مونومیال چیست. مفهوم یکپارچه و شکل استاندارد آن

در این درس، تعریف دقیقی از یک جمله ارائه می دهیم، مثال های مختلفی را از کتاب درسی در نظر می گیریم. قوانین ضرب توان با پایه یکسان را به خاطر بیاورید. اجازه دهید تعریفی از شکل استاندارد یک مونوم، ضریب یک جمله و بخش تحت اللفظی آن ارائه دهیم. اجازه دهید دو عملیات معمولی اساسی را روی تک‌جملات در نظر بگیریم، یعنی کاهش به نمای استانداردو محاسبه یک مقدار عددی خاص از یک جمله برای مقادیر داده شده از متغیرهای تحت اللفظی موجود در آن. اجازه دهید قاعده ای را برای کاهش مونومیال به فرم استاندارد تنظیم کنیم. بیایید یاد بگیریم که چگونه مسائل معمولی را با هر تک اسمی حل کنیم.

موضوع:یکپارچه ها عملیات حسابی روی تک جفت ها

درس:مفهوم یکپارچه. فرم استاندارد یک مونومیال

چند نمونه را در نظر بگیرید:

3. ;

بیایید پیدا کنیم ویژگی های مشترکبرای عبارات داده شده در هر سه حالت، عبارت حاصل ضرب اعداد و متغیرهای افزایش یافته به توان است. بر این اساس می دهیم تعریف یک واحد : یک جمله یک عبارت جبری است که از حاصل ضرب توان ها و اعداد تشکیل شده است.

اکنون مثال هایی از عباراتی را می آوریم که تک اسمی نیستند:

بیایید تفاوت بین این عبارات و عبارات قبلی را پیدا کنیم. این شامل این واقعیت است که در مثال‌های 4-7 عملیات جمع، تفریق یا تقسیم وجود دارد، در حالی که در مثال‌های 1-3 که تک‌جمعی هستند، این عملیات وجود ندارد.

در اینجا چند نمونه دیگر وجود دارد:

عبارت شماره 8 یک تک جمله است، زیرا حاصل ضرب یک توان و یک عدد است، در حالی که مثال 9 یک تک جمله نیست.

حالا بیایید بفهمیم اقدامات روی یکپارچه ها .

1. ساده سازی. مثال شماره 3 را در نظر بگیرید و مثال شماره 2 /

در مثال دوم، ما فقط یک ضریب را می بینیم - هر متغیر فقط یک بار رخ می دهد، یعنی متغیر " آ” در یک نمونه نمایش داده می شود، به صورت “”، به طور مشابه، متغیرهای “” و “” فقط یک بار رخ می دهند.

در مثال شماره 3، برعکس، دو ضریب مختلف وجود دارد - و، متغیر "" را دو بار می بینیم - به صورت "" و به صورت ""، به همین ترتیب، متغیر "" دو بار رخ می دهد. یعنی این عبارت باید ساده شود، به این ترتیب به آن می رسیم اولین اقدامی که روی مونومی ها انجام می شود، رساندن مونومیال به فرم استاندارد است . برای انجام این کار، عبارت از مثال 3 را به فرم استاندارد می آوریم، سپس این عملیات را تعریف می کنیم و یاد می گیریم که چگونه هر مونومی را به فرم استاندارد بیاوریم.

بنابراین یک مثال را در نظر بگیرید:

اولین گام در عملیات استانداردسازی همیشه ضرب همه عوامل عددی است:

;

نتیجه این عمل نامیده می شود ضریب تک اسمی .

در مرحله بعد، باید درجات را ضرب کنید. ما درجات متغیر را ضرب می کنیم " ایکسطبق قانون ضرب توان ها با پایه یکسان، که می گوید وقتی ضرب می شود، توان ها با هم جمع می شوند:

حالا بیایید توان ها را ضرب کنیم در»:

;

بنابراین در اینجا یک عبارت ساده شده است:

;

هر مونومی را می توان به شکل استاندارد کاهش داد. فرمول بندی کنیم قانون استانداردسازی :

همه عوامل عددی را ضرب کنید.

ضریب حاصل را در وهله اول قرار دهید.

همه درجات را ضرب کنید، یعنی قسمت حرف را بدست آورید.

یعنی هر تک اسمی با یک ضریب و یک قسمت حرف مشخص می شود. با نگاهی به آینده، توجه می‌کنیم که تک‌جملاتی که دارای حروف یکسان هستند، مشابه نامیده می‌شوند.

حالا شما نیاز به کسب درآمد دارید تکنیک کاهش تک‌جملات به فرم استاندارد . نمونه هایی از کتاب درسی را در نظر بگیرید:

تکلیف: یک جمله را به فرم استاندارد بیاورید، ضریب و قسمت حرف را نام ببرید.

برای تکمیل کار، از قاعده آوردن تک اسم به فرم استاندارد و خصوصیات درجات استفاده می کنیم.

1. ;

3. ;

نظرات در مورد مثال اول: برای شروع، بیایید تعیین کنیم که آیا این عبارت واقعاً یک جمله است یا خیر، برای این کار بررسی می کنیم که آیا شامل عملیات ضرب اعداد و توان ها است و آیا شامل عملیات جمع، تفریق یا تقسیم است. از آنجایی که شرط فوق برآورده می شود، می توان گفت که این عبارت یک جمله است. علاوه بر این، با توجه به قاعده آوردن یک جمله به فرم استاندارد، ضرایب عددی را ضرب می کنیم:

- ضریب تک جمله ای را پیدا کرده ایم.

; ; ; یعنی قسمت تحت اللفظی عبارت دریافت می شود:;

پاسخ را یادداشت کنید:

نظرات در مورد مثال دوم: طبق قانون اجرا می کنیم:

1) ضرب عوامل عددی:

2) توان ها را ضرب کنید:

متغیرها و در یک نسخه ارائه می شوند ، یعنی با هیچ چیز نمی توان آنها را ضرب کرد ، بدون تغییر بازنویسی می شوند ، درجه ضرب می شود:

جواب را یادداشت کنید:

;

در این مثال، ضریب تک اسمی برابر با یکو قسمت تحت اللفظی .

نظرات در مورد مثال سوم: الفمشابه نمونه های قبلی، اقدامات زیر را انجام می دهیم:

1) ضرب عوامل عددی:

;

2) توان ها را ضرب کنید:

;

پاسخ را بنویسید:

در این مورد، ضریب تک جمله برابر با ""، و جزء تحت اللفظی است .

حال در نظر بگیرید دومین عملیات استاندارد روی تک اسم ها . از آنجایی که یک جمله یک عبارت جبری متشکل از متغیرهای تحت اللفظی است که می تواند مقادیر عددی خاصی را به خود بگیرد، ما یک عدد حساب داریم. بیان عددی، که باید محاسبه شود. یعنی عملیات زیر روی چند جمله ای ها می باشد محاسبه مقدار عددی خاص آنها .

یک مثال را در نظر بگیرید. تک نام داده شده است:

این تک جمله قبلاً به شکل استاندارد کاهش یافته است، ضریب آن برابر با یک و قسمت تحت اللفظی است

قبلاً گفتیم که یک عبارت جبری همیشه قابل محاسبه نیست، یعنی متغیرهایی که وارد آن می شوند ممکن است هیچ مقداری نگیرند. در مورد مونومیال، متغیرهای موجود در آن می توانند هر کدام باشند، این یکی از ویژگی های مونومیال است.

بنابراین، در مثال داده شده، لازم است مقدار یک جمله برای , , , , محاسبه شود.

درس با موضوع: "شکل استاندارد یک تک جمله. تعریف. مثال ها"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، انتقادات، پیشنهادات خود را فراموش نکنید. تمام مواد توسط یک برنامه آنتی ویروس بررسی می شود.

وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال پایه هفتم
کتاب درسی الکترونیک "هندسه قابل درک" برای پایه های 7-9
راهنمای مطالعه چند رسانه ای "هندسه در 10 دقیقه" برای پایه های 7-9

یکنواخت. تعریف

یکنواختیک عبارت ریاضی است که حاصل ضرب یک عامل اول و یک یا چند متغیر است.

تک نام ها شامل تمام اعداد، متغیرها، توان آنها با توان طبیعی است:
42; 3; 0; 62; 2 3 ; b 3 ; ax4; 4x3; 5a2; 12xyz 3.

معمولاً تعیین اینکه آیا یک عبارت ریاضی معین به یک جملات اشاره دارد یا خیر دشوار است. برای مثال، $\frac(4a^3)(5)$. یکنواخت است یا نه؟ برای پاسخ به این سوال، باید عبارت را ساده کنیم، i.e. به شکل: $\frac(4)(5)*а^3$ نمایش دهید.
به یقین می‌توان گفت که این عبارت یک کلمه است.

شکل استاندارد یک مونومیال

هنگام محاسبه، مطلوب است که مونومیال را به فرم استاندارد بیاورید. این کوتاه ترین و قابل درک ترین نماد یک جمله است.

ترتیب آوردن تک نام به فرم استاندارد به شرح زیر است:
1. ضرایب یک جمله (یا ضرایب عددی) را ضرب کنید و نتیجه را در وهله اول قرار دهید.
2. همه درجات را با پایه حرف یکسان انتخاب کرده و ضرب کنید.
3. نقطه 2 را برای همه متغیرها تکرار کنید.

مثال ها.
I. یک واحد داده شده $3x^2zy^3*5y^2z^4$ را به شکل استاندارد کاهش دهید.

تصمیم گیری
1. ضرایب مونومی $15x^2y^3z * y^2z^4$ را ضرب کنید.
2. حالا اجازه دهید اصطلاحات مشابه $15х^2y^5z^5$ را ارائه کنیم.

II. مونومی $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ را به فرم استاندارد تبدیل کنید.

تصمیم گیری
1. ضرایب یک جمله $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$ را ضرب کنید.
2. حال اجازه دهید عبارات مشابه $\frac(10)(7)a^5b^5c$ را ارائه کنیم.

ما اشاره کردیم که هر یکنواختی می تواند باشد به فرم استاندارد برسانید. در این مقاله متوجه می‌شویم که به چه چیزی کاهش مونومیال به فرم استاندارد گفته می‌شود، چه اقداماتی امکان انجام این فرآیند را می‌دهد و راه‌حل‌های مثال‌هایی را با توضیحات مفصل در نظر می‌گیریم.

پیمایش صفحه.

منظور از آوردن مونومیال به فرم استاندارد چیست؟

کار با تک اسم ها زمانی که به شکل استاندارد نوشته می شوند راحت است. با این حال، تک اسم ها اغلب به شکلی متفاوت از شکل استاندارد ارائه می شوند. در این موارد، همیشه می توان با انجام تبدیل های یکسان، از تک جملات اصلی به مونومیال استاندارد عبور کرد. فرآیند انجام چنین تبدیل‌هایی را رساندن مونومیال به فرم استاندارد می‌گویند.

اجازه دهید استدلال فوق را تعمیم دهیم. مونومیال را به فرم استاندارد بیاورید- این به این معنی است که با او چنین اجرا کنید تحولات یکسانتا استاندارد به نظر برسد.

چگونه مونومیال را به فرم استاندارد برسانیم؟

زمان آن فرا رسیده است که بفهمیم چگونه تک اسم ها را به فرم استاندارد بیاوریم.

همانطور که از تعریف مشخص است، تک‌جملات یک فرم غیر استاندارد حاصل اعداد، متغیرها و توان آنها و احتمالاً تکرار می‌شوند. و مونومی فرم استاندارد می تواند در رکورد خود فقط یک عدد و متغیرهای تکرار نشدنی یا درجات آنها را داشته باشد. حال باید فهمید که چگونه می توان محصولات نوع اول را به شکل دوم کاهش داد؟

برای این کار باید از موارد زیر استفاده کنید قانون کاهش یک مونومیال به فرم استانداردشامل دو مرحله:

• ابتدا گروه بندی عوامل عددی و همچنین متغیرهای یکسان و درجات آنها انجام می شود.
• ثانیاً حاصل ضرب اعداد محاسبه و اعمال می شود.

در نتیجه اعمال قاعده ذکر شده، هر تک اسمی به فرم استاندارد کاهش می یابد.

مثال ها، راه حل ها

باقی مانده است که یاد بگیرید چگونه از قانون پاراگراف قبل در حل مثال استفاده کنید.

مثال.

مونومی 3·x·2·x 2 را به فرم استاندارد بیاورید.

تصمیم گیری

بیایید عوامل عددی و عوامل را با متغیر x گروه بندی کنیم. پس از گروه بندی، تک نام اصلی به شکل (3 2) (x x 2) خواهد بود. حاصل ضرب اعداد در پرانتز اول 6 است و قانون ضرب توان ها با پایه های یکسان اجازه می دهد که عبارت در پرانتز دوم به صورت x 1 +2 = x 3 نمایش داده شود. در نتیجه، یک چند جمله ای از فرم استاندارد 6·x 3 به دست می آوریم.

در اینجا خلاصه ای از راه حل است: 3 x 2 x 2 \u003d (3 2) (x x 2) \u003d 6 x 3.

پاسخ:

3 x 2 x 2 = 6 x 3 .

بنابراین، برای اینکه یک تک اسمی را به یک فرم استاندارد برسانیم، باید بتوان عوامل را گروه بندی کرد، ضرب اعداد را انجام داد و با توان ها کار کرد.

برای تجمیع مطالب، اجازه دهید یک مثال دیگر را حل کنیم.

مثال.

یک جمله را به صورت استاندارد بیان کنید و ضریب آن را نشان دهید.

تصمیم گیری

مونومی اصلی دارای یک ضریب عددی منفرد -1 در نماد خود است، اجازه دهید آن را به ابتدا منتقل کنیم. پس از آن، عوامل را جداگانه با متغیر a گروه بندی می کنیم، جداگانه - با متغیر b، و چیزی برای گروه بندی متغیر m وجود ندارد، آن را به حال خود رها کنید، داریم . پس از انجام عملیات با درجه در پرانتز، مونومی فرم استاندارد مورد نیاز ما را به خود می گیرد، از آنجا می توانید ضریب تک جمله را برابر 1- ببینید. منهای یک را می توان با علامت منفی جایگزین کرد: .

در این درس، تعریف دقیقی از یک جمله ارائه می دهیم، مثال های مختلفی را از کتاب درسی در نظر می گیریم. قوانین ضرب توان با پایه یکسان را به خاطر بیاورید. اجازه دهید تعریفی از شکل استاندارد یک مونوم، ضریب یک جمله و بخش تحت اللفظی آن ارائه دهیم. بیایید دو عملیات معمولی اساسی را روی تک‌جملات در نظر بگیریم، یعنی کاهش به یک فرم استاندارد و محاسبه یک مقدار عددی خاص از یک تک اسمی برای مقادیر داده شده از متغیرهای تحت اللفظی موجود در آن. اجازه دهید قاعده ای را برای کاهش مونومیال به فرم استاندارد تنظیم کنیم. بیایید یاد بگیریم که چگونه مسائل معمولی را با هر تک اسمی حل کنیم.

موضوع:یکپارچه ها عملیات حسابی روی تک جفت ها

درس:مفهوم یکپارچه. فرم استاندارد یک مونومیال

چند نمونه را در نظر بگیرید:

3. ;

بیایید ویژگی های مشترک عبارات داده شده را پیدا کنیم. در هر سه حالت، عبارت حاصل ضرب اعداد و متغیرهای افزایش یافته به توان است. بر این اساس می دهیم تعریف یک واحد : یک جمله یک عبارت جبری است که از حاصل ضرب توان ها و اعداد تشکیل شده است.

اکنون مثال هایی از عباراتی را می آوریم که تک اسمی نیستند:

بیایید تفاوت بین این عبارات و عبارات قبلی را پیدا کنیم. این شامل این واقعیت است که در مثال‌های 4-7 عملیات جمع، تفریق یا تقسیم وجود دارد، در حالی که در مثال‌های 1-3 که تک‌جمعی هستند، این عملیات وجود ندارد.

در اینجا چند نمونه دیگر وجود دارد:

عبارت شماره 8 یک تک جمله است، زیرا حاصل ضرب یک توان و یک عدد است، در حالی که مثال 9 یک تک جمله نیست.

حالا بیایید بفهمیم اقدامات روی یکپارچه ها .

1. ساده سازی. مثال شماره 3 را در نظر بگیرید و مثال شماره 2 /

در مثال دوم، ما فقط یک ضریب را می بینیم - هر متغیر فقط یک بار رخ می دهد، یعنی متغیر " آ” در یک نمونه نمایش داده می شود، به صورت “”، به طور مشابه، متغیرهای “” و “” فقط یک بار رخ می دهند.

در مثال شماره 3، برعکس، دو ضریب مختلف وجود دارد - و، متغیر "" را دو بار می بینیم - به صورت "" و به صورت ""، به همین ترتیب، متغیر "" دو بار رخ می دهد. یعنی این عبارت باید ساده شود، به این ترتیب به آن می رسیم اولین اقدامی که روی مونومی ها انجام می شود، رساندن مونومیال به فرم استاندارد است . برای انجام این کار، عبارت از مثال 3 را به فرم استاندارد می آوریم، سپس این عملیات را تعریف می کنیم و یاد می گیریم که چگونه هر مونومی را به فرم استاندارد بیاوریم.

بنابراین یک مثال را در نظر بگیرید:

اولین گام در عملیات استانداردسازی همیشه ضرب همه عوامل عددی است:

;

نتیجه این عمل نامیده می شود ضریب تک اسمی .

در مرحله بعد، باید درجات را ضرب کنید. ما درجات متغیر را ضرب می کنیم " ایکسطبق قانون ضرب توان ها با پایه یکسان، که می گوید وقتی ضرب می شود، توان ها با هم جمع می شوند:

حالا بیایید توان ها را ضرب کنیم در»:

;

بنابراین در اینجا یک عبارت ساده شده است:

;

هر مونومی را می توان به شکل استاندارد کاهش داد. فرمول بندی کنیم قانون استانداردسازی :

همه عوامل عددی را ضرب کنید.

ضریب حاصل را در وهله اول قرار دهید.

همه درجات را ضرب کنید، یعنی قسمت حرف را بدست آورید.

یعنی هر تک اسمی با یک ضریب و یک قسمت حرف مشخص می شود. با نگاهی به آینده، توجه می‌کنیم که تک‌جملاتی که دارای حروف یکسان هستند، مشابه نامیده می‌شوند.

حالا شما نیاز به کسب درآمد دارید تکنیک کاهش تک‌جملات به فرم استاندارد . نمونه هایی از کتاب درسی را در نظر بگیرید:

تکلیف: یک جمله را به فرم استاندارد بیاورید، ضریب و قسمت حرف را نام ببرید.

برای تکمیل کار، از قاعده آوردن تک اسم به فرم استاندارد و خصوصیات درجات استفاده می کنیم.

1. ;

3. ;

نظرات در مورد مثال اول: برای شروع، بیایید تعیین کنیم که آیا این عبارت واقعاً یک جمله است یا خیر، برای این کار بررسی می کنیم که آیا شامل عملیات ضرب اعداد و توان ها است و آیا شامل عملیات جمع، تفریق یا تقسیم است. از آنجایی که شرط فوق برآورده می شود، می توان گفت که این عبارت یک جمله است. علاوه بر این، با توجه به قاعده آوردن یک جمله به فرم استاندارد، ضرایب عددی را ضرب می کنیم:

- ضریب تک جمله ای را پیدا کرده ایم.

; ; ; یعنی قسمت تحت اللفظی عبارت دریافت می شود:;

پاسخ را یادداشت کنید:

نظرات در مورد مثال دوم: طبق قانون اجرا می کنیم:

1) ضرب عوامل عددی:

2) توان ها را ضرب کنید:

متغیرها و در یک نسخه ارائه می شوند ، یعنی با هیچ چیز نمی توان آنها را ضرب کرد ، بدون تغییر بازنویسی می شوند ، درجه ضرب می شود:

جواب را یادداشت کنید:

;

در این مثال، ضریب تک جمله ای برابر با یک و قسمت تحت اللفظی آن برابر است.

نظرات در مورد مثال سوم: الفمشابه نمونه های قبلی، اقدامات زیر را انجام می دهیم:

1) ضرب عوامل عددی:

;

2) توان ها را ضرب کنید:

;

پاسخ را بنویسید:

در این مورد، ضریب تک جمله برابر با ""، و جزء تحت اللفظی است .

حال در نظر بگیرید دومین عملیات استاندارد روی تک اسم ها . از آنجایی که یک جمله یک عبارت جبری متشکل از متغیرهای تحت اللفظی است که می تواند مقادیر عددی خاصی را به خود بگیرد، یک عبارت عددی حسابی داریم که باید محاسبه شود. یعنی عملیات زیر روی چند جمله ای ها می باشد محاسبه مقدار عددی خاص آنها .

یک مثال را در نظر بگیرید. تک نام داده شده است:

این تک جمله قبلاً به شکل استاندارد کاهش یافته است، ضریب آن برابر با یک و قسمت تحت اللفظی است

قبلاً گفتیم که یک عبارت جبری همیشه قابل محاسبه نیست، یعنی متغیرهایی که وارد آن می شوند ممکن است هیچ مقداری نگیرند. در مورد مونومیال، متغیرهای موجود در آن می توانند هر کدام باشند، این یکی از ویژگی های مونومیال است.

بنابراین، در مثال داده شده، لازم است مقدار یک جمله برای , , , , محاسبه شود.

تک نام ها حاصل ضرب اعداد، متغیرها و توان آنها هستند. اعداد، متغیرها و درجات آنها نیز تک جمله در نظر گرفته می شوند. به عنوان مثال: 12ac، -33، a^2b، a، c^9. یک جمله 5aa2b2b را می توان به شکل 20a^2b^2 تقلیل داد.به این شکل فرم استاندارد تک جمله می گویند.یعنی شکل استاندارد تک جمله حاصل ضرب ضریب (که اول می آید) و توان های متغیرها ضرایب 1 و -1 نوشته نمی شوند، اما منهای 1- را حفظ می کنند. مونومیال و شکل استاندارد آن

عبارات 5a2x، 2a3(-3)x2، b2x حاصل ضرب اعداد، متغیرها و توان آنها هستند. به این گونه عبارات تک اسمی می گویند. تک نام ها نیز اعداد، متغیرها و درجات آنها در نظر گرفته می شوند.

به عنوان مثال، عبارات - 8، 35، y و y2 یک جمله هستند.

شکل استاندارد مونومیال یک تک اسمی به شکل محصول است ضرب عددی، ایستادن در وهله اول و درجات متغیرهای مختلف. هر تک اسمی را می توان با ضرب همه متغیرها و اعداد موجود در آن به شکل استاندارد در آورد. در اینجا مثالی از آوردن یک تک اسمی به فرم استاندارد آورده شده است:

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

ضریب عددی تک جمله ای که به صورت استاندارد نوشته می شود را ضریب تک جمله می گویند. به عنوان مثال، ضریب تک جمله -7x2y2 -7 است. ضرایب تک جمله‌های x3 و -xy برابر با 1 و -1 در نظر گرفته می‌شوند، زیرا x3 = 1x3 و -xy = -1xy

درجه یک تک جمله مجموع توان همه متغیرهای موجود در آن است. اگر مونومی متغییر نباشد یعنی عدد باشد درجه آن برابر صفر در نظر گرفته می شود.

به عنوان مثال، درجه مونومی 8x3yz2 6، مونومیال 6x برابر با 1 و مونومی 10- 0 است.

ضرب تک جفت ها. افزایش تک‌جملات به یک قدرت

هنگام ضرب تک‌جملات و افزایش تک‌جملات به توان، قاعده ضرب توان‌ها با همان پایهو قانون قدرت. در این حالت یک تک اسمی به دست می آید که معمولاً به صورت استاندارد نشان داده می شود.

مثلا

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6