ثابت کنید که تابع آنلاین فرد است. توابع زوج و فرد

نحوه درج فرمول های ریاضیبه وب سایت؟

اگر زمانی نیاز دارید که یک یا دو فرمول ریاضی را به یک صفحه وب اضافه کنید، ساده ترین راه برای انجام این کار همانطور که در مقاله توضیح داده شده است: فرمول های ریاضی به راحتی به شکل تصاویری که به طور خودکار توسط Wolfram Alpha تولید می شوند در سایت قرار می گیرند. . علاوه بر سادگی، این روش جهانی به بهبود دید سایت در داخل کمک خواهد کرد موتورهای جستجو. برای مدت طولانی کار کرده است (و، من فکر می کنم، برای همیشه کار خواهد کرد)، اما از نظر اخلاقی منسوخ شده است.

اگر به طور مرتب از فرمول های ریاضی در سایت خود استفاده می کنید، توصیه می کنم از MathJax استفاده کنید - یک کتابخانه جاوا اسکریپت ویژه که نمادهای ریاضی را در مرورگرهای وب با استفاده از نشانه گذاری MathML، LaTeX یا ASCIIMathML نمایش می دهد.

دو راه برای شروع استفاده از MathJax وجود دارد: (1) با استفاده از یک کد ساده، می توانید به سرعت یک اسکریپت MathJax را به وب سایت خود متصل کنید، که به طور خودکار از یک سرور راه دور در زمان مناسب بارگذاری می شود (لیست سرورها). (2) اسکریپت MathJax را از یک سرور راه دور به سرور خود دانلود کنید و آن را به تمام صفحات سایت خود متصل کنید. روش دوم - پیچیده تر و وقت گیرتر - باعث افزایش سرعت بارگذاری صفحات سایت شما می شود و اگر سرور مادر MathJax به دلایلی موقتاً از دسترس خارج شود، این به هیچ وجه روی سایت شما تأثیر نخواهد گذاشت. با وجود این مزایا، من روش اول را انتخاب کردم زیرا ساده تر، سریعتر است و به مهارت های فنی نیاز ندارد. از مثال من پیروی کنید و تنها در عرض 5 دقیقه می توانید از تمام ویژگی های MathJax در سایت خود استفاده کنید.

می توانید اسکریپت کتابخانه MathJax را از یک سرور راه دور با استفاده از دو گزینه کد گرفته شده از وب سایت اصلی MathJax یا در صفحه مستندات متصل کنید:

یکی از این گزینه های کد باید کپی و در کد صفحه وب شما جایگذاری شود، ترجیحاً بین برچسب ها و یا بلافاصله بعد از برچسب. طبق گزینه اول MathJax سریعتر بارگذاری می شود و سرعت صفحه را کمتر می کند. اما گزینه دوم به طور خودکار آخرین نسخه های MathJax را نظارت و بارگذاری می کند. اگر اولین کد را وارد کنید، باید به صورت دوره ای به روز شود. اگر کد دوم را وارد کنید، صفحات کندتر بارگذاری می شوند، اما نیازی به نظارت مداوم به روز رسانی MathJax ندارید.

ساده ترین راه برای اتصال MathJax در بلاگر یا وردپرس است: در کنترل پنل سایت، ویجتی را اضافه کنید که برای درج کد جاوا اسکریپت شخص ثالث طراحی شده است، نسخه اول یا دوم کد دانلود ارائه شده در بالا را در آن کپی کنید و ویجت را نزدیکتر قرار دهید. به ابتدای الگو (به هر حال، این اصلا ضروری نیست، زیرا اسکریپت MathJax به صورت ناهمزمان بارگیری می شود). همین. اکنون نحو نشانه گذاری MathML، LaTeX و ASCIIMathML را یاد بگیرید و آماده هستید تا فرمول های ریاضی را در صفحات وب سایت خود وارد کنید.

هر فراکتال بر اساس قانون خاصی ساخته می شود که به طور مداوم تعداد نامحدودی بارها اعمال می شود. هر چنین زمانی را تکرار می نامند.

الگوریتم تکراری برای ساخت اسفنج منگر بسیار ساده است: مکعب اصلی با ضلع 1 توسط صفحات موازی با وجوه خود به 27 مکعب مساوی تقسیم می شود. یک مکعب مرکزی و 6 مکعب مجاور آن در امتداد وجوه از آن برداشته می شود. نتیجه مجموعه ای متشکل از 20 مکعب کوچکتر باقی مانده است. با انجام همین کار با هر یک از این مکعب ها، مجموعه ای متشکل از 400 مکعب کوچکتر بدست می آوریم. با ادامه این روند بی انتها، یک اسفنج منگر به دست می آوریم.

یک تابع زوج (فرد) اگر برای هر و برابری نامیده می شود

.

نمودار یک تابع زوج نسبت به محور متقارن است
.

نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است.

مثال 6.2. زوج یا فرد بودن یک تابع را بررسی کنید

1)
; 2)
; 3)
.

راه حل.

1) تابع زمانی تعریف می شود
. پیدا خواهیم کرد
.

آن ها
. به معنای، این تابعیکنواخت است

2) تابع زمانی تعریف می شود

آن ها
. بنابراین، این تابع فرد است.

3) تابع برای تعریف شده است، یعنی. برای

,
. بنابراین تابع نه زوج است و نه فرد. بیایید آن را تابعی از فرم کلی بنامیم.

3. مطالعه تابع برای یکنواختی.

تابع
افزایش (کاهش) در یک بازه معین اگر هر یک در این بازه باشد نامیده می شود ارزش بالاترآرگومان مربوط به مقدار بزرگتر (کوچکتر) تابع است.

به توابع افزایش (کاهش) در یک بازه زمانی معین، یکنواخت می گویند.

اگر تابع
قابل تفکیک در بازه
و مشتق مثبت (منفی) دارد
، سپس تابع
در این فاصله افزایش (کاهش) می یابد.

مثال 6.3. فواصل یکنواختی توابع را بیابید

1)
; 3)
.

راه حل.

1) این تابع در کل خط اعداد تعریف شده است. بیایید مشتق را پیدا کنیم.

مشتق برابر با صفر است اگر
و
. دامنه تعریف، محور اعداد است که بر نقطه تقسیم می شود
,
در فواصل زمانی اجازه دهید علامت مشتق را در هر بازه تعیین کنیم.

در فاصله زمانی
مشتق منفی است، تابع در این بازه کاهش می یابد.

در فاصله زمانی
مشتق مثبت است، بنابراین، تابع در این بازه افزایش می یابد.

2) این تابع اگر تعریف می شود
یا

.

علامت سه جمله درجه دوم را در هر بازه تعیین می کنیم.

بنابراین، دامنه تعریف تابع

بیایید مشتق را پیدا کنیم
,
، اگر
، یعنی
، ولی
. اجازه دهید علامت مشتق را در فواصل مشخص کنیم
.

در فاصله زمانی
مشتق منفی است، بنابراین، تابع در بازه کاهش می یابد
. در فاصله زمانی
مشتق مثبت است، تابع در طول بازه افزایش می یابد
.

4. مطالعه تابع در امتداد.

نقطه
حداکثر (حداقل) نقطه تابع نامیده می شود
، اگر چنین همسایگی نقطه وجود دارد این برای همه است
از این محله نابرابری وجود دارد

.

نقاط ماکزیمم و مینیمم یک تابع را نقاط انتهایی می نامند.

اگر تابع
در نقطه یک اکستروم دارد، پس مشتق تابع در این نقطه برابر با صفر است یا وجود ندارد (شرط لازم برای وجود اکستروم).

نقاطی که مشتق در آنها صفر است یا وجود ندارد بحرانی نامیده می شوند.

5. شرایط کافیوجود یک افراط

قانون 1. اگر در حین انتقال (از چپ به راست) از نقطه بحرانی مشتق
علامت "+" را به "-" و سپس در نقطه تغییر می دهد تابع
دارای حداکثر؛ اگر از "-" به "+"، سپس حداقل. اگر
علامت تغییر نمی کند، پس افراطی وجود ندارد.

قانون 2. اجازه دهید در نقطه
اولین مشتق از یک تابع
برابر با صفر
و مشتق دوم وجود دارد و با صفر متفاوت است. اگر
، آن - حداکثر امتیاز، اگر
، آن - حداقل نقطه تابع

مثال 6.4. توابع حداکثر و حداقل را کاوش کنید:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

راه حل.

1) تابع در بازه تعریف شده و پیوسته است
.

بیایید مشتق را پیدا کنیم
و معادله را حل کنید
، یعنی
.از اینجا
- نقاط بحرانی.

اجازه دهید علامت مشتق را در فواصل مشخص کنیم،
.

هنگام عبور از نقاط
و
مشتق علامت "-" را به "+" تغییر می دهد، بنابراین، طبق قانون 1
- حداقل امتیاز

هنگام عبور از یک نقطه
مشتق علامت "+" را به "-" تغییر می دهد، بنابراین
- حداکثر امتیاز

,
.

2) تابع در بازه تعریف شده و پیوسته است
. بیایید مشتق را پیدا کنیم
.

با حل معادله
، پیدا خواهیم کرد
و
- نقاط بحرانی. اگر مخرج
، یعنی
، پس مشتق وجود ندارد. بنابراین،
- نقطه حساس سوم اجازه دهید علامت مشتق را در فواصل مشخص کنیم.

بنابراین، تابع در نقطه حداقل دارد
، حداکثر در امتیاز
و
.

3) یک تابع تعریف شده و پیوسته است اگر
، یعنی در
.

بیایید مشتق را پیدا کنیم

.

بیایید نکات مهم را پیدا کنیم:

همسایگی نقاط
به حوزه تعریف تعلق ندارند، بنابراین افراطی نیستند. بنابراین، اجازه دهید نکات مهم را بررسی کنیم
و
.

4) تابع در بازه تعریف شده و پیوسته است
. بیایید از قانون 2 استفاده کنیم. مشتق را پیدا کنید
.

بیایید نکات مهم را پیدا کنیم:

بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم
و علامت آن را در نقاط مشخص کنید

در نقاط
تابع دارای حداقل است.

در نقاط
تابع دارای حداکثر است.

که تا حدودی برای شما آشنا بودند. همچنین در آنجا ذکر شد که موجودی ویژگی های تابع به تدریج دوباره پر می شود. دو ویژگی جدید در این بخش مورد بحث قرار خواهد گرفت.

تعریف 1.

تابع y = f(x)، x є X، فراخوانی می شود حتی اگر برای هر مقدار x از مجموعه X برابری f (-x) = f (x) برقرار باشد.

تعریف 2.

تابع y = f(x)، x є X، فرد نامیده می شود اگر برای هر مقدار x از مجموعه X برابری f (-x) = -f (x) برقرار باشد.

ثابت کنید که y = x 4 - حتی عملکرد.

راه حل. داریم: f(x) = x 4، f(-x) = (-x) 4. اما (-x) 4 = x 4. این بدان معناست که برای هر x برابری f(-x) = f(x) برقرار است، یعنی. عملکرد یکنواخت است.

به طور مشابه، می توان ثابت کرد که توابع y - x 2، y = x 6، y - x 8 زوج هستند.

ثابت کنید که y = x 3 ~ تابع فرد.

راه حل. داریم: f(x) = x 3، f(-x) = (-x) 3. اما (-x) 3 = -x 3. این بدان معنی است که برای هر x برابری f (-x) = -f (x) برقرار است، یعنی. تابع فرد است

به همین ترتیب، می توان ثابت کرد که توابع y = x، y = x 5، y = x 7 فرد هستند.

من و شما قبلاً بیش از یک بار متقاعد شده ایم که اصطلاحات جدید در ریاضیات اغلب منشأ "زمینی" دارند، یعنی. می توان آنها را به نحوی توضیح داد. این مورد در هر دو توابع زوج و فرد صادق است. ببینید: y - x 3، y = x 5، y = x 7 توابع فرد هستند، در حالی که y = x 2، y = x 4، y = x 6 توابع زوج هستند. و به طور کلی، برای هر تابعی از شکل y = x" (در زیر به طور خاص این توابع را مطالعه خواهیم کرد)، که در آن n یک عدد طبیعی است، می‌توان نتیجه گرفت: اگر n - نه عدد زوج، پس تابع y = x" فرد است؛ اگر n عدد زوج باشد، تابع y = xn زوج است.

همچنین توابعی وجود دارند که نه زوج هستند و نه فرد. به عنوان مثال، تابع y = 2x + 3 است. در واقع، f(1) = 5، و f (-1) = 1. همانطور که می بینید، در اینجا، بنابراین، نه هویت f(-x) = f (x)، و نه هویت f(-x) = -f(x).

بنابراین، یک تابع می تواند زوج، فرد یا هیچکدام باشد.

مطالعه این سوال که آیا عملکرد داده شدهزوج یا فرد معمولاً مطالعه یک تابع برای برابری نامیده می شود.

در تعاریف 1 و 2 ما در مورددر مورد مقادیر تابع در نقاط x و -x. این فرض را بر این می گذارد که تابع در هر دو نقطه x و نقطه -x تعریف شده است. این بدان معنی است که نقطه -x به دامنه تعریف تابع به طور همزمان با نقطه x تعلق دارد. اگر یک مجموعه عددی X، همراه با هر یک از عناصر آن x، حاوی عنصر مقابل -x نیز باشد، X یک مجموعه متقارن نامیده می شود. فرض کنید، (-2، 2)، [-5، 5]، (-oo، +oo) مجموعه های متقارن هستند، در حالی که \) .

از آنجایی که \(x^2\geqslant 0\) است، پس سمت چپ معادله (*) بزرگتر یا مساوی \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) است.

بنابراین، تساوی (*) تنها زمانی می تواند صادق باشد که هر دو طرف معادله برابر با \(\mathrm(tg)^2\,1\) باشد. این بدان معناست که \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] بنابراین، مقدار \(a=-\mathrm(tg)\,1\) برای ما مناسب است.

پاسخ:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

وظیفه 2 #3923

سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی

تمام مقادیر پارامتر \(a\) را پیدا کنید که برای هر کدام نمودار تابع \

متقارن در مورد مبدا

اگر نمودار یک تابع نسبت به مبدا متقارن باشد، چنین تابعی فرد است، یعنی \(f(-x)=-f(x)\) برای هر \(x\) از دامنه تعریف برقرار است. از تابع بنابراین، لازم است آن مقادیر پارامتر را پیدا کنید که برای آنها \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(تراز شده) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(تراز شده)\]

آخرین معادله باید برای همه \(x\) از دامنه تعریف \(f(x)\) برآورده شود، بنابراین، \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n \in\ mathbb(Z)\) .

پاسخ:

\(\dfrac n2، n\in\mathbb(Z)\)

وظیفه 3 #3069

سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی

تمام مقادیر پارامتر \(a\) را بیابید که برای هر کدام معادله \ 4 راه حل دارد که \(f\) یک تابع تناوبی زوج با دوره \(T=\dfrac(16)3\) است. در کل خط عددی تعریف شده است، و \(f(x)=ax^2\) برای \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(تکلیف از مشترکین)

از آنجایی که \(f(x)\) یک تابع زوج است، نمودار آن با توجه به محور مختصات متقارن است، بنابراین، برای \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ 2\). بنابراین، برای \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) و این قطعه ای از طول \(\dfrac(16)3\ است)، تابع \(f(x)=ax^2\ است. ) .

1) اجازه دهید \(a>0\) . سپس نمودار تابع \(f(x)\) به شکل زیر خواهد بود:


سپس برای اینکه معادله 4 جواب داشته باشد، لازم است نمودار \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) از نقطه \(A\) عبور کند:


بنابراین، \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9 (a+2)=-32a\پایان(تراز شده)\پایان(جمع آوری شده)\راست. \quad\فلش راست چپ\چهار \چپ[\شروع(جمع شده)\شروع(تراز شده) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(تراز شده) \end( جمع شده)\right.\] از آنجایی که \(a>0\) , پس \(a=\dfrac(18)(23)\) مناسب است.

2) اجازه دهید \(a0\)). اگر حاصل ضرب دو ریشه مثبت و مجموع آنها مثبت باشد، خود ریشه ها مثبت خواهند بود. بنابراین، شما نیاز دارید: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a