و آن را 1 کاهش دهید (فرمول 3).
(x 100)" = 100 x 99
مثال 3. مشتق تابع y=5 x را بیابید
این یک تابع نمایی است، بیایید مشتق آن را با استفاده از فرمول 4 محاسبه کنیم.
مثال 4. مشتق تابع y= log 4 x را بیابید
مشتق لگاریتم را با استفاده از فرمول 7 پیدا می کنیم.
(log 4 x)"=1/x ln 4
قوانین تمایز
حالا بیایید بفهمیم که چگونه مشتق یک تابع را اگر در جدول نیست پیدا کنیم. اکثر توابع مورد مطالعه ابتدایی نیستند، بلکه ترکیبی از توابع ابتدایی با استفاده از عملیات ساده (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و ضرب در یک عدد) هستند. برای یافتن مشتقات آنها، باید قوانین تمایز را بدانید. در زیر، حروف f و g نشان دهنده توابع هستند و C یک ثابت است.
1. ضریب ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد
مثال 5. مشتق تابع y= 6*x 8 را بیابید
ضریب ثابت 6 را خارج می کنیم و فقط x 4 را متمایز می کنیم. این یک تابع توان است که مشتق آن با استفاده از فرمول 3 جدول مشتقات یافت می شود.
(6*x 8)" = 6*(x8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. مشتق یک جمع برابر است با مجموع مشتقات
(f + g)"=f" + g"
مثال 6. مشتق تابع y= x 100 +sin x را بیابید
تابع مجموع دو تابع است که مشتقات آنها را می توانیم از جدول پیدا کنیم. از آنجایی که (x 100)"=100 x 99 و (sin x)"=cos x. مشتق جمع برابر با مجموع این مشتقات خواهد بود:
(x 100 + sin x)" = 100 x 99 + cos x
3. مشتق مابه التفاوت برابر است با اختلاف مشتقات
(f – g)"=f" - g"
مثال 7. مشتق تابع y= x 100 – cos x را بیابید
این تابع تفاوت دو تابع است که مشتقات آنها را در جدول نیز می توانیم پیدا کنیم. سپس مشتق تفاوت برابر با اختلاف مشتقات است و فراموش نکنید که علامت را تغییر دهید، زیرا (cos x)"= – sin x.
(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x
مثال 8. مشتق تابع y=e x +tg x– x 2 را بیابید.
این تابع هم مجموع و هم تفاوت دارد؛ بیایید مشتقات هر عبارت را پیدا کنیم:
(e x)"=e x، (tg x)"=1/cos 2 x، (x 2)"=2 x. سپس مشتق تابع اصلی برابر است با:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. مشتق محصول
(f * g)"=f" * g + f * g"
مثال 9. مشتق تابع y= cos x *e x را بیابید
برای این کار ابتدا مشتق هر عامل (cos x)"=–sin x و (e x)"=e x را پیدا می کنیم. حالا بیایید همه چیز را در فرمول محصول جایگزین کنیم. مشتق تابع اول را در دوم ضرب می کنیم و حاصلضرب تابع اول را در مشتق تابع دوم جمع می کنیم.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. مشتق از ضریب
(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2
مثال 10. مشتق تابع y= x 50 /sin x را بیابید
برای یافتن مشتق یک ضریب، ابتدا مشتق صورت و مخرج را جداگانه می یابیم: (x 50)"=50 x 49 و (sin x)"= cos x. با جایگزینی مشتق ضریب به فرمول، دریافت می کنیم:
(x 50 /sin x)"= 50x49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x
مشتق تابع مختلط
تابع پیچیده تابعی است که با ترکیبی از چندین تابع نشان داده می شود. همچنین یک قانون برای یافتن مشتق یک تابع مختلط وجود دارد:
(u (v))"=u"(v)*v"
بیایید دریابیم که چگونه مشتق چنین تابعی را پیدا کنیم. فرض کنید y=u(v(x)) یک تابع مختلط باشد. بیایید تابع u خارجی و v - داخلی بنامیم.
مثلا:
y=sin (x 3) یک تابع پیچیده است.
سپس y=sin(t) یک تابع خارجی است
t=x 3 - داخلی.
بیایید سعی کنیم مشتق این تابع را محاسبه کنیم. طبق فرمول، شما باید مشتقات توابع داخلی و خارجی را ضرب کنید.
(sin t)"=cos (t) - مشتق تابع خارجی (که t=x 3)
(x 3)"=3x2 - مشتق تابع داخلی
سپس (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 مشتق یک تابع مختلط است.
پس از آماده سازی اولیه توپخانه، نمونه هایی با 3-4-5 تودرتو عملکرد کمتر ترسناک خواهند بود. دو مثال زیر ممکن است برای برخی پیچیده به نظر برسد، اما اگر آنها را درک کنید (کسی رنج خواهد برد)، تقریباً هر چیز دیگری در حساب دیفرانسیل شبیه شوخی کودکانه به نظر می رسد.
مثال 2
مشتق یک تابع را پیدا کنید
همانطور که قبلا ذکر شد، هنگام پیدا کردن مشتق یک تابع پیچیده، اول از همه، ضروری است درستسرمایه گذاری های خود را درک کنید در مواردی که شک و تردید وجود دارد، یک تکنیک مفید را به شما یادآوری می کنم: برای مثال، مقدار آزمایشی "x" را در نظر می گیریم و سعی می کنیم (به صورت ذهنی یا در پیش نویس) این مقدار را با "عبارت وحشتناک" جایگزین کنیم.
1) ابتدا باید عبارت را محاسبه کنیم، به این معنی که مجموع عمیق ترین جاسازی است.
2) سپس باید لگاریتم را محاسبه کنید:
4) سپس کسینوس را مکعب کنید:
5) در مرحله پنجم تفاوت:
6) و در نهایت بیرونی ترین تابع جذر است: 
فرمول تمایز یک تابع پیچیده 
استفاده خواهد شد در به صورت برعکس، از بیرونی ترین عملکرد تا درونی ترین. ما تصمیم گرفتیم:
بدون خطا به نظر می رسد:
1) مشتق جذر را بگیرید.
2) مشتق تفاوت را با استفاده از قانون بگیرید 
3) مشتق ثلاث صفر است. در جمله دوم مشتق درجه (مکعب) را می گیریم.
4) مشتق کسینوس را بگیرید.
6) و در نهایت مشتق عمیق ترین تعبیه را می گیریم.
شاید خیلی سخت به نظر برسد، اما این وحشیانه ترین نمونه نیست. به عنوان مثال، مجموعه کوزنتسوف را در نظر بگیرید و از زیبایی و سادگی مشتق تحلیل شده قدردانی خواهید کرد. متوجه شدم که آنها دوست دارند چیزی مشابه در یک امتحان بدهند تا بررسی کنند که آیا دانش آموز می داند چگونه مشتق یک تابع پیچیده را پیدا کند یا نمی فهمد.
مثال زیر برای تصمیم مستقل.
مثال 3
مشتق یک تابع را پیدا کنید
نکته: ابتدا قوانین خطی و قانون تمایز محصول را اعمال می کنیم
حل کامل و پاسخ در پایان درس.
وقت آن است که به سراغ چیزهای کوچکتر و زیباتر بروید.
غیر معمول نیست که یک مثال حاصل ضرب نه دو، بلکه سه تابع را نشان دهد. چگونه مشتق حاصلضرب سه عامل را پیدا کنیم؟
مثال 4
مشتق یک تابع را پیدا کنید 
ابتدا نگاه می کنیم، آیا می توان حاصل ضرب سه تابع را به حاصل ضرب دو تابع تبدیل کرد؟ به عنوان مثال، اگر ما دو چند جمله ای در حاصلضرب داشتیم، می توانیم براکت ها را باز کنیم. اما در مثال مورد بررسی، همه توابع متفاوت هستند: درجه، توان و لگاریتم.
در چنین مواردی لازم است به صورت متوالیقانون تمایز محصول را اعمال کنید 
دو برابر
ترفند این است که با "y" حاصلضرب دو تابع را نشان می دهیم: و با "ve" لگاریتم را نشان می دهیم: . چرا می توان این کار را انجام داد؟ آیا واقعا 
- این حاصل دو عامل نیست و قانون کار نمی کند؟! هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد:
اکنون باقی مانده است که قانون را برای بار دوم اعمال کنیم به پرانتز:
شما همچنین می توانید پیچ خورده و چیزی را خارج از پرانتز قرار دهید، اما در این مورد بهتر است پاسخ را دقیقاً به این شکل بگذارید - بررسی آن آسان تر خواهد بود.
مثال مورد نظر را می توان به روش دوم حل کرد:
هر دو راه حل کاملاً معادل هستند.
مثال 5
مشتق یک تابع را پیدا کنید
این یک مثال برای یک راه حل مستقل است؛ در نمونه با استفاده از روش اول حل می شود.
در نظر بگیریم نمونه های مشابهبا کسری
مثال 6
مشتق یک تابع را پیدا کنید 
چندین راه وجود دارد که می توانید به اینجا بروید:
یا مثل این:
اما اگر ابتدا از قانون تمایز ضریب استفاده کنیم، راه حل فشرده تر نوشته می شود 
، در نظر گرفتن کل صورتگر:
در اصل مثال حل می شود و اگر به حال خود رها شود خطا نخواهد بود. اما اگر وقت دارید، همیشه توصیه می‌شود پیش‌نویس را بررسی کنید تا ببینید آیا می‌توان پاسخ را ساده کرد؟
بیایید بیان عدد را به یک مخرج مشترک کاهش دهیم و از ساختار سه طبقه کسری خلاص شویم.:
عیب ساده‌سازی‌های اضافی این است که نه در هنگام یافتن مشتق، بلکه در طول تحولات پیش پا افتاده مدرسه، خطر خطا وجود دارد. از سوی دیگر، معلمان اغلب تکلیف را رد می‌کنند و می‌خواهند مشتق را «به ذهن بیاورند».
یک مثال ساده تر برای حل به تنهایی:
مثال 7
مشتق یک تابع را پیدا کنید
ما به تسلط بر روش های یافتن مشتق ادامه می دهیم و اکنون یک مورد معمولی را در نظر می گیریم که لگاریتم "وحشتناک" برای تمایز پیشنهاد شود.
که بر روی آن ساده ترین مشتقات را بررسی کردیم و همچنین با قوانین تمایز و برخی تکنیک های فنی برای یافتن مشتقات آشنا شدیم. بنابراین، اگر با مشتقات توابع خیلی خوب نیستید یا برخی از نکات این مقاله کاملاً واضح نیستند، ابتدا درس بالا را بخوانید. لطفاً حال و هوای جدی داشته باشید - مطالب ساده نیست، اما من همچنان سعی می کنم آن را ساده و واضح ارائه دهم.
در عمل، شما باید اغلب با مشتق یک تابع پیچیده سر و کار داشته باشید، حتی می توانم بگویم، تقریباً همیشه، زمانی که به شما وظایفی برای یافتن مشتقات داده می شود.
ما به جدول در قانون (شماره 5) برای تمایز یک تابع پیچیده نگاه می کنیم:
بیایید آن را بفهمیم. اول از همه به مدخل توجه کنیم. در اینجا ما دو تابع داریم - و، و تابع، به بیان مجازی، درون تابع تودرتو است. تابعی از این نوع (زمانی که یک تابع درون دیگری تودرتو باشد) تابع پیچیده نامیده می شود.
من تابع را فراخوانی خواهم کرد عملکرد خارجی، و عملکرد - عملکرد داخلی (یا تو در تو)..
! این تعاریف نظری نیستند و نباید در طراحی نهایی تکالیف ظاهر شوند. من از عبارات غیررسمی "عملکرد خارجی"، "عملکرد داخلی" استفاده می کنم تا درک مطالب را برای شما آسان تر کنم.
برای روشن شدن وضعیت، در نظر بگیرید:
مثال 1
مشتق یک تابع را پیدا کنید
در زیر سینوس ما نه فقط حرف "X"، بلکه یک عبارت کامل داریم، بنابراین یافتن مشتق بلافاصله از جدول کار نخواهد کرد. همچنین متوجه می شویم که اعمال چهار قانون اول در اینجا غیرممکن است، به نظر می رسد تفاوت وجود دارد، اما واقعیت این است که سینوس را نمی توان "تکه تکه کرد":
در این مثال، از توضیحات من به طور شهودی مشخص است که یک تابع یک تابع پیچیده است، و چند جمله ای یک تابع داخلی (جاسازی) و یک تابع خارجی است.
گام اولکاری که هنگام یافتن مشتق یک تابع مختلط باید انجام دهید این است که درک کنید که کدام تابع داخلی و کدام خارجی است.
چه زمانی مثال های سادهبه نظر واضح است که یک چند جمله ای زیر سینوس جاسازی شده است. اما اگر همه چیز واضح نباشد چه؟ چگونه می توان به طور دقیق تشخیص داد که کدام تابع خارجی و کدام داخلی است؟ برای این کار استفاده از تکنیک زیر را پیشنهاد می کنم که به صورت ذهنی یا پیش نویس انجام می شود.
بیایید تصور کنیم که باید مقدار عبارت at را در یک ماشین حساب محاسبه کنیم (به جای یک، هر عددی می تواند وجود داشته باشد).
ابتدا چه چیزی را محاسبه خواهیم کرد؟ اول از همهشما باید عمل زیر را انجام دهید: بنابراین چند جمله ای یک تابع داخلی خواهد بود: 
دوماباید پیدا شود، بنابراین سینوس - یک تابع خارجی خواهد بود: 
بعد از ما فروخته شدهبا توابع داخلی و خارجی، زمان اعمال قانون تمایز توابع پیچیده است 
.
بیایید شروع به تصمیم گیری کنیم. از درس چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ما به یاد می آوریم که طراحی راه حل برای هر مشتق همیشه به این صورت شروع می شود - عبارت را در پرانتز قرار می دهیم و یک ضربه را در بالا سمت راست قرار می دهیم:
در ابتدامشتق تابع خارجی (سینوس) را پیدا می کنیم، به جدول مشتقات توابع ابتدایی نگاه می کنیم و متوجه می شویم که . تمام فرمول های جدول نیز در صورتی قابل اجرا هستند که "x" با یک عبارت پیچیده جایگزین شود، در این مورد:
توجه داشته باشید که عملکرد داخلی تغییر نکرده است، ما آن را لمس نمی کنیم.
خب این کاملا واضحه
نتیجه اعمال فرمول 
در شکل نهایی آن به این صورت است:
عامل ثابت معمولاً در ابتدای عبارت قرار می گیرد:
در صورت وجود هرگونه سوء تفاهم، راه حل را روی کاغذ بنویسید و توضیحات را دوباره بخوانید.
مثال 2
مشتق یک تابع را پیدا کنید
مثال 3
مشتق یک تابع را پیدا کنید
مثل همیشه می نویسیم: 
بیایید بفهمیم که کجا یک عملکرد خارجی داریم و کجا یک عملکرد داخلی. برای انجام این کار، سعی می کنیم (به صورت ذهنی یا به صورت پیش نویس) مقدار عبارت را در محاسبه کنیم. اول باید چی کار کنید؟ اول از همه، شما باید محاسبه کنید که پایه برابر است: بنابراین، چند جمله ای تابع داخلی است: 
و تنها پس از آن قدرت انجام می شود، بنابراین، تابع توان یک تابع خارجی است: 
طبق فرمول 
، ابتدا باید مشتق تابع خارجی، در این مورد، درجه را پیدا کنید. فرمول مورد نیاز را در جدول جستجو می کنیم: . باز هم تکرار می کنیم: هر فرمول جدولی نه تنها برای "X"، بلکه برای یک عبارت پیچیده نیز معتبر است. بنابراین، نتیجه اعمال قانون برای افتراق یک تابع پیچیده است 
بعد:
باز هم تاکید می کنم که وقتی مشتق تابع خارجی را می گیریم، تابع درونی ما تغییر نمی کند: 
اکنون تنها چیزی که باقی می ماند این است که یک مشتق بسیار ساده از تابع داخلی پیدا کنید و نتیجه را کمی تغییر دهید:
مثال 4
مشتق یک تابع را پیدا کنید
این مثالی است که خودتان می توانید آن را حل کنید (پاسخ در انتهای درس).
برای تثبیت درک شما از مشتق یک تابع پیچیده، بدون نظر مثالی می زنم، سعی کنید خودتان آن را بفهمید، دلیل اینکه تابع خارجی و داخلی کجاست، چرا کارها به این شکل حل می شوند؟
مثال 5
الف) مشتق تابع را بیابید
ب) مشتق تابع را بیابید
مثال 6
مشتق یک تابع را پیدا کنید 
در اینجا ما یک ریشه داریم و برای اینکه ریشه را متمایز کنیم باید به عنوان یک قدرت نشان داده شود. بنابراین، ابتدا تابع را به شکل مناسب برای تمایز می آوریم:
با تجزیه و تحلیل تابع به این نتیجه می رسیم که مجموع سه جمله تابع درونی است و افزایش به توان یک تابع بیرونی است. ما قانون تمایز توابع پیچیده را اعمال می کنیم 
:
ما دوباره درجه را به عنوان یک رادیکال (ریشه) نشان می دهیم، و برای مشتق تابع داخلی، یک قانون ساده برای متمایز کردن مجموع اعمال می کنیم:
آماده. همچنین می توانید عبارت را به یک مخرج مشترک در پرانتز کاهش دهید و همه چیز را به عنوان یک کسر بنویسید. البته زیباست، اما وقتی مشتقات طولانی دست و پا گیر به دست می آورید، بهتر است این کار را انجام ندهید (گیج شدن، اشتباه غیر ضروری آسان است و بررسی آن برای معلم ناخوشایند خواهد بود).
مثال 7
مشتق یک تابع را پیدا کنید
این مثالی است که خودتان می توانید آن را حل کنید (پاسخ در انتهای درس).
جالب است بدانید که گاهی به جای قانون افتراق یک تابع مختلط، می توانید از قانون افتراق یک ضریب استفاده کنید. 
، اما چنین راه حلی مانند یک انحراف غیرمعمول به نظر می رسد. در اینجا یک مثال معمولی است:
مثال 8
مشتق یک تابع را پیدا کنید
در اینجا می توانید از قانون تمایز ضریب استفاده کنید 
، اما یافتن مشتق از طریق قاعده تمایز یک تابع پیچیده بسیار سودآورتر است:
ما تابع را برای تمایز آماده می کنیم - منهای را از علامت مشتق خارج می کنیم و کسینوس را به صورت شمارش می کنیم:
کسینوس یک تابع درونی است، توان یک تابع خارجی است.
بیایید از قانون خود استفاده کنیم 
:
مشتق تابع داخلی را پیدا می کنیم و کسینوس را به پایین تنظیم می کنیم:
آماده. در مثال در نظر گرفته شده، مهم است که در علائم گیج نشوید. به هر حال، سعی کنید آن را با استفاده از قانون حل کنید 
، پاسخ ها باید مطابقت داشته باشند.
مثال 9
مشتق یک تابع را پیدا کنید
این مثالی است که خودتان می توانید آن را حل کنید (پاسخ در انتهای درس).
تاکنون مواردی را بررسی کرده‌ایم که تنها یک تودرتو در یک تابع پیچیده داشتیم. در کارهای عملی، شما اغلب می توانید مشتقاتی را پیدا کنید، جایی که، مانند عروسک های تودرتو، یکی در داخل دیگری، 3 یا حتی 4-5 تابع به طور همزمان تودرتو هستند.
مثال 10
مشتق یک تابع را پیدا کنید
بیایید پیوست های این تابع را درک کنیم. بیایید سعی کنیم عبارت را با استفاده از مقدار تجربی محاسبه کنیم. چگونه روی یک ماشین حساب حساب کنیم؟
ابتدا باید پیدا کنید، به این معنی که آرکسین عمیق ترین جاسازی است:
سپس این آرکسین یک باید مجذور شود:
و در نهایت، ما هفت را به توان بالا می بریم: 
یعنی در این مثال ما سه تابع مختلف و دو تعبیه داریم، در حالی که داخلی ترین تابع آرکسین و بیرونی ترین تابع تابع نمایی است.
بیایید تصمیم گیری را شروع کنیم
طبق قاعده 
ابتدا باید مشتق تابع بیرونی را بگیرید. ما به جدول مشتقات نگاه می کنیم و مشتق را پیدا می کنیم تابع نمایی: تنها تفاوت این است که به جای "x" یک عبارت پیچیده داریم که اعتبار این فرمول را نفی نمی کند. بنابراین، نتیجه اعمال قانون تمایز یک تابع پیچیده است 
بعد.
مشتق تابع مختلط نمونه هایی از راه حل ها
در این درس یاد خواهیم گرفت که چگونه پیدا کنیم مشتق یک تابع پیچیده. درس ادامه منطقی درس است چگونه مشتق را پیدا کنیم؟، که در آن ساده ترین مشتقات را مورد بررسی قرار دادیم و همچنین با قوانین تمایز و برخی تکنیک های فنی برای یافتن مشتقات آشنا شدیم. بنابراین، اگر با مشتقات توابع خیلی خوب نیستید یا برخی از نکات این مقاله کاملاً واضح نیستند، ابتدا درس بالا را بخوانید. لطفاً حال و هوای جدی داشته باشید - مطالب ساده نیست، اما من همچنان سعی می کنم آن را ساده و واضح ارائه دهم.
در عمل، شما باید اغلب با مشتق یک تابع پیچیده سر و کار داشته باشید، حتی می توانم بگویم، تقریباً همیشه، زمانی که به شما وظایفی برای یافتن مشتقات داده می شود.
ما به جدول در قانون (شماره 5) برای تمایز یک تابع پیچیده نگاه می کنیم:
بیایید آن را بفهمیم. اول از همه به مدخل توجه کنیم. در اینجا ما دو تابع داریم - و، و تابع، به بیان مجازی، درون تابع تودرتو است. تابعی از این نوع (زمانی که یک تابع درون دیگری تودرتو باشد) تابع پیچیده نامیده می شود.
من تابع را فراخوانی خواهم کرد عملکرد خارجی، و عملکرد - عملکرد داخلی (یا تو در تو)..
! این تعاریف نظری نیستند و نباید در طراحی نهایی تکالیف ظاهر شوند. من از عبارات غیررسمی "عملکرد خارجی"، "عملکرد داخلی" استفاده می کنم تا درک مطالب را برای شما آسان تر کنم.
برای روشن شدن وضعیت، در نظر بگیرید:
مثال 1
مشتق یک تابع را پیدا کنید
در زیر سینوس ما نه فقط حرف "X"، بلکه یک عبارت کامل داریم، بنابراین یافتن مشتق بلافاصله از جدول کار نخواهد کرد. همچنین متوجه می شویم که اعمال چهار قانون اول در اینجا غیرممکن است، به نظر می رسد تفاوت وجود دارد، اما واقعیت این است که سینوس را نمی توان "تکه تکه کرد":
در این مثال، از توضیحات من به طور شهودی مشخص است که یک تابع یک تابع پیچیده است، و چند جمله ای یک تابع داخلی (جاسازی) و یک تابع خارجی است.
گام اولکاری که هنگام یافتن مشتق یک تابع مختلط باید انجام دهید این است که درک کنید که کدام تابع داخلی و کدام خارجی است.
در مورد مثال های ساده، به نظر واضح است که یک چند جمله ای زیر سینوس تعبیه شده است. اما اگر همه چیز واضح نباشد چه؟ چگونه می توان به طور دقیق تشخیص داد که کدام تابع خارجی و کدام داخلی است؟ برای این کار استفاده از تکنیک زیر را پیشنهاد می کنم که به صورت ذهنی یا پیش نویس انجام می شود.
بیایید تصور کنیم که باید مقدار عبارت at را در یک ماشین حساب محاسبه کنیم (به جای یک، هر عددی می تواند وجود داشته باشد).
ابتدا چه چیزی را محاسبه خواهیم کرد؟ اول از همهشما باید عمل زیر را انجام دهید: بنابراین چند جمله ای یک تابع داخلی خواهد بود: 
دوماباید پیدا شود، بنابراین سینوس - یک تابع خارجی خواهد بود: 
بعد از ما فروخته شدهبا توابع داخلی و خارجی، زمان اعمال قانون تمایز توابع پیچیده است.
بیایید شروع به تصمیم گیری کنیم. از کلاس چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ما به یاد می آوریم که طراحی راه حل برای هر مشتق همیشه به این صورت شروع می شود - عبارت را در پرانتز قرار می دهیم و یک ضربه را در بالا سمت راست قرار می دهیم:
در ابتدامشتق تابع خارجی (سینوس) را پیدا می کنیم، به جدول مشتقات توابع ابتدایی نگاه می کنیم و متوجه می شویم که . تمام فرمول های جدول نیز در صورتی قابل اجرا هستند که "x" با یک عبارت پیچیده جایگزین شود، در این مورد:
لطفا توجه داشته باشید که عملکرد داخلی تغییر نکرده است، ما آن را لمس نمی کنیم.
خب این کاملا واضحه
نتیجه نهایی اعمال فرمول به صورت زیر است:
عامل ثابت معمولاً در ابتدای عبارت قرار می گیرد:
در صورت وجود هرگونه سوء تفاهم، راه حل را روی کاغذ بنویسید و توضیحات را دوباره بخوانید.
مثال 2
مشتق یک تابع را پیدا کنید
مثال 3
مشتق یک تابع را پیدا کنید
مثل همیشه می نویسیم: 
بیایید بفهمیم که کجا یک عملکرد خارجی داریم و کجا یک عملکرد داخلی. برای انجام این کار، سعی می کنیم (به صورت ذهنی یا به صورت پیش نویس) مقدار عبارت را در محاسبه کنیم. اول باید چی کار کنید؟ اول از همه، شما باید محاسبه کنید که پایه برابر است: بنابراین، چند جمله ای تابع داخلی است: 
و تنها در این صورت است که توان انجام می شود، بنابراین، تابع توان یک تابع خارجی است: 
طبق فرمول، ابتدا باید مشتق تابع خارجی، در این مورد، درجه را پیدا کنید. فرمول مورد نیاز را در جدول جستجو می کنیم: . باز هم تکرار می کنیم: هر فرمول جدولی نه تنها برای "X"، بلکه برای یک عبارت پیچیده نیز معتبر است. بنابراین، نتیجه اعمال قانون برای افتراق یک تابع پیچیده به شرح زیر است:
باز هم تاکید می کنم که وقتی مشتق تابع خارجی را می گیریم، تابع درونی ما تغییر نمی کند: 
اکنون تنها چیزی که باقی می ماند این است که یک مشتق بسیار ساده از تابع داخلی پیدا کنید و نتیجه را کمی تغییر دهید:
مثال 4
مشتق یک تابع را پیدا کنید
این مثالی است که خودتان می توانید آن را حل کنید (پاسخ در انتهای درس).
برای تثبیت درک شما از مشتق یک تابع پیچیده، بدون نظر مثالی می زنم، سعی کنید خودتان آن را بفهمید، دلیل اینکه تابع خارجی و داخلی کجاست، چرا کارها به این شکل حل می شوند؟
مثال 5
الف) مشتق تابع را بیابید
ب) مشتق تابع را بیابید
مثال 6
مشتق یک تابع را پیدا کنید 
در اینجا ما یک ریشه داریم و برای اینکه ریشه را متمایز کنیم باید به عنوان یک قدرت نشان داده شود. بنابراین، ابتدا تابع را به شکل مناسب برای تمایز می آوریم:
با تجزیه و تحلیل تابع به این نتیجه می رسیم که مجموع سه جمله تابع درونی است و افزایش به توان یک تابع بیرونی است. ما قانون تمایز توابع پیچیده را اعمال می کنیم:
ما دوباره درجه را به عنوان یک رادیکال (ریشه) نشان می دهیم، و برای مشتق تابع داخلی، یک قانون ساده برای متمایز کردن مجموع اعمال می کنیم:
آماده. همچنین می توانید عبارت را به یک مخرج مشترک در پرانتز کاهش دهید و همه چیز را به عنوان یک کسر بنویسید. البته زیباست، اما وقتی مشتقات طولانی دست و پا گیر به دست می آورید، بهتر است این کار را انجام ندهید (گیج شدن، اشتباه غیر ضروری آسان است و بررسی آن برای معلم ناخوشایند خواهد بود).
مثال 7
مشتق یک تابع را پیدا کنید
این مثالی است که خودتان می توانید آن را حل کنید (پاسخ در انتهای درس).
جالب است بدانید که گاهی به جای قانون افتراق یک تابع مختلط، می توانید از قانون افتراق یک ضریب استفاده کنید. 
، اما چنین راه حلی مانند یک انحراف خنده دار به نظر می رسد. در اینجا یک مثال معمولی است:
مثال 8
مشتق یک تابع را پیدا کنید
در اینجا می توانید از قانون تمایز ضریب استفاده کنید ، اما یافتن مشتق از طریق قاعده تمایز یک تابع پیچیده بسیار سودآورتر است:
ما تابع را برای تمایز آماده می کنیم - منهای را از علامت مشتق خارج می کنیم و کسینوس را به صورت شمارش می کنیم:
کسینوس یک تابع درونی است، توان یک تابع خارجی است.
بیایید از قانون خود استفاده کنیم:
مشتق تابع داخلی را پیدا می کنیم و کسینوس را به پایین تنظیم می کنیم:
آماده. در مثال در نظر گرفته شده، مهم است که در علائم گیج نشوید. به هر حال، سعی کنید آن را با استفاده از قانون حل کنید ، پاسخ ها باید مطابقت داشته باشند.
مثال 9
مشتق یک تابع را پیدا کنید
این مثالی است که خودتان می توانید آن را حل کنید (پاسخ در انتهای درس).
تاکنون مواردی را بررسی کرده‌ایم که تنها یک تودرتو در یک تابع پیچیده داشتیم. در کارهای عملی، شما اغلب می توانید مشتقاتی را پیدا کنید، جایی که، مانند عروسک های تودرتو، یکی در داخل دیگری، 3 یا حتی 4-5 تابع به طور همزمان تودرتو هستند.
مثال 10
مشتق یک تابع را پیدا کنید
بیایید پیوست های این تابع را درک کنیم. بیایید سعی کنیم عبارت را با استفاده از مقدار تجربی محاسبه کنیم. چگونه روی یک ماشین حساب حساب کنیم؟
ابتدا باید پیدا کنید، به این معنی که آرکسین عمیق ترین جاسازی است:
سپس این آرکسین یک باید مجذور شود:
و در نهایت، ما هفت را به توان بالا می بریم: 
یعنی در این مثال ما سه تابع مختلف و دو تعبیه داریم، در حالی که داخلی ترین تابع آرکسین و بیرونی ترین تابع تابع نمایی است.
بیایید تصمیم گیری را شروع کنیم
طبق قانون، ابتدا باید مشتق تابع خارجی را بگیرید. ما به جدول مشتقات نگاه می کنیم و مشتق تابع نمایی را می یابیم: تنها تفاوت این است که به جای "x" یک عبارت پیچیده داریم که اعتبار این فرمول را نفی نمی کند. بنابراین، نتیجه اعمال قانون برای افتراق یک تابع پیچیده به شرح زیر است:
تحت سکته مغزی دوباره یک تابع پیچیده داریم! اما در حال حاضر ساده تر است. به راحتی می توان تأیید کرد که تابع داخلی آرکسین است، تابع بیرونی درجه است. طبق قانون تمایز یک تابع پیچیده، ابتدا باید مشتق توان را بگیرید.
تعریف.اجازه دهید تابع \(y = f(x)\) در یک بازه معین حاوی نقطه \(x_0\) تعریف شود. بیایید به آرگومان یک افزایش \(\Delta x\) بدهیم به طوری که از این بازه خارج نشود. بیایید افزایش مربوط به تابع \(\Delta y \) (هنگام حرکت از نقطه \(x_0 \) به نقطه \(x_0 + \Delta x\)) را پیدا کرده و رابطه \(\frac(\Delta) را بسازیم. y) (\ دلتا x) \). اگر محدودیتی برای این نسبت در \(\Delta x \rightarrow 0\ وجود داشته باشد، آنگاه حد مشخص شده فراخوانی می شود. مشتق از یک تابع\(y=f(x) \) در نقطه \(x_0 \) و نشان دهنده \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
نماد y اغلب برای نشان دادن مشتق استفاده می شود. توجه داشته باشید که y" = f(x) یک تابع جدید است، اما به طور طبیعی مربوط به تابع y = f(x) است که در تمام نقاط x تعریف شده است که در آن حد بالا وجود دارد. این تابع به این صورت نامیده می شود: مشتق تابع y = f(x).
معنای هندسی مشتقبه شرح زیر است. اگر بتوان یک مماس بر نمودار تابع y = f(x) در نقطه ای با ابسیسا x=a رسم کرد که با محور y موازی نیست، آنگاه f(a) شیب مماس را بیان می کند. :
\(k = f"(a)\)
از آنجایی که \(k = tg(a) \)، پس برابری \(f"(a) = tan(a) \) صادق است.
حال بیایید تعریف مشتق را از دیدگاه برابری های تقریبی تفسیر کنیم. اجازه دهید تابع \(y = f(x)\) در یک نقطه خاص \(x\) مشتق داشته باشد:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
این بدان معنی است که در نزدیکی نقطه x برابری تقریبی \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\)، یعنی \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ دلتا x\). معنای معنی دار برابری تقریبی حاصل به شرح زیر است: افزایش تابع "تقریباً متناسب" با افزایش استدلال است و ضریب تناسب مقدار مشتق در یک نقطه معین x است. برای مثال، برای تابع \(y = x^2\) برابری تقریبی \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x\) معتبر است. اگر تعریف مشتق را به دقت تحلیل کنیم، متوجه خواهیم شد که حاوی الگوریتمی برای یافتن آن است.
فرمول بندیش کنیم
چگونه مشتق تابع y = f(x) را پیدا کنیم؟
1. مقدار \(x\) را ثابت کنید، \(f(x)\) را پیدا کنید
2. به آرگومان \(x\) یک افزایش \(\Delta x\ بدهید، به یک نقطه جدید بروید \(x+ \Delta x\)، پیدا کنید \(f(x+ \Delta x) \)
3. افزایش تابع را پیدا کنید: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. رابطه \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) ایجاد کنید
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ را محاسبه کنید
این حد مشتق تابع در نقطه x است.
اگر تابع y = f(x) در نقطه x مشتق داشته باشد، در نقطه x آن را متمایز می نامند. روش یافتن مشتق تابع y = f(x) نامیده می شود تفکیکتوابع y = f(x).
اجازه دهید در مورد سوال زیر بحث کنیم: تداوم و تمایز یک تابع در یک نقطه چگونه با یکدیگر مرتبط هستند؟
اجازه دهید تابع y = f(x) در نقطه x قابل تفکیک باشد. سپس یک مماس را می توان به نمودار تابع در نقطه M(x; f(x) رسم کرد، و به یاد بیاورید که ضریب زاویه ای مماس برابر با f "(x) است. چنین نموداری نمی تواند "شکن" کند. در نقطه M، یعنی تابع باید در نقطه x پیوسته باشد.
اینها استدلال های "دستی" بود. اجازه دهید استدلال دقیق تری ارائه دهیم. اگر تابع y = f(x) در نقطه x قابل تمایز باشد، برابری تقریبی \(\Delta y \تقریبا f"(x) \cdot \Delta x\) برقرار است. اگر در این برابری \(\Delta x \) به سمت صفر میل می کند، سپس \(\Delta y\) به سمت صفر میل می کند و این شرط تداوم تابع در یک نقطه است.
بنابراین، اگر تابعی در نقطه x قابل تمایز باشد، در آن نقطه پیوسته است.
جمله معکوس درست نیست. به عنوان مثال: تابع y = |x| در همه جا پیوسته است، به ویژه در نقطه x = 0، اما مماس بر نمودار تابع در "نقطه اتصال" (0؛ 0) وجود ندارد. اگر در نقطه ای مماس را نتوان روی نمودار یک تابع رسم کرد، آنگاه مشتق در آن نقطه وجود ندارد.
یک مثال دیگر تابع \(y=\sqrt(x)\) در کل خط عددی، از جمله در نقطه x = 0، پیوسته است. و مماس بر نمودار تابع در هر نقطه وجود دارد، از جمله در نقطه x = 0 اما در این نقطه مماس با محور y منطبق است، یعنی بر محور آبسیسا عمود است، معادله آن به شکل x = 0 است. ضریب شیبچنین خطی وجود ندارد، به این معنی که \(f"(0) \) نیز وجود ندارد
بنابراین، ما با ویژگی جدیدی از یک تابع - تفاوت پذیری آشنا شدیم. چگونه می توان از نمودار یک تابع نتیجه گرفت که قابل تمایز است؟
پاسخ در واقع در بالا داده شده است. اگر در نقطه ای بتوان بر نمودار تابعی که عمود بر محور آبسیسا نیست مماس رسم کرد، در این نقطه تابع قابل تمایز است. اگر در نقطه ای مماس بر نمودار یک تابع وجود نداشته باشد یا بر محور آبسیسا عمود باشد، در این نقطه تابع قابل تمایز نیست.
قوانین تمایز
عملیات یافتن مشتق نامیده می شود تفکیک. هنگام انجام این عملیات، اغلب باید با ضریب، مجموع، حاصلضرب توابع و همچنین "توابع توابع" یعنی توابع پیچیده کار کنید. بر اساس تعریف مشتق، می توانیم قوانین تمایز را استخراج کنیم که این کار را آسان تر می کند. اگر C یک عدد ثابت است و f=f(x)، g=g(x) برخی از توابع قابل تمایز هستند، آنگاه موارد زیر درست هستند. قوانین تمایز:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$