مقایسه اعداد گویا. مدول مقایسه اعداد

پرووشکین بوریس نیکولایویچ

موسسه آموزشی خصوصی "مدرسه سن پترزبورگ "تته آ تته"

معلم ریاضی بالاترین رده

مدول مقایسه اعداد

تعریف 1. اگر دو عدد1 ) آوبوقتی تقسیم برپهمان باقی مانده را بدهیدr، سپس چنین اعدادی equiremainder یا نامیده می شوندقابل مقایسه در مدول پ.

بیانیه 1. اجازه دهیدپتعدادی عدد مثبت سپس هر عددآهمیشه و علاوه بر این، در تنها راه را می توان در فرم نشان داد

a=sp+r,

(1)

جایی کهس- شماره، وrیکی از اعداد 0،1، ...،پ−1.

1 ) در این مقاله کلمه عدد به صورت یک عدد صحیح درک خواهد شد.

واقعا اگرسمقداری از −∞ تا +∞ و سپس اعداد را دریافت خواهد کردspمجموعه ای از تمام اعدادی را نشان می دهد که مضرب هستندپ. بیایید به اعداد بین نگاه کنیمspو (s+1) p=sp+p. زیراپیک عدد صحیح مثبت است، سپس بینspوsp+pاعداد وجود دارد

اما این اعداد را می توان با تنظیم به دست آوردrبرابر با 0، 1، 2،...،پ-1. از این روsp+r=aتمام مقادیر صحیح ممکن را دریافت خواهد کرد.

اجازه دهید نشان دهیم که این نمایش منحصر به فرد است. بیایید وانمود کنیم کهپرا می توان به دو صورت نشان دادa=sp+rوa=s1 پ+ r1 . سپس

یا

(2)

زیراr1 یکی از اعداد 0،1، ... را می پذیرد،پ−1، پس قدر مطلق r1 − rکمترپ. اما از (2) نتیجه می شود کهr1 − rچندگانهپ. از این روr1 = rوس1 = س.

عددrتماس گرفتمنهای شمارهآمدولپ(به عبارت دیگر عددrباقیمانده یک عدد نامیده می شودآبرپ).

بیانیه 2. اگر دو عددآوبقابل مقایسه در مدولپ، آنa-bتقسیم برپ.

واقعا اگر دو عددآوبقابل مقایسه در مدولپ، پس از تقسیم برپهمان باقی مانده را داشته باشدپ. سپس

جایی کهسوس1 برخی از اعداد صحیح

تفاوت این اعداد

(3)

تقسیم برپ، زیرا سمت راست معادله (3) تقسیم برپ.

بیانیه 3. اگر اختلاف دو عدد بر آن بخش پذیر باشدپ، پس این اعداد از نظر مدول قابل مقایسه هستندپ.

اثبات اجازه دهید با نشان دادنrوr1 باقی مانده تقسیمآوببرپ. سپس

جایی که

مطابق باa-bتقسیم برپ. از این روr− r1 بر نیز قابل تقسیم استپ. اما چونrوr1 اعداد 0،1،...،پ−1، سپس مقدار مطلق |r− r1 |< پ. سپس، به منظورr− r1 تقسیم برپشرط باید رعایت شودr= r1 .

از این بیانیه برمی آید که اعداد قابل مقایسه اعدادی هستند که اختلاف آنها بر مدول بخش پذیر است.

اگر می خواهید آن اعداد را یادداشت کنیدآوبقابل مقایسه در مدولپ، سپس از نماد (معرفی شده توسط گاوس) استفاده می کنیم:

a≡bمد (پ)

مثال‌های 25≡39 (mod 7)، -18≡14 (mod 4).

از مثال اول چنین استنباط می شود که 25 وقتی بر 7 تقسیم می شود همان باقیمانده 39 را به دست می دهد. در واقع، 25 = 3·7+4 (باقیمانده 4). 39=3·7+4 (باقيمانده 4). هنگام در نظر گرفتن مثال دوم، باید در نظر بگیرید که باقیمانده باید یک عدد غیر منفی کمتر از مدول (یعنی 4) باشد. سپس می توانیم بنویسیم: −18=−5·4+2 (باقیمانده 2)، 14=3·4+2 (باقی مانده 2). بنابراین، 18- وقتی بر 4 تقسیم می شود، 2 باقی می ماند و 14 وقتی بر 4 تقسیم می شود، باقیمانده 2 باقی می ماند.

ویژگی های مقایسه مدولو

ویژگی 1. برای هرکسآوپهمیشه

a≡aمد (پ).

ویژگی 2. اگر دو عددآوجقابل مقایسه با یک عددبمدولپ، آنآوجقابل مقایسه با یکدیگر طبق همان ماژول، یعنی. اگر

a≡bمد (پ), b≡cمد (پ).

که

a≡cمد (پ).

واقعا از شرط ملک 2 بر می آیدa-bوb-cتقسیم می شوندپ. سپس مجموع آنهاa−b+(b−c)=a−cنیز تقسیم شده استپ.

ویژگی 3. اگر

a≡bمد (پ) وm≡nمد (پ),

که

a+m≡b+nمد (پ) وa−m≡b−nمد (پ).

واقعا زیراa-bوm−nتقسیم می شوندپ، آن

( a-b)+ ( m−n)=( یک + دقیقه)−( b+n) ,

( a-b)−( m−n)=( a-m)−( b−n)

نیز تقسیم شده استپ.

این ویژگی را می توان به هر تعداد مقایسه ای که مدول یکسانی دارند تعمیم داد.

ویژگی 4. اگر

a≡bمد (پ) وm≡nمد (پ),

که

به علاوهm−nتقسیم برپ، از این روb(m−n)=bm−bnنیز تقسیم شده استپ، به معنای

bm≡bnمد (پ).

پس دو عددصبحوbnاز لحاظ مدول با همان عدد قابل مقایسه استbmبنابراین قابل مقایسه با یکدیگر هستند (خاصیت 2).

ویژگی 5. اگر

a≡bمد (پ).

که

آک≡بکمد (پ).

جایی کهکتعدادی عدد صحیح غیر منفی

واقعا ما داریمa≡bمد (پ). از خاصیت 4 بر می آید

.................

آک≡بکمد (پ).

تمام خصوصیات 1-5 را در عبارت زیر ارائه کنید:

بیانیه 4. اجازه دهیدf( ایکس1 , ایکس2 , ایکس3 ، ...) یک تابع گویا کامل با ضرایب صحیح و let است

آ1 ≡ ب1 , آ2 ≡ ب2 , آ3 ≡ ب3 , ... مد (پ).

سپس

f( آ1 , آ2 , آ3 , ...)≡ f( ب1 , ب2 , ب3 ، ...) مد (پ).

با تقسیم همه چیز متفاوت است. از مقایسه

بیانیه 5. اجازه دهید

جایی کهλ اینبزرگترین مقسوم علیه مشترکشمارهمتروپ.

اثبات اجازه دهیدλ بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعدادمتروپ. سپس

زیراm(a-b)تقسیم برک، آن

باقیمانده صفر دارد، یعنی.متر1 ( a-b) تقسیم برک1 . اما اعدادمتر1 وک1 اعداد نسبتا اول هستند از این روa-bتقسیم برک1 = k/λو سپس،p,q,s.

واقعا تفاوتa≡bباید مضرب باشدp,q,s.و بنابراین باید مضرب باشدساعت.

در حالت خاص، اگر ماژول هاp,q,sپس اعداد همزمان اول

a≡bمد (ساعت),

جایی کهh=pqs.

توجه داشته باشید که می‌توانیم اجازه مقایسه بر اساس ماژول‌های منفی را بدهیم. مقایسهa≡bمد (پ) به این معنی است که در این صورت تفاوتa-bتقسیم برپ. تمام ویژگی های مقایسه برای ماژول های منفی به قوت خود باقی می مانند.

تعریف 1. اگر دو عدد 1 باشند) آو بوقتی تقسیم بر پهمان باقی مانده را بدهید r، سپس چنین اعدادی equiremainder یا نامیده می شوند قابل مقایسه در مدول پ.

بیانیه 1. اجازه دهید پتعدادی عدد مثبت سپس هر عدد آهمیشه و علاوه بر این، در تنها راه را می توان در فرم نشان داد

اما این اعداد را می توان با تنظیم به دست آورد rبرابر با 0، 1، 2، ...، پ-1. از این رو sp+r=aتمام مقادیر صحیح ممکن را دریافت خواهد کرد.

اجازه دهید نشان دهیم که این نمایش منحصر به فرد است. بیایید وانمود کنیم که پرا می توان به دو صورت نشان داد a=sp+rو a=s 1 پ+r 1 . سپس

(2)

زیرا r 1 یکی از اعداد 0،1، ... را می پذیرد، پ−1، سپس مقدار مطلق r 1 −rکمتر پ. اما از (2) نتیجه می شود که r 1 −rچندگانه پ. از این رو r 1 =rو س 1 =س.

عدد rتماس گرفت منهایشماره آمدول پ(به عبارت دیگر عدد rباقیمانده یک عدد نامیده می شود آبر پ).

بیانیه 2. اگر دو عدد آو بقابل مقایسه در مدول پ، آن a-bتقسیم بر پ.

واقعا اگر دو عدد آو بقابل مقایسه در مدول پ، پس از تقسیم بر پهمان باقی مانده را داشته باشد پ. سپس

تقسیم بر پ، زیرا سمت راست معادله (3) تقسیم بر پ.

بیانیه 3. اگر اختلاف دو عدد بر آن بخش پذیر باشد پ، پس این اعداد از نظر مدول قابل مقایسه هستند پ.

اثبات اجازه دهید با نشان دادن rو r 1 تقسیم باقی مانده است آو ببر پ. سپس

مثال‌های 25≡39 (mod 7)، -18≡14 (mod 4).

از مثال اول چنین استنباط می شود که 25 وقتی بر 7 تقسیم می شود همان باقیمانده 39 را به دست می دهد. در واقع، 25 = 3·7+4 (باقیمانده 4). 39=3·7+4 (باقيمانده 4). هنگام در نظر گرفتن مثال دوم، باید در نظر بگیرید که باقیمانده باید یک عدد غیر منفی کمتر از مدول (یعنی 4) باشد. سپس می توانیم بنویسیم: −18=−5·4+2 (باقیمانده 2)، 14=3·4+2 (باقی مانده 2). بنابراین، 18- وقتی بر 4 تقسیم می شود، 2 باقی می ماند و 14 وقتی بر 4 تقسیم می شود، باقیمانده 2 باقی می ماند.

ویژگی های مقایسه مدولو

ویژگی 1. برای هرکس آو پهمیشه

همیشه مقایسه ای وجود ندارد

جایی که λ بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد است مترو پ.

اثبات اجازه دهید λ بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد مترو پ. سپس

زیرا m(a-b)تقسیم بر ک، آن

از این رو

و متریکی از مقسوم علیه اعداد است پ، آن

جایی که h=pqs.

توجه داشته باشید که می‌توانیم اجازه مقایسه بر اساس ماژول‌های منفی را بدهیم. مقایسه a≡bمد ( پ) به این معنی است که در این صورت تفاوت a-bتقسیم بر پ. تمام ویژگی های مقایسه برای ماژول های منفی به قوت خود باقی می مانند.

ما به مطالعه اعداد گویا ادامه می دهیم. در این درس می آموزیم که چگونه آنها را با هم مقایسه کنیم.

از درس های قبلی آموختیم که هر چه عددی در سمت راست روی خط مختصات قرار گیرد، بزرگتر است. و بر این اساس، هر چه عدد در سمت چپ در خط مختصات قرار گیرد، کوچکتر است.

به عنوان مثال، اگر اعداد 4 و 1 را با هم مقایسه کنید، بلافاصله می توانید پاسخ دهید که 4 بیشتر از 1 است. این یک جمله کاملاً منطقی است و همه با آن موافق هستند.

به عنوان دلیل، می توانیم خط مختصات را ذکر کنیم. این نشان می دهد که چهار در سمت راست یکی قرار دارد

برای این مورد نیز قانونی وجود دارد که در صورت تمایل می توان از آن استفاده کرد. به نظر می رسد این است:

از دو عدد مثبت، عددی که مدول آن بزرگتر است، بزرگتر است.

برای پاسخ به این سوال که کدام عدد بزرگتر و کدام عدد کمتر است، ابتدا باید ماژول های این اعداد را پیدا کنید، این ماژول ها را با هم مقایسه کنید و سپس به سوال پاسخ دهید.

برای مثال، با اعمال قانون فوق، اعداد 4 و 1 را با هم مقایسه کنید

یافتن ماژول های اعداد:

|4| = 4

|1| = 1

بیایید ماژول های یافت شده را با هم مقایسه کنیم:

4 > 1

به این سوال پاسخ می دهیم:

4 > 1

برای اعداد منفیقانون دیگری وجود دارد که به نظر می رسد:

از بین دو عدد منفی، عددی که مدول آن کوچکتر است، بزرگتر است.

به عنوان مثال، اعداد -3 و -1 را با هم مقایسه کنید

پیدا کردن ماژول های اعداد

|−3| = 3

|−1| = 1

بیایید ماژول های یافت شده را با هم مقایسه کنیم:

3 > 1

به این سوال پاسخ می دهیم:

−3 < −1

مدول یک عدد را نباید با خود عدد اشتباه گرفت. یک اشتباه رایج که بسیاری از تازه کارها مرتکب می شوند. به عنوان مثال، اگر مدول -3 از مدول -1 بیشتر باشد، این به این معنی نیست که -3 بزرگتر از -1 است.

عدد -3 از عدد -1 کوچکتر است. اگر از خط مختصات استفاده کنیم می توان این را فهمید

می توان دید که عدد -3 بیشتر از -1 در سمت چپ قرار دارد. و ما می دانیم که هر چه به سمت چپ بیشتر باشد، کمتر است.

اگر یک عدد منفی را با یک عدد مثبت مقایسه کنید، پاسخ خود را نشان می دهد. هر عدد منفی کمتر از هر عدد مثبت خواهد بود. برای مثال −4 کمتر از 2 است

می توان دید که −4 بیشتر از 2 در سمت چپ قرار دارد.

در اینجا، اول از همه، شما باید به نشانه های اعداد نگاه کنید. علامت منفی جلوی یک عدد نشان دهنده منفی بودن عدد است. اگر علامت عدد وجود نداشته باشد، عدد مثبت است، اما برای وضوح می توانید آن را یادداشت کنید. به یاد داشته باشید که این یک علامت مثبت است

به عنوان مثال، ما به اعداد صحیح به شکل -4، -3 -1، 2 نگاه کردیم. مقایسه چنین اعدادی، و همچنین به تصویر کشیدن آنها در یک خط مختصات، دشوار نیست.

مقایسه انواع دیگر اعداد، مانند کسر، بسیار دشوارتر است. اعداد مختلطو اعشاری که برخی از آنها منفی هستند. در اینجا شما اساساً باید قوانین را اعمال کنید، زیرا همیشه نمی توان چنین اعدادی را با دقت در یک خط مختصات به تصویر کشید. در برخی موارد، یک عدد برای آسان‌تر کردن مقایسه و درک آن مورد نیاز است.

مثال 1.اعداد گویا را با هم مقایسه کنید

بنابراین، شما باید یک عدد منفی را با یک عدد مثبت مقایسه کنید. هر عدد منفی کوچکتر از هر عدد مثبت است. لذا بدون اتلاف وقت پاسخ می دهیم که کمتر از

مثال 2.

باید دو عدد منفی را با هم مقایسه کنید. از بین دو عدد منفی، عددی که قدر آن کوچکتر است بزرگتر است.

یافتن ماژول های اعداد:

بیایید ماژول های یافت شده را با هم مقایسه کنیم:

مثال 3.اعداد 2.34 و را مقایسه کنید

شما باید یک عدد مثبت را با یک عدد منفی مقایسه کنید. هر عدد مثبت بزرگتر از هر عدد منفی است. بنابراین بدون اتلاف وقت پاسخ می دهیم که 2.34 بیشتر از

مثال 4.مقایسه اعداد گویا و

یافتن ماژول های اعداد:

ما ماژول های پیدا شده را با هم مقایسه می کنیم. اما ابتدا بیایید آنها را به یک شکل واضح بیاوریم تا مقایسه آسانتر شود، یعنی آنها را به کسرهای نامناسب تبدیل کرده و به یک مخرج مشترک برسانیم.

طبق قاعده، از دو عدد منفی، عددی که مدول آن کوچکتر است، بزرگتر است. این بدان معنی است که منطقی بزرگتر از است، زیرا مدول عدد کمتر از مدول عدد است

مثال 5.

شما باید صفر را با یک عدد منفی مقایسه کنید. صفر بزرگتر از هر عدد منفی است، بنابراین بدون اتلاف وقت پاسخ می دهیم که 0 بزرگتر از است

مثال 6.مقایسه اعداد گویا 0 و

شما باید صفر را با یک عدد مثبت مقایسه کنید. صفر از هر عدد مثبتی کوچکتر است، بنابراین بدون اتلاف وقت پاسخ می دهیم که 0 کمتر از

مثال 7. اعداد گویا 4.53 و 4.403 را با هم مقایسه کنید

شما باید دو عدد مثبت را با هم مقایسه کنید. از دو عدد مثبت، عددی که مدول آن بزرگتر است، بزرگتر است.

بیایید تعداد ارقام بعد از اعشار را در هر دو کسر یکسان کنیم. برای این کار در کسری 4.53 در آخر یک صفر اضافه می کنیم

پیدا کردن ماژول های اعداد

بیایید ماژول های یافت شده را با هم مقایسه کنیم:

طبق قاعده، از دو عدد مثبت، عددی که قدر مطلق آن بزرگتر است، بزرگتر است. این بدان معناست که عدد گویا 4.53 بزرگتر از 4.403 است زیرا مدول 4.53 بزرگتر از مدول 4.403 است.

مثال 8.مقایسه اعداد گویا و

باید دو عدد منفی را با هم مقایسه کنید. از بین دو عدد منفی، عددی که مدول آن کوچکتر است، بزرگتر است.

یافتن ماژول های اعداد:

ما ماژول های پیدا شده را با هم مقایسه می کنیم. اما ابتدا اجازه دهید آنها را به یک شکل واضح بیاوریم تا مقایسه آسان‌تر شود، یعنی عدد مختلط را به کسری نامناسب تبدیل می‌کنیم، سپس هر دو کسر را به یک مخرج مشترک می‌آوریم:

طبق قاعده، از دو عدد منفی، عددی که مدول آن کوچکتر است، بزرگتر است. این بدان معنی است که منطقی بزرگتر از است، زیرا مدول عدد کمتر از مدول عدد است

مقایسه اعداد اعشاری بسیار ساده تر از مقایسه کسرها و اعداد مختلط است. در برخی موارد با نگاه کردن به کل قسمت چنین کسری می توان بلافاصله به این سوال پاسخ داد که کدام کسر بزرگتر و کدام کسری کوچکتر است.

برای این کار باید ماژول های کل قطعات را با هم مقایسه کنید. این به شما امکان می دهد به سرعت به سؤال موجود در کار پاسخ دهید. پس از همه، همانطور که می دانید، کل قطعات در اعداد اعشاریوزن بیشتری نسبت به کسری دارند.

مثال 9.اعداد گویا 15.4 و 2.1256 را با هم مقایسه کنید

مدول کل بخش کسری 15.4 بزرگتر از مدول کل بخش 2.1256 است.

بنابراین کسر 15.4 بزرگتر از کسری 2.1256 است

15,4 > 2,1256

به عبارت دیگر، لازم نیست وقت خود را با افزودن صفر به کسر 15.4 و مقایسه کسرهای حاصل مانند اعداد معمولی تلف کنیم.

154000 > 21256

قوانین مقایسه ثابت باقی می ماند. در مورد ما، اعداد مثبت را مقایسه کردیم.

مثال 10.اعداد گویا -15.2 و -0.152 را مقایسه کنید

باید دو عدد منفی را با هم مقایسه کنید. از بین دو عدد منفی، عددی که مدول آن کوچکتر است، بزرگتر است. اما ما فقط ماژول های قطعات صحیح را با هم مقایسه خواهیم کرد

می بینیم که مدول کل قسمت کسری 2/15- بزرگتر از مدول کل قسمت 152/0- است.

این بدان معناست که 0.152- گویا بزرگتر از -15.2 است زیرا مدول قسمت صحیح عدد 0.152- کمتر از مدول قسمت صحیح عدد 15.2- است.

−0,152 > −15,2

مثال 11.اعداد گویا -3.4 و -3.7 را با هم مقایسه کنید

باید دو عدد منفی را با هم مقایسه کنید. از بین دو عدد منفی، عددی که مدول آن کوچکتر است، بزرگتر است. اما ما فقط ماژول های قطعات صحیح را با هم مقایسه خواهیم کرد. اما مشکل این است که مدول های اعداد صحیح برابر هستند:

در این مورد، شما باید از روش قدیمی استفاده کنید: ماژول ها را پیدا کنید اعداد گویاو این ماژول ها را با هم مقایسه کنید

بیایید ماژول های یافت شده را با هم مقایسه کنیم:

طبق قاعده، از دو عدد منفی، عددی که مدول آن کوچکتر است، بزرگتر است. این به این معنی است که 3.4- گویا از 3.7- بزرگتر است زیرا مدول عدد 3.4- کمتر از مدول عدد 3.7- است.

−3,4 > −3,7

مثال 12.اعداد گویا 0، (3) و را مقایسه کنید

شما باید دو عدد مثبت را با هم مقایسه کنید. علاوه بر این، یک کسر تناوبی را با یک کسر ساده مقایسه کنید.

بیایید کسر تناوبی 0,(3) را به کسر مشترکو آن را با کسری مقایسه کنید. پس از تبدیل کسر تناوبی 0،(3) به کسری معمولی، به کسر تبدیل می شود.

یافتن ماژول های اعداد:

ما ماژول های پیدا شده را با هم مقایسه می کنیم. اما ابتدا، بیایید آنها را به شکلی قابل درک بیاوریم تا مقایسه را آسانتر کنیم، یعنی بیایید آنها را به یک مخرج مشترک بیاوریم:

طبق قاعده، از دو عدد مثبت، عددی که قدر مطلق آن بزرگتر است، بزرگتر است. این بدان معنی است که یک عدد گویا بزرگتر از 0، (3) است زیرا مدول عدد بزرگتر از مدول عدد 0، (3) است.

آیا درس را دوست داشتید؟
به گروه جدید VKontakte ما بپیوندید و شروع به دریافت اعلان در مورد دروس جدید کنید

برای دو عدد صحیح ایکسو دراگر تفاوت آنها وجود داشته باشد، اجازه دهید یک رابطه قابل مقایسه در برابری را معرفی کنیم عدد زوج. به راحتی می توان بررسی کرد که هر سه شرط هم ارزی معرفی شده قبلی برآورده می شوند. رابطه هم ارزی معرفی شده به این ترتیب کل مجموعه اعداد صحیح را به دو زیر مجموعه مجزا تقسیم می کند: زیر مجموعه اعداد زوج و زیر مجموعه اعداد فرد.

با تعمیم این حالت، خواهیم گفت که دو عدد صحیح که مضربی از یک عدد طبیعی ثابت با هم تفاوت دارند، معادل هستند. این اساس مفهوم مقایسه پذیری مدول است که توسط گاوس معرفی شده است.

عدد آ، قابل مقایسه با بمدول متر، اگر اختلاف آنها بر یک ثابت بخش پذیر باشد عدد طبیعی متر، به این معنا که الف - بتقسیم بر متر. به طور نمادین این چنین نوشته می شود:

a ≡ b (mod m),

و اینگونه میخواند: آقابل مقایسه با بمدول متر.

رابطه ای که به این روش معرفی شد، به لطف تشابه عمیق بین مقایسه ها و برابری ها، محاسباتی را که در آن اعداد با یک مضرب متفاوت هستند، ساده می کند. متر، در واقع تفاوتی ندارند (زیرا مقایسه برابری تا چند مضرب m است).

به عنوان مثال، اعداد 7 و 19 مدول 4 قابل مقایسه هستند، اما مدول 5 قابل مقایسه نیستند، زیرا 19-7=12 بر 4 بخش پذیر است و بر 5 بخش پذیر نیست.

همچنین می توان گفت که تعداد ایکسمدول متربرابر با باقی مانده هنگام تقسیم بر یک عدد صحیح است ایکسبر متر، زیرا

x=km+r، r = 0، 1، 2، ...، m-1.

به راحتی می توان بررسی کرد که قابلیت مقایسه اعداد بر اساس یک ماژول معین، تمام ویژگی های هم ارزی را دارد. بنابراین، مجموعه اعداد صحیح به کلاس های اعداد قابل مقایسه در مدول تقسیم می شود متر. تعداد این کلاس ها برابر است متر، و همه اعداد یک کلاس وقتی بر تقسیم شوند مترهمان باقی مانده را بدهید به عنوان مثال، اگر متر= 3، سپس سه کلاس دریافت می کنیم: کلاس اعدادی که مضرب 3 هستند (با تقسیم بر 3 باقیمانده 0 می دهند)، کلاس اعدادی که با تقسیم بر 3 باقیمانده 1 باقی می مانند و کلاس اعدادی که باقی می مانند. باقیمانده 2 وقتی بر 3 تقسیم می شود.

نمونه هایی از استفاده از مقایسه ها با معیارهای تقسیم پذیری شناخته شده ارائه شده است. نمایش اعداد مشترک nاعداد در سیستم اعداد اعشاری به شکل زیر است:

n = c10 2 + b10 1 + a10 0,

جایی که الف، ب، ج،- ارقام یک عدد نوشته شده از راست به چپ، بنابراین آ- تعداد واحدها ب- تعداد ده ها و غیره از 10 هزار ≡ 1 (mod9) برای هر k≥0، سپس از آنچه نوشته شده است نتیجه می گیرد که

n ≡ c + b + a(mod9)

از آنجایی که آزمون بخش پذیری بر 9 را دنبال می کند: nبر 9 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که مجموع ارقام آن بر 9 بخش پذیر باشد.

ما آزمون بخش پذیری بر 11 را به دست می آوریم. مقایسه ها انجام می شود:

10≡- 1 (mod11)، 10 2 ≡ 1 (mod11) 10 3 ≡- 1 (mod11) و غیره. از همین رو n ≡ c - b + a - ….(mod11).

از این رو، nبر 11 بخش پذیر است اگر و فقط اگر مجموع متناوب ارقام a - b + c -... بر 11 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، مجموع متناوب ارقام عدد 9581 1 - 8 + 5 - 9 = -11 است، بر 11 بخش پذیر است، یعنی عدد 9581 بر 11 بخش پذیر است.

اگر مقایسه‌هایی وجود داشته باشد، می‌توان آن‌ها را مانند برابری‌ها جمع، تفریق و ضرب به ترم کرد:

یک مقایسه همیشه می تواند در یک عدد صحیح ضرب شود:

اگر پس از آن

با این حال، کاهش مقایسه با هیچ عاملی همیشه امکان پذیر نیست، به عنوان مثال، کاهش آن با ضریب مشترک 6 برای اعداد 42 و 12 غیرممکن است. چنین کاهشی منجر به نتیجه نادرست می شود، زیرا .

از تعریف مدول مقایسه پذیری چنین استنباط می شود که کاهش یک ضریب در صورتی مجاز است که این ضریب همزمان با مدول باشد.

قبلاً در بالا ذکر شد که هر عدد صحیح mod قابل مقایسه است متربا یکی از اعداد زیر: 0, 1, 2,... , m-1.

علاوه بر این سری، سری اعداد دیگری نیز وجود دارند که دارای همین ویژگی هستند. بنابراین، به عنوان مثال، هر عددی قابل مقایسه mod 5 با یکی از اعداد زیر است: 0، 1، 2، 3، 4، اما همچنین با یکی از اعداد زیر قابل مقایسه است: 0، -4، -3، -2، - 1، یا 0، 1، -1، 2، -2. به هر سری از اعداد، سیستم کاملی از باقیمانده مدول 5 می گویند.

بنابراین، سیستم کامل باقی مانده های مد مترهر سری از متراعدادی که هیچ دوتای آنها قابل مقایسه با یکدیگر نیستند. معمولاً از یک سیستم کامل کسر استفاده می شود که شامل اعداد: 0، 1، 2، ...، متر-1. کم کردن عدد nمدول مترباقی مانده تقسیم است nبر متر، که از نمایندگی به دست می آید n = کیلومتر + r, 0<r<متر- 1.

مدول مقایسه اعداد

تهیه شده توسط: ایرینا زوتیکوا

MAOU "لیسه شماره 6"

کلاس: 10 "a"

ناظر علمی: ژلتوا اولگا نیکولاونا

تامبوف

2016

• مسئله
• هدف پروژه
• فرضیه
• اهداف پروژه و برنامه ریزی برای دستیابی به آنها
• مقایسه ها و ویژگی های آنها
• نمونه هایی از مشکلات و راه حل آنها
• سایت ها و ادبیات مورد استفاده

مسئله:

اکثر دانش آموزان به ندرت از مقایسه مدول اعداد برای حل تکالیف غیر استاندارد و المپیاد استفاده می کنند.

هدف پروژه:

با مقایسه مدول اعداد نشان دهید که چگونه می توانید وظایف غیر استاندارد و المپیادی را حل کنید.

فرضیه:

مطالعه عمیق تر موضوع "مقایسه مدول اعداد" به دانش آموزان کمک می کند تا برخی از وظایف غیر استاندارد و المپیاد را حل کنند.

اهداف پروژه و برنامه ریزی برای دستیابی به آنها:

1. موضوع "مقایسه مدول اعداد" را به طور مفصل مطالعه کنید.

2. حل چندین کار غیر استاندارد و المپیادی با استفاده از مقایسه مدول اعداد.

3. یک یادداشت برای دانش آموزان با موضوع "مقایسه مدول اعداد" ایجاد کنید.

4. یک درس با موضوع "مقایسه مدول اعداد" در کلاس 10a برگزار کنید.

5. تکلیف کلاس را با موضوع "مقایسه بر اساس ماژول" بدهید.

6. زمان انجام کار را قبل و بعد از مطالعه مبحث "مقایسه بر اساس ماژول" مقایسه کنید.

7. نتیجه گیری کنید.

قبل از شروع مطالعه دقیق مبحث "مقایسه مدول اعداد" تصمیم گرفتم نحوه ارائه آن را در کتاب های درسی مختلف مقایسه کنم.

• جبر و شروع تحلیل ریاضی. سطح پیشرفته. کلاس دهم (Yu.M. Kolyagin و دیگران)
• ریاضیات: جبر، توابع، تجزیه و تحلیل داده ها. کلاس هفتم (L.G. Peterson و دیگران)
• جبر و شروع تحلیل ریاضی. سطح نمایه کلاس دهم (E.P. Nelin و دیگران)
• جبر و شروع تحلیل ریاضی. سطح نمایه کلاس دهم (G.K. Muravin و دیگران)

همانطور که متوجه شدم برخی از کتب درسی با وجود سطح پیشرفته حتی به این موضوع نمی پردازند. و موضوع به روشن ترین و در دسترس ترین شکل در کتاب درسی توسط L.G. Peterson (فصل: مقدمه ای بر نظریه بخش پذیری) ارائه شده است، بنابراین بیایید سعی کنیم با تکیه بر نظریه این کتاب درسی "مقایسه اعداد" را درک کنیم.

مقایسه ها و ویژگی های آنها

تعریف: اگر دو عدد صحیح a و b هنگام تقسیم بر مقداری m (m>0) باقیمانده یکسانی داشته باشند، آنگاه می گویند کهa و b مدول m قابل مقایسه هستند، و بنویس:

قضیه: اگر و فقط اگر اختلاف a و b بر m بخش پذیر باشد.

خواص:

1. بازتابی بودن مقایسه هاهر عدد a قابل مقایسه با خودش مدول m است (m>0؛ a,m اعداد صحیح هستند).
2. مقایسه های متقارناگر عدد a با عدد b مدول m قابل مقایسه باشد، آنگاه عدد b با عدد a مدول یکسان قابل مقایسه است (m>0؛ a,b,m اعداد صحیح هستند).
3. گذرا بودن مقایسه هااگر عدد a با عدد b مدول m و عدد b قابل مقایسه با مدول عدد c همان مدول باشد، عدد a با عدد c مدول m قابل مقایسه است (m>0؛ a,b,c. ,m اعداد صحیح هستند).
4. اگر عدد a با عدد b مدول m قابل مقایسه باشد، عدد a n قابل مقایسه با عدد b n مدول m(m>0؛ a,b,m-اعداد صحیح؛ n-عدد طبیعی).

نمونه هایی از مشکلات و راه حل آنها.

1. رقم آخر عدد 3 را بیابید 999 .

راه حل:

زیرا پس از تقسیم بر 10، آخرین رقم عدد باقیمانده است

3 999 = 3 3 * 3 996 = 3 3 * (3 4 ) 249 = 7*81 249 7 (mod 10)

(زیرا 34=81 1(mod 10);81 n 1 (mod10) (بر اساس دارایی))

جواب: 7.

2. ثابت کنید که 2 4n -1 بدون باقیمانده بر 15 بخش پذیر است. (Phystech2012)

راه حل:

زیرا 16 1 (Mod 15)، سپس

16n-1 0 (mod 15) (توسط دارایی)؛ 16n= (2 4) n

2 4n -1 0 (Mod 15)

3. ثابت کنید که 12 2n+1 +11 n+2 بدون باقیمانده بر 133 بخش پذیر است.

راه حل:

12 2n+1 =12*144 n 12*11 n (Mod 133) (توسط دارایی)

12 2n+1 +11 n+2 =12*11 n +11 n *121=11 n *(12+121) =11 n *133

شماره (11 n *133) بدون باقیمانده بر 133 تقسیم می شود. بنابراین، (12 2n+1 +11 n+2 ) بدون باقی مانده بر 133 بخش پذیر است.

4. باقیمانده عدد 2 تقسیم بر 15 را پیدا کنید 2015 .

راه حل:

از 16 1 (mod 15)، پس

2 2015 8 (Mod 15)

پاسخ: 8.

5. باقیمانده تقسیم بر 17 عدد 2 را پیدا کنید 2015. (Phystech2015)

راه حل:

2 2015 =2 3 *2 2012 =8*16 503

از 16 -1 (Mod 17)، پس

2 2015 -8 (Mod 15)

8 9 (Mod 17)

جواب: 9.

6- ثابت کنید که عدد 11 است 100 -1 بدون باقیمانده بر 100 بخش پذیر است. (Phystech2015)

راه حل:

11 100 =121 50

121 50 21 50 (mod 100) (بر اساس دارایی)

21 50 =441 25

441 25 41 25 (mod 100) (بر اساس دارایی)

41 25 =41*1681 12

1681 12 (-19) 12 (mod 100) (بر اساس دارایی)

41*(-19) 12 =41*361 6

361 6 (-39) 6 (Mod 100) (توسط دارایی)

41*(-39) 6 =41*1521 3

1521 3 21 3 (mod100) (توسط دارایی)

41*21 3 =41*21*441

441 41 (mod 100) (بر اساس دارایی)

21*41 2 =21*1681

1681 -19 (mod 100) (بر اساس دارایی)

21*(-19)=-399

399 1 (mod 100) (بر اساس دارایی)

بنابراین 11 100 1 (Mod 100)

11 100 -1 0 (mod 100) (بر اساس دارایی)

7. سه عدد آورده شده است: 1771,1935,2222. عددی را به گونه ای بیابید که با تقسیم بر آن، باقیمانده سه عدد داده شده برابر باشد. (HSE2016)

راه حل:

بگذارید عدد مجهول برابر با a باشد، پس

2222 1935 (mod a); 1935 1771 (mod a); 2222 1771 (mod a)

2222-1935 0 (moda) (بر اساس دارایی)؛ 1935-17710 (moda) (بر اساس دارایی)؛ 2222-17710 (moda) (بر اساس دارایی)

287 0 (mod a); 164 0 (mod a); 451 0 (mod a)

287-164 0 (moda) (بر اساس دارایی)؛ 451-2870 (moda) (بر اساس دارایی)

123 0 (mod a); 164 0 (mod a)

164-123 0 (mod a) (بر اساس ویژگی)

41

المپیاد HSE 2016