نحوه حل معادلات لگاریتمی معادلات و نابرابری ها مشکلات با پایه متغیر

جبر یازدهم

موضوع: روش های حل معادلات لگاریتمی

اهداف درس:

آموزشی: شکل گیری دانش در مورد به روش های مختلفحل معادلات لگاریتمی، توانایی اعمال آنها در هر موقعیت خاص و انتخاب هر روشی برای حل.

توسعه: توسعه مهارت های مشاهده، مقایسه، به کارگیری دانش در موقعیت جدید، شناسایی الگوها، تعمیم. توسعه مهارت های کنترل متقابل و خودکنترلی؛

آموزشی: پرورش نگرش مسئولانه نسبت به کار آموزشی، درک دقیق مطالب در درس و یادداشت برداری دقیق.

نوع درس: درس معرفی مطالب جدید.

اختراع لگاریتم، در عین حال که کار منجم را کاهش داد، عمر او را افزایش داد.
ریاضیدان و ستاره شناس فرانسوی P.S. لاپلاس

در طول کلاس ها

I. تعیین هدف درس

بررسی تعریف لگاریتم، خواص لگاریتم و تابع لگاریتمیبه ما اجازه می دهد تا معادلات لگاریتمی را حل کنیم. تمام معادلات لگاریتمی، مهم نیست که چقدر پیچیده باشند، با استفاده از الگوریتم های یکنواخت حل می شوند. در درس امروز به بررسی این الگوریتم ها خواهیم پرداخت. تعداد آنها زیاد نیست. اگر به آنها تسلط داشته باشید، هر معادله ای با لگاریتم برای هر یک از شما امکان پذیر خواهد بود.

موضوع درس را در دفتر خود یادداشت کنید: "روش حل معادلات لگاریتمی". از همه دعوت به همکاری میکنم

II. به روز رسانی دانش مرجع

بیایید برای مطالعه موضوع درس آماده شویم. شما هر کار را حل می کنید و پاسخ را یادداشت می کنید؛ لازم نیست شرط را بنویسید. دوتایی کار کنید.

1) تابع برای چه مقادیری از x معنی دارد:

(پاسخ ها برای هر اسلاید بررسی می شوند و خطاها مرتب می شوند)

2) آیا نمودارهای توابع منطبق هستند؟

3) تساوی ها را به صورت تساوی لگاریتمی بازنویسی کنید:

4) اعداد را به صورت لگاریتمی با پایه 2 بنویسید:

5) محاسبه کنید:

6) سعی کنید عناصر گمشده در این برابری ها را بازیابی یا تکمیل کنید.

III. مقدمه ای بر مواد جدید

عبارت زیر روی صفحه نمایش داده می شود:

"معادله کلید طلایی است که تمام کنجدهای ریاضی را باز می کند."
S. Kowal ریاضیدان مدرن لهستانی

سعی کنید تعریف یک معادله لگاریتمی را فرموله کنید. (معادله ای حاوی یک مجهول در زیر علامت لگاریتم).

در نظر بگیریم ساده ترین معادله لگاریتمی:ورود به سیستمآx = b(که a>0، a ≠ 1). از آنجایی که تابع لگاریتمی بر روی مجموعه اعداد مثبت افزایش (یا کاهش می‌یابد) و تمام مقادیر واقعی را می‌گیرد، پس از قضیه ریشه نتیجه می‌شود که برای هر b این معادله فقط یک جواب و یک مثبت دارد.

تعریف لگاریتم را به خاطر بسپارید. (لگاریتم یک عدد x به پایه a نشانگر توانی است که برای بدست آوردن عدد x باید پایه a را به آن برد). از تعریف لگاریتم فوراً نتیجه می شود که آVچنین راه حلی است

عنوان را بنویسید: روش های حل معادلات لگاریتمی

1. با تعریف لگاریتم.

به این ترتیب ساده ترین معادلات فرم حل می شود.

در نظر بگیریم شماره 514 (a)): معادله را حل کنید

چگونه پیشنهاد می کنید آن را حل کنید؟ (با تعریف لگاریتم)

راه حل. ، بنابراین 2x - 4 = 4; x = 4.

در این کار، 2x - 4 > 0، زیرا > 0، بنابراین هیچ ریشه اضافی نمی تواند ظاهر شود و نیازی به بررسی نیست. شرط 2x - 4 > 0 نیازی به نوشتن در این کار نیست.

2. توانمندسازی(انتقال از لگاریتم یک عبارت داده شده به خود این عبارت).

در نظر بگیریم شماره 519 (g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

به چه ویژگی توجه کردید؟ (پایه ها یکسان و لگاریتم دو عبارت برابرند.) چه کاری می توان انجام داد؟ (تقویت کردن).

باید در نظر گرفت که هر راه حلی در بین تمام x ها وجود دارد که عبارات لگاریتمی آن مثبت است.

راه حل: ODZ:

X2+8>0 یک نابرابری غیر ضروری است

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

بیایید معادله اصلی را تقویت کنیم

معادله x2+8= 8x+8 را بدست می آوریم

بیایید آن را حل کنیم: x2-8x=0

پاسخ: 0; 8

که در نمای کلی انتقال به یک سیستم معادل:

معادله

(سیستم شامل یک شرط اضافی است - یکی از نابرابری ها لازم نیست در نظر گرفته شود).

سوال برای کلاس: کدام یک از این سه راه حل را بیشتر دوست داشتید؟ (بحث روش ها).

شما حق دارید به هر نحوی تصمیم بگیرید.

3. معرفی یک متغیر جدید.

در نظر بگیریم شماره 520 (g). .

چه چیزی را متوجه شدید؟ (این معادله درجه دومدر مورد log3x) پیشنهادات شما؟ (یک متغیر جدید معرفی کنید)

راه حل. ODZ: x > 0.

اجازه دهید، سپس معادله به شکل:. ممیز D > 0. ریشه ها طبق قضیه ویتا:.

بیایید به جایگزینی برگردیم: یا.

با حل ساده ترین معادلات لگاریتمی، به دست می آوریم:

پاسخ: 27;

4. دو طرف معادله را لگاریتم کنید.

معادله را حل کنید:

راه حل: ODZ: x>0، لگاریتم هر دو طرف معادله را در مبنای 10 بگیرید:

بیایید خاصیت لگاریتم یک توان را اعمال کنیم:

(logx + 3) logx = 4

اجازه دهید logx = y، سپس (y + 3)y = 4

، (D > 0) ریشه ها طبق قضیه ویتا: y1 = -4 و y2 = 1.

بیایید به جایگزینی برگردیم، دریافت می کنیم: lgx = -4,; lgx = 1، .

پاسخ: 0.0001; 10.

5. کاهش به یک پایه.

شماره 523 (ج). معادله را حل کنید:

راه حل: ODZ: x>0. بیایید به پایه 3 برویم.

6. روش کارکردی- گرافیکی.

№ 509 (د).معادله را به صورت گرافیکی حل کنید: = 3 - x.

چگونه پیشنهاد حل می کنید؟ (گراف دو تابع y = log2x و y = 3 - x را با استفاده از نقاط بسازید و به دنبال آبسیسا نقاط تقاطع نمودارها بگردید).

به راه حل خود در اسلاید نگاه کنید.

راهی برای جلوگیری از ایجاد نمودار وجود دارد . به شرح زیر می باشد : اگر یکی از توابع y = f(x) افزایش می یابد و دیگری y = g(x) در بازه X و سپس معادله کاهش می یابد f(x)= g(x) حداکثر یک ریشه در بازه X دارد.

اگر ریشه ای وجود داشته باشد، می توان حدس زد.

در مورد ما، تابع برای x>0 افزایش می یابد و تابع y = 3 - x برای تمام مقادیر x کاهش می یابد، از جمله برای x>0، به این معنی که معادله بیش از یک ریشه ندارد. توجه داشته باشید که در x = 2 معادله به یک برابری واقعی تبدیل می شود، زیرا .

« استفاده صحیحروش ها قابل یادگیری است
فقط با به کار بردن آنها در نمونه های مختلف.»
مورخ دانمارکی ریاضیات G. G. Zeiten

منV. مشق شب

ص 39 مثال 3 را در نظر بگیرید، شماره 514 (ب)، شماره 529 (ب)، شماره 520 (ب)، شماره 523 (ب) را حل کنید.

V. جمع بندی درس

چه روش هایی برای حل معادلات لگاریتمی در کلاس بررسی کردیم؟

در درس های بعدی به بررسی بیشتر خواهیم پرداخت معادلات پیچیده. برای حل آنها، روش های مورد مطالعه مفید خواهد بود.

آخرین اسلاید نشان داده شده:

«چه چیزی بیش از هر چیزی در جهان است؟
فضا.
عاقلانه ترین کار چیست؟
زمان.
بهترین قسمت چیست؟
به آنچه می خواهید برسید."
تالس

آرزو می کنم همه به آنچه می خواهند برسند. از همکاری و درک متقابل شما متشکریم.

معادلات لگاریتمی از ساده به پیچیده.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

معادله لگاریتمی چیست؟

این یک معادله با لگاریتم است. تعجب کردم، درست است؟) سپس توضیح خواهم داد. این معادله ای است که مجهولات (x) و عبارات با آنها پیدا می شود داخل لگاریتم هاو فقط آنجا! مهم است.

در اینجا چند نمونه آورده شده است معادلات لگاریتمی:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg (x+1)

خوب فهمیدی... )

توجه داشته باشید! متنوع ترین عبارات با X قرار دارند منحصراً در لگاریتماگر به طور ناگهانی یک X در جایی از معادله ظاهر شود خارج از، مثلا:

log 2 x = 3+x,

این یک معادله خواهد بود نوع مختلط. چنین معادلاتی قوانین روشنی برای حل آنها ندارند. فعلا آنها را در نظر نخواهیم گرفت. به هر حال، معادلاتی در داخل لگاریتم وجود دارد فقط اعداد. مثلا:

چه می توانم بگویم؟ شما خوش شانس هستید اگر با این روبرو شوید! لگاریتم با اعداد است تعدادی عددهمین. برای حل چنین معادله ای، دانستن خواص لگاریتم ها کافی است. دانش قوانین خاص، تکنیک هایی که به طور خاص برای حل اقتباس شده اند معادلات لگاریتمی،اینجا لازم نیست

بنابراین، معادله لگاریتمی چیست- ما متوجه شدیم

چگونه معادلات لگاریتمی را حل کنیم؟

راه حل معادلات لگاریتمی- موضوع در واقع خیلی ساده نیست. بنابراین بخش ما چهار ... دانش کافی در مورد انواع موضوعات مرتبط مورد نیاز است. علاوه بر این، ویژگی خاصی در این معادلات وجود دارد. و این ویژگی آنقدر مهم است که با خیال راحت می توان آن را مشکل اصلی در حل معادلات لگاریتمی نامید. در درس بعدی به طور مفصل به این مشکل خواهیم پرداخت.

در حال حاضر، نگران نباشید. راه درست را خواهیم رفت از ساده به پیچیدهبر نمونه های خاص. نکته اصلی این است که به چیزهای ساده بپردازید و برای دنبال کردن پیوندها تنبل نباشید، من آنها را به دلیلی در آنجا قرار دادم ... و همه چیز برای شما درست خواهد شد. لزوما.

بیایید با ابتدایی ترین و ساده ترین معادلات شروع کنیم. برای حل آنها، توصیه می شود ایده ای از لگاریتم داشته باشید، اما نه بیشتر. فقط هیچ ایده ای نیست لگاریتم،تصمیم بگیرند لگاریتمیمعادلات - به نوعی حتی ناجور... خیلی جسورانه، من می گویم).

ساده ترین معادلات لگاریتمی

اینها معادلات شکل هستند:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

فرآیند حل هر معادله لگاریتمیعبارت است از انتقال از یک معادله با لگاریتم به یک معادله بدون آنها. در ساده ترین معادلات این انتقال در یک مرحله انجام می شود. به همین دلیل آنها ساده ترین هستند.)

و حل چنین معادلات لگاریتمی به طرز شگفت انگیزی آسان است. خودت ببین.

بیایید مثال اول را حل کنیم:

log 3 x = log 3 9

برای حل این مثال، شما تقریباً نیازی به دانستن چیزی ندارید، بله... کاملاً شهود!) به چه چیزی نیاز داریم بخصوصاین مثال را دوست ندارید؟ چی-چی... لگاریتم رو دوست ندارم! درست. پس بیایید از شر آنها خلاص شویم. ما به دقت به مثال نگاه می کنیم و یک میل طبیعی در ما ایجاد می شود ... کاملاً غیر قابل مقاومت! لگاریتم ها را بردارید و به طور کلی دور بریزید. و آنچه خوب است این است می توانانجام دادن! ریاضیات اجازه می دهد. لگاریتم ها ناپدید می شوندپاسخ این است:

عالیه، درسته؟ این را می توان (و باید) همیشه انجام داد. حذف لگاریتم ها به این روش یکی از راه های اصلی حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها است. در ریاضیات به این عمل می گویند تقویتالبته، قوانینی برای چنین انحلال وجود دارد، اما آنها کم هستند. یاد آوردن:

شما می توانید لگاریتم ها را بدون هیچ ترسی حذف کنید اگر دارای موارد زیر باشند:

الف) پایه های عددی یکسان

ج) لگاریتم ها از چپ به راست خالص هستند (بدون هیچ ضرایبی) و در انزوای عالی قرار دارند.

نکته آخر را روشن کنم. در معادله، بیایید بگوییم

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

لگاریتم ها قابل حذف نیستند. دو طرف سمت راست این اجازه را نمی دهند. ضریب می دانید ... در مثال

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

همچنین تقویت معادله غیرممکن است. هیچ لگاریتمی تنها در سمت چپ وجود ندارد. دو تا از آنها موجود است.

به طور خلاصه، اگر معادله شبیه به این باشد و فقط به این شکل باشد، می توانید لگاریتم ها را حذف کنید:

log a (.....) = log a (.....)

در پرانتز، جایی که بیضی وجود دارد، ممکن است وجود داشته باشد هر عباراتیساده، فوق العاده پیچیده، همه نوع. هر چه. نکته مهم این است که پس از حذف لگاریتم ها باقی می ماند معادله ساده ترالبته فرض بر این است که شما قبلاً می دانید چگونه معادلات خطی، درجه دوم، کسری، نمایی و غیره را بدون لگاریتم حل کنید.)

حالا به راحتی می توانید مثال دوم را حل کنید:

log 7 (2x-3) = log 7 x

در واقع، در ذهن تصمیم گرفته شده است. ما تقویت می کنیم، دریافت می کنیم:

خوب، خیلی سخت است؟) همانطور که می بینید، لگاریتمیبخشی از حل معادله است فقط در حذف لگاریتم ...و سپس جواب معادله باقی مانده بدون آنها می آید. یک موضوع بی اهمیت

بیایید مثال سوم را حل کنیم:

log 7 (50x-1) = 2

می بینیم که یک لگاریتم در سمت چپ وجود دارد:

به یاد داشته باشیم که این لگاریتم عددی است که برای بدست آوردن یک عبارت زیر لگاریتمی، پایه باید به آن افزایش یابد (یعنی هفت). (50x-1).

اما این عدد دو است! با توجه به معادله به این معنا که:

اساساً همین است. لگاریتم ناپدید شد،چیزی که باقی می ماند یک معادله بی ضرر است:

ما این معادله لگاریتمی را فقط بر اساس معنی لگاریتم حل کردیم. آیا حذف لگاریتم ها هنوز آسان تر است؟) موافقم. به هر حال، اگر از دو لگاریتم بسازید، می توانید این مثال را از طریق حذف حل کنید. هر عددی را می توان به لگاریتم تبدیل کرد. علاوه بر این، روشی که ما به آن نیاز داریم. یک تکنیک بسیار مفید در حل معادلات لگاریتمی و (به خصوص!) نابرابری ها.

نمیدانید چگونه از یک عدد لگاریتم بسازید!؟ خوبه. بخش 555 این تکنیک را به تفصیل شرح می دهد. می توانید به آن مسلط شوید و از آن نهایت استفاده را ببرید! تعداد خطاها را تا حد زیادی کاهش می دهد.

معادله چهارم به روشی کاملاً مشابه حل شده است (طبق تعریف):

خودشه.

بیایید این درس را خلاصه کنیم. ما حل ساده ترین معادلات لگاریتمی را با استفاده از مثال بررسی کردیم. این خیلی مهمه. و نه تنها به این دلیل که چنین معادلاتی در آزمون ها و امتحانات ظاهر می شود. واقعیت این است که بدترین و پیچیده ترین معادلات نیز لزوماً به ساده ترین آنها تقلیل می یابد!

در واقع ساده ترین معادلات بخش پایانی راه حل هستند هرمعادلات و این قسمت پایانی را باید به شدت درک کرد! و بیشتر. این صفحه را حتما تا آخر بخوانید. اونجا یه سورپرایز هست...)

حالا خودمون تصمیم میگیریم به اصطلاح بهتر شویم...)

ریشه (یا مجموع ریشه ها، در صورت وجود چند) معادلات را بیابید:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0.5x-1.5) = 0.25

log 0.2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

پاسخ ها (البته به هم ریخته): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2 16.

چه، همه چیز درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. نگران نباش! بخش 555 راه حل همه این مثال ها را به طور واضح و دقیق توضیح می دهد. شما قطعا آن را در آنجا کشف خواهید کرد. همچنین تکنیک های کاربردی مفیدی را یاد خواهید گرفت.

همه چیز درست شد!؟ همه نمونه های "یکی مانده"؟) تبریک می گویم!

وقت آن رسیده که حقیقت تلخ را برای شما فاش کنیم. حل موفقیت آمیز این مثال ها موفقیت در حل تمام معادلات لگاریتمی دیگر را تضمین نمی کند. حتی ساده ترین ها مثل این ها. افسوس.

واقعیت این است که راه حل هر معادله لگاریتمی (حتی ابتدایی ترین!) شامل دو قسمت مساویحل معادله و کار با ODZ. ما بر یک بخش مسلط شدیم - حل خود معادله. آنقدرها هم سخت نیستدرست؟

برای این درس، من به طور خاص نمونه هایی را انتخاب کردم که در آنها DL به هیچ وجه روی پاسخ تأثیر نمی گذارد. اما همه به اندازه من مهربان نیستند، درست است؟...)

بنابراین تسلط بر قسمت دیگر ضروری است. ODZ. این مشکل اصلی در حل معادلات لگاریتمی است. و نه به این دلیل که دشوار است - این قسمت حتی ساده تر از قسمت اول است. اما چون مردم به سادگی ODZ را فراموش می کنند. یا نمی دانند. یا هر دو). و از آب در می آیند...

در درس بعدی به این مشکل خواهیم پرداخت. سپس می توانید با اطمینان تصمیم بگیرید هرمعادلات لگاریتمی ساده و نزدیک به وظایف کاملا محکم.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

همه ما با معادلات آشنا هستیم کلاس های ابتدایی. در آنجا ما حل ساده ترین مثال ها را نیز یاد گرفتیم و باید اعتراف کنیم که آنها حتی در آنها کاربرد خود را پیدا می کنند ریاضیات بالاتر. همه چیز با معادلات ساده است، از جمله معادلات درجه دوم. اگر با این موضوع مشکل دارید، به شدت توصیه می کنیم آن را مرور کنید.

شما احتمالاً قبلاً از طریق لگاریتم ها نیز عبور کرده اید. با این حال، ما مهم می دانیم که بگوییم برای کسانی که هنوز نمی دانند چیست. یک لگاریتم برابر با توانی است که برای بدست آوردن عدد سمت راست علامت لگاریتمی، پایه باید به آن بلند شود. بیایید مثالی بزنیم که بر اساس آن همه چیز برای شما روشن می شود.

اگر 3 را به توان چهارم برسانید، 81 به دست می آید. حالا اعداد را با قیاس جایگزین کنید، و در نهایت متوجه خواهید شد که چگونه لگاریتم ها حل می شوند. اکنون تنها چیزی که باقی می ماند ترکیب دو مفهوم مورد بحث است. در ابتدا، وضعیت بسیار پیچیده به نظر می رسد، اما با بررسی دقیق تر، وزن در جای خود قرار می گیرد. ما مطمئن هستیم که پس از این مقاله کوتاه در این بخش از آزمون یکپارچه دولتی مشکلی نخواهید داشت.

امروزه راه های زیادی برای حل چنین ساختارهایی وجود دارد. ما در مورد ساده ترین، موثرترین و کاربردی ترین در مورد وظایف آزمون یکپارچه دولتی به شما خواهیم گفت. حل معادلات لگاریتمی باید از همان ابتدا شروع شود. مثال ساده. ساده ترین معادلات لگاریتمی از یک تابع و یک متغیر در آن تشکیل شده است.

توجه به این نکته مهم است که x داخل آرگومان است. A و b باید اعداد باشند. در این حالت می توانید تابع را به سادگی بر حسب عدد به توان بیان کنید. به نظر می رسد این است.

البته حل معادله لگاریتمی با استفاده از این روش شما را به پاسخ صحیح می رساند. مشکل اکثریت قریب به اتفاق دانش آموزان در این مورد این است که آنها نمی دانند چه چیزی از کجا آمده است. در نتیجه باید اشتباهات را تحمل کنید و امتیاز دلخواه را کسب نکنید. توهین آمیزترین اشتباه این است که حروف را با هم مخلوط کنید. برای حل معادله به این ترتیب، باید این فرمول استاندارد مدرسه را به خاطر بسپارید، زیرا درک آن دشوار است.

برای آسان تر کردن آن، می توانید به روش دیگری متوسل شوید - شکل متعارف. ایده فوق العاده ساده است. توجه خود را به مشکل برگردانید. به یاد داشته باشید که حرف a یک عدد است نه یک تابع یا متغیر. A برابر یک و بزرگتر از صفر نیست. هیچ محدودیتی در مورد b وجود ندارد. حال، از همه فرمول ها، اجازه دهید یکی را به خاطر بسپاریم. B را می توان به صورت زیر بیان کرد.

از این نتیجه می شود که تمام معادلات اصلی با لگاریتم را می توان به شکل زیر نشان داد:

حالا می توانیم لگاریتم ها را رها کنیم. نتیجه یک طراحی ساده است که قبلاً دیده بودیم.

راحتی این فرمول در این واقعیت نهفته است که می توان از آن در موارد مختلف و نه فقط برای ساده ترین طرح ها استفاده کرد.

نگران OOF نباشید!

بسیاری از ریاضیدانان با تجربه متوجه خواهند شد که ما به حوزه تعریف توجه نکرده ایم. این قانون به این واقعیت خلاصه می شود که F(x) لزوماً بزرگتر از 0 است. نه، ما این نکته را از دست ندادیم. اکنون ما در مورد یکی دیگر از مزایای جدی شکل متعارف صحبت می کنیم.

هیچ ریشه اضافی در اینجا وجود نخواهد داشت. اگر یک متغیر فقط در یک مکان ظاهر می شود، در این صورت scope لازم نیست. به صورت خودکار انجام می شود. برای تأیید این قضاوت، سعی کنید چندین مثال ساده را حل کنید.

نحوه حل معادلات لگاریتمی با پایه های مختلف

اینها از قبل معادلات لگاریتمی پیچیده هستند و رویکرد حل آنها باید خاص باشد. در اینجا به ندرت ممکن است خود را به شکل بدنام متعارف محدود کنیم. بیایید خودمان را شروع کنیم داستان مفصل. ما ساخت زیر را داریم.

به کسری توجه کنید. این شامل لگاریتم است. اگر این را در یک کار می بینید، ارزش دارد یک ترفند جالب را به خاطر بسپارید.

چه مفهومی داره؟ هر لگاریتم را می توان به عنوان ضریب دو لگاریتم با پایه مناسب نشان داد. و این فرمول حالت خاصی دارد که با این مثال قابل اجراست (منظور ما اگر c=b است).

این دقیقا همان کسری است که در مثال خود می بینیم. بدین ترتیب.

در اصل، ما کسر را به دور خود چرخاندیم و یک عبارت راحت‌تر به دست آوردیم. این الگوریتم را به خاطر بسپارید!

حال لازم است که معادله لگاریتمی شامل پایه های مختلف نباشد. بیایید پایه را به صورت کسری نشان دهیم.

در ریاضیات قاعده ای وجود دارد که بر اساس آن می توانید از یک پایه مدرک بگیرید. نتایج ساخت زیر.

به نظر می رسد چه چیزی ما را از تبدیل بیان خود به شکل متعارف و صرفاً حل آن باز می دارد؟ نه چندان ساده قبل از لگاریتم نباید کسری وجود داشته باشد. بیایید این وضعیت را درست کنیم! کسرها مجاز به استفاده به عنوان درجه هستند.

به ترتیب.

اگر پایه ها یکسان باشند، می توانیم لگاریتم ها را حذف کرده و خود عبارات را معادل سازی کنیم. به این ترتیب وضعیت بسیار ساده تر از آنچه بود خواهد شد. باقی خواهد ماند معادله ابتدایی، که هر کدام از ما در کلاس هشتم یا حتی هفتم می دانستیم چگونه آن را حل کنیم. شما می توانید محاسبات را خودتان انجام دهید.

ما تنها ریشه واقعی این معادله لگاریتمی را به دست آورده ایم. مثال هایی از حل یک معادله لگاریتمی بسیار ساده هستند، اینطور نیست؟ اکنون می توانید به طور مستقل حتی با پیچیده ترین وظایف برای آماده سازی و قبولی در آزمون یکپارچه دولتی مقابله کنید.

نتیجه چیست؟

در مورد هر معادله لگاریتمی، از یک خیلی شروع می کنیم قانون مهم. باید به گونه ای عمل کرد که بیان را به حداکثر رساند نمای ساده. در این صورت شانس بیشتری خواهید داشت که نه تنها کار را به درستی حل کنید، بلکه آن را به ساده ترین و منطقی ترین شکل ممکن انجام دهید. این دقیقاً همان کاری است که ریاضیدانان همیشه کار می کنند.

ما اکیداً توصیه نمی کنیم که به دنبال مسیرهای دشوار بگردید، به خصوص در این مورد. چند تا را به خاطر بسپار قوانین ساده، که به شما امکان می دهد هر عبارتی را تغییر دهید. به عنوان مثال، دو یا سه لگاریتم را به یک پایه کاهش دهید یا یک توان از پایه بگیرید و بر روی آن برنده شوید.

همچنین لازم به یادآوری است که حل معادلات لگاریتمی نیاز به تمرین مداوم دارد. به تدریج به سمت بیشتر و بیشتر حرکت خواهید کرد ساختارهای پیچیده، و این شما را به حل مطمئن همه انواع مشکلات در آزمون یکپارچه دولتی سوق می دهد. از قبل برای امتحانات خود آماده شوید و موفق باشید!

در این درس حقایق نظری اساسی در مورد لگاریتم ها را مرور می کنیم و حل ساده ترین معادلات لگاریتمی را در نظر می گیریم.

بیایید تعریف مرکزی را به یاد بیاوریم - تعریف لگاریتم. مربوط به تصمیم است معادله نمایی. این معادله دارای یک ریشه است که به آن لگاریتم b به پایه a می گویند:

تعریف:

لگاریتم b به پایه a، توانی است که برای بدست آوردن b باید پایه a را به آن افزایش داد.

به شما یادآوری کنیم هویت لگاریتمی پایه.

عبارت (عبارت 1) ریشه معادله (عبارت 2) است. مقدار x را از عبارت 1 به جای x در عبارت 2 جایگزین کنید و هویت لگاریتمی اصلی را بدست آورید:

بنابراین می بینیم که هر مقدار با یک مقدار مرتبط است. b را با x()، c را با y نشان می دهیم و بنابراین یک تابع لگاریتمی بدست می آوریم:

مثلا:

اجازه دهید ویژگی های اصلی تابع لگاریتمی را به یاد بیاوریم.

اجازه دهید یک بار دیگر در اینجا توجه کنیم، زیرا در زیر لگاریتم می تواند یک عبارت کاملاً مثبت به عنوان پایه لگاریتم وجود داشته باشد.

برنج. 1. نمودار یک تابع لگاریتمی با پایه های مختلف

نمودار تابع at به رنگ مشکی نشان داده شده است. برنج. 1. اگر آرگومان از صفر به بی نهایت افزایش یابد، تابع از منهای به اضافه بی نهایت افزایش می یابد.

نمودار تابع at با رنگ قرمز نشان داده شده است. برنج. 1.

ویژگی های این تابع:

دامنه: ؛

محدوده مقادیر: ;

تابع در کل دامنه تعریف خود یکنواخت است. هنگامی که به طور یکنواخت (به شدت) افزایش می یابد، ارزش بالاترآرگومان مربوط به مقدار بزرگتر تابع است. هنگامی که به صورت یکنواخت (به شدت) کاهش می یابد، مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار کوچکتر تابع مطابقت دارد.

خواص تابع لگاریتمی کلید حل انواع معادلات لگاریتمی است.

بیایید ساده ترین معادله لگاریتمی را در نظر بگیریم؛ تمام معادلات لگاریتمی دیگر، به عنوان یک قاعده، به این شکل کاهش می یابد.

از آنجایی که پایه لگاریتم ها و خود لگاریتم ها با هم برابر هستند، توابع زیر لگاریتم نیز برابر هستند، اما نباید دامنه تعریف را از دست داد. لگاریتم فقط می تواند بایستد عدد مثبت، ما داریم:

ما متوجه شدیم که توابع f و g برابر هستند، بنابراین کافی است هر نابرابری را برای مطابقت با ODZ انتخاب کنیم.

بنابراین، ما یک سیستم مختلط داریم که در آن یک معادله و یک نابرابری وجود دارد:

به عنوان یک قاعده، نیازی به حل یک نابرابری نیست، کافی است معادله را حل کنید و ریشه های یافت شده را جایگزین نامساوی کنید، بنابراین بررسی انجام می شود.

اجازه دهید روشی برای حل ساده ترین معادلات لگاریتمی فرموله کنیم:

مساوی کردن پایه های لگاریتم؛

معادل سازی توابع زیر لگاریتمی؛

بررسی را انجام دهید.

بیایید به نمونه های خاص نگاه کنیم.

مثال 1 - معادله را حل کنید:

پایه های لگاریتم ها در ابتدا برابر هستند، ما حق داریم عبارات زیر لگاریتمی را معادل سازی کنیم، ODZ را فراموش نکنید، اولین لگاریتم را برای ایجاد نابرابری انتخاب می کنیم:

مثال 2 - معادله را حل کنید:

این معادله از نظر پایه لگاریتم با معادله قبلی متفاوت است کمتر از یک، اما این به هیچ وجه بر راه حل تأثیر نمی گذارد:

بیایید ریشه را پیدا کنیم و آن را با نامساوی جایگزین کنیم:

ما یک نابرابری نادرست دریافت کردیم، به این معنی که ریشه یافت شده ODZ را برآورده نمی کند.

مثال 3 - معادله را حل کنید:

مبانی لگاریتم ها در ابتدا برابر هستند، ما حق داریم عبارات زیر لگاریتمی را معادل سازی کنیم، ODZ را فراموش نکنید، لگاریتم دوم را برای ایجاد نابرابری انتخاب می کنیم:

بیایید ریشه را پیدا کنیم و آن را با نامساوی جایگزین کنیم:

بدیهی است که تنها ریشه اول ODZ را برآورده می کند.

معادلات لگاریتمی. ما همچنان به بررسی مسائل مربوط به بخش B از آزمون دولتی واحد در ریاضیات می پردازیم. ما قبلاً راه حل های برخی از معادلات را در مقالات """ بررسی کرده ایم. در این مقاله به بررسی معادلات لگاریتمی می پردازیم. من فوراً می گویم که هنگام حل چنین معادلاتی در آزمون یکپارچه دولتی هیچ تغییر پیچیده ای وجود نخواهد داشت. آنها ساده هستند.

کافی است هویت لگاریتمی پایه را بشناسیم و درک کنیم و ویژگی های لگاریتم را بدانیم. لطفاً توجه داشته باشید که پس از حل آن، باید یک بررسی انجام دهید - مقدار حاصل را با معادله اصلی جایگزین کنید و محاسبه کنید، در پایان باید برابری صحیح را بدست آورید.

تعریف:

لگاریتم یک عدد به مبنای b توان است،که برای بدست آوردن a باید b را به آن افزایش داد.

مثلا:

Log 3 9 = 2، از 3 2 = 9

خواص لگاریتم:

موارد خاص لگاریتم:

بیایید مشکلات را حل کنیم. در مثال اول ما یک بررسی انجام می دهیم. در آینده، خودتان آن را بررسی کنید.

ریشه معادله را پیدا کنید: log 3 (4–x) = 4

از آنجایی که log b a = x b x = a، پس

3 4 = 4 - x

x = 4 - 81

x = - 77

معاینه:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 درست است.

جواب: – 77

خودتان تصمیم بگیرید:

ریشه معادله را پیدا کنید: log 2 (4 – x) = 7

ریشه معادله لاگ 5 را پیدا کنید(4 + x) = 2

ما از هویت لگاریتمی پایه استفاده می کنیم.

از آنجایی که log a b = x b x = a، پس

5 2 = 4 + x

x = 5 2 - 4

x = 21

معاینه:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 درست است.

جواب: 21

ریشه معادله log 3 (14 – x) = log 3 5 را بیابید.

خاصیت زیر برقرار است، معنی آن به شرح زیر است: اگر در سمت چپ و راست معادله لگاریتمی با همان مبنای، سپس می توانیم عبارات زیر علائم لگاریتم را معادل سازی کنیم.

14 - x = 5

x=9

چک کنید

پاسخ: 9

خودتان تصمیم بگیرید:

ریشه معادله log 5 (5 – x) = log 5 3 را بیابید.

ریشه معادله را پیدا کنید: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

اگر log c a = log c b، آنگاه a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x=6

چک کنید

پاسخ: 6

ریشه معادله لاگ 1/8 (13 – x) = – 2 را بیابید.

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 = 13 - x

x = 13 - 64

x = - 51

چک کنید

یک اضافه کوچک - ملک در اینجا استفاده می شود

درجه ().

پاسخ: - 51

خودتان تصمیم بگیرید:

ریشه معادله را پیدا کنید: log 1/7 (7 – x) = – 2

ریشه معادله log 2 (4 – x) = 2 log 2 5 را بیابید.

بیایید سمت راست را تغییر دهیم. بیایید از ملک استفاده کنیم:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

اگر log c a = log c b، آنگاه a = b

4 - x = 5 2

4 - x = 25

x = – 21

چک کنید

پاسخ: - 21

خودتان تصمیم بگیرید:

ریشه معادله را پیدا کنید: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

معادله log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11) را حل کنید

اگر log c a = log c b، آنگاه a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2.75

چک کنید

جواب: 2.75

خودتان تصمیم بگیرید:

ریشه معادله log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10) را بیابید.

معادله log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1 را حل کنید.

برای به دست آوردن یک عبارت در سمت راست معادله لازم است:

لاگ 2 (......)

ما 1 را به عنوان لگاریتم پایه 2 نشان می دهیم:

1 = لاگ 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

ما گرفتیم:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

اگر log c a = log c b ، a = b ، آنگاه

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0.4

چک کنید

پاسخ: 0.4

خودتان تصمیم بگیرید: بعد باید معادله درجه دوم را حل کنید. راستی،

ریشه ها 6 و - 4 هستند.

ریشه "-4" راه حل نیست، زیرا پایه لگاریتم باید بزرگتر از صفر باشد و با "– 4" برابر است با " – 5" راه حل ریشه 6 است.چک کنید

پاسخ: 6.

آر خودتان بخورید:

معادله را حل کنید x –5 49 = 2. اگر معادله بیش از یک ریشه دارد، با ریشه کوچکتر پاسخ دهید.

همانطور که دیدید، هیچ تبدیل پیچیده ای با معادلات لگاریتمی وجود نداردخیر کافی است خواص لگاریتم را بدانید و بتوانید آنها را اعمال کنید. در آزمون دولتی واحد مسائل مربوط به تحول عبارات لگاریتمی، تحولات جدی تری انجام می شود و مهارت های راه حل عمیق تری مورد نیاز است. ما به چنین نمونه هایی نگاه خواهیم کرد، آنها را از دست ندهید!آرزو می کنم موفق شوی!!!

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ.

P.S: اگر در شبکه های اجتماعی درباره سایت به من بگویید ممنون می شوم.