الگوریتم حل معادلات غیر منطقی روش. مکعب مطابق فرمول

اگر معادله ای دارای متغیری در زیر علامت جذر باشد، معادله نامعقول نامیده می شود.

گاهی اوقات یک مدل ریاضی از یک موقعیت واقعی یک ir است معادله منطقی. بنابراین، ما باید یاد بگیریم که حداقل ساده ترین معادلات غیر منطقی را حل کنیم.

معادله غیرمنطقی 2 x + 1 = 3 را در نظر بگیرید.

توجه کن!

روش تربیع دو طرف معادله روش اصلی برای حل معادلات غیر منطقی است.

با این حال، این قابل درک است: چگونه می توانیم از علامت ریشه مربع خلاص شویم؟

از معادله \(2x + 1 = 9\) \(x = 4\) را پیدا می کنیم. این ریشه هر دو معادله \(2x + 1 = 9\) و معادله غیرمنطقی داده شده است.

روش مربع سازی از نظر فنی ساده است، اما گاهی اوقات منجر به مشکل می شود.

به عنوان مثال، معادله غیرمنطقی 2 x − 5 = 4 x − 7 را در نظر بگیرید.

با مربع کردن هر دو طرف، به دست می آوریم

2 x − 5 2 = 4 x − 7 2 2 x − 5 = 4 x − 7

اما مقدار \(x = 1\)، اگرچه ریشه معادله گویا \(2x - 5 = 4x - 7\ است)، ریشه معادله غیر منطقی داده شده نیست. چرا؟ با جایگزینی \(1\) به جای \(x\) در معادله غیرمنطقی داده شده، − 3 = − 3 را به دست می آوریم.

چگونه می توانیم در مورد تحقق یک برابری عددی صحبت کنیم اگر هر دو سمت چپ و راست آن دارای عباراتی هستند که معنی ندارند؟

در چنین مواردی می گویند: \(x = 1\) - ریشه خارجیبرای یک معادله غیرمنطقی معین معلوم می شود که معادله غیرمنطقی داده شده ریشه ندارد.

ریشه خارجی برای شما مفهوم جدیدی نیست؛ ریشه های خارجی قبلاً هنگام حل معادلات منطقی با آنها مواجه شده اند؛ تأیید به شناسایی آنها کمک می کند.

برای معادلات غیرمنطقی، تأیید یک مرحله اجباری در حل معادله است، که به شناسایی ریشه های خارجی، در صورت وجود، و دور انداختن آنها کمک می کند (معمولاً آنها می گویند "علف هرز").

توجه کن!

بنابراین، یک معادله غیرمنطقی با مربع کردن هر دو طرف حل می شود. پس از حل معادله منطقی به دست آمده، لازم است ریشه های اضافی احتمالی را بررسی و از بین ببرید.

با استفاده از این نتیجه گیری، اجازه دهید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال:

معادله 5 x − 16 = x − 2 را حل کنید.

بیایید دو طرف معادله 5 x − 16 = x − 2 را مربع کنیم: 5 x − 16 2 = x − 2 2 .

تبدیل می کنیم و می گیریم:

5 x − 16 = x 2 − 4 x 4 ; − x 2 9 x − 20 = 0 ; x 2 - 9 x 20 = 0 ; x 1 = 5 ; x 2 = 4.

معاینه.با جایگزینی \(x = 5\) در معادله 5 x − 16 = x − 2، 9 = 3 را دریافت می کنیم - یک برابری صحیح. با جایگزینی \(x = 4\) در معادله 5 x − 16 = x − 2، 4 = 2 را دریافت می کنیم - یک برابری صحیح. این بدان معنی است که هر دو مقدار یافت شده ریشه های معادله 5 x − 16 = x − 2 هستند.

شما قبلاً در حل معادلات مختلف تجربه کسب کرده اید: خطی، درجه دوم، منطقی، غیر منطقی. می دانید که هنگام حل معادلات، تبدیل های مختلفی انجام می شود، به عنوان مثال: عضوی از معادله با علامت مخالف از یک قسمت معادله به قسمت دیگر منتقل می شود. هر دو طرف معادله را در یک عدد غیر صفر ضرب یا تقسیم می کنیم. از مخرج آزاد می شوند، یعنی معادله p x q x = 0 را با معادله \(p(x)=0\) جایگزین می کنند. هر دو طرف معادله مربع هستند.

البته، متوجه شدید که در نتیجه برخی از دگرگونی ها، ریشه های خارجی می توانند ظاهر شوند، و بنابراین باید مراقب باشید: تمام ریشه های یافت شده را بررسی کنید. بنابراین اکنون سعی خواهیم کرد همه اینها را از منظر نظری درک کنیم.

دو معادله \(f (x) = g(x)\) و \(r(x) = s(x)\) در صورتی معادل نامیده می شوند که ریشه های یکسانی داشته باشند (یا به ویژه اگر هر دو معادله فاقد ریشه باشند). ) .

معمولاً هنگام حل یک معادله سعی می کنند معادله ای ساده تر اما معادل آن را جایگزین این معادله کنند. چنین جایگزینی تبدیل معادل معادله نامیده می شود.

تبدیل معادل معادلهتبدیلات زیر هستند:

1. انتقال عبارت های یک معادله از قسمتی از معادله به قسمت دیگر با علائم مخالف.

به عنوان مثال، جایگزینی معادله \(2x + 5 = 7x - 8\) با معادله \(2x - 7x = - 8 - 5\) تبدیل معادل معادله است. این بدان معنی است که معادلات \(2x + 5 = 7x -8\) و \(2x - 7x = -8 - 5\) معادل هستند.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

دانش آموزان در حین مطالعه جبر با انواع مختلفی از معادلات مواجه می شوند. در میان آنهایی که ساده ترین هستند، خطی هستند که یک مجهول دارند. اگر متغیری در یک عبارت ریاضی به توان معینی برسد، معادله را درجه دوم، مکعب، دو درجه و غیره می نامند. این عبارات ممکن است حاوی اعداد گویا باشند. اما معادلات غیرمنطقی نیز وجود دارد. آنها با وجود تابعی که در آن مجهول زیر علامت رادیکال است (یعنی کاملاً خارجی، متغیر در اینجا زیر جذر نوشته شده است) متفاوت هستند. حل معادلات غیر منطقی خودش را دارد مشخصات. هنگام محاسبه مقدار یک متغیر برای به دست آوردن پاسخ صحیح، باید آنها را در نظر گرفت.

"ناگفتنی در کلمات"

بر کسی پوشیده نیست که ریاضیدانان باستان عمدتاً کار می کردند اعداد گویا. همانطور که مشخص است، اینها شامل اعداد صحیح بیان شده از طریق کسرهای تناوبی معمولی و اعشاری، نمایندگان یک جامعه معین است. با این حال، دانشمندان خاور میانه و نزدیک، و همچنین هند، که مثلثات، نجوم و جبر را توسعه دادند، حل معادلات غیر منطقی را نیز آموختند. به عنوان مثال، یونانی ها مقادیر مشابهی را می دانستند، اما با قرار دادن آنها در قالب کلامی، از مفهوم "alogos" استفاده کردند که به معنای "غیر قابل بیان" است. کمی بعد، اروپایی ها با تقلید از آنها، این اعداد را "ناشنوا" نامیدند. آنها با بقیه تفاوت دارند زیرا آنها را فقط می توان به شکل یک کسر غیر تناوبی نامتناهی نشان داد، که بیان عددی نهایی آن به سادگی غیرممکن است. بنابراین، اغلب چنین نمایندگانی از پادشاهی اعداد به صورت اعداد و نشانه ها به عنوان برخی از عبارت های واقع در زیر ریشه درجه دوم یا بالاتر نوشته می شود.

با توجه به مطالب فوق سعی می کنیم یک معادله غیرمنطقی تعریف کنیم. چنین عباراتی حاوی به اصطلاح "اعداد غیرقابل بیان" هستند که با علامت ریشه مربع نوشته می شوند. آنها می توانند انواع گزینه های نسبتاً پیچیده باشند، اما در ساده ترین شکل خود مانند عکس زیر به نظر می رسند.

هنگام شروع به حل معادلات غیر منطقی، ابتدا باید مساحت را محاسبه کنید ارزش های قابل قبولمتغیر.

آیا بیان معنی دارد؟

نیاز به بررسی مقادیر به‌دست‌آمده از ویژگی‌ها ناشی می‌شود.همانطور که مشخص است، چنین عبارتی فقط در شرایط خاصی قابل قبول است و معنایی دارد. در مواردی که ریشه های درجات زوج هستند، تمام عبارات رادیکال باید مثبت یا مساوی صفر باشند. اگر این شرط رعایت نشود، نماد ریاضی ارائه شده را نمی توان معنی دار در نظر گرفت.

بیایید یک مثال خاص از نحوه حل معادلات غیر منطقی (تصویر زیر) ارائه دهیم.

در این حالت، بدیهی است که شرایط مشخص شده را نمی توان برای هیچ یک از مقادیر پذیرفته شده توسط مقدار مورد نظر برآورده کرد، زیرا به نظر می رسد که 11 ≤ x ≤ 4. این بدان معنی است که فقط Ø می تواند راه حل باشد.

روش تجزیه و تحلیل

با توجه به مطالب فوق، نحوه حل برخی از انواع معادلات غیر منطقی روشن می شود. در اینجا یک تحلیل ساده می تواند راه موثری باشد.

اجازه دهید تعدادی مثال بزنیم که دوباره این را به وضوح نشان می دهد (تصویر زیر).

در مورد اول، پس از بررسی دقیق عبارت، بلافاصله معلوم می شود که نمی تواند درست باشد. در واقع، در سمت چپ برابری باید به دست آوریم عدد مثبت، که احتمالاً نمی تواند برابر با -1 باشد.

در حالت دوم می توان مجموع دو عبارت مثبت را در نظر گرفت برابر با صفر، فقط زمانی که x - 3 = 0 و x + 3 = 0 به طور همزمان. و این دوباره غیرممکن است. و این بدان معناست که پاسخ باید دوباره Ø نوشته شود.

مثال سوم بسیار شبیه به نمونه ای است که قبلاً مورد بحث قرار گرفت. در واقع، در اینجا شرایط ODZ ایجاب می کند که نابرابری پوچ زیر برآورده شود: 5 ≤ x ≤ 2. و چنین معادله ای به همان شکل نمی تواند راه حل های معقولی داشته باشد.

بزرگنمایی نامحدود

ماهیت امر غیرمنطقی را می توان به وضوح و به طور کامل تنها از طریق یک سری اعداد بی پایان توضیح داد و شناخت اعشاری. و خاص، یک نمونه درخشانیکی از اعضای این خانواده πi است. بی دلیل نیست که این ثابت ریاضی از زمان های قدیم شناخته شده است و در محاسبه محیط و مساحت یک دایره استفاده می شود. اما در بین اروپاییان اولین بار توسط ویلیام جونز انگلیسی و لئونارد اویلر سوئیسی به اجرا درآمد.

این ثابت به صورت زیر بوجود می آید. اگر دایره هایی با محیط های مختلف را با هم مقایسه کنیم، نسبت طول و قطر آنها لزوماً برابر با یک عدد است. این پی است. اگر آن را از طریق بیان کنیم کسر مشترک، سپس تقریباً 22/7 می گیریم. این اولین بار توسط ارشمیدس بزرگ انجام شد که پرتره او در شکل بالا نشان داده شده است. به همین دلیل است شماره مشابهنام او را دریافت کرد. اما این یک مقدار صریح نیست، بلکه یک مقدار تقریبی شاید شگفت‌انگیزترین اعداد است. یک دانشمند باهوش مقدار مورد نظر را با دقت 0.02 پیدا کرد، اما، در واقع، این ثابت معنای واقعی ندارد، بلکه به صورت 3.1415926535 بیان می شود... این یک سری بی پایان از اعداد است که به طور نامحدود به مقداری افسانه ای نزدیک می شود.

مربع کردن

اما به معادلات غیرمنطقی برگردیم. برای یافتن ناشناخته، در این مورد اغلب به آنها متوسل می شوند روش ساده: دو طرف برابری موجود را مربع کنید. این روش معمولا می دهد نتایج خوب. اما باید موذیانه بودن مقادیر غیرمنطقی را در نظر گرفت. تمام ریشه های به دست آمده در نتیجه این امر باید بررسی شوند، زیرا ممکن است مناسب نباشند.

اما بیایید به بررسی مثال ها ادامه دهیم و سعی کنیم متغیرها را با استفاده از روش پیشنهادی جدید پیدا کنیم.

با استفاده از قضیه ویتا، یافتن مقادیر مورد نظر کمیت ها پس از انجام عملیات خاصی که ایجاد کردیم، اصلاً دشوار نیست. معادله درجه دوم. در اینجا معلوم می شود که در بین ریشه ها 2 و -19 وجود خواهد داشت. با این حال، هنگام بررسی، جایگزینی مقادیر به دست آمده در عبارت اصلی، می توانید مطمئن شوید که هیچ یک از این ریشه ها مناسب نیستند. این یک اتفاق رایج در معادلات غیرمنطقی است. این بدان معنی است که معضل ما دوباره راه حلی ندارد و پاسخ باید مجموعه ای خالی را نشان دهد.

نمونه های پیچیده تر

در برخی موارد، لازم است هر دو طرف عبارت را نه یک بار، بلکه چندین بار مربع کنیم. بیایید به مثال هایی نگاه کنیم که در آن این مورد نیاز است. آنها را می توان در زیر مشاهده کرد.

پس از دریافت ریشه ها، فراموش نکنید که آنها را بررسی کنید، زیرا ممکن است موارد اضافی ظاهر شوند. باید توضیح داد که چرا این امکان وجود دارد. هنگام اعمال این روش، معادله تا حدودی منطقی می شود. اما خلاص شدن از شر ریشه هایی که دوست نداریم، که ما را از تولید باز می دارد عملیات حسابی، به نظر می رسد که ما دامنه ارزش های موجود را گسترش می دهیم، که مملو از پیامدهایی است (همانطور که می توان فهمید). با پیش بینی این، ما یک بررسی انجام می دهیم. در این مورد، شانس اطمینان از مناسب بودن تنها یکی از ریشه ها وجود دارد: x = 0.

سیستم های

در مواردی که نیاز به حل معادلات غیرمنطقی داریم و نه یک، بلکه دو مجهول داریم، چه باید بکنیم؟ در اینجا ما مانند موارد معمولی عمل می کنیم، اما با در نظر گرفتن ویژگی های فوق این عبارات ریاضی. و در هر کار جدید، البته، باید از یک رویکرد خلاقانه استفاده کنید. اما باز هم بهتر است همه چیز را در نظر بگیرید مثال خاصدر زیر ارائه شده است. در اینجا نه تنها باید متغیرهای x و y را پیدا کنید، بلکه مجموع آنها را نیز در پاسخ مشخص کنید. بنابراین، یک سیستم حاوی مقادیر غیر منطقی وجود دارد (عکس زیر را ببینید).

همانطور که می بینید، چنین وظیفه ای نشان دهنده هیچ چیز فوق طبیعی دشواری نیست. فقط باید هوشمند باشید و حدس بزنید که سمت چپ معادله اول مجذور مجموع است. وظایف مشابه در آزمون دولتی واحد یافت می شود.

غیر منطقی در ریاضیات

هر بار، نیاز به ایجاد انواع جدیدی از اعداد در میان بشریت ایجاد شد، زمانی که "فضای" کافی برای حل برخی معادلات نداشت. اعداد غیر منطقی نیز از این قاعده مستثنی نیستند. همانطور که حقایقی از تاریخ گواهی می دهد، حکیمان بزرگ برای اولین بار حتی قبل از عصر ما، در قرن هفتم، به این موضوع توجه کردند. این کار توسط یک ریاضیدان از هند به نام Manava انجام شد. او به وضوح این را درک می کرد اعداد طبیعیاستخراج ریشه غیرممکن است. به عنوان مثال، این موارد شامل 2; 17 یا 61، و همچنین بسیاری دیگر.

یکی از فیثاغورثیان، متفکری به نام هیپاسوس، با تلاش برای محاسبه با عبارات عددیدو طرف پنتاگرام او با کشف عناصر ریاضی که نمی‌توان آن‌ها را با مقادیر عددی بیان کرد و ویژگی‌های اعداد معمولی را ندارند، همکارانش را چنان خشمگین کرد که در کشتی به دریا انداخته شد. واقعیت این است که سایر فیثاغورثی ها استدلال او را شورش علیه قوانین جهان می دانند.

نشانه رادیکال: تکامل

هنگام حل از علامت ریشه برای بیان مقدار عددی اعداد "ناشنوا" استفاده می شود نابرابری های غیر منطقیو معادلات فوراً در دسترس نیستند. ریاضیدانان اروپایی، به ویژه ایتالیایی، برای اولین بار در قرن سیزدهم شروع به فکر کردن درباره رادیکال کردند. در همان زمان، آنها به فکر استفاده از R لاتین برای نامگذاری افتادند، اما ریاضیدانان آلمانی در کارهای خود به طور متفاوت عمل کردند. حرف V را بیشتر دوست داشتند، در آلمان خیلی زود نام V(2)، V(3) گسترش یافت که برای بیان جذر 2، 3 و غیره در نظر گرفته شد. بعداً هلندی ها مداخله کردند و علامت رادیکال را اصلاح کردند. و رنه دکارت تکامل را تکمیل کرد و علامت ریشه مربع را به کمال مدرن رساند.

خلاص شدن از شر غیر منطقی

معادلات و نابرابری های غیرمنطقی می توانند یک متغیر را نه تنها زیر علامت جذر داشته باشند. می تواند در هر درجه ای باشد. رایج ترین راه برای خلاص شدن از شر آن، بالا بردن دو طرف معادله به توان مناسب است. این اقدام اصلی است که در عملیات با غیر منطقی کمک می کند. اقدامات در موارد زوج با مواردی که قبلاً بحث کردیم تفاوت خاصی ندارد. در اینجا باید شرایط برای عدم منفی بودن بیان رادیکال در نظر گرفته شود و در پایان راه حل لازم است مقادیر اضافی متغیرها را به همان روشی که در مثال های قبلاً در نظر گرفته شده است فیلتر کنید. .

در میان تبدیل های اضافی که به یافتن پاسخ صحیح کمک می کند، اغلب از ضرب عبارت در مزدوج آن استفاده می شود و همچنین اغلب لازم است یک متغیر جدید معرفی شود که حل را آسان تر می کند. در برخی موارد، استفاده از نمودارها برای یافتن مقدار مجهولات توصیه می شود.

معادلاتی که دارای یک کمیت مجهول در زیر علامت ریشه هستند نامعقول نامیده می شوند. اینها مثلاً معادلات هستند

در بسیاری از موارد، با اعمال قدرت هر دو طرف معادله یک بار یا مکرر، می توان یک معادله غیرمنطقی را به یک معادله جبری یک درجه یا دیگری تقلیل داد (که نتیجه معادله اصلی است). از آنجایی که هنگام بالا بردن یک معادله به توان، ممکن است راه حل های اضافی ظاهر شوند، پس حل شده اند معادله جبریکه این معادله غیرمنطقی را به آن تقلیل داده‌ایم، ریشه‌های یافت شده باید با جایگزینی به معادله اصلی بررسی شوند و فقط آنهایی که آن را برآورده می‌کنند باید حفظ شوند و بقیه - موارد اضافی - باید کنار گذاشته شوند.

هنگام حل معادلات غیرمنطقی، خود را فقط به ریشه های واقعی آنها محدود می کنیم. تمام ریشه های درجه زوج در نوشتن معادلات به معنای حسابی درک می شوند.

بیایید به چند مثال معمولی از معادلات غیر منطقی نگاه کنیم.

الف- معادلات حاوی یک مجهول زیر علامت جذر. اگر معادله معین فقط شامل یک جذر مربع باشد که در زیر علامت آن یک مجهول وجود دارد، این ریشه باید جدا شود، یعنی در بخشی از معادله قرار گیرد و تمام عبارت های دیگر باید به قسمت دیگر منتقل شوند. پس از دو طرف معادله، از غیر عقلانی بودن رها شده و معادله جبری برای

مثال 1. معادله را حل کنید.

راه حل. ما ریشه را در سمت چپ معادله جدا می کنیم.

برابری حاصل را مربع می کنیم:

ما ریشه های این معادله را پیدا می کنیم:

بررسی نشان می دهد که فقط معادله اصلی را برآورده می کند.

اگر معادله شامل دو یا چند ریشه حاوی x باشد، تربیع باید چندین بار تکرار شود.

مثال 2. معادلات زیر را حل کنید:

راه حل، الف) دو طرف معادله را مربع می کنیم:

ما ریشه را جدا می کنیم:

معادله حاصل را دوباره مربع می کنیم:

پس از تبدیل ها معادله درجه دوم زیر را بدست می آوریم:

حلش کنیم:

با جایگزین کردن معادله اصلی، ما متقاعد می شویم که ریشه آن وجود دارد، اما یک ریشه خارجی برای آن است.

ب) مثال را می توان با همان روش مثال الف حل کرد). با این حال، با استفاده از این واقعیت که سمت راست این معادله حاوی کمیت مجهول نیست، به گونه ای دیگر عمل خواهیم کرد. بیایید معادله را در عبارت مزدوج در سمت چپ آن ضرب کنیم. ما گرفتیم

در سمت راست حاصلضرب حاصل جمع و تفاضل، یعنی اختلاف مربع ها است. از اینجا

در سمت چپ این معادله حاصل جمع بود ریشه های مربع; در سمت چپ معادله ای که اکنون به دست می آید اختلاف ریشه های یکسان است. بیایید این و معادلات حاصل را بنویسیم:

از مجموع این معادلات به دست می آوریم

اجازه دهید معادله آخر را مربع کرده و پس از ساده سازی به دست آوریم

از اینجا پیدا می کنیم. با بررسی متقاعد می شویم که ریشه این معادله فقط عدد است. مثال 3: معادله را حل کنید

در اینجا، در حال حاضر تحت علامت رادیکال، ما سه جمله ای مربع داریم.

راه حل. معادله را در عبارت مزدوج در سمت چپ آن ضرب می کنیم:

معادله آخر را از این کم کنید:

بیایید این معادله را مربع کنیم:

از آخرین معادله ای که پیدا می کنیم. با بررسی متقاعد می شویم که ریشه این معادله فقط عدد x = 1 است.

ب- معادلات حاوی ریشه های درجه سوم. سیستم های معادلات غیر منطقی. اجازه دهید خودمان را به نمونه های فردی از این گونه معادلات و سیستم ها محدود کنیم.

مثال 4: معادله را حل کنید

راه حل. دو راه برای حل معادله (70.1) نشان خواهیم داد. راه اول اجازه دهید هر دو طرف این معادله را مکعب کنیم (به فرمول (20.8) مراجعه کنید:

(در اینجا ما مقدار را جایگزین کردیم ریشه های مکعبیشماره 4 با استفاده از معادله).

بنابراین ما داریم

یعنی بعد از ساده سازی ها

از آنجا که هر دو ریشه معادله اصلی را برآورده می کنند.

راه دوم بگذاریم

معادله (70.1) به شکل نوشته خواهد شد. علاوه بر این، واضح است که. از معادله (70.1) به سمت سیستم حرکت کردیم

با تقسیم اولین معادله سیستم بر ترم بر دوم، متوجه می شویم