ساخت معادلات مثلثاتی. معادلات مثلثاتی راهنمای نهایی (2019)

ساده ترین راه حل معادلات مثلثاتی.

حل معادلات مثلثاتی با هر سطح از پیچیدگی در نهایت به حل ساده ترین معادلات مثلثاتی ختم می شود. و در این بهترین کمک کنندهدوباره معلوم می شود که یک دایره مثلثاتی است.

بیایید تعاریف کسینوس و سینوس را یادآوری کنیم.

کسینوس یک زاویه، آبسیسا (یعنی مختصات در امتداد محور) یک نقطه روی آن است. دایره واحد، مربوط به چرخش در یک زاویه معین است.

سینوس یک زاویه مختصات (یعنی مختصات در امتداد محور) یک نقطه روی دایره واحد مربوط به چرخش در یک زاویه معین است.

جهت مثبت حرکت روی دایره مثلثاتی خلاف جهت عقربه های ساعت است. چرخش 0 درجه (یا 0 رادیان) مربوط به نقطه ای با مختصات (1;0) است.

ما از این تعاریف برای حل معادلات مثلثاتی ساده استفاده می کنیم.

1. معادله را حل کنید

این معادله با تمام مقادیر زاویه چرخش که مربوط به نقاط روی دایره است که اردین آنها برابر است ارضا می شود.

بیایید نقطه ای را با اردین در محور ارتین مشخص کنیم:

یک خط افقی موازی با محور x بکشید تا زمانی که با دایره قطع شود. با قرار گرفتن روی دایره و داشتن یک ترتیب دو نقطه به دست می آوریم. این نقاط با زاویه چرخش در و رادیان مطابقت دارند:

اگر نقطه مربوط به زاویه چرخش بر رادیان را رها کنیم، دور یک دایره کامل بچرخیم، به نقطه ای می رسیم که با زاویه چرخش بر رادیان مطابقت دارد و دارای اردین مشابه است. یعنی این زاویه چرخش معادله ما را نیز برآورده می کند. می‌توانیم هر تعداد چرخش «بیکار» را که دوست داریم انجام دهیم، به همان نقطه برگردیم، و همه این مقادیر زاویه معادله ما را برآورده می‌کنند. تعداد چرخش های "بیکار" با حرف (یا) نشان داده می شود. از آنجایی که می‌توانیم این انقلاب‌ها را در جهت مثبت و منفی انجام دهیم، (یا) می‌توانیم هر مقدار صحیح را به خود بگیرد.

یعنی اولین سری از راه حل های معادله اصلی به شکل زیر است:

, , - مجموعه اعداد صحیح (1)

به طور مشابه، سری دوم راه حل ها به شکل زیر است:

, کجا , . (2)

همانطور که ممکن است حدس بزنید، این سری از راه حل ها بر اساس نقطه روی دایره مربوط به زاویه چرخش با .

این دو سری راه حل را می توان در یک ورودی ترکیب کرد:

اگر در این مدخل (یعنی زوج) را بگیریم، اولین سری راه حل ها را دریافت خواهیم کرد.

اگر در این ورودی (یعنی فرد) را بگیریم، سری دوم راه حل ها را به دست می آوریم.

2. حالا بیایید معادله را حل کنیم

از آنجایی که این ابسیسا یک نقطه روی دایره واحد است که با چرخش در یک زاویه به دست می آید، نقطه را با آبسیسا روی محور مشخص می کنیم:

یک خط عمودی به موازات محور بکشید تا زمانی که با دایره قطع شود. ما دو نقطه دراز کشیدن روی دایره و داشتن آبسیسا به دست خواهیم آورد. این نقاط با زاویه چرخش در و رادیان مطابقت دارند. به یاد بیاورید که هنگام حرکت در جهت عقربه های ساعت، زاویه چرخش منفی دریافت می کنیم:

اجازه دهید دو سری راه حل را بنویسیم:

,

,

(با رفتن از دایره کامل اصلی یعنی به نقطه مورد نظر می رسیم.

بیایید این دو سری را در یک ورودی ترکیب کنیم:

3. معادله را حل کنید

خط مماس از نقطه ای با مختصات (1,0) دایره واحد موازی با محور OY می گذرد.

بیایید یک نقطه روی آن را با ترتیبی برابر با 1 مشخص کنیم (به دنبال مماس آن هستیم که زوایای آن برابر با 1 است):

بیایید این نقطه را با یک خط مستقیم به مبدا مختصات وصل کنیم و نقاط تلاقی خط را با دایره واحد مشخص کنیم. نقاط تقاطع خط مستقیم و دایره مطابق با زوایای چرخش روی و:

از آنجایی که نقاط مربوط به زوایای چرخشی که معادله ما را برآورده می کنند در فاصله رادیان از یکدیگر قرار دارند، می توانیم جواب را به این صورت بنویسیم:

4. معادله را حل کنید

خط کوتانژانت ها از نقطه ای می گذرد که مختصات دایره واحد موازی با محور است.

بیایید نقطه ای را با آبسیسا -1 روی خط کوتانژانت علامت گذاری کنیم:

این نقطه را به مبدأ خط مستقیم وصل می کنیم و آن را تا زمانی که با دایره قطع می شود ادامه می دهیم. این خط مستقیم دایره را در نقاط مربوط به زوایای چرخش در و رادیان قطع می کند:

از آنجایی که این نقاط با فاصله ای برابر از یکدیگر جدا می شوند، پس راه حل کلیمی توانیم این معادله را به صورت زیر بنویسیم:

در مثال های داده شده که حل ساده ترین معادلات مثلثاتی را نشان می دهد، از مقادیر جدولی توابع مثلثاتی استفاده شده است.

با این حال، اگر سمت راست معادله حاوی یک مقدار غیر جدولی باشد، آنگاه مقدار را با جواب کلی معادله جایگزین می کنیم:

راه حل های ویژه:

اجازه دهید نقاط دایره ای را که مختصات آن 0 است علامت گذاری کنیم:

اجازه دهید یک نقطه از دایره ای که مختص آن 1 است را علامت گذاری کنیم:

بیایید یک نقطه از دایره ای که مختصات آن برابر با -1 است را علامت گذاری کنیم:

از آنجایی که مرسوم است که مقادیر نزدیک به صفر را نشان دهیم، راه حل را به صورت زیر می نویسیم:

اجازه دهید نقاط دایره ای که آبسیسه آن برابر با 0 است را علامت گذاری کنیم:

5.
بیایید یک نقطه از دایره ای که آبسیسه آن برابر با 1 است علامت گذاری کنیم:

بیایید یک نقطه از دایره ای که آبسیسه آن برابر با 1- است علامت گذاری کنیم:

و مثال های کمی پیچیده تر:

1.

سینوسی برابر با یک، اگر استدلال برابر باشد

آرگومان سینوس ما برابر است، پس به دست می آوریم:

دو طرف مساوی را بر 3 تقسیم کنید:

پاسخ:

2.

کسینوس برابر با صفر، اگر آرگومان کسینوس برابر باشد

آرگومان کسینوس ما برابر است با، پس به دست می آوریم:

بیایید بیان کنیم، برای انجام این کار ابتدا با علامت مخالف به سمت راست حرکت می کنیم:

بیایید سمت راست را ساده کنیم:

دو طرف را بر -2 تقسیم کنید:

توجه داشته باشید که علامت جلوی عبارت تغییر نمی کند، زیرا k می تواند هر مقدار صحیح را بگیرد.

پاسخ:

و در نهایت، درس ویدیویی انتخاب ریشه در معادله مثلثاتی با استفاده از دایره مثلثاتی را تماشا کنید.

این گفتگوی ما در مورد حل معادلات مثلثاتی ساده به پایان می رسد. دفعه بعد در مورد نحوه تصمیم گیری صحبت خواهیم کرد.

هنگام حل بسیاری از مسائل ریاضیبه خصوص آنهایی که قبل از درجه 10 رخ می دهند، ترتیب اقدامات انجام شده که منجر به هدف می شود به وضوح مشخص شده است. چنین مسائلی عبارتند از، برای مثال، معادلات خطی و درجه دوم، نابرابری های خطی و درجه دوم، معادلات کسریو معادلاتی که به معادلات درجه دوم تقلیل می یابند. اصل حل موفقیت آمیز هر یک از مشکلات ذکر شده به شرح زیر است: باید مشخص شود که چه نوع مشکلی حل می شود، دنباله ای از اقدامات لازم را به خاطر بسپارید که منجر به نتیجه مورد نظر، یعنی پاسخ دهید و این مراحل را دنبال کنید.

بدیهی است که موفقیت یا شکست در حل یک مسئله خاص عمدتاً به این بستگی دارد که چگونه نوع معادله حل شده به درستی تعیین شده است، چگونه دنباله تمام مراحل حل آن به درستی بازتولید می شود. البته داشتن مهارت برای اجرا ضروری است تحولات هویتیو محاسبات

وضعیت با معادلات مثلثاتیاثبات این واقعیت که معادله مثلثاتی است اصلاً دشوار نیست. هنگام تعیین توالی اقداماتی که منجر به پاسخ صحیح می شود، مشکلات ایجاد می شود.

توسط ظاهرمعادله، گاهی اوقات تعیین نوع آن دشوار است. و بدون دانستن نوع معادله، تقریباً غیرممکن است که از بین چندین ده فرمول مثلثاتی درست را انتخاب کنید.

برای حل یک معادله مثلثاتی، باید سعی کنید:

1. همه توابع موجود در معادله را به "زوایای یکسان" بیاورید.
2. معادله را به "توابع یکسان" برسانید.
3. سمت چپ معادله و غیره را فاکتور بگیرید.

در نظر بگیریم روش های اساسی برای حل معادلات مثلثاتی

I. تقلیل به ساده ترین معادلات مثلثاتی

نمودار حل

مرحله 1.یک تابع مثلثاتی را بر حسب مولفه های شناخته شده بیان کنید.

مرحله 2.آرگومان تابع را با استفاده از فرمول ها پیدا کنید:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn، n ЄZ.

گناه x = a; x = (-1) n arcsin a + πn، n Є Z.

tan x = a; x = آرکتان a + πn، n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn، n Є Z.

مرحله 3.متغیر مجهول را پیدا کنید.

مثال.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

راه حل.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn، n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn، n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn، n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3، n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3، n Є Z.

پاسخ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3، n Є Z.

II. جایگزینی متغیر

نمودار حل

مرحله 1.با توجه به یکی از توابع مثلثاتی معادله را به شکل جبری کاهش دهید.

مرحله 2.تابع به دست آمده را با متغیر t مشخص کنید (در صورت لزوم محدودیت هایی را برای t وارد کنید).

مرحله 3.معادله جبری حاصل را بنویسید و حل کنید.

مرحله 4.جایگزین معکوس کنید.

مرحله 5.ساده ترین معادله مثلثاتی را حل کنید.

مثال.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

راه حل.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) بگذارید sin (x/2) = t، که در آن |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 یا e = -3/2، شرط |t| را برآورده نمی کند ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn، n Є Z;

x = π + 4πn، n Є Z.

پاسخ: x = π + 4πn، n Є Z.

III. روش کاهش ترتیب معادله

نمودار حل

مرحله 1.با استفاده از فرمول کاهش درجه، این معادله را با یک معادله خطی جایگزین کنید:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

مرحله 2.معادله به دست آمده را با استفاده از روش های I و II حل کنید.

مثال.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

راه حل.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn، n Є Z;

x = ±π/6 + πn، n Є Z.

پاسخ: x = ±π/6 + πn، n Є Z.

IV. معادلات همگن

نمودار حل

مرحله 1.این معادله را به شکل کاهش دهید

الف) a sin x + b cos x = 0 ( معادله همگندرجه اول)

یا به منظره

ب) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (معادله همگن درجه دوم).

مرحله 2.دو طرف معادله را تقسیم بر

الف) cos x ≠ 0;

ب) cos 2 x ≠ 0;

و معادله tan x را بدست آورید:

الف) a tan x + b = 0;

ب) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

مرحله 3.معادله را با استفاده از روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

راه حل.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) بگذارید tg x = t، سپس

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 یا t = -4 که ​​به این معنی است

tg x = 1 یا tg x = -4.

از معادله اول x = π/4 + πn، n Є Z; از معادله دوم x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

پاسخ: x = π/4 + πn، n Є Z; x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

V. روش تبدیل یک معادله با استفاده از فرمول های مثلثاتی

نمودار حل

مرحله 1.با استفاده از انواع فرمول های مثلثاتی، این معادله را به معادله ای که با روش های I, II, III, IV حل می شود کاهش دهید.

مرحله 2.معادله به دست آمده را با استفاده از روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

راه حل.

1) (سین x + گناه 3x) + گناه 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 یا 2cos x + 1 = 0;

از معادله اول 2x = π/2 + πn, n Є Z; از معادله دوم cos x = -1/2.

ما x = π/4 + πn/2، n Є Z داریم. از معادله دوم x = ±(π – π/3) + 2πk، k Є Z.

در نتیجه x = π/4 + πn/2، n Є Z; x = ± 2π/3 + 2πk، k Є Z.

پاسخ: x = π/4 + πn/2، n Є Z; x = ± 2π/3 + 2πk، k Є Z.

توانایی و مهارت حل معادلات مثلثاتی بسیار زیاد است مهم است، توسعه آنها به تلاش قابل توجهی نیاز دارد، هم از طرف دانش آموز و هم از طرف معلم.

بسیاری از مسائل استریومتری، فیزیک و غیره با حل معادلات مثلثاتی مرتبط است.

معادلات مثلثاتی جایگاه مهمی در فرآیند یادگیری ریاضیات و به طور کلی رشد فردی دارند.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع اصلی مورد نیاز است.

هنگام حل بسیاری از مسائل ریاضیبه خصوص آنهایی که قبل از درجه 10 رخ می دهند، ترتیب اقدامات انجام شده که منجر به هدف می شود به وضوح مشخص شده است. چنین مسائلی عبارتند از، برای مثال، معادلات خطی و درجه دوم، نابرابری های خطی و درجه دوم، معادلات کسری و معادلاتی که به معادلات درجه دوم کاهش می یابند. اصل حل موفقیت آمیز هر یک از مشکلات ذکر شده به شرح زیر است: باید تعیین کنید که چه نوع مشکلی را حل می کنید، دنباله ای از اقدامات لازم را به خاطر بسپارید که به نتیجه مطلوب منجر می شود، یعنی. پاسخ دهید و این مراحل را دنبال کنید.

بدیهی است که موفقیت یا شکست در حل یک مسئله خاص عمدتاً به این بستگی دارد که چگونه نوع معادله حل شده به درستی تعیین شده است، چگونه دنباله تمام مراحل حل آن به درستی بازتولید می شود. البته در این صورت داشتن مهارت انجام تبدیل ها و محاسبات یکسان ضروری است.

وضعیت با معادلات مثلثاتیاثبات این واقعیت که معادله مثلثاتی است اصلاً دشوار نیست. هنگام تعیین توالی اقداماتی که منجر به پاسخ صحیح می شود، مشکلات ایجاد می شود.

گاهی اوقات تعیین نوع آن بر اساس شکل ظاهری یک معادله دشوار است. و بدون دانستن نوع معادله، تقریباً غیرممکن است که از بین چندین ده فرمول مثلثاتی درست را انتخاب کنید.

برای حل یک معادله مثلثاتی، باید سعی کنید:

1. همه توابع موجود در معادله را به "زوایای یکسان" بیاورید.
2. معادله را به "توابع یکسان" برسانید.
3. سمت چپ معادله و غیره را فاکتور بگیرید.

در نظر بگیریم روش های اساسی برای حل معادلات مثلثاتی

I. تقلیل به ساده ترین معادلات مثلثاتی

نمودار حل

مرحله 1.یک تابع مثلثاتی را بر حسب مولفه های شناخته شده بیان کنید.

مرحله 2.آرگومان تابع را با استفاده از فرمول ها پیدا کنید:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn، n ЄZ.

گناه x = a; x = (-1) n arcsin a + πn، n Є Z.

tan x = a; x = آرکتان a + πn، n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn، n Є Z.

مرحله 3.متغیر مجهول را پیدا کنید.

مثال.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

راه حل.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn، n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn، n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn، n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3، n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3، n Є Z.

پاسخ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3، n Є Z.

II. جایگزینی متغیر

نمودار حل

مرحله 1.با توجه به یکی از توابع مثلثاتی معادله را به شکل جبری کاهش دهید.

مرحله 2.تابع به دست آمده را با متغیر t مشخص کنید (در صورت لزوم محدودیت هایی را برای t وارد کنید).

مرحله 3.معادله جبری حاصل را بنویسید و حل کنید.

مرحله 4.جایگزین معکوس کنید.

مرحله 5.ساده ترین معادله مثلثاتی را حل کنید.

مثال.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

راه حل.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) بگذارید sin (x/2) = t، که در آن |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 یا e = -3/2، شرط |t| را برآورده نمی کند ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn، n Є Z;

x = π + 4πn، n Є Z.

پاسخ: x = π + 4πn، n Є Z.

III. روش کاهش ترتیب معادله

نمودار حل

مرحله 1.با استفاده از فرمول کاهش درجه، این معادله را با یک معادله خطی جایگزین کنید:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

مرحله 2.معادله به دست آمده را با استفاده از روش های I و II حل کنید.

مثال.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

راه حل.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn، n Є Z;

x = ±π/6 + πn، n Є Z.

پاسخ: x = ±π/6 + πn، n Є Z.

IV. معادلات همگن

نمودار حل

مرحله 1.این معادله را به شکل کاهش دهید

الف) a sin x + b cos x = 0 (معادله همگن درجه اول)

یا به منظره

ب) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (معادله همگن درجه دوم).

مرحله 2.دو طرف معادله را تقسیم بر

الف) cos x ≠ 0;

ب) cos 2 x ≠ 0;

و معادله tan x را بدست آورید:

الف) a tan x + b = 0;

ب) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

مرحله 3.معادله را با استفاده از روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

راه حل.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) بگذارید tg x = t، سپس

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 یا t = -4 که ​​به این معنی است

tg x = 1 یا tg x = -4.

از معادله اول x = π/4 + πn، n Є Z; از معادله دوم x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

پاسخ: x = π/4 + πn، n Є Z; x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

V. روش تبدیل یک معادله با استفاده از فرمول های مثلثاتی

نمودار حل

مرحله 1.با استفاده از تمام فرمول های مثلثاتی ممکن، این معادله را به معادله ای کاهش دهید که با روش های I، II، III، IV حل شده است.

مرحله 2.معادله به دست آمده را با استفاده از روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

راه حل.

1) (سین x + گناه 3x) + گناه 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 یا 2cos x + 1 = 0;

از معادله اول 2x = π/2 + πn, n Є Z; از معادله دوم cos x = -1/2.

ما x = π/4 + πn/2، n Є Z داریم. از معادله دوم x = ±(π – π/3) + 2πk، k Є Z.

در نتیجه x = π/4 + πn/2، n Є Z; x = ± 2π/3 + 2πk، k Є Z.

پاسخ: x = π/4 + πn/2، n Є Z; x = ± 2π/3 + 2πk، k Є Z.

توانایی و مهارت حل معادلات مثلثاتی بسیار زیاد است مهم است، توسعه آنها به تلاش قابل توجهی نیاز دارد، هم از طرف دانش آموز و هم از طرف معلم.

بسیاری از مسائل استریومتری، فیزیک و غیره با حل معادلات مثلثاتی مرتبط است.

معادلات مثلثاتی جایگاه مهمی در فرآیند یادگیری ریاضیات و به طور کلی رشد فردی دارند.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی -.
درس اول رایگان است

blog.site، هنگام کپی کامل یا جزئی مطالب، پیوند به منبع اصلی الزامی است.

مفهوم حل معادلات مثلثاتی.

• برای حل یک معادله مثلثاتی، آن را به یک یا چند معادله مثلثاتی اصلی تبدیل کنید. حل یک معادله مثلثاتی در نهایت به حل چهار معادله مثلثاتی اصلی ختم می شود.

حل معادلات مثلثاتی پایه

• 4 نوع معادلات مثلثاتی اساسی وجود دارد:
• گناه x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• حل معادلات مثلثاتی اساسی شامل در نظر گرفتن است مقررات مختلف"x" روی دایره واحد و با استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب).
• مثال 1. sin x = 0.866. با استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب) به این پاسخ خواهید رسید: x = π/3. دایره واحد پاسخ دیگری می دهد: 2π/3. به یاد داشته باشید: همه توابع مثلثاتی تناوبی هستند، به این معنی که مقادیر آنها تکرار می شود. به عنوان مثال، تناوب sin x و cos x 2πn است و تناوب tg x و ctg x πn است. بنابراین پاسخ به صورت زیر نوشته می شود:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• مثال 2. cos x = -1/2. با استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب) به این پاسخ خواهید رسید: x = 2π/3. دایره واحد پاسخ دیگری می دهد: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• مثال 3. tg (x - π/4) = 0.
• پاسخ: x = π/4 + πn.
• مثال 4. ctg 2x = 1.732.
• پاسخ: x = π/12 + πn.

تبدیل های مورد استفاده در حل معادلات مثلثاتی.

• برای تبدیل معادلات مثلثاتی از تبدیل های جبری (فاکتورسازی، کاهش اعضای همگنو غیره) و هویت های مثلثاتی.
• مثال 5: با استفاده از هویت های مثلثاتی، معادله sin x + sin 2x + sin 3x = 0 به معادله 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 تبدیل می شود. بنابراین، معادلات مثلثاتی اساسی زیر باید حل شود: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• پیدا کردن زاویه توسط ارزش های شناخته شدهتوابع

  • قبل از یادگیری نحوه حل معادلات مثلثاتی، باید یاد بگیرید که چگونه زاویه ها را با استفاده از مقادیر تابع شناخته شده پیدا کنید. این را می توان با استفاده از جدول تبدیل یا ماشین حساب انجام داد.
  • مثال: cos x = 0.732. ماشین حساب پاسخ x = 42.95 درجه را می دهد. دایره واحد زوایای اضافی می دهد که کسینوس آن نیز 0.732 است.

• محلول را روی دایره واحد کنار بگذارید.

  • می توانید جواب یک معادله مثلثاتی را روی دایره واحد رسم کنید. راه حل های یک معادله مثلثاتی روی دایره واحد رئوس یک چندضلعی منتظم هستند.
  • مثال: جواب های x = π/3 + πn/2 روی دایره واحد نشان دهنده رئوس مربع هستند.
  • مثال: راه حل های x = π/4 + πn/3 روی دایره واحد نشان دهنده رئوس یک شش ضلعی منتظم است.

• روش های حل معادلات مثلثاتی.

  • اگر یک معادله مثلثاتی معین فقط یک تابع مثلثاتی داشته باشد، آن معادله را به عنوان یک معادله مثلثاتی پایه حل کنید. اگر یک معادله داده شده شامل دو یا چند تابع مثلثاتی باشد، 2 روش برای حل چنین معادله ای (بسته به امکان تبدیل آن) وجود دارد.
    • روش 1.
  • این معادله را به معادله ای به این شکل تبدیل کنید: f(x)*g(x)*h(x) = 0، که در آن f(x)، g(x)، h(x) معادلات مثلثاتی اولیه هستند.
  • مثال 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • راه حل. با استفاده از فرمول دو زاویه sin 2x = 2*sin x*cos x، جایگزین sin 2x کنید.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. حالا دو معادله مثلثاتی اصلی را حل کنید: cos x = 0 و (sin x + 1) = 0.
  • مثال 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • راه حل: با استفاده از هویت های مثلثاتی، این معادله را به یک معادله تبدیل کنید: cos 2x(2cos x + 1) = 0. حال دو معادله مثلثاتی اصلی را حل کنید: cos 2x = 0 و (2cos x + 1) = 0.
  • مثال 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • راه حل: با استفاده از هویت های مثلثاتی، این معادله را به معادله ای به شکل: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0 تبدیل کنید. اکنون دو معادله مثلثاتی اصلی را حل کنید: cos 2x = 0 و (2sin x + 1) = 0 .
    • روش 2.
  • معادله مثلثاتی داده شده را به معادله ای که فقط یک تابع مثلثاتی دارد تبدیل کنید. سپس این تابع مثلثاتی را با یک تابع مجهول جایگزین کنید، به عنوان مثال، t (sin x = t؛ cos x = t؛ cos 2x = t، tan x = t؛ tg (x/2) = t و غیره).
  • مثال 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • راه حل. در این معادله (cos^2 x) را با (1 - sin^2 x) (با توجه به هویت) جایگزین کنید. معادله تبدیل شده به صورت زیر است:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x را با t جایگزین کنید. اکنون معادله این است: 5t^2 - 4t - 9 = 0. این است معادله درجه دوم، دارای دو ریشه: t1 = -1 و t2 = 9/5. ریشه دوم t2 محدوده تابع (-1) را برآورده نمی کند< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • مثال 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • راه حل. tg x را با t جایگزین کنید. معادله اصلی را به صورت زیر بازنویسی کنید: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. حالا t را پیدا کنید و سپس x را برای t = tan x پیدا کنید.

می توانید سفارش دهید راه حل دقیقوظیفه شما!!!

تساوی حاوی مجهول زیر علامت تابع مثلثاتی(«sin x، cos x، tan x» یا «ctg x») یک معادله مثلثاتی نامیده می‌شود و فرمول‌های آن‌ها است که در ادامه بررسی خواهیم کرد.

ساده ترین معادلات «sin x=a، cos x=a، tg x=a، ctg x=a» نامیده می شوند، جایی که «x» زاویه ای است که باید پیدا شود، «a» هر عددی است. اجازه دهید فرمول های ریشه را برای هر یک از آنها بنویسیم.

1. معادله `sin x=a`.

برای `|a|>1` هیچ راه حلی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. معادله «cos x=a».

برای `|a|>1` - مانند سینوس، هیچ راه حلی در بین اعداد حقیقی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

موارد ویژه برای سینوس و کسینوس در نمودارها.

3. معادله `tg x=a`

تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. معادله «ctg x=a».

همچنین تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

فرمول های ریشه معادلات مثلثاتی در جدول

برای سینوس:
برای کسینوس:
برای مماس و کوتانژانت:
فرمول های حل معادلات حاوی توابع مثلثاتی معکوس:

روش های حل معادلات مثلثاتی

حل هر معادله مثلثاتی شامل دو مرحله است:

• با کمک تبدیل آن به ساده ترین.
• ساده ترین معادله به دست آمده را با استفاده از فرمول های ریشه و جداول نوشته شده در بالا حل کنید.

بیایید با استفاده از مثال ها به روش های اصلی راه حل نگاه کنیم.

روش جبری.

این روش شامل جایگزینی یک متغیر و جایگزینی آن با یک برابری است.

مثال. معادله را حل کنید: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`،

جایگزینی ایجاد کنید: «cos(x+\frac \pi 6)=y»، سپس «2y^2-3y+1=0»،

ما ریشه ها را پیدا می کنیم: `y_1=1, y_2=1/2` که دو حالت از آن پیروی می کنند:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

پاسخ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

فاکتورسازی

مثال. معادله "sin x+cos x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید تمام شرایط برابری را به سمت چپ منتقل کنیم: `sin x+cos x-1=0`. با استفاده از، سمت چپ را تبدیل و فاکتورسازی می کنیم:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0"،

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. «cos x/2-sin x/2=0»، «tg x/2=1»، «x/2=arctg 1+ \pi n»، «x/2=\pi/4+ \pi n» ، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

پاسخ: `x_1=2\pi n`، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

کاهش به یک معادله همگن

ابتدا باید این معادله مثلثاتی را به یکی از دو شکل کاهش دهید:

«a sin x+b cos x=0» (معادله همگن درجه اول) یا «a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0» (معادله همگن درجه دوم).

سپس هر دو قسمت را بر «cos x \ne 0» - برای مورد اول و بر «cos^2 x \ne 0» - برای مورد دوم تقسیم کنید. ما معادلاتی را برای «tg x» به دست می‌آوریم: «a tg x+b=0» و «a tg^2 x + b tg x +c =0» که باید با استفاده از روش‌های شناخته شده حل شوند.

مثال. معادله "2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید سمت راست را به صورت `1=sin^2 x+cos^2 x` بنویسیم:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -`` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

این یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم است، سمت چپ و راست آن را بر 'cos^2 x \ne 0' تقسیم می کنیم، به دست می آوریم:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

«tg^2 x+tg x — 2=0». بیایید جایگزین «tg x=t» را معرفی کنیم که نتیجه آن «t^2 + t - 2=0» است. ریشه های این معادله «t_1=-2» و «t_2=1» هستند. سپس:

1. «tg x=-2»، «x_1=arctg (-2)+\pi n»، «n \in Z»
2. «tg x=1»، «x=arctg 1+\pi n»، «x_2=\pi/4+\pi n»، «n \in Z».

پاسخ دهید. `x_1=arctg (-2)+\pi n`، `n \in Z`، `x_2=\pi/4+\pi n`، `n \in Z`.

حرکت به سمت نیم زاویه

مثال. معادله را حل کنید: '11 sin x - 2 cos x = 10'.

راه حل. بیایید فرمول‌های زاویه دوتایی را اعمال کنیم و به این نتیجه می‌رسیم: `22 sin (x/2) cos (x/2) -`` 2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2 =` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

با استفاده از روش جبری که در بالا توضیح داده شد، به دست می آوریم:

1. «tg x/2=2»، «x_1=2 arctg 2+2\pi n»، «n \در Z»،
2. «tg x/2=3/4»، «x_2=arctg 3/4+2\pi n»، «n \in Z».

پاسخ دهید. `x_1=2 arctg 2+2\pi n، n \in Z`، `x_2=arctg 3/4+2\pi n`، `n \in Z`.

معرفی زاویه کمکی

در معادله مثلثاتی "a sin x + b cos x =c" که در آن a,b,c ضرایب هستند و x یک متغیر است، هر دو طرف را بر "sqrt (a^2+b^2) تقسیم کنید:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

ضرایب سمت چپ دارای ویژگی های سینوس و کسینوس هستند، یعنی مجموع مربع های آنها برابر با 1 است و مدول های آنها بزرگتر از 1 نیست. اجازه دهید آنها را به صورت زیر نشان دهیم: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`، سپس:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

بیایید نگاهی دقیق تر به مثال زیر بیندازیم:

مثال. معادله "3 sin x+4 cos x=2" را حل کنید.

راه حل. هر دو طرف تساوی را بر 'sqrt (3^2+4^2)' تقسیم کنید، به دست می آوریم:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

«3/5 گناه x+4/5 cos x=2/5».

بیایید "3/5 = cos \varphi"، "4/5=sin \varphi" را نشان دهیم. از آنجایی که `sin \varphi>0`، `cos \varphi>0`، پس "\varphi=arcsin 4/5" را به عنوان یک زاویه کمکی در نظر می گیریم. سپس برابری خود را به شکل زیر می نویسیم:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

با اعمال فرمول مجموع زوایای سینوس، تساوی خود را به شکل زیر می نویسیم:

`sin (x+\varphi)=2/5`،

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

پاسخ دهید. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

معادلات مثلثاتی گویا کسری

اینها تساوی با کسری هستند که صورت و مخرج آنها دارای توابع مثلثاتی هستند.

مثال. معادله را حل کنید. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

راه حل. سمت راست تساوی را ضرب و تقسیم بر «(1+cos x)» کنید. در نتیجه دریافت می کنیم:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

با توجه به اینکه مخرج نمی تواند برابر با صفر باشد، «1+cos x \ne 0»، «cos x \ne -1»، «x \ne \pi+2\pi n، n \in Z» به دست می‌آید.

بیایید عدد کسر را با صفر برابر کنیم: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. سپس «sin x=0» یا «1-sin x=0».

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. «1-sin x=0»، «sin x=-1»، «x=\pi /2+2\pi n، n \in Z».

با توجه به اینکه `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`، راه حل ها عبارتند از `x=2\pi n, n \in Z` و `x=\pi /2+2\pi n` ، "n \ در Z".

پاسخ دهید. `x=2\pi n`، `n \in Z`، `x=\pi /2+2\pi n`، `n \in Z`.

مثلثات و به طور خاص معادلات مثلثاتی تقریباً در تمام زمینه های هندسه، فیزیک و مهندسی استفاده می شود. مطالعه از کلاس دهم شروع می شود، همیشه وظایفی برای آزمون یکپارچه دولتی وجود دارد، بنابراین سعی کنید تمام فرمول های معادلات مثلثاتی را به خاطر بسپارید - آنها قطعا برای شما مفید خواهند بود!

با این حال، شما حتی نیازی به حفظ آنها ندارید، نکته اصلی این است که ماهیت را درک کنید و بتوانید آن را استخراج کنید. آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست. خودتان با تماشای ویدیو ببینید.