نیمسازها بخشهای متناسبی هستند. نیمساز مثلث چیست: خصوصیات مربوط به نسبت اضلاع

قضیه. نیمساز یک زاویه داخلی مثلث، ضلع مقابل را به قطعاتی متناسب با اضلاع مجاور تقسیم می کند.

اثبات مثلث ABC (شکل 259) و نیمساز زاویه B را در نظر بگیرید. از راس C یک خط مستقیم CM موازی با نیمساز BC بکشید تا جایی که در نقطه M با ادامه ضلع AB قطع شود. از آنجایی که BK نیمساز زاویه ABC است، پس . علاوه بر این، به عنوان زوایای متناظر برای خطوط موازی، و به عنوان زوایای متقاطع برای خطوط موازی. از این رو و بنابراین - متساوی الساقین، از آنجا . با قضیه خطوط موازی که اضلاع یک زاویه را قطع می‌کنند، داریم و در نظر می‌گیریم که این همان چیزی است که باید ثابت کنیم.

نیمساز زاویه خارجی B مثلث ABC (شکل 260) دارای خاصیت مشابهی است: قطعات AL و CL از رئوس A و C تا نقطه L از تقاطع نیمساز با ادامه ضلع AC متناسب هستند. اضلاع مثلث:

این خاصیت به همان روش قبلی ثابت شده است: در شکل. 260 یک خط مستقیم کمکی SM به موازات نیمساز BL رسم شده است. خود خواننده از برابری زوایای VMS و VSM و بنابراین اضلاع VM و BC مثلث VMS متقاعد می شود که پس از آن بلافاصله نسبت مورد نیاز به دست می آید.

می توان گفت که نیمساز یک زاویه خارجی، ضلع مقابل را به قطعاتی متناسب با اضلاع مجاور تقسیم می کند. شما فقط باید موافقت کنید که "تقسیم خارجی" بخش را مجاز کنید.

نقطه L که خارج از قطعه AC (در ادامه آن) قرار دارد، آن را تقسیم می کند خارجیدر رابطه اگر پس، نیمسازهای زاویه یک مثلث (داخلی و خارجی) ضلع مقابل (داخلی و خارجی) را به قطعاتی متناسب با اضلاع مجاور تقسیم می کنند.

مسئله 1. اضلاع ذوزنقه برابر با 12 و 15، قاعده ها برابر با 24 و 16 هستند. اضلاع مثلثی را که از قاعده بزرگ ذوزنقه و اضلاع کشیده آن تشکیل شده است، بیابید.

راه حل. در نماد شکل. 261 برای قسمتی که به عنوان ادامه ضلع جانبی عمل می کند نسبتی داریم که به راحتی آن را پیدا می کنیم به همین ترتیب ضلع دوم مثلث را تعیین می کنیم ضلع سوم با قاعده بزرگ منطبق است: .

مسئله 2. قاعده ذوزنقه 6 و 15 است. طول پاره موازی قاعده ها و تقسیم اضلاع به نسبت 1:2 از رئوس قاعده کوچک چقدر است؟

راه حل. بیایید به شکل. 262 که ذوزنقه ای را به تصویر می کشد. از طریق راس C پایه کوچک، خطی موازی با ضلع AB رسم می کنیم و متوازی الاضلاع را از ذوزنقه جدا می کنیم. از آنجا که ، پس از آن از اینجا ما پیدا کنید. بنابراین کل قطعه مجهول KL برابر است توجه داشته باشید که برای حل این مشکل نیازی به دانستن اضلاع جانبی ذوزنقه نیست.

مسئله 3. نیمساز زاویه داخلی B مثلث ABC ضلع AC را به قطعاتی در چه فاصله ای از رئوس A و C برش می دهد، نیمساز زاویه خارجی B امتداد AC را قطع می کند؟

راه حل. هر یک از نیمسازهای زاویه B AC را به یک نسبت تقسیم می کند، اما یکی از داخل و دیگری خارج. نقطه تلاقی ادامه AC و نیمساز زاویه خارجی B را با L نشان می دهیم. از آنجایی که AK فاصله مجهول AL را تا آن زمان نشان می دهیم و نسبتی خواهیم داشت که جواب آن فاصله لازم را به ما می دهد.

خودتان نقاشی را کامل کنید.

تمرینات

1. ذوزنقه ای با پایه های 8 و 18 توسط خطوط مستقیم موازی با پایه ها به شش نوار با عرض مساوی تقسیم می شود. طول قسمت های مستقیم را که ذوزنقه را به نوارها تقسیم می کنند، پیدا کنید.

2. محیط مثلث 32 است. نیمساز زاویه A ضلع BC را به قطعاتی برابر با 5 و 3 تقسیم می کند. طول اضلاع مثلث را بیابید.

3. پایه مثلث متساوی الساقینبرابر با a، ضلع b. طول قطعه ای را که نقاط تقاطع نیمسازهای گوشه های پایه را با اضلاع متصل می کند، پیدا کنید.

هندسه یکی از پیچیده ترین و گیج کننده ترین علوم است. در آن، آنچه در نگاه اول بدیهی به نظر می رسد، به ندرت صحیح می شود. نیم‌سازها، ارتفاعات، میانه‌ها، پیش‌بینی‌ها، مماس‌ها - تعداد زیادی اصطلاح واقعاً دشوار که اشتباه گرفتن آنها بسیار آسان است.

در واقع، با میل درست، می توانید یک نظریه با هر پیچیدگی را درک کنید. وقتی صحبت از نیمسازها، میانه ها و ارتفاعات به میان می آید، باید بدانید که آنها مختص مثلث ها نیستند. در نگاه اول، اینها خطوط ساده هستند، اما هر یک از آنها ویژگی ها و عملکردهای خاص خود را دارند، که دانش آنها راه حل را بسیار ساده می کند. مسائل هندسی. بنابراین، نیمساز یک مثلث چیست؟

تعریف

اصطلاح "نصف ساز" خود از ترکیب کلمات لاتین "دو" و "برش"، "برش" می آید که به طور غیر مستقیم ویژگی های آن را نشان می دهد. معمولاً هنگامی که کودکان با این پرتو آشنا می شوند، عبارت کوتاهی به آنها داده می شود تا به خاطر بسپارند: "نصف ساز موش صحرایی است که از گوشه ها می دود و گوشه را به نصف تقسیم می کند." طبیعتاً چنین توضیحی برای دانش آموزان بزرگتر مناسب نیست و علاوه بر این، معمولاً نه در مورد زاویه، بلکه در مورد یک شکل هندسی سؤال می شود. بنابراین نیمساز یک مثلث پرتویی است که راس مثلث را به ضلع مقابل متصل می کند و در عین حال زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. نقطه ای در طرف مقابل که نیمساز به طور تصادفی برای یک مثلث دلخواه انتخاب می شود.

توابع و خواص اساسی

این تیر دارای خواص اولیه کمی است. اولاً، چون نیمساز مثلث زاویه را نصف می کند، هر نقطه ای که روی آن قرار گیرد از اضلاع تشکیل دهنده راس فاصله خواهد داشت. ثانیاً، در هر مثلث می توانید با توجه به تعداد زوایای موجود، سه نیمساز رسم کنید (از این رو، در همان چهار ضلعی قبلاً چهار مورد از آنها وجود خواهد داشت و غیره). نقطه ای که هر سه پرتو در آن تلاقی می کنند مرکز دایره ای است که در مثلث محاط شده است.

خواص پیچیده تر می شوند

بیایید کمی نظریه را پیچیده کنیم. یکی دیگر از ویژگی های جالب: نیمساز یک زاویه یک مثلث، ضلع مقابل را به قطعاتی تقسیم می کند که نسبت آنها برابر با نسبت اضلاع تشکیل دهنده راس است. در نگاه اول، این پیچیده است، اما در واقع همه چیز ساده است: در شکل پیشنهادی، RL: LQ = PR: PK. به هر حال، این ویژگی "قضیه نیمساز" نامیده شد و برای اولین بار در آثار اقلیدس ریاضیدان یونان باستان ظاهر شد. در یکی از کتابهای درسی روسی فقط در ربع اول قرن هفدهم به یادگار مانده است.

کمی پیچیده تر است. در یک چهار ضلعی، نیمساز یک مثلث متساوی الساقین را قطع می کند. این شکل تمام زوایای مساوی AF میانه را نشان می دهد.

و در چهارضلعی ها و ذوزنقه ها نیمساز زوایای یک طرفه بر هم عمود هستند. در تصویر نشان داده شده، زاویه APB 90 درجه است.

در یک مثلث متساوی الساقین

نیمساز مثلث متساوی الساقین پرتو بسیار مفیدتری است. در عین حال نه تنها تقسیم کننده یک زاویه به نصف، بلکه یک میانه و یک ارتفاع نیز می باشد.

میانه قطعه ای است که از گوشه ای می آید و در وسط طرف مقابل می افتد و در نتیجه آن را به قسمت های مساوی تقسیم می کند. ارتفاع عمودی است که از یک راس به طرف مقابل فرود می‌آید؛ به کمک آن است که می‌توان هر مسئله‌ای را به یک قضیه ساده و ابتدایی فیثاغورث تقلیل داد. در این حالت نیمساز مثلث برابر با ریشه اختلاف مربع هیپوتنوس و ساق دیگر است. به هر حال، این ویژگی بیشتر در مسائل هندسی مواجه می شود.

برای تثبیت: در این مثلث، نیمساز FB میانه (AB = BC) و ارتفاع (زوایای FBC و FBA 90 درجه هستند).

در طرح کلی

پس چه چیزی را باید به خاطر بسپارید؟ نیمساز مثلث پرتویی است که راس آن را نصف می کند. در محل تلاقی سه پرتو مرکز دایره در این مثلث قرار دارد (تنها عیب این ویژگی این است که هیچ ارزش عملی ندارد و فقط برای اجرای شایسته ترسیم کاربرد دارد). همچنین طرف مقابل را به قطعاتی تقسیم می کند که نسبت آنها برابر است با نسبت اضلاع که این پرتو از بین آنها عبور کرده است. در یک چهارضلعی، ویژگی ها کمی پیچیده تر می شوند، اما، مسلما، آنها عملاً هرگز در مسائل سطح مدرسه ظاهر نمی شوند، بنابراین معمولاً در برنامه به آنها اشاره نمی شود.

نیمساز مثلث متساوی الساقین آرزوی نهایی هر دانش آموزی است. هم میانه است (یعنی طرف مقابل را به نصف تقسیم می کند) و هم ارتفاع (عمود بر آن ضلع). حل مسائل با چنین نیمساز به قضیه فیثاغورث تقلیل می یابد.

دانستن توابع اصلی نیمساز و همچنین خصوصیات اساسی آن برای حل مسائل هندسی متوسط ​​و متوسط ​​ضروری است. سطح بالامشکلات در واقع، این اشعه فقط در پلان سنجی یافت می شود، بنابراین نمی توان گفت که به خاطر سپردن اطلاعات مربوط به آن به شما امکان می دهد با انواع کارها کنار بیایید.

نیمساز مثلث پاره ای است که زاویه یک مثلث را به دو زاویه مساوی تقسیم می کند. به عنوان مثال، اگر زاویه یک مثلث 120 0 باشد، با رسم نیمساز، دو زاویه 60 0 می سازیم.

و از آنجایی که در یک مثلث سه زاویه وجود دارد، می توان سه نیمساز رسم کرد. همه آنها یک نقطه برش دارند. این نقطه مرکز دایره ای است که در مثلث محاط شده است. به عبارت دیگر این نقطه تلاقی را مرکز مثلث می نامند.

وقتی دو نیمساز یک زاویه داخلی و خارجی را قطع می کنند، زاویه 90 0 به دست می آید. زاویه بیرونی در مثلث، زاویه مجاور با زاویه داخلی مثلث است.

برنج. 1. مثلثی که شامل 3 نیمساز است

نیمساز طرف مقابل را به دو قسمت تقسیم می کند که به اضلاع متصل هستند:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

نقاط نیمساز از اضلاع زاویه به یک اندازه فاصله دارند، به این معنی که فاصله آنها از اضلاع زاویه یکسان است. یعنی اگر از هر نقطه ای از نیمساز به هر یک از اضلاع زاویه مثلث عمود بریزیم، این عمودها برابر می شوند.

اگر میانه، نیمساز و ارتفاع را از یک راس رسم کنید، میانه طولانی ترین بخش و ارتفاع کوتاه ترین خواهد بود.

برخی از خواص نیمساز

در انواع خاصی از مثلث ها، نیمساز خواص ویژه ای دارد. این در درجه اول در مورد مثلث متساوی الساقین صدق می کند. این شکل دارای دو ضلع یکسان است و ضلع سوم پایه نامیده می شود.

اگر نیمساز را از راس زاویه مثلث متساوی الساقین به قاعده رسم کنید، آنگاه ویژگی ارتفاع و میانه را خواهد داشت. بر این اساس، طول نیمساز با طول میانه و ارتفاع منطبق است.

تعاریف:

• ارتفاع- عمودی که از راس مثلث به طرف مقابل کشیده شده است.
• میانه- پاره ای که راس مثلث و وسط ضلع مقابل را به هم وصل می کند.

برنج. 2. نیمساز در مثلث متساوی الساقین

این در مورد مثلث متساوی الاضلاع نیز صدق می کند، یعنی مثلثی که هر سه ضلع آن برابر است.

تکلیف نمونه

در مثلث ABC: BR نیمساز است، با AB = 6 سانتی متر، BC = 4 سانتی متر، و RC = 2 سانتی متر. طول ضلع سوم را کم کنید.

برنج. 3. نیمساز در مثلث

راه حل:

نیمساز ضلع مثلث را به نسبت معینی تقسیم می کند. بیایید از این نسبت استفاده کنیم و AR را بیان کنیم. سپس طول ضلع سوم را به عنوان مجموع قطعاتی که این ضلع توسط نیمساز به آنها تقسیم شده است، خواهیم یافت.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3cm$

سپس کل بخش AC = RC+ AR

AC = 3 + 2 = 5 سانتی متر.

مجموع امتیازهای دریافتی: 107.

مثلث یک چند ضلعی با سه ضلع، یا یک خط شکسته بسته با سه پیوند، یا شکلی است که توسط سه قسمت تشکیل شده است که سه نقطه را که روی یک خط مستقیم قرار ندارند، به هم متصل می کنند (شکل 1 را ببینید).

عناصر اصلی مثلث abc

قله ها - نقاط A، B و C؛

مهمانی - بخش های a = BC، b = AC و c = AB که رئوس را به هم متصل می کنند.

زاویه - α، β، γ که توسط سه جفت ضلع تشکیل شده است. زاویه ها اغلب به همان شکل رئوس با حروف A، B و C تعیین می شوند.

به زاویه ای که از اضلاع مثلث تشکیل می شود و در ناحیه داخلی آن قرار دارد، زاویه داخلی می گویند و مجاور آن، زاویه مجاور مثلث است (2، ص 534).

ارتفاعات، میانه ها، نیمسازها و خطوط وسط مثلث

علاوه بر عناصر اصلی در یک مثلث، بخش های دیگری با ویژگی های جالب نیز در نظر گرفته می شود: ارتفاع، میانه، نیمساز و خطوط وسط.

ارتفاع

ارتفاعات مثلثی- اینها عمودهایی هستند که از رئوس مثلث به اضلاع مخالف افتاده اند.

برای ترسیم ارتفاع باید مراحل زیر را انجام دهید:

1) یک خط مستقیم حاوی یکی از اضلاع مثلث بکشید (اگر ارتفاع از راس یک زاویه حاد در یک مثلث مبهم کشیده شده باشد).

2) از راس قرار گرفته در مقابل خط کشیده شده، یک پاره از نقطه به این خط بکشید و با آن زاویه 90 درجه ایجاد کنید.

نقطه ای که ارتفاع ضلع مثلث را قطع می کند نامیده می شود پایه ارتفاع (شکل 2 را ببینید).

ویژگی های ارتفاعات مثلثی

در یک مثلث قائم الزاویه، ارتفاعی که از رأس گرفته شده است زاویه راست، آن را به دو مثلث مشابه مثلث اصلی تقسیم می کند.

در یک مثلث حاد، دو ارتفاع آن، مثلث های مشابه را از آن جدا می کند.

اگر مثلث حاد باشد تمام قاعده های ارتفاعات متعلق به اضلاع مثلث است و در مثلث منفرد دو ارتفاع در ادامه اضلاع قرار می گیرد.

سه ارتفاع در مثلث حاددر یک نقطه قطع می شود و این نقطه نامیده می شود اورتوسنتر مثلث.

میانه

مدیان(از لاتین mediana - "وسط") - این بخش هایی هستند که رئوس مثلث را با نقاط میانی اضلاع مقابل متصل می کنند (شکل 3 را ببینید).

برای ساخت میانه باید مراحل زیر را انجام دهید:

1) وسط پهلو را پیدا کنید.

2) نقطه ای که وسط ضلع مثلث با رأس مخالف است را با یک پاره وصل کنید.

ویژگی های وسط مثلث

میانه یک مثلث را به دو مثلث با مساحت مساوی تقسیم می کند.

وسط یک مثلث در یک نقطه قطع می شود که هر یک از آنها را به نسبت 2: 1 تقسیم می کند و از راس می شمرد. این نقطه نامیده می شود مرکز گرانش مثلث.

کل مثلث با وسط خود به شش مثلث مساوی تقسیم می شود.

نیمساز

نیمسازها(از لاتین bis - دو بار و seko - cut) بخشهای خط مستقیم محصور در داخل یک مثلث هستند که زوایای آن را نصف می کنند (شکل 4 را ببینید).

برای ساختن نیمساز باید مراحل زیر را انجام دهید:

1) پرتویی بسازید که از راس زاویه بیرون می آید و آن را به دو قسمت مساوی (نصف زاویه) تقسیم می کند.

2) نقطه تقاطع نیمساز زاویه مثلث با ضلع مقابل را پیدا کنید.

3) پاره ای را انتخاب کنید که راس مثلث را با نقطه تقاطع طرف مقابل متصل می کند.

خصوصیات نیمسازهای مثلثی

نیمساز یک مثلث ضلع مقابل را به نسبتی برابر با نسبت دو ضلع مجاور تقسیم می کند.

نیمسازهای زوایای داخلی مثلث در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند. این نقطه را مرکز دایره محاطی می نامند.

نیمسازهای زوایای داخلی و خارجی عمود هستند.

اگر نیمساز یک زاویه بیرونی مثلث امتداد ضلع مقابل را قطع کند، آنگاه ADBD=ACBC.

نیمسازهای یک مثلث داخلی و دو زاویه خارجی در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند. این نقطه مرکز یکی از این سه نقطه است حلقه می زنداین مثلث

اگر نیمساز زاویه خارجی با ضلع مقابل مثلث موازی نباشد، پایه‌های نیم‌سازهای دو زاویه داخلی و یک زاویه خارجی مثلث روی یک خط مستقیم قرار می‌گیرند.

اگر نیمسازهای زوایای خارجی یک مثلث با اضلاع مقابل هم موازی نباشند، قاعده آنها روی یک خط مستقیم قرار می گیرند.

سوروکینا ویکا

اثبات خصوصیات نیمساز مثلث ارائه شده و کاربرد نظریه در حل مسئله در نظر گرفته شده است.

دانلود:

پیش نمایش:

کمیته آموزش اداره ساراتوف، خودمختار شهرداری منطقه اوکتیابرسکی موسسه تحصیلیلیسه شماره 3 به نام. A. S. پوشکین.

علمی-عملی شهرداری

کنفرانس

"اولین قدم ها"

موضوع: نیمساز و خواص آن

کار انجام شده توسط: دانش آموز پایه هشتم

سوروکینا ویکتوریاناظر علمی: معلم ریاضی بالاترین ردهپوپووا نینا فدوروونا.

ساراتوف 2011

1. عنوان صفحه………………………………………………………………………………………………………
2. مطالب………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. مقدمه و اهداف…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
4. در نظر گرفتن خصوصیات نیمساز

• منبع سوم از نقاط………………………………….3
• قضیه 1…………………………………………………………………………4
• قضیه 2………………………………………………………………4
• ویژگی اصلی نیمساز مثلث:

1. قضیه 3…………………………………………………………………4
2. تکلیف 1……………………………………………………………………………………
3. وظیفه 2…………………………………………………………………………………………
4. تکلیف 3…………………………………………………………………………………………………
5. تکلیف 4…………………………………………………….9-10

• قضیه 4…………………………………………………10-11
• فرمول های یافتن نیمساز:

1. قضیه 5……………………………………………………………………….
2. قضیه 6……………………………………………………………………….11
3. قضیه 7…………………………………………………………………….
4. تکلیف 5…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

• قضیه 8…………………………………………………………………………….
• تکلیف 6…………………………………………………………….14
• تکلیف 7……………………………………………………14-15
• تعیین جهات اصلی با استفاده از نیمساز…………………15

1. نتیجه گیری و نتیجه گیری…………………………………………………………………………………………………..
2. فهرست مراجع……………………………………..16

نیمساز

در کلاس هندسه هنگام مطالعه مبحث مثلث های مشابه به مسئله ای در مورد رابطه نیمساز به اضلاع مقابل برخورد کردم. به نظر می رسد که می تواند چیز جالبی در مبحث نیمساز وجود داشته باشد، اما این موضوع برای من جالب بود و می خواستم آن را عمیق تر مطالعه کنم. از این گذشته ، نیمساز از نظر خواص شگفت انگیز بسیار غنی است که به حل مشکلات مختلف کمک می کند.

با بررسی این مبحث متوجه خواهید شد که کتاب های هندسه در مورد ویژگی های نیمساز بسیار کم گفته اند، اما در امتحانات با دانستن آنها می توانید مسائل را بسیار راحت تر و سریعتر حل کنید. علاوه بر این، برای قبولی در آزمون‌های GIA و یکپارچه دولتی، دانش‌آموزان مدرن باید خودشان مطالعه کنند مواد اضافیبه برنامه درسی مدرسه به همین دلیل تصمیم گرفتم موضوع نیمساز را با جزئیات بیشتری مطالعه کنم.

نیمساز (از لاتین bi- "double" و sectio "برش") یک زاویه پرتویی است با شروع در راس زاویه که زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. نیمساز یک زاویه (به همراه امتداد آن) مکان نقاطی است که از اضلاع زاویه (یا امتداد آنها) فاصله دارند.)

جایگاه سوم امتیاز

شکل F مکان نقاط (مجموعه نقاط) است که دارای خاصیت خاصی استآ، در صورت رعایت دو شرط:

1. از این واقعیت که نقطه به شکل تعلق دارداف، نتیجه می شود که دارای خاصیت استآ؛
2. از آنجا که نقطه رضایت ملک را داردآ، نتیجه می شود که متعلق به شکل استاف.

اولین جایگاه نقاط در نظر گرفته شده در هندسه یک دایره است، یعنی. مکان نقاطی که از یک نقطه ثابت فاصله دارند. دومی عمود بر بخش است، یعنی. مکان نقاطی که از انتهای یک قطعه فاصله دارند. و در نهایت، سوم - نیمساز - مکان هندسی نقاط با فاصله مساوی از دو طرف زاویه

قضیه 1:

نقاط نیمساز از اضلاع به یک اندازه فاصله دارنداو گوشه ای است

اثبات:

اجازه دهید R - نقطه نیمسازآ. بیایید از اصل موضوع فاصله بگیریمP عمود بر RV و کامپیوتر در طرفین گوشه. سپس VAR = SAR توسط هیپوتانوز و زاویه حاد. از این رو PB = PC

قضیه 2:

اگر نقطه P از اضلاع زاویه A به یک اندازه فاصله داشته باشد، آنگاه روی نیمساز قرار می گیرد.

اثبات: PB = PC => VAR = CAP => BAP = CAP => AR یک نیمساز است.

از جمله حقایق هندسی اساسی این قضیه است که نیمساز ضلع مقابل را نسبت به اضلاع مقابل تقسیم می کند. این واقعیت برای مدت طولانی در سایه باقی ماند، اما در همه جا مشکلاتی وجود دارد که اگر این و حقایق دیگر را در مورد نیمساز بدانید، حل آنها بسیار ساده تر است. من علاقه مند شدم و تصمیم گرفتم این ویژگی نیمساز را بیشتر بررسی کنم.

ویژگی اصلی نیمساز زاویه یک مثلث

قضیه 3. نیمساز ضلع مقابل یک مثلث را نسبت به اضلاع مجاور تقسیم می کند.

شواهد 1:

داده شده: AL - نیمساز مثلث ABC

ثابت كردن:

اثبات: فرض کنید F باشد نقطه تقاطع خط AL و خطی که از نقطه عبور می کندکه در به موازات سمت AC

سپس BFA = FAC = BAF. بنابراین B.A.F. متساوی الساقین و AB = BF. از تشابه مثلث ها ALC و FLB داریم

نسبت

جایی که

شواهد 2

فرض کنید F نقطه ای باشد که با خط مستقیم AL قطع می شود و خط مستقیمی که از نقطه C موازی با پایه AB می گذرد. سپس می توانید استدلال را تکرار کنید.

شواهد 3

فرض کنید K و M پایه های عمود بر روی خط افتاده باشند AL از نقاط B و C به ترتیب. مثلث های ABL و ACL از دو زاویه مشابه هستند. از همین رو
. و از شباهت BKL و CML داریم

از اینجا

اثبات 4

بیایید از روش مساحت استفاده کنیم. بیایید مساحت مثلث ها را محاسبه کنیم ABL و ACL دو راه.

از اینجا.

شواهد 5

اجازه دهید α= شما،φ= BLA. با قضیه سینوس ها در مثلث ABL

و در مثلث ACL.

زیرا ،

سپس با تقسیم هر دو طرف تساوی به قسمت های مربوط به طرف دیگر، به دست می آوریم.

مشکل 1

داده شده: در مثلث ABC، VC نیمساز است، BC = 2، KS = 1،

راه حل:

مشکل 2

داده شده:

نیمسازها را پیدا کنید گوشه های تیز راست گوشهبا پاهای 24 و 18

راه حل:

اجازه دهید ضلع AC = 18، ضلع BC = 24،

صبح. - نیمساز مثلث

با استفاده از قضیه فیثاغورث می یابیم،

که AB = 30.

از آن به بعد

اجازه دهید به طور مشابه نیمساز دوم را پیدا کنیم.

پاسخ:

مشکل 3

در یک مثلث قائم الزاویه ABC با زاویه قائم B نیمساز زاویهآ از کنار عبور می کندقبل از میلاد مسیح.

در نقطه D. مشخص است که BD = 4، DC = 6.

مساحت مثلث را پیدا کنید ADC

راه حل:

با خاصیت نیمساز مثلث

اجازه دهید AB = 2 x، AC = 3 x را نشان دهیم. با قضیه

فیثاغورث قبل از میلاد 2 + AB 2 = AC 2، یا 100 + 4 x 2 = 9 x 2

از اینجا متوجه می شویم که x = سپس AB = , S ABC=

از این رو،

مشکل 4

داده شده:

در یک مثلث متساوی الساقین ABC سمت AB برابر 10، پایه AC 12 است.

نیمساز زوایاالف و ج در یک نقطه تلاقی می کنند D. BD را پیدا کنید.

راه حل:

از آنجایی که نیمسازهای یک مثلث در

یک نقطه، سپس BD نیمساز B است. بیایید BD را ادامه دهیم به تقاطع با AC در نقطه M. سپس M نقطه وسط AC، BM AC است. از همین رو

چون سی دی - نیمساز مثلثسپس BMC

از این رو،.

پاسخ:

قضیه 4. سه نیمساز یک مثلث در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند.

در واقع، اجازه دهید ابتدا نقطه P از تقاطع دو نیمساز، برای مثال AK را در نظر بگیریم 1 و VK 2 . این نقطه به همان اندازه از دو طرف AB و AC فاصله دارد، زیرا روی نیمساز قرار داردA، و به همان اندازه از اضلاع AB و BC فاصله دارد، زیرا متعلق به نیمساز استب. این بدان معنی است که از دو طرف AC و BC به یک اندازه فاصله دارد و بنابراین به نیمساز سوم SC تعلق دارد. 3 ، یعنی در نقطه P هر سه نیمساز قطع می شوند.

فرمول های یافتن نیمساز
قضیه 5: (فرمول اول برای نیمساز): اگر در مثلث ABC قطعه AL یک نیمساز باشد A، سپس AL² = AB·AC - LB·LC.

اثبات: فرض کنید M نقطه تقاطع خط AL با دایره ای باشد که حول مثلث ABC محصور شده است (شکل 41). زاویه BAM برابر با زاویه MAC بر اساس شرایط. زوایای BMA و BCA به صورت زوایای محاطی که توسط یک وتر فرو رفته اند همخوانی دارند. این بدان معنی است که مثلث های BAM و LAC از دو زاویه مشابه هستند. بنابراین، AL: AC = AB: AM. این یعنی AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Q.E.D.

قضیه 6: . (فرمول دوم نیمساز): در مثلث ABC با اضلاع AB=a، AC=b وبرابر با 2α و نیمساز l، تساوی برقرار است:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

اثبات : فرض کنید مثلث داده شده ABC، نیمساز آن AL، a=AB، b=AC، l=AL باشد. سپس اس ABC = S ALB + S ALC . بنابراین ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. قضیه ثابت شده است.

قضیه 7: اگر a، b اضلاع مثلث باشند، Y زاویه بین آنهاست.نیمساز این زاویه است. سپس.