ورودچگونه نسبت یک پای مجاور به هیپوتنوز را پیدا کنیم. حوزه های تعریف و ارزش، افزایش، کاهش. نمودار تابع مماس، y = tan x
در جایی که مسائل مربوط به حل مثلث قائم الزاویه در نظر گرفته شد، قول دادم تکنیکی برای حفظ تعاریف سینوس و کسینوس ارائه کنم. با استفاده از آن، همیشه به سرعت به یاد می آورید که کدام سمت به هیپوتنوس (مجاور یا مقابل) تعلق دارد. تصمیم گرفتم زیاد به تعویق نیندازم مواد مورد نیازدر زیر، لطفا بخوانید 😉
واقعیت این است که من بارها مشاهده کرده ام که چگونه دانش آموزان کلاس های 10-11 در به خاطر سپردن این تعاریف مشکل دارند. آنها به خوبی به یاد دارند که پا به هیپوتنوز اشاره دارد، اما کدام یک- فراموش می کنند و سردرگم. بهای یک اشتباه همانطور که می دانید در امتحان یک امتیاز از دست رفته است.
اطلاعاتی که من مستقیما ارائه خواهم کرد هیچ ربطی به ریاضیات ندارد. او با تفکر تخیلیو با روش های ارتباط کلامی-منطقی. این دقیقاً همان چیزی است که من آن را یک بار برای همیشه به یاد دارمداده های تعریف اگر آنها را فراموش کردید، همیشه می توانید با استفاده از تکنیک های ارائه شده آنها را به راحتی به خاطر بسپارید.
اجازه دهید تعاریف سینوس و کسینوس را به شما یادآوری کنم راست گوشه:
کسینوس زاویه حاددر یک مثلث قائم الزاویه، این نسبت پای مجاور به هیپوتونوس است:
سینوسیزاویه تند در مثلث قائم الزاویه نسبت ضلع مقابل به هیپوتنوز است:
بنابراین، چه ارتباطی با کلمه کسینوس دارید؟
احتمالا هرکسی خودشو داره😉لینک را به خاطر بسپار:
بنابراین، عبارت بلافاصله در حافظه شما ظاهر می شود -
«… نسبت پای مجاور به هیپوتنوز».
مشکل تعیین کسینوس حل شده است.
اگر لازم است تعریف سینوس در یک مثلث قائم الزاویه را به خاطر بسپارید، سپس با یادآوری تعریف کسینوس، به راحتی می توانید ثابت کنید که سینوس یک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مقابل به هیپوتانوس است. از این گذشته ، فقط دو پا وجود دارد ، اگر پای مجاور توسط کسینوس "اشغال" شود ، فقط پای مخالف با سینوس باقی می ماند.
مماس و کوتانژانت چطور؟ سردرگمی همان است. دانش‌آموزان می‌دانند که این رابطه بین پاها است، اما مشکل این است که به یاد داشته باشیم که کدام یک به کدام اشاره دارد - یا برعکس با مجاور یا برعکس.
تعاریف:
مماسزاویه تند در مثلث قائم الزاویه نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است:
کوتانژانتزاویه تند در مثلث قائم الزاویه نسبت ضلع مجاور به مقابل است:
چگونه به خاطر بسپاریم؟ دو راه وجود دارد. یکی همچنین از یک ارتباط کلامی-منطقی استفاده می کند، دیگری از یک ارتباط ریاضی استفاده می کند.
روش ریاضی
چنین تعریفی وجود دارد - مماس یک زاویه حاد نسبت سینوس زاویه به کسینوس آن است:
*با حفظ فرمول، همیشه می توانید تعیین کنید که مماس یک زاویه تند در یک مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است.
به همین ترتیب.کوتانژانت یک زاویه حاد نسبت کسینوس زاویه به سینوس آن است:
بنابراین! با به خاطر سپردن این فرمول ها، همیشه می توانید تعیین کنید که:
- مماس یک زاویه تند در مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است.
- هم تانژانت یک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل است.
روش کلمه-منطقی
در مورد مماس لینک را به خاطر بسپارید:
یعنی اگر لازم است تعریف مماس را به خاطر بسپارید، با استفاده از این ارتباط منطقی می توانید به راحتی آن را به خاطر بسپارید.
«... نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور»
اگر در مورد کوتانژانت صحبت می کنیم، پس با یادآوری تعریف مماس می توانید به راحتی تعریف کوتانژانت را بیان کنید -
«... نسبت ضلع مجاور به طرف مقابل»
ترفند جالبی برای به خاطر سپردن مماس و کوتانژانت در وبسایت وجود دارد " پشت سر هم ریاضی " ، نگاه کن
روش جهانی
شما فقط می توانید آن را حفظ کنید.اما همانطور که تمرین نشان می دهد، به لطف ارتباطات کلامی-منطقی، فرد اطلاعات را برای مدت طولانی به یاد می آورد، و نه تنها اطلاعات ریاضی.
امیدوارم مطالب برای شما مفید بوده باشد.
با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ
P.S: اگر در شبکه های اجتماعی درباره سایت به من بگویید ممنون می شوم.
سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت یک زاویه به شما کمک می کند تا مثلث قائم الزاویه را درک کنید.
اضلاع مثلث قائم الزاویه چه نام دارند؟ درست است، هیپوتنوز و پاها: هیپوتنوز سمتی است که در مقابل زاویه راست قرار دارد (در مثال ما این ضلع \(AC\) است). پاها دو طرف باقی مانده \(AB\) و \(BC\) (آنهایی که مجاور هستند زاویه راستو اگر پاها را نسبت به زاویه \(BC\) در نظر بگیریم، ساق \(AB\) ساق مجاور است و ساق \(BC\) برعکس است. خب حالا بیایید به این سوال پاسخ دهیم: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه چیست؟
سینوس زاویه- این نسبت پای مقابل (دور) به هیپوتنوز است.
در مثلث ما:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
کسینوس زاویه- این نسبت پای مجاور (نزدیک) به هیپوتنوز است.
در مثلث ما:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
مماس زاویه- این نسبت طرف مقابل (دور) به مجاور (نزدیک) است.
در مثلث ما:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
کتانژانت زاویه- این نسبت پای مجاور (نزدیک) به طرف مقابل (دور) است.
در مثلث ما:
\[ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
این تعاریف لازم است یاد آوردن! برای اینکه راحت‌تر به خاطر بیاورید که کدام پا را باید به چه چیزی تقسیم کنید، باید آن را به وضوح درک کنید مماسو کتانژانتفقط پاها می نشینند و هیپوتنوز فقط در داخل ظاهر می شود سینوسیو کسینوس. و سپس می توانید با زنجیره ای از انجمن ها بیایید. مثلا این یکی:
کسینوس← لمس← لمس← مجاور;
کوتانژانت← لمس← لمس← مجاور.
اول از همه، باید به خاطر داشته باشید که سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به عنوان نسبت اضلاع یک مثلث به طول این ضلع ها (در یک زاویه) بستگی ندارد. باور نکن؟ سپس با مشاهده عکس مطمئن شوید:
برای مثال کسینوس زاویه \(\beta\) را در نظر بگیرید. طبق تعریف، از مثلث \(ABC\): \(\cos \بتا =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \)، اما می توانیم کسینوس زاویه \(\beta \) را از مثلث \(AHI \) محاسبه کنیم: \(\cos \بتا =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). ببینید طول اضلاع متفاوت است، اما مقدار کسینوس یک زاویه یکسان است. بنابراین، مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت تنها به بزرگی زاویه بستگی دارد.
اگر تعاریف را فهمیدید، پس بروید و آنها را تثبیت کنید!
برای مثلث \(ABC \) که در شکل زیر نشان داده شده است، پیدا می کنیم \(\sin \\alpha,\ \cos \\alpha,\ tg\ \alpha,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(آرایه) \)
خوب متوجه شدی؟ سپس خودتان آن را امتحان کنید: همان را برای زاویه \(\beta \) محاسبه کنید.
پاسخ ها: \(\sin \ \بتا =0.6;\ \cos \ \بتا =0.8;\ tg\ \بتا =0.75;\ ctg\ \بتا =\dfrac(4)(3) \).
دایره واحد (مثلثی).
با درک مفاهیم درجه و رادیان، دایره ای با شعاع برابر با \(1\) در نظر گرفتیم. چنین دایره ای نامیده می شود تنها. هنگام مطالعه مثلثات بسیار مفید خواهد بود. بنابراین، اجازه دهید به آن با کمی جزئیات بیشتر نگاه کنیم.
همانطور که می بینید، این دایره در سیستم مختصات دکارتی ساخته شده است. شعاع دایره برابر با یک، در حالی که مرکز دایره در مبدا قرار دارد، موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور \(x\) ثابت است (در مثال ما، این شعاع \(AB\) است).
هر نقطه روی دایره مربوط به دو عدد است: مختصات در امتداد محور \(x\) و مختصات در امتداد محور \(y\). این اعداد مختصات چیست؟ و در کل چه ربطی به موضوع مورد بحث دارن؟ برای انجام این کار، باید مثلث قائم الزاویه در نظر گرفته شده را به خاطر بسپاریم. در شکل بالا دو مثلث کامل قائم الزاویه را مشاهده می کنید. مثلث \(ACG\) را در نظر بگیرید. مستطیل شکل است زیرا \(CG\) بر محور \(x\) عمود است.
\(\cos \\alpha \) از مثلث \(ACG \) چیست؟ درست است \(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC) \). علاوه بر این، می دانیم که \(AC\) شعاع دایره واحد است که به معنای \(AC=1\) است. بیایید این مقدار را با فرمول کسینوس جایگزین کنیم. این چیزی است که اتفاق می افتد:
\(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
\(\sin \\alpha \) از مثلث \(ACG \) برابر است با چیست؟ خوب البته، \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! مقدار شعاع \(AC\) را در این فرمول جایگزین کنید و دریافت کنید:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
بنابراین، آیا می توانید بگویید نقطه \(C\) متعلق به دایره چه مختصاتی دارد؟ خوب، هیچ راهی؟ اگر متوجه شوید که \(\cos \\alpha \) و \(\sin \alpha \) فقط اعداد هستند چه؟ \(\cos \alpha \) با چه مختصاتی مطابقت دارد؟ خوب، البته، مختصات \(x\)! و \(\sin \alpha \) با چه مختصاتی مطابقت دارد؟ درست است، \(y\) را هماهنگ کنید! بنابراین نکته \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
پس \(tg \alpha \) و \(ctg \alpha \) با چه چیزی برابرند؟ درست است، بیایید از تعاریف مربوط به مماس و کوتانژانت استفاده کنیم و آن را بدست آوریم \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \)، آ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha)=\dfrac(x)(y) \).
اگر زاویه بزرگتر باشد چه؟ برای مثال مانند این تصویر:
چه چیزی در این مثال تغییر کرده است؟ بیایید آن را بفهمیم. برای انجام این کار، اجازه دهید دوباره به یک مثلث قائم الزاویه بچرخیم. یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : زاویه (در مجاورت زاویه \(\بتا \)). مقدار سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت برای یک زاویه چقدر است \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? درست است، ما به تعاریف مربوط به توابع مثلثاتی پایبند هستیم:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \ زاویه ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\ زاویه ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\زاویه ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(آرایه) \)
خوب، همانطور که می بینید، مقدار سینوس زاویه همچنان با مختصات \(y\) مطابقت دارد. مقدار کسینوس زاویه - مختصات \(x\) ; و مقادیر مماس و کتانژانت به نسبت های مربوطه. بنابراین، این روابط برای هر چرخش بردار شعاع اعمال می شود.
قبلاً ذکر شد که موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور \(x\) است. تاکنون این بردار را در خلاف جهت عقربه های ساعت چرخانده ایم، اما اگر آن را در جهت عقربه های ساعت بچرخانیم چه اتفاقی می افتد؟ هیچ چیز خارق العاده ای نیست، شما همچنین زاویه ای با مقدار مشخصی دریافت خواهید کرد، اما فقط آن منفی خواهد بود. بنابراین، هنگام چرخش بردار شعاع در خلاف جهت عقربه های ساعت، به دست می آوریم زوایای مثبتو هنگام چرخش در جهت عقربه های ساعت - منفی.
بنابراین، می دانیم که کل چرخش بردار شعاع اطراف دایره \(360()^\circ \) یا \(2\pi \) است. آیا می توان بردار شعاع را با \(390()^\circ \) یا با \(-1140()^\circ \) چرخاند؟ خوب، البته که می توانید! در حالت اول، \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \)بنابراین، بردار شعاع یک دور کامل ایجاد می کند و در موقعیت \(30()^\circ \) یا \(\dfrac(\pi )(6) \) متوقف می شود.
در مورد دوم، \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \)، یعنی بردار شعاع سه دور کامل می کند و در موقعیت \(-60()^\circ \) یا \(-\dfrac(\pi )(3) \) متوقف می شود.
بنابراین، از مثال‌های بالا می‌توان نتیجه گرفت که زوایایی که با \(360()^\circ \cdot m\) یا \(2\pi \cdot m\) متفاوت هستند (که \(m\) هر عدد صحیحی است) با همان موقعیت بردار شعاع مطابقت دارد.
شکل زیر زاویه \(\beta =-60()^\circ \) را نشان می دهد. همان تصویر مربوط به گوشه است \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)و غیره. این لیست را می توان به طور نامحدود ادامه داد. همه این زوایا را می توان با فرمول کلی نوشت \(\beta +360()^\circ \cdot m\)یا \(\beta +2\pi \cdot m\) (که در آن \(m\) هر عدد صحیح است)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(آرایه) \)
حال با دانستن تعاریف توابع مثلثاتی پایه و استفاده از دایره واحد، سعی کنید به مقادیر زیر پاسخ دهید:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(آرایه) \)
در اینجا یک حلقه واحد برای کمک به شما وجود دارد:
داشتن مشکلات؟ سپس بیایید آن را بفهمیم. پس می دانیم که:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\پایان(آرایه)\)
از اینجا، مختصات نقاط مربوط به معیارهای زاویه خاص را تعیین می کنیم. خوب، بیایید به ترتیب شروع کنیم: گوشه در \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)مربوط به نقطه ای با مختصات \(\left(0;1 \right) \) است، بنابراین:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\arrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- وجود ندارد؛
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
در ادامه، با رعایت همین منطق، متوجه می شویم که گوشه ها در \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )با نقاط دارای مختصات مطابقت دارد \(\left(-1;0 \right),\text()\left(0;-1 \right),\text()\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \راست) \)، به ترتیب. با دانستن این موضوع، تعیین مقادیر توابع مثلثاتی در نقاط مربوطه آسان است. ابتدا خودتان آن را امتحان کنید و سپس پاسخ ها را بررسی کنید.
پاسخ ها:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \\pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \\pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\arrow \text(ctg)\ \pi \)- وجود ندارد
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\nightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- وجود ندارد
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\nightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- وجود ندارد
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\arrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- وجود ندارد
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
بنابراین می توانیم جدول زیر را تهیه کنیم:
نیازی به یادآوری تمام این ارزش ها نیست. کافی است مطابقت بین مختصات نقاط روی دایره واحد و مقادیر توابع مثلثاتی را به خاطر بسپارید:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(باید به خاطر بسپارید یا بتوانید آن را خروجی بگیرید!! \) !}
اما مقادیر توابع مثلثاتی زوایا در و \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6)،\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)در جدول زیر، باید به خاطر داشته باشید:
نترسید، اکنون یک نمونه از حفظ نسبتاً ساده مقادیر مربوطه را به شما نشان خواهیم داد:
برای استفاده از این روش، به خاطر سپردن مقادیر سینوس برای هر سه معیار زاویه حیاتی است. \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)) و همچنین مقدار مماس زاویه در \(30()^\circ \) . با دانستن این مقادیر \(4\) ، بازیابی کل جدول بسیار ساده است - مقادیر کسینوس مطابق با فلش ها منتقل می شوند ، یعنی:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \پایان(آرایه) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)، با دانستن این موضوع، می توانید مقادیر را بازیابی کنید \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). عدد "\(1 \)" با \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) و مخرج "\(\sqrt(\text(3)) \)" مطابقت دارد \(\text (tg)\ 60()^\circ \\) . مقادیر کوتانژانت مطابق با فلش های نشان داده شده در شکل منتقل می شوند. اگر این را فهمیدید و نمودار را با فلش ها به خاطر بسپارید، کافی است فقط مقادیر \(4\) را از جدول به خاطر بسپارید.
مختصات یک نقطه روی یک دایره
آیا با دانستن مختصات مرکز دایره، شعاع و زاویه چرخش آن می توان نقطه ای (مختصات آن) را روی یک دایره پیدا کرد؟ خوب، البته که می توانید! بیا بیرونش کنیم فرمول کلیبرای یافتن مختصات یک نقطه برای مثال، یک دایره در مقابل ما قرار دارد:
به ما این نکته داده شده است \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- مرکز دایره شعاع دایره \(1.5\) است. لازم است مختصات نقطه \(P\) را که با چرخش نقطه \(O\) به میزان \(\delta \) درجه بدست می آید پیدا کنید.
همانطور که از شکل مشخص است، مختصات \(x\) نقطه \(P\) با طول قطعه \(TP=UQ=UK+KQ\) مطابقت دارد. طول قطعه \(UK\) مطابق با مختصات \(x\) مرکز دایره است، یعنی برابر است با \(3\). طول قطعه \(KQ\) را می توان با استفاده از تعریف کسینوس بیان کرد:
\(\cos \\delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).
سپس برای نقطه \(P\) مختصات داریم \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =3+1.5\cdot \cos \\delta \).
با استفاده از همین منطق، مقدار مختصات y را برای نقطه \(P\) پیدا می کنیم. بدین ترتیب،
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
بنابراین، در نمای کلیمختصات نقاط با فرمول تعیین می شود:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(آرایه) \)، جایی که
\(((x)_(0))، ((y)_(0)) \) - مختصات مرکز دایره،
\(r\) - شعاع دایره،
\(\delta \) - زاویه چرخش شعاع برداری.
همانطور که می بینید، برای دایره واحد مورد نظر ما، این فرمول ها به طور قابل توجهی کاهش می یابد، زیرا مختصات مرکز برابر با صفر و شعاع برابر با یک است:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \\delta =\cos \\delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \\delta =\sin \\delta \end(آرایه) \)
جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.برای انجام محاسبات، باید کنترل های ActiveX را فعال کنید!
ابتدا دایره ای با شعاع 1 و مرکز آن (0;0) در نظر بگیرید. برای هر αЄR می توان شعاع 0A را طوری رسم کرد که اندازه شعاعی زاویه بین 0A و محور 0x برابر با α باشد. جهت خلاف جهت عقربه های ساعت مثبت در نظر گرفته می شود. بگذارید انتهای شعاع A دارای مختصات (a,b) باشد.
تعریف سینوس
تعریف : عدد b برابر با مختصات شعاع واحد ساخته شده به شکل توصیف شده با sinα نشان داده می شود و سینوس زاویه α نامیده می شود.
مثال: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0
تعریف کسینوس
تعریف: عدد a برابر با آبسیسا انتهای شعاع واحد ساخته شده به روش توصیف شده با cosα نشان داده می شود و کسینوس زاویه α نامیده می شود.
مثال: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2
در این مثال ها از تعریف سینوس و کسینوس یک زاویه بر حسب مختصات انتهای شعاع واحد و دایره واحد استفاده می شود. برای نمایش بصری تر، باید یک دایره واحد رسم کنید و نقاط مربوطه را روی آن رسم کنید و سپس ابسیساهای آنها را برای محاسبه کسینوس و مختصات برای محاسبه سینوس بشمارید.
تعریف مماس
تعریف: تابع tgx=sinx/cosx برای x≠π/2+πk، kЄZ، کوتانژانت زاویه x نامیده می شود. دامنه توابع tgxاینها همه اعداد واقعی هستند، به جز x=π/2+πn، nЄZ.
مثال: tg0 tgπ = 0 0 = 0
این مثال مشابه نمونه قبلی است. برای محاسبه مماس یک زاویه، باید مختصات یک نقطه را بر آبسیس آن تقسیم کنید.
تعریف کوتانژانت
تعریف: تابع ctgx=cosx/sinx برای x≠πk، kЄZ کوتانژانت زاویه x نامیده می شود. دامنه تعریف تابع ctgx = همه اعداد حقیقی به جز نقاط x=πk، kЄZ است.
بیایید به مثالی با استفاده از مثلث قائم الزاویه منظم نگاه کنیم
برای اینکه مشخص شود کسینوس، سینوس، مماس و کوتانژانت چیست. بیایید به مثالی با استفاده از یک مثلث قائم الزاویه با زاویه y و نگاه کنیم اضلاع a,b,c. هیپوتنوز c، پاهای a و b به ترتیب. زاویه بین هیپوتانوس c و پایه b y.
تعریف:سینوس زاویه y نسبت ضلع مقابل به هیپوتانوس است: siny = a/c
تعریف:کسینوس زاویه y نسبت پای مجاور به هیپوتونوس است: cozy = v/c
تعریف:مماس زاویه y نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است: tgy = a/b
تعریف:کوتانژانت زاویه y نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل است: ctgy= in/a
سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت توابع مثلثاتی نیز نامیده می شوند. هر زاویه سینوس و کسینوس خاص خود را دارد. و تقریباً هرکسی مماس و کتانژانت خاص خود را دارد.
اعتقاد بر این است که اگر یک زاویه به ما داده شود، سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت آن برای ما شناخته شده است! و بالعکس. با توجه به یک سینوس یا هر تابع مثلثاتی دیگر، به ترتیب، زاویه را می دانیم. حتی جداول خاصی ایجاد شده است که توابع مثلثاتی برای هر زاویه نوشته شده است.
مثلثات به عنوان یک علم در شرق باستان سرچشمه گرفته است. اولین نسبت های مثلثاتی توسط اخترشناسان برای ایجاد یک تقویم و جهت گیری دقیق توسط ستاره ها استخراج شد. این محاسبات مربوط به مثلثات کروی است، در حالی که در دوره مدرسه نسبت اضلاع و زوایای یک مثلث مسطح را مطالعه می کنند.
مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که به ویژگی های توابع مثلثاتی و روابط بین اضلاع و زوایای مثلث ها می پردازد.
در دوران اوج فرهنگ و علم در هزاره اول پس از میلاد، دانش از شرق باستان به یونان گسترش یافت. اما اکتشافات اصلی مثلثات، شایستگی مردان خلافت عرب است. به ویژه دانشمند ترکمن المرازوی توابعی مانند مماس و کوتانژانت را معرفی کرد و اولین جداول مقادیر سینوس ها، مماس ها و کتانژانت ها را جمع آوری کرد. مفاهیم سینوس و کسینوس توسط دانشمندان هندی معرفی شد. مثلثات در آثار شخصیت های بزرگ دوران باستان مانند اقلیدس، ارشمیدس و اراتوستن مورد توجه بسیاری قرار گرفت.
کمیت های اصلی مثلثات
توابع مثلثاتی اصلی یک آرگومان عددی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت هستند. هر کدام از آنها نمودار مخصوص به خود را دارند: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت.
فرمول های محاسبه مقادیر این مقادیر بر اساس قضیه فیثاغورث است. در این فرمول برای دانش آموزان مدرسه بهتر شناخته شده است: "شلوار فیثاغورث در همه جهات برابر است"، زیرا اثبات با استفاده از مثال یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین ارائه شده است.
سینوس، کسینوس و سایر روابط رابطه بین زوایای تند و اضلاع هر مثلث قائم الزاویه را برقرار می کنند. اجازه دهید فرمول هایی را برای محاسبه این مقادیر برای زاویه A ارائه کنیم و روابط بین توابع مثلثاتی را ردیابی کنیم:
همانطور که می بینید، tg و ctg هستند توابع معکوس. اگر پایه a را حاصل ضرب گناه A و هیپوتنوز c و پایه b را cos A * c تصور کنیم، فرمول های زیر را برای مماس و کوتانژانت به دست می آوریم:
دایره مثلثاتی
از نظر گرافیکی، رابطه بین مقادیر ذکر شده را می توان به صورت زیر نشان داد:
دایره، در این مورد، تمام مقادیر ممکن زاویه α - از 0 درجه تا 360 درجه را نشان می دهد. همانطور که از شکل مشخص است، هر تابع یک یا منفی می گیرد ارزش مثبتبسته به اندازه زاویه به عنوان مثال، اگر α به ربع 1 و 2 دایره تعلق داشته باشد، یعنی در محدوده 0 تا 180 درجه باشد، sin α علامت "+" خواهد داشت. برای α از 180 درجه تا 360 درجه (ربع III و IV)، sin α فقط می تواند یک مقدار منفی باشد.
بیایید سعی کنیم جداول مثلثاتی را برای زوایای خاص بسازیم و معنای کمیت ها را دریابیم.
مقادیر α برابر با 30 درجه، 45 درجه، 60 درجه، 90 درجه، 180 درجه و غیره را موارد خاص می نامند. مقادیر توابع مثلثاتی برای آنها محاسبه و در قالب جداول ویژه ارائه می شود.
این زوایا به طور تصادفی انتخاب نشده اند. نام π در جداول برای رادیان است. راد زاویه ای است که طول کمان دایره با شعاع آن مطابقت دارد. این مقدار به منظور ایجاد یک وابستگی جهانی معرفی شد؛ هنگام محاسبه بر حسب رادیان، طول واقعی شعاع بر حسب سانتی متر اهمیتی ندارد.
زوایای جداول برای توابع مثلثاتی با مقادیر رادیان مطابقت دارد:
بنابراین، حدس زدن اینکه 2π یک دایره کامل یا 360 درجه است دشوار نیست.
ویژگی های توابع مثلثاتی: سینوس و کسینوس
برای در نظر گرفتن و مقایسه خصوصیات اساسی سینوس و کسینوس، مماس و کوتانژانت، لازم است توابع آنها ترسیم شود. این را می توان به صورت یک منحنی واقع در یک سیستم مختصات دو بعدی انجام داد.
جدول مقایسه ای خواص سینوس و کسینوس را در نظر بگیرید:
| موج سینوسی | کسینوس |
|---|---|
| y = sinx | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0، برای x = πk، که در آن k ε Z | cos x = 0، برای x = π/2 + πk، که در آن k ε Z |
| sin x = 1، برای x = π/2 + 2πk، که در آن k ε Z | cos x = 1، در x = 2πk، که در آن k ε Z |
| sin x = - 1، در x = 3π/2 + 2πk، که در آن k ε Z | cos x = - 1، برای x = π + 2πk، که در آن k ε Z |
| sin (-x) = - sin x، یعنی تابع فرد است | cos (-x) = cos x، یعنی تابع زوج است |
| تابع تناوبی است، کوچکترین دوره 2π است | |
| sin x › 0، با x متعلق به ربع اول و دوم یا از 0 درجه تا 180 درجه (2πk، π + 2πk) | cos x › 0، با x متعلق به ربع I و IV یا از 270 درجه تا 90 درجه (- π/2 + 2πk، π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0، با x متعلق به ربع سوم و چهارم یا از 180 درجه تا 360 درجه (π + 2πk، 2π + 2πk) | cos x ‹ 0، با x متعلق به ربع دوم و سوم یا از 90 درجه تا 270 درجه (π/2 + 2πk، 3π/2 + 2πk) |
| در فاصله [- π/2 + 2πk، π/2 + 2πk] افزایش می یابد | در بازه [-π + 2πk، 2πk] افزایش می یابد |
| در فواصل زمانی [π/2 + 2πk، 3π/2 + 2πk] کاهش می یابد | در فواصل زمانی کاهش می یابد |
| مشتق (sin x)’ = cos x | مشتق (cos x)’ = - sin x |
تعیین زوج بودن یا نبودن یک تابع بسیار ساده است. کافی است یک دایره مثلثاتی با علائم مقادیر مثلثاتی تصور کنید و نمودار را نسبت به محور OX به صورت ذهنی "تا" کنید. اگر نشانه ها منطبق باشند، تابع زوج است و در غیر این صورت فرد است.
معرفی رادیان‌ها و فهرست‌بندی ویژگی‌های اساسی امواج سینوسی و کسینوسی به ما امکان می‌دهد الگوی زیر را ارائه دهیم:
تأیید صحت فرمول بسیار آسان است. به عنوان مثال، برای x = π/2، سینوس 1 است، همانطور که کسینوس x = 0 است. بررسی را می توان با مراجعه به جداول یا با ردیابی منحنی های تابع برای مقادیر داده شده انجام داد.
خواص مماس‌سوئیدها و کوتانژانتزوئیدها
نمودار توابع مماس و کتانژانت به طور قابل توجهی با توابع سینوسی و کسینوس متفاوت است. مقادیر tg و ctg متقابل یکدیگر هستند.
- Y = tan x.
- مماس به مقادیر y در x = π/2 + πk تمایل دارد، اما هرگز به آنها نمی رسد.
- کوچکترین دوره مثبت مماس، π است.
- Tg (- x) = - tg x، یعنی تابع فرد است.
- Tg x = 0، برای x = πk.
- عملکرد در حال افزایش است.
- Tg x › 0، برای x ε (πk، π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0، برای x ε (- π/2 + πk، πk).
- مشتق (tg x) = 1/cos 2x.
تصویر گرافیکی کوتانژانتوئید زیر را در متن در نظر بگیرید.
خواص اصلی کوتانژانتوئیدها:
- Y = تخت x.
- برخلاف توابع سینوس و کسینوس، در مماس Y می تواند مقادیر مجموعه تمام اعداد حقیقی را بگیرد.
- کوتانژانتوئید به مقادیر y در x = πk تمایل دارد، اما هرگز به آنها نمی رسد.
- کوچکترین دوره مثبت کوتانژانتوئید π است.
- Ctg (- x) = - ctg x، یعنی تابع فرد است.
- Ctg x = 0، برای x = π/2 + πk.
- عملکرد در حال کاهش است.
- Ctg x › 0، برای x ε (πk، π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0، برای x ε (π/2 + πk، πk).
- مشتق (ctg x)' = - 1/sin 2 x درست است
سینوسیزاویه تند α یک مثلث قائم الزاویه نسبت است مقابلپا به هیپوتانوز.
به صورت زیر نشان داده می شود: sin α.
کسینوسزاویه تند α یک مثلث قائم الزاویه، نسبت ساق مجاور به هیپوتنوز است.
به صورت زیر تعیین می شود: cos α.
مماسزاویه تند α نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور است.
به صورت زیر تعیین می شود: tg α.
کوتانژانتزاویه تند α نسبت ضلع مجاور به طرف مقابل است.
به صورت زیر تعیین می شود: ctg α.
سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه فقط به اندازه زاویه بستگی دارد.
قوانین:
پایه ای هویت های مثلثاتیدر مثلث قائم الزاویه:
(α - زاویه حاد در مقابل ساق پا ب و در مجاورت ساق پا آ . سمت با - هیپوتنوئوس. β - زاویه حاد دوم).
ب | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
آ | 1 | |
ب | 1 | |
آ | 1 1 | |
گناه α |
با افزایش زاویه حادگناه α وافزایش قهوهای مایل به زرد α، وcos α کاهش می یابد.
برای هر زاویه تند α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
مثال-توضیح:
یک مثلث قائم الزاویه ABC را بگذارید
AB = 6،
قبل از میلاد = 3،
زاویه A = 30 درجه.
بیایید سینوس زاویه A و کسینوس زاویه B را دریابیم.
راه حل .
1) ابتدا مقدار زاویه B را پیدا می کنیم. همه چیز در اینجا ساده است: از آنجایی که در یک مثلث قائم الزاویه مجموع زوایای تند 90 درجه است، سپس زاویه B = 60 درجه است:
B = 90º - 30º = 60º.
2) بیایید sin A را محاسبه کنیم. می دانیم که سینوس برابر است با نسبت طرف مقابل به هیپوتانوس. برای زاویه A پای مخالفسمت خورشید است بنابراین:
قبل از میلاد 3 1
گناه A = -- = - = -
AB 6 2
3) حال بیایید cos B را محاسبه کنیم. می دانیم که کسینوس برابر است با نسبت پای مجاور به هیپوتانوس. برای زاویه B، پایه مجاور همان ضلع BC است. این بدان معنی است که ما دوباره باید BC را بر AB تقسیم کنیم - یعنی همان اقداماتی را که هنگام محاسبه سینوس زاویه A انجام می دهیم:
قبل از میلاد 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
نتیجه این است:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
از این نتیجه می شود که در یک مثلث قائم الزاویه، سینوس یک زاویه حاد برابر با کسینوس یک زاویه حاد دیگر است - و بالعکس. این دقیقاً همان معنایی است که دو فرمول ما دارند:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
بیایید دوباره از این مطمئن شویم:
1) بگذارید α = 60 درجه. با جایگزینی مقدار α به فرمول سینوس، دریافت می کنیم:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) بگذارید α = 30 درجه. با جایگزینی مقدار α در فرمول کسینوس، به دست می‌آییم:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.
(برای اطلاعات بیشتر در مورد مثلثات به بخش جبر مراجعه کنید)