کسینوس زاویه بین دو خط مستقیم را به صورت آنلاین پیدا کنید. پیدا کردن زاویه بین خطوط مستقیم

بگذارید خطوط مستقیم در فضا داده شوند لو متر. در نقطه ای از فضای A خطوط مستقیم ترسیم می کنیم ل 1 || لو متر 1 || متر(شکل 138).

توجه داشته باشید که نقطه A را می توان خودسرانه انتخاب کرد، به ویژه، می تواند روی یکی از این خطوط قرار گیرد. اگر مستقیم لو مترقطع می شود، سپس A را می توان به عنوان نقطه تلاقی این خطوط در نظر گرفت ( ل 1 = lو متر 1 = متر).

زاویه بین خطوط غیر موازی لو مترمقدار کوچکترین زوایای مجاور است که از خطوط متقاطع تشکیل شده است ل 1 و متر 1 (ل 1 || ل, متر 1 || متر). زاویه بین خطوط موازی برابر با صفر در نظر گرفته می شود.

زاویه بین خطوط مستقیم لو مترنشان داده شده با \(\widehat((l;m))\). از تعریف به دست می آید که اگر در درجه اندازه گیری شود، 0 درجه است < \(\widehat((l;m)) \) < 90 درجه و اگر بر حسب رادیان باشد 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

وظیفه.با توجه به یک مکعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (شکل 139).

زاویه بین خطوط مستقیم AB و DC 1 را پیدا کنید.

خطوط مستقیم AB و DC 1 تقاطع. از آنجایی که خط مستقیم DC با خط مستقیم AB موازی است، طبق تعریف، زاویه بین خطوط مستقیم AB و DC 1 برابر است با \(\widehat(C_(1)DC)\).

بنابراین، \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45 درجه.

مستقیم لو مترنامیده می شوند عمود بر، اگر \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. به عنوان مثال، در یک مکعب

محاسبه زاویه بین خطوط مستقیم

مشکل محاسبه زاویه بین دو خط مستقیم در فضا مانند یک صفحه حل می شود. اجازه دهید بزرگی زاویه بین خطوط را با φ نشان دهیم ل 1 و ل 2، و از طریق ψ - بزرگی زاویه بین بردارهای جهت آ و ب این خطوط مستقیم

سپس اگر

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90 درجه (شکل 206.6)، سپس φ = 180 درجه - ψ. بدیهی است که در هر دو مورد برابری cos φ = |cos ψ| درست است. با توجه به فرمول (کسینوس زاویه بین بردارهای غیر صفر a و b برابر است با حاصلضرب اسکالر این بردارها تقسیم بر حاصل ضرب طول آنها)

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

از این رو،

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

اجازه دهید خطوط با معادلات متعارف آنها داده شود

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; و \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

سپس زاویه φ بین خطوط با استفاده از فرمول تعیین می شود

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

اگر یکی از خطوط (یا هر دو) با معادلات غیر متعارف به دست می آید، برای محاسبه زاویه باید مختصات بردارهای جهت این خطوط را پیدا کنید و سپس از فرمول (1) استفاده کنید.

وظیفه 1.زاویه بین خطوط را محاسبه کنید

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;and\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

بردارهای جهت خطوط مستقیم مختصاتی دارند:

a = (-√2؛ √2؛ -2)، ب = (√3 ; √3 ; √6 ).

با استفاده از فرمول (1) پیدا می کنیم

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

بنابراین، زاویه بین این خطوط 60 درجه است.

وظیفه 2.زاویه بین خطوط را محاسبه کنید

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(موارد) و \begin(موارد)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\پایان (موارد) $$

پشت وکتور راهنما آ اولین خط مستقیم را بگیرید محصول برداریبردارهای معمولی n 1 = (3؛ 0؛ 12-) و n 2 = (1; 1; -3) صفحاتی که این خط را تعریف می کنند. با استفاده از فرمول \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) دریافت می کنیم

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

به طور مشابه، بردار جهت خط مستقیم دوم را پیدا می کنیم:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

اما با استفاده از فرمول (1) کسینوس زاویه مورد نظر را محاسبه می کنیم:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

بنابراین، زاویه بین این خطوط 90 درجه است.

وظیفه 3.در هرم مثلثی MABC، لبه های MA، MB و MC متقابلاً عمود هستند (شکل 207).

طول آنها به ترتیب 4، 3، 6 است. نقطه D وسط [MA] است. زاویه φ بین خطوط CA و DB را پیدا کنید.

بگذارید CA و DB بردارهای جهت خطوط مستقیم CA و DB باشند.

بیایید نقطه M را به عنوان مبدأ مختصات در نظر بگیریم. با شرط معادله، A (4؛ 0؛ 0)، B(0؛ 0؛ 3)، C(0؛ 6؛ 0)، D (2؛ 0؛ 0) داریم. بنابراین \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0)، \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). بیایید از فرمول (1) استفاده کنیم:

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

با استفاده از جدول کسینوس متوجه می شویم که زاویه بین خطوط مستقیم CA و DB تقریباً 72 درجه است.

تکرار مبحث "یافتن زاویه بین خطوط مستقیم" برای هر دانش آموزی که برای امتحان دولتی واحد ریاضی آماده می شود مفید خواهد بود. همانطور که آمار نشان می دهد، هنگام گذراندن آزمون گواهینامه، وظایف این بخش از استریومتری مشکلاتی را برای مقدار زیاددانش آموزان. در عین حال، وظایفی که نیاز به یافتن زاویه بین خطوط مستقیم دارند، در آزمون یکپارچه ایالتی هم پایه و هم در مورد آنها یافت می شود. سطح پروفایل. این بدان معناست که همه باید بتوانند آنها را حل کنند.

لحظات اولیه

4 نوع موقعیت نسبی خطوط در فضا وجود دارد. آنها می توانند منطبق، متقاطع، موازی یا متقاطع باشند. زاویه بین آنها می تواند حاد یا مستقیم باشد.

برای یافتن زاویه بین خطوط در آزمون یکپارچه دولتی یا مثلاً در حل، دانش آموزان مدرسه در مسکو و سایر شهرها می توانند از چندین راه برای حل مسائل در این بخش از استریومتری استفاده کنند. می توانید کار را با استفاده از ساختارهای کلاسیک تکمیل کنید. برای انجام این کار، ارزش یادگیری بدیهیات و قضایای اساسی استریومتری را دارد. دانش آموز باید بتواند به طور منطقی استدلال کند و نقاشی ایجاد کند تا کار را به یک مسئله پلان سنجی برساند.

همچنین می توانید از روش بردار مختصات با استفاده از فرمول ها، قوانین و الگوریتم های ساده استفاده کنید. نکته اصلی در این مورد این است که تمام محاسبات را به درستی انجام دهید. پروژه آموزشی Shkolkovo به شما کمک می کند تا مهارت های حل مسئله خود را در استریومتری و سایر بخش های دوره مدرسه تقویت کنید.

این ماده به مفهومی مانند زاویه بین دو خط متقاطع اختصاص داده شده است. در پاراگراف اول توضیح خواهیم داد که چیست و آن را در تصاویر نشان می دهیم. سپس به روش هایی که می توانید سینوس، کسینوس این زاویه و خود زاویه را بیابید نگاه می کنیم (مواردی با صفحه و فضای سه بعدی را جداگانه در نظر می گیریم)، ​​فرمول های لازم را می دهیم و با مثال دقیقاً نشان می دهیم. نحوه استفاده از آنها در عمل

Yandex.RTB R-A-339285-1

برای اینکه بفهمیم زاویه ای که هنگام تلاقی دو خط تشکیل می شود چیست، باید دقیقاً تعریف زاویه، عمودگرایی و نقطه تقاطع را به خاطر بسپاریم.

تعریف 1

ما دو خط را متقاطع می نامیم اگر یک نقطه مشترک داشته باشند. به این نقطه نقطه تلاقی دو خط می گویند.

هر خط مستقیم توسط یک نقطه تقاطع به پرتوها تقسیم می شود. هر دو خط مستقیم 4 زاویه را تشکیل می دهند که دو تای آنها عمودی و دو تای مجاور هستند. اگر اندازه یکی از آنها را بدانیم، می توانیم بقیه را تعیین کنیم.

فرض کنید می دانیم یکی از زوایا برابر با α است. در این صورت زاویه ای که نسبت به آن عمودی است نیز برابر با α خواهد بود. برای یافتن زوایای باقیمانده، باید اختلاف 180 درجه - α را محاسبه کنیم. اگر α برابر 90 درجه باشد، تمام زوایا قائم الزاویه خواهند بود. خطوطی که در زاویه قائمه متقاطع می شوند عمود نامیده می شوند (مقاله جداگانه ای به مفهوم عمود بودن اختصاص داده شده است).

به تصویر نگاه کنید:

بیایید به تدوین تعریف اصلی برویم.

تعریف 2

زاویه ای که توسط دو خط متقاطع تشکیل می شود، اندازه کوچکتر از 4 زاویه تشکیل دهنده این دو خط است.

یک نتیجه مهم باید از تعریف گرفته شود: اندازه زاویه در این مورد با هر عدد واقعی در بازه (0, 90] بیان می شود. اگر خطوط عمود باشند، زاویه بین آنها در هر صورت خواهد بود. برابر 90 درجه

توانایی یافتن اندازه گیری زاویه بین دو خط متقاطع برای حل بسیاری از مسائل کاربردی مفید است. روش حل را می توان از چندین گزینه انتخاب کرد.

برای شروع، می توانیم روش های هندسی را در نظر بگیریم. اگر چیزی در مورد زوایای مکمل بدانیم، می‌توانیم آن‌ها را با استفاده از ویژگی‌های اعداد مساوی یا مشابه به زاویه مورد نیاز خود مرتبط کنیم. به عنوان مثال، اگر اضلاع یک مثلث را بشناسیم و باید زاویه بین خطوطی را که این ضلع ها روی آنها قرار دارند محاسبه کنیم، قضیه کسینوس برای حل ما مناسب است. اگر شرایط را داریم راست گوشه، سپس برای محاسبات به دانش سینوس، کسینوس و مماس زاویه نیز نیاز خواهیم داشت.

روش مختصات نیز برای حل مسائل از این نوع بسیار راحت است. اجازه دهید نحوه استفاده صحیح از آن را توضیح دهیم.

ما یک سیستم مختصات مستطیلی (دکارتی) O x y داریم که در آن دو خط مستقیم آورده شده است. بیایید آنها را با حروف a و b نشان دهیم. خطوط مستقیم را می توان با استفاده از برخی معادلات توصیف کرد. خطوط اصلی دارای یک نقطه تقاطع M هستند. چگونه می توان زاویه مورد نیاز (بیایید آن را با α مشخص کنیم) بین این خطوط مستقیم؟

بیایید با فرمول بندی اصل اساسی یافتن زاویه در شرایط معین شروع کنیم.

می دانیم که مفهوم خط مستقیم با مفاهیمی مانند بردار جهت و بردار عادی ارتباط نزدیکی دارد. اگر معادله ای از یک خط مشخص داشته باشیم، می توانیم مختصات این بردارها را از آن بگیریم. ما می توانیم این کار را برای دو خط متقاطع همزمان انجام دهیم.

زاویه ای که توسط دو خط متقاطع متقاطع می شود را می توان با استفاده از:

• زاویه بین بردارهای جهت.
• زاویه بین بردارهای عادی؛
• زاویه بین بردار معمولی یک خط و بردار جهت دیگری.

حالا بیایید هر روش را جداگانه بررسی کنیم.

1. فرض کنید یک خط a با بردار جهت a → = (a x, a y) و یک خط b با بردار جهت b → (b x, b y) داریم. حالا دو بردار a → و b → را از نقطه تقاطع رسم می کنیم. پس از این خواهیم دید که هر کدام در خط مستقیم خود قرار خواهند گرفت. سپس چهار گزینه برای چیدمان نسبی آنها داریم. تصویر را ببینید:

اگر زاویه بین دو بردار منفرد نباشد، این زاویه ای خواهد بود که بین خطوط متقاطع a و b به آن نیاز داریم. اگر منفرد باشد، زاویه مورد نظر برابر با زاویه مجاور زاویه a →، b → ^ خواهد بود. بنابراین، α = a →، b → ^ اگر a →، b → ^ ≤ 90 درجه، و α = 180 ° - a →، b → ^ اگر a →، b → ^ > 90 °.

بر اساس این واقعیت که کسینوس زوایای مساویبرابر هستند، می‌توانیم تساوی‌های حاصل را به صورت زیر بازنویسی کنیم: cos α = cos a → , b → ^ , اگر a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a →، b → ^ = - cos a →، b → ^، اگر a →، b → ^ > 90 °.

در مورد دوم از فرمول های کاهش استفاده شد. بدین ترتیب،

cos α cos a →، b → ^، cos a →، b → ^ ≥ 0 - cos a →، b → ^، cos a →، b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

بیایید آخرین فرمول را در کلمات بنویسیم:

تعریف 3

کسینوس زاویه ای که توسط دو خط مستقیم متقاطع تشکیل شده است برابر با مدول کسینوس زاویه بین بردارهای جهت آن خواهد بود.

شکل کلی فرمول کسینوس زاویه بین دو بردار a → = (a x , a y) و b → = (b x , b y) به صورت زیر است:

cos a →، b → ^ = a →، b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

از آن می توانیم فرمول کسینوس زاویه بین دو خط مستقیم داده شده را استخراج کنیم:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

سپس خود زاویه را می توان با استفاده از فرمول زیر پیدا کرد:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

در اینجا a → = (a x , a y) و b → = (b x , b y) بردارهای جهت خطوط داده شده هستند.

بیایید یک مثال برای حل مشکل بیاوریم.

مثال 1

در یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه، دو خط متقاطع a و b آورده شده است. آنها را می توان با معادلات پارامتری x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R و x 5 = y - 6 - 3 توصیف کرد. زاویه بین این خطوط را محاسبه کنید.

راه حل

ما در شرایط خود یک معادله پارامتری داریم، به این معنی که برای این خط می توانیم مختصات بردار جهت آن را بلافاصله یادداشت کنیم. برای انجام این کار، باید مقادیر ضرایب را برای پارامتر، یعنی. خط مستقیم x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R یک بردار جهت خواهد داشت a → = (4، 1).

خط دوم با استفاده از معادله متعارف x 5 = y - 6 - 3 توصیف شده است. در اینجا می توانیم مختصات را از مخرج بگیریم. بنابراین، این خط دارای یک بردار جهت b → = (5، - 3) است.

بعد، مستقیماً به سمت یافتن زاویه حرکت می کنیم. برای انجام این کار، کافی است مختصات موجود دو بردار را در فرمول فوق جایگزین کنید α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . موارد زیر را دریافت می کنیم:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 درجه

پاسخ: این خطوط مستقیم زاویه 45 درجه را تشکیل می دهند.

می‌توانیم با پیدا کردن زاویه بین بردارهای معمولی مشکل مشابهی را حل کنیم. اگر یک خط a با بردار نرمال n a → = (n a x , n a y) و یک خط b با بردار نرمال n b → = (n b x , n b y) داشته باشیم، زاویه بین آنها برابر با زاویه بین n a → و n b → یا زاویه ای که در مجاورت n a →، n b → ^ خواهد بود. این روش در تصویر نشان داده شده است:

فرمول های محاسبه کسینوس زاویه بین خطوط متقاطع و خود این زاویه با استفاده از مختصات بردارهای عادی به این صورت است:

cos α = cos n a → ، n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y y 2 n b x 2 + n b y b y 2

در اینجا n a → و n b → بردارهای عادی دو خط داده شده را نشان می دهند.

مثال 2

در یک سیستم مختصات مستطیلی، دو خط مستقیم با استفاده از معادلات 3 x + 5 y - 30 = 0 و x + 4 y - 17 = 0 داده می شود. سینوس و کسینوس زاویه بین آنها و بزرگی خود این زاویه را بیابید.

راه حل

خطوط اصلی با استفاده از معادلات خط معمولی به شکل Ax + B y + C = 0 مشخص می شوند. بردار نرمال را n → = (A, B) نشان می دهیم. مختصات اولین بردار نرمال را برای یک خط پیدا کرده و آنها را بنویسیم: n a → = (3, 5) . برای خط دوم x + 4 y - 17 = 0، بردار عادی دارای مختصات n b → = (1، 4) خواهد بود. حالا بیایید مقادیر به دست آمده را به فرمول اضافه کرده و کل را محاسبه کنیم:

cos α = cos n a → ، n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

اگر کسینوس یک زاویه را بدانیم، می توانیم سینوس آن را با استفاده از پایه محاسبه کنیم هویت مثلثاتی. از آنجایی که زاویه α تشکیل شده توسط خطوط مستقیم منفرد نیست، پس sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

در این مورد، α = a rc cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

پاسخ: cos α = 23 2 34، sin α = 7 2 34، α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

اجازه دهید مورد آخر را تجزیه و تحلیل کنیم - اگر مختصات بردار جهت یک خط مستقیم و بردار معمولی دیگر را بدانیم، زاویه بین خطوط مستقیم را پیدا کنیم.

فرض کنید خط مستقیم a دارای بردار جهت a → = (a x , a y) است و خط مستقیم b دارای بردار نرمال n b → = (nb x , n b y) است. ما باید این بردارها را از نقطه تقاطع کنار بگذاریم و همه گزینه ها را برای موقعیت های نسبی آنها در نظر بگیریم. در تصویر ببینید:

اگر زاویه بین بردارهای داده شده بیشتر از 90 درجه نباشد، معلوم می شود که زاویه بین a و b را تا یک زاویه قائم تکمیل می کند.

a → , n b → ^ = 90 ° - α اگر a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

اگر کمتر از 90 درجه باشد، نتیجه زیر را بدست می آوریم:

a →، n b → ^ > 90 درجه، سپس a →، n b → ^ = 90 ° + α

با استفاده از قانون تساوی کسینوس های زوایای مساوی می نویسیم:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = گناه α برای a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a →، n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α برای a →، n b → ^ > 90 °.

بدین ترتیب،

sin α = cos a →، n b → ^، a →، n b → ^ ≤ 90 ° - cos a →، n b → ^، a →، n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a →، n b → ^، a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

اجازه دهید یک نتیجه گیری را تدوین کنیم.

تعریف 4

برای پیدا کردن سینوس زاویه بین دو خط متقاطع در یک صفحه، باید مدول کسینوس زاویه بین بردار جهت خط اول و بردار معمولی دوم را محاسبه کنید.

بیایید فرمول های لازم را بنویسیم. پیدا کردن سینوس یک زاویه:

sin α = cos a →، n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

پیدا کردن خود زاویه:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

در اینجا a → بردار جهت خط اول است و n b → بردار عادی خط دوم است.

مثال 3

دو خط متقاطع با معادلات x - 5 = y - 6 3 و x + 4 y - 17 = 0 به دست می آیند. زاویه تقاطع را پیدا کنید.

راه حل

مختصات بردار راهنما و نرمال را از معادلات داده شده می گیریم. معلوم می شود a → = (- 5، 3) و n → b = (1، 4). فرمول α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 را گرفته و محاسبه می کنیم:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

لطفاً توجه داشته باشید که ما معادلات مسئله قبلی را گرفتیم و دقیقاً همان نتیجه را به دست آوردیم اما به روشی متفاوت.

پاسخ:α = a r c sin 7 2 34

بیایید راه دیگری برای یافتن ارائه دهیم زاویه مورد نظربا استفاده از ضرایب زاویه ای خطوط داده شده.

ما یک خط a داریم که در یک سیستم مختصات مستطیلی با استفاده از معادله y = k 1 x + b 1 و یک خط b که به صورت y = k 2 x + b 2 تعریف می شود. اینها معادلات خطوط با شیب هستند. برای یافتن زاویه تقاطع از فرمول استفاده می کنیم:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 ، که در آن k 1 و k 2 هستند ضرایب زاویهخطوط مستقیم داده شده است. برای به دست آوردن این رکورد از فرمول های تعیین زاویه از طریق مختصات بردارهای نرمال استفاده شد.

مثال 4

در یک صفحه دو خط مستقیم وجود دارد، توسط معادلات داده شده است y = - 3 5 x + 6 و y = - 1 4 x + 17 4 . مقدار زاویه تقاطع را محاسبه کنید.

راه حل

ضرایب زاویه ای خطوط ما برابر با k 1 = - 3 5 و k 2 = - 1 4 است. بیایید آنها را به فرمول α = a rc cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 اضافه کنیم و محاسبه کنیم:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

پاسخ:α = a r c cos 23 2 34

در نتیجه گیری این پاراگراف، لازم به ذکر است که فرمول های یافتن زاویه ارائه شده در اینجا لازم نیست از روی قلب یاد بگیرند. برای این کار کافی است مختصات راهنماها و/یا بردارهای معمولی خطوط داده شده را بدانیم و بتوانیم با استفاده از انواع مختلف معادلات آنها را تعیین کنیم. اما بهتر است فرمول های محاسبه کسینوس یک زاویه را به خاطر بسپارید یا یادداشت کنید.

نحوه محاسبه زاویه بین خطوط متقاطع در فضا

محاسبه چنین زاویه ای را می توان به محاسبه مختصات بردارهای جهت و تعیین بزرگی زاویه تشکیل شده توسط این بردارها تقلیل داد. برای چنین مثال هایی از همان استدلالی که قبلاً آوردیم استفاده می شود.

بیایید فرض کنیم که یک سیستم مختصات مستطیلی داریم که در فضای سه بعدی قرار دارد. شامل دو خط مستقیم a و b با نقطه تقاطع M است. برای محاسبه مختصات بردارهای جهت، باید معادلات این خطوط را بدانیم. اجازه دهید بردارهای جهت a → = (a x , a y , a z) و b → = (b x , b y , b z) را نشان دهیم. برای محاسبه کسینوس زاویه بین آنها از فرمول استفاده می کنیم:

cos α = cos a →، b → ^ = a →، b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

برای یافتن خود زاویه به این فرمول نیاز داریم:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

مثال 5

ما یک خط داریم که در فضای سه بعدی با استفاده از معادله x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 تعریف شده است. مشخص است که با محور O z تقاطع دارد. زاویه قطع و کسینوس آن زاویه را محاسبه کنید.

راه حل

اجازه دهید زاویه ای را که باید محاسبه شود با حرف α نشان می دهیم. بیایید مختصات بردار جهت را برای اولین خط مستقیم بنویسیم - a → = (1, - 3, - 2) . برای محور کاربردی، می توانیم بردار مختصات k → = (0, 0, 1) را به عنوان راهنما در نظر بگیریم. ما داده های لازم را دریافت کرده ایم و می توانیم آن را به فرمول مورد نظر اضافه کنیم:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

در نتیجه متوجه شدیم که زاویه مورد نیاز برابر با rc cos 1 2 = 45 درجه خواهد بود.

پاسخ: cos α = 1 2 , α = 45 درجه .

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

زاویه بین هواپیماها

دو صفحه α 1 و α 2 را در نظر بگیرید که به ترتیب با معادلات تعریف می شوند:

زیر زاویهبین دو هواپیما یکی را خواهیم فهمید زوایای دو وجهیتوسط این هواپیماها تشکیل شده است. بدیهی است که زاویه بین بردارهای عادی و سطوح α1 و α2 برابر با یکی از زوایای دو وجهی مجاور مشخص شده است یا . از همین رو . زیرا و ، آن

.

مثال.زاویه بین صفحات را تعیین کنید ایکس+2y-3z+4=0 و 2 ایکس+3y+z+8=0.

شرط موازی بودن دو صفحه.

دو صفحه α 1 و α 2 موازی هستند اگر و فقط اگر بردارهای عادی آنها موازی باشند و بنابراین .

بنابراین، دو صفحه موازی با یکدیگر هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب مختصات مربوطه متناسب باشند:

یا

شرایط عمود بودن صفحات.

واضح است که دو صفحه عمود بر هم هستند اگر و فقط اگر بردارهای عادی آنها عمود بر هم باشند، و بنابراین، یا .

بدین ترتیب، .

مثال ها.

مستقیم در فضا.

معادله برداری برای یک خط.

معادلات مستقیم پارامتریک

موقعیت یک خط در فضا به طور کامل با تعیین هر یک از نقاط ثابت آن مشخص می شود م 1 و بردار موازی با این خط.

بردار موازی با یک خط نامیده می شود راهنماهابردار این خط

بنابراین اجازه دهید خط مستقیم لاز نقطه ای عبور می کند م 1 (ایکس 1 , y 1 , z 1) روی خطی موازی با بردار دراز کشیده است.

یک نکته دلخواه را در نظر بگیرید M(x،y،z)روی یک خط مستقیم از شکل مشخص است که .

بردارها و خطی هستند، بنابراین چنین عددی وجود دارد تی, چیست , ضریب کجاست تیبسته به موقعیت نقطه می تواند هر مقدار عددی را بگیرد مروی یک خط مستقیم عامل تیپارامتر نامیده می شود. با تعیین بردار شعاع نقاط م 1 و مبه ترتیب، از طریق و، به دست می آوریم. این معادله نامیده می شود بردارمعادله یک خط مستقیم نشان می دهد که برای هر مقدار پارامتر تیبا بردار شعاع یک نقطه مطابقت دارد م، روی یک خط مستقیم دراز کشیده است.

بیایید این معادله را به صورت مختصات بنویسیم. توجه کنید که ، و از اینجا

معادلات به دست آمده نامیده می شوند پارامتریکمعادلات یک خط مستقیم

هنگام تغییر یک پارامتر تیمختصات تغییر می کند ایکس, yو zو دوره مدر یک خط مستقیم حرکت می کند

معادلات متعارف مستقیم

اجازه دهید م 1 (ایکس 1 , y 1 , z 1) - نقطه ای که روی یک خط مستقیم قرار دارد ل، و بردار جهت آن است. اجازه دهید دوباره یک نقطه دلخواه در خط را در نظر بگیریم M(x،y،z)و بردار را در نظر بگیرید.

واضح است که بردارها هم خطی هستند، بنابراین مختصات متناظر آنها باید متناسب باشد، بنابراین،

– ابتداییمعادلات یک خط مستقیم

یادداشت 1.توجه داشته باشید که با حذف پارامتر می توان معادلات متعارف خط را از معادلات پارامتریک بدست آورد. تی. در واقع از معادلات پارامتری بدست می آوریم یا .

مثال.معادله خط را بنویسید به صورت پارامتریک

بیایید نشان دهیم ، از اینجا ایکس = 2 + 3تی, y = –1 + 2تی, z = 1 –تی.

تبصره 2.بگذارید خط مستقیم عمود بر یکی از محورهای مختصات مثلاً محور باشد گاو نر. سپس بردار جهت خط عمود است گاو نراز این رو، متر=0. در نتیجه، معادلات پارامتریک خط شکل خواهد گرفت

حذف پارامتر از معادلات تی، معادلات خط را در فرم به دست می آوریم

با این حال، در این مورد نیز موافقیم که معادلات متعارف خط را به صورت رسمی بنویسیم . بنابراین، اگر مخرج یکی از کسرها صفر باشد، به این معنی است که خط مستقیم بر محور مختصات مربوطه عمود است.

مشابه معادلات متعارف مربوط به یک خط مستقیم عمود بر محورها است گاو نرو اوهیا موازی با محور اوز.

مثال ها.

معادلات کلی یک خط مستقیم به عنوان خطوط تقاطع دو صفحه

از طریق هر خط مستقیم در فضا هواپیماهای بی شماری وجود دارد. هر دو تا از آنها، که متقاطع شوند، آن را در فضا تعریف می کنند. در نتیجه، معادلات هر دو چنین صفحه ای که با هم در نظر گرفته شوند، معادلات این خط را نشان می دهند.

به طور کلی، هر دو نیست صفحات موازی، با معادلات کلی داده می شود

خط مستقیم تقاطع آنها را تعیین کنید. این معادلات نامیده می شوند معادلات کلیسر راست.

مثال ها.

خطی بسازید که با معادلات داده می شود

برای ساخت یک خط مستقیم کافی است هر دو نقطه از آن را پیدا کنید. ساده ترین راه انتخاب نقاط تقاطع یک خط مستقیم با صفحات مختصات است. به عنوان مثال، نقطه تقاطع با هواپیما xOyما از معادلات خط مستقیم با فرض به دست می آوریم z= 0:

پس از حل این سیستم، نکته را پیدا می کنیم م 1 (1;2;0).

به همین ترتیب، با فرض y= 0، نقطه تقاطع خط با صفحه را می گیریم xOz:

از معادلات کلی یک خط مستقیم می توان به معادلات متعارف یا پارامتریک آن رفت. برای این کار باید نقطه ای را پیدا کنید م 1 روی یک خط مستقیم و بردار جهت یک خط مستقیم.

مختصات نقطه م 1 را از این سیستم معادلات بدست می آوریم و به یکی از مختصات مقدار دلخواه می دهیم. برای یافتن بردار جهت، توجه داشته باشید که این بردار باید بر هر دو بردار معمولی عمود باشد و . بنابراین، فراتر از بردار جهت خط مستقیم لمی توانید حاصل ضرب برداری بردارهای عادی را بگیرید:

.

مثال.رهبری معادلات کلیسر راست به شکل متعارف

بیایید نقطه ای را پیدا کنیم که روی یک خط قرار دارد. برای انجام این کار، یکی از مختصات را خودسرانه انتخاب می کنیم، به عنوان مثال، y= 0 و سیستم معادلات را حل کنید:

بردارهای عادی صفحاتی که خط را مشخص می کنند دارای مختصاتی هستند بنابراین، بردار جهت مستقیم خواهد بود

. از این رو، ل: .

زاویه بین استرایت ها

زاویهبین خطوط مستقیم در فضا، هر یک از زوایای مجاور را که توسط دو خط مستقیم که از طریق یک نقطه دلخواه موازی با داده ها کشیده شده اند، می نامیم.

بگذارید دو خط در فاصله داده شود:

بدیهی است که زاویه φ بین خطوط مستقیم را می توان به عنوان زاویه بین بردارهای جهت آنها و . از آنجا که، پس با استفاده از فرمول کسینوس زاویه بین بردارها به دست می آوریم

زاویهبین خطوط مستقیم در فضا، هر یک از زوایای مجاور را که توسط دو خط مستقیم که از طریق یک نقطه دلخواه موازی با داده ها کشیده شده اند، می نامیم.

بگذارید دو خط در فاصله داده شود:

بدیهی است که زاویه φ بین خطوط مستقیم را می توان به عنوان زاویه بین بردارهای جهت آنها و . از آنجا که، پس با استفاده از فرمول کسینوس زاویه بین بردارها به دست می آوریم

شرایط موازی و عمود بودن دو خط مستقیم معادل شرایط موازی و عمود بردارهای جهت آنهاست و:

دوتا مستقیم موازیاگر و فقط اگر ضرایب متناظر آنها متناسب باشد، یعنی. ل 1 موازی ل 2 اگر و فقط اگر موازی باشد .

دوتا مستقیم عمود براگر و فقط اگر مجموع حاصل ضرب ضرایب مربوطه برابر با صفر باشد: .

U هدف بین خط و صفحه

بگذارید مستقیم باشد د- عمود بر صفحه θ نیست.
د"- طرح ریزی یک خط دبه صفحه θ؛
کوچکترین زاویه بین خطوط مستقیم دو د"ما تماس خواهیم گرفت زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه.
بیایید آن را به صورت φ=( د,θ)
اگر د⊥θ، سپس ( د,θ)=π/2

اوه→j→ک→- سیستم مختصات مستطیلی.
معادله صفحه:

θ: تبر+توسط+Cz+D=0

فرض می کنیم که خط مستقیم با یک نقطه و یک بردار جهت تعریف می شود: د[م 0,پ→]
بردار n→(آ,ب,سی)⊥θ
سپس برای یافتن زاویه بین بردارها باقی مانده است n→ و پ→، اجازه دهید آن را با γ=( n→,پ→).

اگر زاویه γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

اگر زاویه γ>π/2 باشد، زاویه مورد نظر φ=γ−π/2 است

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

سپس، زاویه بین خط مستقیم و صفحهرا می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √آ 2+ب 2+سی 2√پ 21+پ 22+پ 23

سوال 29. مفهوم فرم درجه دوم. قطعیت علامت اشکال درجه دوم.

شکل درجه دوم j (x 1، x 2، ...، x n) n متغیر واقعی x 1، x 2، ...، x nمجموع فرم نامیده می شود
, (1)

جایی که یک ij - برخی از اعداد به نام ضریب. بدون از دست دادن کلیت، می توانیم چنین فرض کنیم یک ij = یک جی.

شکل درجه دوم نامیده می شود معتبر،اگر یک ij Î GR. ماتریس فرم درجه دومماتریسی ساخته شده از ضرایب آن نامیده می شود. شکل درجه دوم (1) با تنها ماتریس متقارن مطابقت دارد
به این معنا که A T = A. در نتیجه، فرم درجه دوم (1) را می توان به شکل ماتریس j نوشت ( ایکس) = x T Ah، جایی که x T = (ایکس 1 ایکس 2 … x n). (2)

و برعکس، هر ماتریس متقارن (2) با یک شکل درجه دوم منحصر به فرد تا نماد متغیرها مطابقت دارد.

رتبه فرم درجه دومرتبه ماتریس آن نامیده می شود. شکل درجه دوم نامیده می شود غیر منحط،اگر ماتریس آن غیر مفرد باشد آ. (به یاد بیاورید که ماتریس آغیر منحط نامیده می شود اگر تعیین کننده آن نباشد برابر با صفر). در غیر این صورت، شکل درجه دوم منحط است.

مثبت قطعی(یا کاملاً مثبت) اگر

j ( ایکس) > 0 ، برای هرکس ایکس = (ایکس 1 , ایکس 2 , …, x n), بجز ایکس = (0, 0, …, 0).

ماتریس آشکل درجه دوم قطعی مثبت j ( ایکس) معین مثبت نیز نامیده می شود. بنابراین، یک شکل درجه دوم قطعی مثبت با یک ماتریس قطعی مثبت منحصر به فرد مطابقت دارد و بالعکس.

شکل درجه دوم (1) نامیده می شود منفی تعریف شده است(یا کاملاً منفی) اگر

j ( ایکس) < 0, для любого ایکس = (ایکس 1 , ایکس 2 , …, x n)، بجز ایکس = (0, 0, …, 0).

به طور مشابه مانند بالا، یک ماتریس از شکل درجه دوم قطعی منفی نیز قطعی منفی نامیده می شود.

در نتیجه، شکل درجه دوم قطعی مثبت (منفی) j ( ایکس) به حداقل (حداکثر) مقدار j می رسد ( ایکس*) = 0 در ایکس* = (0, 0, …, 0).

توجه داشته باشید که اکثر اشکال درجه دوم، علامت معین نیستند، یعنی نه مثبت هستند و نه منفی. چنین اشکال درجه دوم نه تنها در مبدأ سیستم مختصات، بلکه در نقاط دیگر نیز ناپدید می شوند.

چه زمانی n> 2، معیارهای خاصی برای بررسی علامت یک فرم درجه دوم مورد نیاز است. بیایید به آنها نگاه کنیم.

خردسالان عمدهشکل درجه دوم را مینور می گویند:

یعنی اینها مینورهای مرتبه 1، 2، ...، nماتریس ها آ، واقع در گوشه سمت چپ بالا، آخرین آنها با تعیین کننده ماتریس منطبق است آ.

معیار قطعیت مثبت (معیار سیلوستر)

ایکس) = x T Ahقطعی مثبت بود، لازم و کافی است که همه ماتریس های اصلی ماتریس باشند آمثبت بودند، یعنی: م 1 > 0, م 2 > 0, …, منگنز > 0. معیار قطعیت منفی به منظور شکل درجه دوم j ( ایکس) = x T Ahقطعی منفی بود، لازم و کافی است که صغیر اصلی آن به ترتیب زوج مثبت و از جهت فرد - منفی باشد، یعنی: م 1 < 0, م 2 > 0, م 3 < 0, …, (–1)n