تعریف بین خط مستقیم و صفحه خلاصه درس "زاویه بین خط و صفحه"

مفهوم طرح ریزی یک شکل بر روی یک صفحه

برای معرفی مفهوم زاویه بین یک خط و یک صفحه، ابتدا باید مفهومی مانند طرح ریزی یک شکل دلخواه بر روی یک صفحه را درک کنید.

تعریف 1

اجازه دهید یک نقطه دلخواه $A$ به ما داده شود. نقطه $A_1$ را پیش بینی نقطه $A$ بر روی صفحه $\alpha $ می نامند اگر پایه عمودی باشد که از نقطه $A$ به صفحه $\alpha $ کشیده شده است (شکل 1).

شکل 1. طرح ریزی یک نقطه بر روی یک صفحه

تعریف 2

اجازه دهید یک رقم دلخواه $F$ به ما داده شود. شکل $F_1$ را پیش بینی شکل $F$ بر روی صفحه $\alpha $ می نامند که از پیش بینی تمام نقاط شکل $F$ بر روی صفحه $\alpha $ تشکیل شده است (شکل 2).

شکل 2. طرح ریزی یک شکل بر روی یک صفحه

قضیه 1

برآمدگی که بر صفحه خط مستقیم عمود نباشد، خط مستقیم است.

اثبات

اجازه دهید به ما یک صفحه $\alpha $ و یک خط مستقیم $d$ داده شود که آن را قطع می کند، نه عمود بر آن. اجازه دهید یک نقطه $M$ را در خط $d$ انتخاب کنیم و نمای $H$ آن را روی صفحه $\alpha $ بکشیم. از طریق خط مستقیم $(MH)$ صفحه $\beta $ را ترسیم می کنیم. بدیهی است که این صفحه عمود بر صفحه $\alpha $ خواهد بود. اجازه دهید آنها را در امتداد خط مستقیم $m$ قطع کنند. بیایید یک نقطه دلخواه $M_1$ از خط $d$ را در نظر بگیریم و یک خط $(M_1H_1$) از طریق آن به موازات خط $(MH)$ رسم کنیم (شکل 3).

شکل 3.

از آنجایی که صفحه $\beta $ عمود بر صفحه $\alpha $ است، پس $M_1H_1$ عمود بر خط مستقیم $m$ است، یعنی نقطه $H_1$ نمایان شدن نقطه $M_1$ بر روی هواپیما $\alpha $. به دلیل خودسرانه بودن انتخاب نقطه $M_1$، تمام نقاط خط $d$ روی خط $m$ پیش بینی می شود.

استدلال به روشی مشابه. که در به صورت برعکس، به این نتیجه می رسیم که هر نقطه در خط $m$ طرحی از نقطه ای از خط $d$ است.

این بدان معناست که خط $d$ روی خط $m$ پیش بینی می شود.

قضیه ثابت شده است.

مفهوم زاویه بین خط مستقیم و صفحه

تعریف 3

زاویه بین خط مستقیمی که یک صفحه را قطع می کند و برآمدگی آن بر روی این صفحه، زاویه بین خط مستقیم و صفحه نامیده می شود (شکل 4).

شکل 4. زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه

اجازه دهید در اینجا چند نکته را ذکر کنیم.

یادداشت 1

اگر خط عمود بر صفحه باشد. سپس زاویه بین خط مستقیم و صفحه 90$^\circ$ است.

تبصره 2

اگر خط موازی باشد یا در یک صفحه قرار داشته باشد. سپس زاویه بین خط مستقیم و صفحه $0^\circ$ است.

نمونه مشکلات

مثال 1

اجازه دهید یک متوازی الاضلاع $ABCD$ و یک نقطه $M$ به ما داده شود که در صفحه متوازی الاضلاع قرار نگیرد. ثابت کنید که مثلث‌های $AMB$ و $MBC$ قائم‌زاویه هستند اگر نقطه $B$ طرح نقطه $M$ روی صفحه متوازی الاضلاع باشد.

اثبات

اجازه دهید شرایط مشکل را در شکل (شکل 5) به تصویر بکشیم.

شکل 5.

از آنجایی که نقطه $B$ نمایان شدن نقطه $M$ بر روی صفحه $(ABC)$ است، پس خط مستقیم $(MB)$ عمود بر صفحه $(ABC)$ است. با توجه 1، متوجه می‌شویم که زاویه بین خط مستقیم $(MB)$ و صفحه $(ABC)$ برابر با $90^\circ$ است. از این رو

\[\ زاویه MBC=MBA=(90)^0\]

این بدان معنی است که مثلث های $AMB$ و $MBC$ مثلث قائم الزاویه هستند.

مثال 2

با توجه به یک هواپیما $\alpha $. پاره ای با زاویه $\varphi $ نسبت به این صفحه رسم می شود که ابتدای آن در این صفحه قرار دارد. طرح ریزی این بخش نصف اندازه خود بخش است. مقدار $\varphi$ را پیدا کنید.

راه حل.

شکل 6 را در نظر بگیرید.

شکل 6.

به شرط، ما داریم

از آنجایی که مثلث $BCD$ قائم الزاویه است، پس طبق تعریف کسینوس

\ \[\varphi =arccos\frac(1)(2)=(60)^0\]

مقاله با تعریف زاویه بین خط مستقیم و صفحه آغاز می شود. این مقاله به شما نشان می دهد که چگونه زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه را با استفاده از روش مختصات پیدا کنید. راه حل های مثال ها و مشکلات به تفصیل مورد بحث قرار خواهند گرفت.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ابتدا لازم است مفهوم خط مستقیم در فضا و مفهوم هواپیما تکرار شود. برای تعیین زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه، چندین تعریف کمکی ضروری است. بیایید به تفصیل به این تعاریف نگاه کنیم.

تعریف 1

یک خط مستقیم و یک صفحه تلاقی می کننددر صورتی که یک نقطه مشترک داشته باشند، یعنی نقطه تلاقی یک خط مستقیم و یک صفحه باشد.

خط مستقیمی که یک صفحه را قطع می کند ممکن است عمود بر صفحه باشد.

تعریف 2

یک خط مستقیم عمود بر یک صفحه استوقتی بر هر خطی که در این صفحه قرار دارد عمود باشد.

تعریف 3

پرتاب نقطه M بر روی یک صفحهγ خود نقطه است اگر در یک صفحه معین قرار داشته باشد یا نقطه تلاقی صفحه با یک خط مستقیم باشد. عمود بر صفحهγ عبور از نقطه M به شرطی که به صفحه γ تعلق نداشته باشد.

تعریف 4

طرح ریزی خط a بر روی یک هواپیماγ مجموعه ای از پیش بینی تمام نقاط یک خط معین بر روی صفحه است.

از این نتیجه دریافت می کنیم که طرح یک خط عمود بر صفحه γ دارای یک نقطه تقاطع است. متوجه شدیم که برآمدگی خط a خطی است متعلق به صفحه γ و از نقطه تلاقی خط a و صفحه می گذرد. بیایید به شکل زیر نگاه کنیم.

بر این لحظهما تمام اطلاعات و داده های لازم را برای فرمول بندی تعریف زاویه بین خط مستقیم و صفحه در اختیار داریم

تعریف 5

زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحهزاویه بین این خط مستقیم و برآمدگی آن بر روی این صفحه نامیده می شود و خط مستقیم بر آن عمود نیست.

تعریف زاویه ارائه شده در بالا کمک می کند تا به این نتیجه برسیم که زاویه بین یک خط و یک صفحه، زاویه بین دو خط متقاطع است، یعنی یک خط معین به همراه طرح ریزی آن بر روی صفحه. این بدان معنی است که زاویه بین آنها همیشه حاد خواهد بود. بیایید نگاهی به تصویر زیر بیندازیم.

زاویه ای که بین یک خط مستقیم و یک صفحه قرار دارد، راست در نظر گرفته می شود، یعنی برابر با 90 درجه، اما زاویه ای که بین خطوط مستقیم موازی قرار دارد، تعریف نشده است. مواردی وجود دارد که مقدار آن برابر با صفر در نظر گرفته می شود.

مسائلی که در آنها لازم است زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه را پیدا کنیم، دارای تنوع زیادی در حل هستند. سیر خود راه حل به داده های موجود در مورد شرایط بستگی دارد. همراهان مکرر راه حل نشانه هایی از شباهت یا برابری ارقام، کسینوس، سینوس ها، مماس زاویه هستند. یافتن زاویه با استفاده از روش مختصات امکان پذیر است. بیایید با جزئیات بیشتری به آن نگاه کنیم.

اگر یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z در فضای سه بعدی وارد شود، یک خط مستقیم a در آن مشخص می شود که صفحه γ را در نقطه M قطع می کند و عمود بر صفحه نیست. لازم است زاویه α واقع بین یک خط مستقیم و صفحه را پیدا کنید.

ابتدا باید تعریف زاویه بین خط مستقیم و صفحه را با استفاده از روش مختصات اعمال کنید. سپس موارد زیر را بدست می آوریم.

در سیستم مختصات O x y z، یک خط مستقیم a مشخص شده است که مطابق با معادلات خط مستقیم در فضا و بردار هدایت کننده خط مستقیم در فضا است؛ برای صفحه γ معادله صفحه و نرمال مطابقت دارد. بردار هواپیما سپس a → = (a x , a y , a z) بردار جهت خط مستقیم a است و n → (n x , n y , n z) بردار نرمال صفحه γ است. اگر تصور کنیم که مختصات بردار جهت دهنده خط a و بردار نرمال صفحه γ را داریم، معادلات آنها مشخص است، یعنی با شرط مشخص می شوند، آنگاه می توان بردارهای a را تعیین کرد → و n → بر اساس معادله.

برای محاسبه زاویه، لازم است فرمول را با استفاده از مختصات موجود بردار جهت دهنده خط مستقیم و بردار معمولی، تبدیل به مقدار این زاویه کنیم.

لازم است بردارهای a → و n → را از نقطه تقاطع خط مستقیم a با صفحه γ شروع کنیم. 4 گزینه برای مکان این بردارها نسبت به خطوط و صفحات داده شده وجود دارد. به تصویر زیر نگاه کنید که هر 4 تغییر را نشان می دهد.

از اینجا به این نتیجه می رسیم که زاویه بین بردارهای a → و n → a → , n → ^ تعیین می شود و حاد است، سپس زاویه α مورد نظر واقع بین خط مستقیم و صفحه تکمیل می شود، یعنی یک عبارت به دست می آوریم. به شکل a → , n → ^ = 90 درجه - α. هنگامی که، طبق شرط، a →، n → ^ > 90 °، آنگاه یک →، n → ^ = 90 ° + α داریم.

از اینجا داریم که کسینوس های زوایای مساوی با هم برابر هستند، سپس آخرین تساوی ها به صورت یک سیستم نوشته می شود.

cos a → n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90 درجه

برای ساده سازی عبارات باید از فرمول های کاهش استفاده کنید. سپس تساوی هایی از شکل cos a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^ بدست می آوریم< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90 درجه

پس از انجام تبدیل ها، سیستم به شکل sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ به خود می گیرد.< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 درجه ⇔ sin α = cos a →، n → ^، a →، n → ^ > 0 sin α = - cos a →، n → ^، a →، n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^

از این نتیجه به دست می آید که سینوس زاویه بین خط مستقیم و صفحه برابر با مدول کسینوس زاویه بین بردار جهت دهنده خط مستقیم و بردار نرمال صفحه داده شده است.

بخش پیدا کردن زاویه تشکیل شده توسط دو بردار نشان داد که این زاویه مقدار حاصلضرب اسکالر بردارها و حاصلضرب این طول ها را می گیرد. فرآیند محاسبه سینوس زاویه حاصل از تقاطع یک خط مستقیم و یک صفحه طبق فرمول انجام می شود.

sin α = cos a →، n → ^ = a →، n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

به این معنی که فرمول محاسبه زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه با مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم و بردار نرمال صفحه پس از تبدیل به شکل است.

α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

یافتن کسینوس با سینوس معلوم با اعمال پایه جایز است هویت مثلثاتی. تقاطع یک خط مستقیم و یک صفحه یک زاویه حاد را تشکیل می دهد. این نشان می دهد که ارزش آن خواهد بود عدد مثبت، و محاسبه آن از فرمول cos α = 1 - sin α انجام می شود.

بیایید چندین مثال مشابه را برای تجمیع مطالب حل کنیم.

مثال 1

زاویه، سینوس، کسینوس زاویه تشکیل شده توسط خط مستقیم x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 و صفحه 2 x + z - 1 = 0 را پیدا کنید.

راه حل

برای به دست آوردن مختصات بردار جهت، لازم است معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا در نظر گرفته شود. سپس دریافت می کنیم که a → = (3, - 2, 6) بردار جهت خط مستقیم است x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6.

برای یافتن مختصات بردار نرمال باید در نظر گرفت معادله کلیصفحات، زیرا حضور آنها توسط ضرایب موجود در مقابل متغیرهای معادله تعیین می شود. سپس در می یابیم که برای صفحه 2 x + z - 1 = 0 بردار عادی به شکل n → = (2، 0، 1) است.

برای محاسبه سینوس زاویه بین خط مستقیم و صفحه ضروری است. برای این کار لازم است مختصات بردارهای a → و b → را در فرمول داده شده جایگزین کنید. ما یک بیان از فرم را دریافت می کنیم

sin α = cos a →، n → ^ = a →، n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 2 + ( ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5

از اینجا مقدار کسینوس و مقدار خود زاویه را می یابیم. ما گرفتیم:

cos α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5

پاسخ: sin α = 12 7 5، cos α = 101 7 5، α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5.

مثال 2

یک هرم با استفاده از مقادیر بردارهای A B → = 1، 0، 2، A C → = (- 1، 3، 0)، A D → = 4، 1، 1 ساخته شده است. زاویه بین خط مستقیم A D و صفحه A B C را پیدا کنید.

راه حل

برای محاسبه زاویه مورد نظر باید مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم و بردار نرمال صفحه را داشت. برای یک خط مستقیم A D بردار جهت دارای مختصات A D → = 4، 1، 1 است.

بردار نرمال n → متعلق به صفحه A B C بر بردار A B → و A C → عمود است. این بدان معناست که بردار نرمال صفحه A B C را می توان در نظر گرفت محصول برداریبردارهای A B → و A C → . این را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم و به دست می آوریم:

n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · i → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6، - 2، 3 )

برای محاسبه زاویه مورد نظر که از تقاطع یک خط مستقیم و یک صفحه تشکیل می شود، باید مختصات بردارها را جایگزین کرد. ما یک عبارت از فرم را دریافت می کنیم:

α = a r c sin A D → , n → ^ A D → · n → = a r c sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2

پاسخ: a r c sin 23 21 2 .

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

\(\blacktriangleright\) زاویه بین یک خط و یک صفحه، زاویه بین خط و طرح ریزی آن بر روی این صفحه است (یعنی زاویه است. \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\)).

\(\blacktriangleright\) برای پیدا کردن زاویه بین خط \(a\) و صفحه \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\))، شما نیاز دارید:

مرحله 1: از نقطه ای \(A\in a\) یک \(AO\) عمود بر صفحه \(\phi\) رسم کنید (\(O\) پایه عمود است).

مرحله 2: سپس \(BO\) نمایانگر \(AB\) مایل بر روی صفحه \(\phi\) است.

مرحله 3: سپس زاویه بین خط مستقیم \(a\) و صفحه \(\phi\) برابر با \(\ زاویه ABO\) است.

وظیفه 1 #2850

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

خط مستقیم \(l\) صفحه \(\alpha\) را قطع می کند. در خط مستقیم \(l\) پاره \(AB=25\) علامت گذاری شده است و مشخص است که نمایان شدن این قطعه بر روی صفحه \(\alpha\) برابر با \(24\) است. سینوس زاویه بین خط مستقیم \(l\) و صفحه \(\alpha\) را پیدا کنید.

بیایید به تصویر نگاه کنیم:

فرض کنید \(A_1B_1=24\) طرح \(AB\) بر روی صفحه \(\alpha\) باشد که به معنای \(AA_1\perp \alpha\) , \(BB_1\perp \alpha\) است. از آنجایی که دو خط عمود بر صفحه در یک صفحه قرار دارند، پس \(A_1ABB_1\) یک ذوزنقه مستطیل شکل است. بیایید \(AH\perp BB_1\) را انجام دهیم. سپس \(AH=A_1B_1=24\) . بنابراین، با قضیه فیثاغورث \ ما همچنین متوجه می شویم که زاویه بین یک خط و یک صفحه، زاویه بین خط و طرح ریزی آن بر روی صفحه است، بنابراین، زاویه مورد نظر، زاویه بین \(AB\) و \(A_1B_1 است. \) . از آنجایی که \(AH\موازی A_1B_1\) ، پس زاویه بین \(AB\) و \(A_1B_1\) برابر زاویهبین \(AB\) و \(AH\) .
سپس \[\sin\angle BAH=\dfrac(BH)(AB)=\dfrac7(25)=0.28.\]

پاسخ: 0.28

وظیفه 2 #2851

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

\(ABC\) یک مثلث منتظم با ضلع \(3\) است، \(O\) نقطه ای است که خارج از صفحه مثلث قرار دارد و \(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . زاویه تشکیل شده توسط خطوط \(OA, OB, OC\) را با صفحه مثلث پیدا کنید. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

اجازه دهید یک \(OH\) ​​عمود بر صفحه مثلث رسم کنیم.

در نظر بگیریم \(\مثلث OAH، \مثلث OBH، \مثلث OCH\). آنها مستطیل شکل هستند و از نظر ساق و هیپوتنوز برابر هستند. بنابراین، \(AH=BH=CH\) . این بدان معنی است که \(H\) نقطه ای است که در همان فاصله از رئوس مثلث \(ABC\) قرار دارد. در نتیجه، \(H\) مرکز دایره ای است که اطراف آن محصور شده است. از آنجایی که \(\مثلث ABC\) صحیح است، پس \(H\) نقطه تلاقی میانه ها است (آنها نیز ارتفاع و نیمساز هستند).
از آنجایی که زاویه بین یک خط و یک صفحه، زاویه بین خط و برآمدگی آن بر روی این صفحه است، و \(AH\) برآمدگی \(AO\) بر روی صفحه مثلث است، پس زاویه بین \( AO\) و صفحه مثلث برابر با \( \زاویه OAH\) است.
فرض کنید \(AA_1\) میانه در \(\مثلث ABC\) باشد، بنابراین، \ از آنجایی که میانه ها بر نقطه تقاطع در نسبت \(2:1\) تقسیم می شوند، با شمارش از راس، سپس \ سپس از مستطیل شکل \(\مثلث OAH\): \[\cos OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]

توجه داشته باشید که از تساوی مثلث های \(OAH, OBH, OCH\) نتیجه می شود که \(\زاویه OAH=\زاویه OBH=\زاویه OCH=60^\circ\).

جواب: 60

وظیفه 3 #2852

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

خط مستقیم \(l\) عمود بر صفحه \(\pi\) است. خط \(p\) در صفحه \(\pi\) قرار ندارد و با آن موازی نیست و با خط \(l\) هم نیست. مجموع زوایای بین خطوط \(p\) و \(l\) و بین خط \(p\) و صفحه \(\pi\) را پیدا کنید. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

از این شرط نتیجه می شود که خط مستقیم \(p\) صفحه \(\pi\) را قطع کند. اجازه دهید \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) .

سپس \(\ زاویه POL\) زاویه بین خطوط \(p\) و \(l\) است.
از آنجایی که زاویه بین یک خط و یک صفحه، زاویه بین یک خط و طرح ریزی آن بر روی این صفحه است، پس \(\ زاویه OPL\) زاویه بین \(p\) و \(\pi\) است. توجه داشته باشید که \(\مثلث OPL\) مستطیلی با \(\ زاویه L=90^\circ\) است. از آنجایی که مقدار گوشه های تیز راست گوشهبرابر با \(90^\circ\) است، سپس \(\ زاویه POL+\ زاویه OPL=90^\circ\).

اظهار نظر.
اگر خط \(p\) خط \(l\) را قطع نکرد، یک خط \(p"\p\ موازی\(l\) رسم می کنیم و سپس زاویه بین خط \(p\ را قطع می کنیم. ) و \(l\ ) برابر با زاویه بین \(p"\) و \(l\) خواهد بود. به طور مشابه، زاویه بین \(p\) و \(\pi\) برابر با زاویه بین \(p"\) و \(\pi\) خواهد بود و برای خط \(p"\) زاویه قبلی راه حل قبلا درست است

جواب: 90

وظیفه 4 #2905

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) - مکعب. نقطه \(N\) نقطه وسط یال \(BB_1\) و نقطه \(M\) نقطه میانی قطعه \(BD\) است. \(\mathrm(tg)^2\, \alpha\) را پیدا کنید، جایی که \(\alpha\) زاویه بین خط حاوی \(MN\) و صفحه \((A_1B_1C_1D_1)\) است. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

\(NM\) خط میانی در مثلث \(DBB_1\) است، سپس \(NM \موازی B_1D\) و \(\alpha\) برابر با زاویه بین \(B_1D\) و صفحه \( (A_1B_1C_1D_1)\) .

از آنجایی که \(DD_1\) بر صفحه \(A_1B_1C_1D_1\) عمود است، پس \(B_1D_1\) برآمدگی \(B_1D\) بر روی صفحه \((A_1B_1C_1D_1)\) و زاویه بین \(B_1D\) است. ) و صفحه \( (A_1B_1C_1D_1)\) زاویه بین \(B_1D\) و \(B_1D_1\) است.

بگذارید لبه مکعب \(x\) باشد، سپس با قضیه فیثاغورث \ در مثلث \(B_1D_1D\) مماس زاویه بین \(B_1D\) و \(B_1D_1\) برابر است با \(\mathrm(tg)\,\angle DB_1D_1=\dfrac(DD_1)(B_1D_1) = \dfrac(1)(\sqrt(2))=\mathrm(tg)\,\alpha\)، جایی که \(\mathrm(tg)^2\, \alpha = \dfrac(1)(2)\).

پاسخ: 0.5

وظیفه 5 #2906

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) - مکعب. نقطه \(N\) وسط یال \(BB_1\) است و نقطه \(M\) بخش \(BD\) را به نسبت \(1:2\) تقسیم می کند و از راس شمارش می کند. \(B\) . \(9\mathrm(ctg)^2\, \alpha\) را پیدا کنید، جایی که \(\alpha\) زاویه بین خط حاوی \(MN\) و صفحه \((ABC)\) است. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

از آنجایی که \(NB\) بخشی از \(BB_1\) و \(BB_1\perp (ABC)\) است، پس \(NB\perp (ABC)\) نیز وجود دارد. بنابراین، \(BM\) طرح \(NM\) بر روی صفحه \((ABC)\) است. این به این معنی است که زاویه \(\alpha\) برابر با \(\ زاویه NMB\) است.

اجازه دهید لبه مکعب برابر با \(x\) باشد. سپس \(NB=0.5x\) . توسط قضیه فیثاغورث \(BD=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2x\) . از آنجایی که با شرط \(BM:MD=1:2\) ، سپس \(BM=\frac13BD\) ، بنابراین \(BM=\frac(\sqrt2)3x\) .

سپس از مستطیل شکل \(\مثلث NBM\): \[\mathrm(ctg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\angle NMB=\dfrac(BM)(NB)=\dfrac(2\sqrt2)3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm( ctg)^2\،\alpha=8.\]

پاسخ: 8

وظیفه 6 #2907

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

اگر \(\alpha\) زاویه میل مورب مکعب به یکی از وجوه آن باشد، \(\mathrm(ctg^2)\,\alpha\) برابر با چه مقدار است؟

زاویه مورد نظر با زاویه بین مورب مکعب و مورب هر یک از وجوه آن منطبق خواهد بود، زیرا در این حالت، مورب مکعب مایل خواهد بود، مورب وجه، برآمدگی این وجه مایل بر روی صفحه خواهد بود. بنابراین، زاویه مورد نظر برابر خواهد بود، برای مثال، با زاویه \(C_1AC\) . اگر لبه مکعب را \(x\) نشان دهیم، آنگاه \(AC=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2 x\)، سپس مربع کوتانژانت زاویه مورد نظر: \[\mathrm(ctg^2)\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]

جواب: 2

وظیفه 7 #2849

سطح وظیفه: دشوارتر از آزمون دولتی واحد

\(\ زاویه BAH=\زاویه CAH=30^\circ\) .
طبق قضیه فیثاغورث \ از این رو، \[\cos 30^\circ=\dfrac(AB)(AH)\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac(AB)(\cos 30^\circ)=2.\]از آنجایی که \(OH\perp (ABC)\)، پس \(OH\) ​​بر هر خط مستقیمی از این صفحه عمود است، به این معنی که \(\مثلث OAH\) مستطیلی است. سپس \[\cos \angle OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac25=0.4.\]

پاسخ: 0.4

برای دانش آموزان دبیرستانی که برای امتحان دولتی واحد در ریاضیات آماده می شوند مفید خواهد بود که یاد بگیرند چگونه با وظایف بخش "هندسه در فضا" کنار بیایند که در آن باید زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه را پیدا کنند. تجربه سال های گذشته نشان می دهد که چنین وظایفی برای فارغ التحصیلان مشکلات خاصی ایجاد می کند. در عین حال، دانش آموزان دبیرستانی با هر سطح آموزشی باید تئوری پایه را بدانند و بدانند که چگونه زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه را پیدا کنند. فقط در این صورت می توانند روی دریافت امتیاز مناسب حساب کنند.

تفاوت های ظریف اصلی

مانند سایر مسائل استریومتریک آزمون یکپارچه دولتی، کارهایی که در آنها باید زاویه و فاصله بین خطوط و صفحه ها را بیابید با دو روش هندسی و جبری قابل حل است. دانش آموزان می توانند گزینه ای را انتخاب کنند که برای آنها راحت تر است. با توجه به روش هندسی، لازم است یک نقطه مناسب در یک خط مستقیم پیدا کنید، یک عمود از آن را روی یک صفحه پایین بیاورید و یک برآمدگی ایجاد کنید. پس از این، فارغ التحصیل فقط باید دانش نظری پایه را اعمال کند و یک مسئله پلان سنجی را برای محاسبه زاویه حل کند. روش جبری شامل معرفی یک سیستم مختصات برای یافتن کمیت مورد نظر است. لازم است مختصات دو نقطه را در یک خط مستقیم تعیین کنید، معادله هواپیما را به درستی بنویسید و آن را حل کنید.

آماده سازی موثر با Shkolkovo

برای اینکه کلاس ها آسان شود و حتی کارهای پیچیده باعث ایجاد مشکل نشود، ما را انتخاب کنید پورتال آموزشی. همه در اینجا ارائه شده است مواد مورد نیازبرای گذراندن موفقیت آمیز آزمون گواهینامه اطلاعات اولیه لازم را در بخش "اطلاعات نظری" خواهید یافت. و برای تمرین تکمیل وظایف، فقط به "کاتالوگ" در پورتال ریاضی ما بروید. این بخش شامل مجموعه وسیعی از تمرینات با درجه سختی های مختلف است. کارهای جدید به طور مرتب در کاتالوگ ظاهر می شوند.

دانش‌آموزان روسی می‌توانند در مسکو یا شهر دیگری، وظایف خود را برای یافتن زاویه بین یک خط و یک هواپیما یا به صورت آنلاین انجام دهند. در صورت تمایل دانش آموز، هر تمرینی را می توان در "موارد دلخواه" ذخیره کرد. این به شما امکان می دهد در صورت لزوم سریعاً آن را پیدا کنید و در مورد پیشرفت حل آن با معلم صحبت کنید.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

زاویه a بین خط مستقیم l و صفحه 6 را می توان از طریق زاویه اضافی p بین یک خط مستقیم معین l و یک عمود n به صفحه معینی که از هر نقطه از خط مستقیم کشیده شده است تعیین کرد (شکل 144). زاویه P تکمیل کننده زاویه مورد نظر a تا 90 درجه است. پس از تعیین مقدار واقعی زاویه P با چرخش سطح صفحه زاویه تشکیل شده توسط خط مستقیم l و عمود بر و اطراف خط مستقیم، باید آن را تکمیل کنیم. زاویه راست. این زاویه اضافی مقدار واقعی زاویه a بین خط مستقیم l و صفحه 0 را به دست می دهد.

27. تعیین زاویه بین دو صفحه.

ارزش واقعی زاویه دو وجهی- بین دو صفحه Q و L. - می توان با جایگزینی صفحه پیش بینی به منظور تبدیل لبه یک زاویه دو وجهی به یک خط برآمده (مشکلات 1 و 2)، یا اگر لبه مشخص نشده باشد، به عنوان زاویه بین دو عمود بر n1 و n2 تعیین کرد. این صفحات از یک نقطه دلخواه M از صفحه فضای B این عمودها در نقطه M دو زاویه صفحه a و P بدست می آوریم که به ترتیب برابر با زوایای خطی دو زاویه مجاور (دو وجهی) هستند که توسط صفحات q و l تشکیل شده اند. پس از تعیین مقدار واقعی زوایای عمود بر n1 و n2 با چرخش در اطراف خط مستقیم تراز، به این ترتیب زاویه خطی زاویه دو وجهی تشکیل شده توسط صفحات q و l را تعیین می کنیم.

خطوط منحنی. نقاط خاص خطوط منحنی.

در ترسیم پیچیده یک منحنی، نقاط ویژه آن که شامل نقاط عطف، بازگشت، شکست و نقاط گرهی است نیز نقاط ویژه بر روی آن هستند. این با این واقعیت توضیح داده می شود که نقاط منحنی منحنی به مماس ها در این نقاط متصل هستند.

اگر صفحه منحنی یک موقعیت برجسته را اشغال کند (شکل 2). آ)،سپس یک طرح از این منحنی شکل یک خط مستقیم دارد.

برای یک منحنی فضایی، تمام برجستگی های آن خطوط منحنی هستند (شکل 1). ب).

برای تعیین اینکه کدام منحنی (صفحه یا فضایی) از روی رسم مشخص شده است، باید دریابید که آیا تمام نقاط منحنی متعلق به یک صفحه هستند. مشخص شده در شکل بمنحنی فضایی است، زیرا نقطه است Dمنحنی به صفحه تعریف شده توسط سه نقطه دیگر تعلق ندارد الف، بو Eاین منحنی

دایره - یک منحنی صفحه از مرتبه دوم، که طرح متعامد آن می تواند یک دایره و یک بیضی باشد.

یک خط مارپیچ استوانه ای (مارپیچ) یک منحنی فضایی است که نشان دهنده مسیر حرکت نقطه ای است که حرکت مارپیچ را انجام می دهد.

29. خطوط منحنی مسطح و فضایی.

به سوال 28 مراجعه کنید

30. ترسیم سطح پیچیده. مقررات اساسی.

سطح مجموعه ای از موقعیت های متوالی خطوطی است که در فضا حرکت می کنند. این خط می تواند مستقیم یا منحنی باشد و نامیده می شود ژنراتیکسسطوح اگر ژنراتیکس یک منحنی باشد، ممکن است دارای یک یا ثابت باشد نمای متغیر. ژنراتیکس در امتداد حرکت می کند راهنماها،نشان دهنده خطوطی با جهت متفاوت از ژنراتورها. خطوط راهنما قانون حرکت ژنراتورها را تعیین می کند. هنگام حرکت ژنراتیکس در امتداد راهنماها، a قابسطح (شکل 84) که مجموعه ای از چندین موقعیت متوالی ژنراتیکس ها و راهنماها است. با بررسی قاب، می توان متقاعد شد که ژنراتورها لو راهنمایی می کند تی می توان آن را تعویض کرد، اما سطح یکسان باقی می ماند.

هر سطحی را می توان به روش های مختلف به دست آورد.

بسته به شکل ژنراتیکس، تمام سطوح را می توان به دو دسته تقسیم کرد حکومت کرد،که دارای خط مستقیم زاینده هستند و غیر حاکم،که دارای یک خط منحنی تشکیل دهنده هستند.

سطوح قابل توسعه شامل سطوح تمام سطوح چند وجهی، استوانه ای، مخروطی و نیم تنه است. تمام سطوح دیگر غیر قابل توسعه هستند. سطوح بدون قاعده می توانند ژنراتیسی با شکل ثابت (سطوح سطوح چرخشی و لوله ای) و ژنراتیسی با شکل متغیر (سطوح کانال و قاب) داشته باشند.

یک سطح در یک نقشه پیچیده با پیش بینی قسمت هندسی تعیین کننده آن مشخص می شود که نشان دهنده روش ساخت مولدهای آن است. در ترسیم یک سطح، برای هر نقطه ای از فضا، این سوال که آیا آن به یک سطح معین تعلق دارد یا نه، به طور واضح حل می شود. مشخص کردن گرافیکی عناصر تعیین کننده سطح، برگشت پذیری نقاشی را تضمین می کند، اما آن را بصری نمی کند. برای وضوح، آنها به ساختن پیش بینی های یک قاب نسبتاً متراکم از ژنراتیکس ها و ساخت خطوط طرح کلی سطح متوسل می شوند (شکل 86). هنگامی که سطح Q را بر روی صفحه برون‌تابی می‌تاباند، پرتوهای بیرون‌تابی این سطح را در نقاطی که خط خاصی را روی آن تشکیل می‌دهند، لمس می‌کنند. ل، که نامیده می شود کانتورخط طرح ریزی خط کانتور نامیده می شود مقالهسطوح در یک نقشه پیچیده، هر سطحی دارای: پ 1 - طرح کلی افقی، در P 2 - طرح کلی جلو، در P 3 - طرح کلی سطح. این طرح، علاوه بر پیش بینی های خط کانتور، شامل پیش بینی خطوط برش نیز می باشد.