حل معادلات مدولار توسعه روش شناختی «معادلات با مدول

یکی از سخت ترین موضوعات برای دانش آموزان حل معادلات حاوی یک متغیر زیر علامت مدول است. بیایید ابتدا بفهمیم که این به چه چیزی مرتبط است؟ به عنوان مثال، چرا اکثر کودکان معادلات درجه دوم را مانند آجیل شکست می دهند، اما مشکلات زیادی با مفهومی به دور از پیچیدگی مانند یک ماژول دارند؟

به نظر من، همه این دشواری ها با فقدان قوانین مشخص شده برای حل معادلات با مدول همراه است. بنابراین، تصمیم گیری معادله درجه دوم، دانش آموز مطمئناً می داند که باید ابتدا فرمول تفکیک و سپس فرمول های ریشه های معادله درجه دوم را اعمال کند. اگر مدول در معادله پیدا شد چه باید کرد؟ ما سعی خواهیم کرد برنامه اقدام لازم را برای موردی که معادله دارای یک مجهول در زیر علامت مدول باشد، به وضوح توصیف کنیم. برای هر مورد چند مثال می زنیم.

اما ابتدا به یاد بیاوریم تعریف ماژول. بنابراین، عدد را مدول کنید آخود این شماره اگر نامیده می شود آغیر منفی و -آ، اگر شماره آکمتر از صفر می توانید آن را اینگونه بنویسید:

|a| = a اگر a ≥ 0 و |a| = -a اگر a< 0

صحبت کردن در مورد حس هندسیماژول، باید به خاطر داشت که هر عدد واقعی مربوط به نقطه خاصی در محور عدد است - آن به هماهنگ كردن. بنابراین، مدول یا قدر مطلق یک عدد، فاصله این نقطه تا مبدأ محور عددی است. فاصله همیشه مشخص است عدد مثبت. بنابراین، مدول هر عدد منفی یک عدد مثبت است. به هر حال، حتی در این مرحله، بسیاری از دانش آموزان شروع به گیج شدن می کنند. ماژول می تواند شامل هر عددی باشد، اما نتیجه استفاده از ماژول همیشه یک عدد مثبت است.

حالا بیایید مستقیماً به حل معادلات برویم.

1. معادله ای به شکل |x| را در نظر بگیرید = c، که در آن c یک عدد واقعی است. این معادله را می توان با استفاده از تعریف مدول حل کرد.

همه اعداد حقیقی را به سه گروه تقسیم می کنیم: بزرگتر از صفر، آنهایی که کوچکتر از صفر هستند و گروه سوم عدد 0 است. جواب را به شکل نمودار می نویسیم:

(±c، اگر c> 0 باشد

اگر |x| = c، سپس x = (0، اگر c = 0 باشد

(بدون ریشه اگر با< 0

1) |x| = 5، زیرا 5 > 0، سپس x = ± 5.

2) |x| = -5، زیرا -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0، سپس x = 0.

2. معادله فرم |f(x)| = b، که در آن b > 0. برای حل این معادله باید از شر ماژول خلاص شد. ما این کار را به این صورت انجام می دهیم: f(x) = b یا f(x) = -b. حال باید هر یک از معادلات به دست آمده را جداگانه حل کنید. اگر در معادله اصلی ب< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4، زیرا 4 > 0، سپس

x + 2 = 4 یا x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11، زیرا 11 > 0، سپس

x 2 - 5 = 11 یا x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 بدون ریشه

3) |x 2 – 5x| = -8، زیرا -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. معادله ای به شکل |f(x)| = g(x). با توجه به معنای ماژول، چنین معادله ای راه حل هایی خواهد داشت که سمت راست آن بزرگتر یا مساوی صفر باشد، یعنی. g(x) ≥ 0. سپس خواهیم داشت:

f(x) = g(x)یا f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. این معادله ریشه خواهد داشت اگر 5x – 10 ≥ 0. از اینجاست که حل چنین معادلاتی آغاز می شود.

1. O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0

2. راه حل:

2x – 1 = 5x – 10 یا 2x – 1 = -(5x – 10)

3. O.D.Z را با هم ترکیب می کنیم. و راه حل، دریافت می کنیم:

ریشه x = 11/7 با O.D.Z مطابقت ندارد، کمتر از 2 است، اما x = 3 این شرط را برآورده می کند.

پاسخ: x = 3

2) |x – 1| = 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. بیایید این نابرابری را با استفاده از روش بازه حل کنیم:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. راه حل:

x – 1 = 1 – x 2 یا x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 یا x = 1 x = 0 یا x = 1

3. محلول و O.D.Z را با هم ترکیب می کنیم:

فقط ریشه های x = 1 و x = 0 مناسب هستند.

پاسخ: x = 0، x = 1.

4. معادله فرم |f(x)| = |g(x)|. چنین معادله ای معادل دو معادله زیر f(x) = g(x) یا f(x) = -g(x) است.

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. این معادله معادل دو معادله زیر است:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 یا x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 یا x = 4 x = 2 یا x = 1

پاسخ: x = 1، x = 2، x = 3، x = 4.

5. معادلات حل شده به روش جایگزینی (جایگزینی متغیر). این روش حل به راحتی در توضیح داده شده است مثال خاص. بنابراین، اجازه دهید یک معادله درجه دوم با مدول به ما داده شود:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. با خاصیت مدول x 2 = |x| 2، بنابراین معادله را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. بیایید جایگزین |x| را ایجاد کنیم = t ≥ 0، سپس خواهیم داشت:

t 2 – 6t + 5 = 0. با حل این معادله، در می یابیم که t = 1 یا t = 5. اجازه دهید به جایگزینی برگردیم:

|x| = 1 یا |x| = 5

x = ± 1 x = ± 5

پاسخ: x = -5، x = -1، x = 1، x = 5.

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم:

x 2 + |x| – 2 = 0. با خاصیت مدول x 2 = |x| 2، بنابراین

|x| 2 + |x| – 2 = 0. بیایید جایگزین |x| را بسازیم = t ≥ 0، سپس:

t 2 + t – 2 = 0. با حل این معادله، t = -2 یا t = 1 به دست می آوریم. اجازه دهید به جایگزینی برگردیم:

|x| = -2 یا |x| = 1

بدون ریشه x = ± 1

پاسخ: x = -1، x = 1.

6. نوع دیگری از معادلات، معادلات با مدول "مختلط" است. چنین معادلاتی شامل معادلاتی است که "ماژول های درون یک ماژول" دارند. معادلات این نوع را می توان با استفاده از ویژگی های ماژول حل کرد.

1) |3 – |x|| = 4. مانند معادلات نوع دوم عمل می کنیم. زیرا 4 > 0، سپس دو معادله بدست می آوریم:

3 – |x| = 4 یا 3 – |x| = -4.

حال اجازه دهید مدول x را در هر معادله بیان کنیم، سپس |x| = -1 یا |x| = 7.

هر یک از معادلات به دست آمده را حل می کنیم. هیچ ریشه ای در معادله اول وجود ندارد، زیرا -1< 0, а во втором x = ±7.

پاسخ x = -7، x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. ما این معادله را به روشی مشابه حل می کنیم:

3 + |x + 1| = 5 یا 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 یا x + 1 = -2. بدون ریشه

پاسخ: x = -3، x = 1.

همچنین یک روش جهانی برای حل معادلات با مدول وجود دارد. این روش فاصله است. اما بعدا به آن نگاه خواهیم کرد.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم پست الکترونیکو غیره.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

حل معادلات و نابرابری ها با مدولاغلب باعث مشکلات می شود. با این حال، اگر خوب بفهمید که چیست قدر مطلق یک عدد، و چگونه عبارات حاوی علامت مدول را به درستی گسترش دهیم، سپس حضور در معادله بیان زیر علامت مدول، دیگر مانعی برای حل آن نیست.

کمی تئوری هر عدد دو ویژگی دارد: قدر مطلقعدد و علامت آن

به عنوان مثال، عدد +5 یا به سادگی 5 دارای علامت "+" و قدر مطلق 5 است.

عدد -5 دارای علامت "-" و قدر مطلق 5 است.

قدر مطلق اعداد 5 و -5 5 است.

قدر مطلق عدد x مدول عدد نامیده می شود و با |x| نشان داده می شود.

همانطور که می بینیم مدول یک عدد در صورتی که این عدد بزرگتر یا مساوی صفر باشد با خود عدد و اگر این عدد منفی باشد با این عدد با علامت مخالف برابر است.

همین امر در مورد هر عبارتی که در زیر علامت مدول ظاهر می شود صدق می کند.

قانون گسترش ماژول به صورت زیر است:

|f(x)|= f(x) اگر f(x) ≥ 0، و

|f(x)|= - f(x)، اگر f(x)< 0

برای مثال |x-3|=x-3، اگر x-3≥0 و |x-3|=-(x-3)=3-x، اگر x-3<0.

برای حل یک معادله حاوی عبارت زیر علامت مدول، ابتدا باید یک ماژول را طبق قانون گسترش ماژول گسترش دهید.

سپس معادله یا نابرابری ما می شود به دو معادله مختلف که در دو بازه عددی متفاوت وجود دارد.

یک معادله در یک بازه عددی وجود دارد که در آن عبارت زیر علامت مدول غیر منفی است.

و معادله دوم در فاصله ای وجود دارد که عبارت زیر علامت مدول منفی است.

بیایید به یک مثال ساده نگاه کنیم.

بیایید معادله را حل کنیم:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. بیایید ماژول را باز کنیم.

|x-3|=x-3، اگر x-3≥0، یعنی. اگر x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x اگر x-3<0, т.е. если х<3

2. ما دو بازه عددی دریافت کردیم: x≥3 و x<3.

اجازه دهید در نظر بگیریم که معادله اصلی در هر بازه به کدام معادلات تبدیل می شود:

الف) برای x≥3 |x-3|=x-3، و زخم ما به شکل زیر است:

توجه! این معادله فقط در بازه x≥3 وجود دارد!

بیایید پرانتزها را باز کنیم و اصطلاحات مشابه را ارائه کنیم:

و این معادله را حل کنید.

این معادله ریشه دارد:

x 1 = 0، x 2 = 3

توجه! از آنجایی که معادله x-3=-x 2 +4x-3 فقط در بازه x≥3 وجود دارد، ما فقط به ریشه هایی علاقه مندیم که به این بازه تعلق دارند. این شرط فقط با x 2 = 3 برآورده می شود.

ب) در x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

توجه! این معادله فقط در بازه x وجود دارد<3!

بیایید پرانتزها را باز کنیم و اصطلاحات مشابه را ارائه کنیم. معادله را بدست می آوریم:

x 1 = 2، x 2 = 3

توجه! از آنجایی که معادله 3-x=-x 2 +4x-3 فقط در بازه x وجود دارد<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

بنابراین: از فاصله اول فقط ریشه x=3 را می گیریم، از دومی - ریشه x=2.

مدول قدر مطلق عبارت است. برای نشان دادن یک ماژول، مرسوم است که از براکت های مستقیم استفاده کنید. مقداری که در پرانتزهای زوج قرار می گیرد، مقداری است که مدول گرفته می شود. فرآیند حل هر ماژول شامل باز کردن آن براکت های بسیار مستقیم است که در زبان ریاضی به آن براکت های مدولار می گویند. افشای آنها طبق تعداد معینی از قوانین رخ می دهد. همچنین، به ترتیب حل ماژول ها، مجموعه مقادیر آن عباراتی که در براکت های مدولار بودند، پیدا می شود. در بیشتر موارد، ماژول به گونه ای گسترش می یابد که عبارتی که ساب مدولار بود، مقادیر مثبت و منفی، از جمله مقدار صفر را دریافت می کند. اگر از ویژگی‌های تعیین‌شده ماژول شروع کنیم، در این فرآیند معادلات یا نابرابری‌های مختلفی از عبارت اصلی جمع‌آوری می‌شوند که پس از آن باید حل شوند. بیایید نحوه حل ماژول ها را دریابیم.

فرآیند حل

حل یک ماژول با نوشتن معادله اصلی با ماژول شروع می شود. برای پاسخ به این سوال که چگونه معادلات را با مدول حل کنیم، باید آن را به طور کامل باز کنید. برای حل چنین معادله ای، ماژول گسترش می یابد. تمام عبارات مدولار باید در نظر گرفته شوند. لازم است مشخص شود که در چه مقادیری از مقادیر ناشناخته موجود در ترکیب آن، بیان مدولار در براکت ها صفر می شود. برای انجام این کار کافی است عبارت موجود در براکت های مدولار را با صفر برابر کنید و سپس جواب معادله حاصل را محاسبه کنید. مقادیر یافت شده باید ثبت شوند. به همین ترتیب، شما همچنین باید مقدار همه متغیرهای مجهول را برای همه ماژول های این معادله تعیین کنید. در مرحله بعد، باید شروع به تعریف و در نظر گرفتن تمام موارد وجود متغیرها در عبارات زمانی که با مقدار صفر متفاوت هستند، کنید. برای انجام این کار، باید سیستمی از نابرابری ها را که مربوط به همه ماژول ها در نابرابری اصلی است، یادداشت کنید. نابرابری ها باید به گونه ای نوشته شوند که تمام مقادیر موجود و ممکن برای یک متغیر را که در خط اعداد یافت می شود پوشش دهند. سپس باید همین خط عددی را برای تجسم ترسیم کنید، که بعداً تمام مقادیر به دست آمده را روی آن رسم کنید.

اکنون تقریباً همه چیز را می توان در اینترنت انجام داد. ماژول نیز از این قاعده مستثنی نیست. می توانید آن را به صورت آنلاین در یکی از بسیاری از منابع مدرن حل کنید. تمام مقادیر متغیری که در ماژول صفر قرار دارند، یک محدودیت ویژه خواهند بود که در فرآیند حل معادله مدولار استفاده می شود. در معادله اصلی، باید تمام براکت های مدولار موجود را باز کنید، در حالی که علامت عبارت را تغییر دهید تا مقادیر متغیر مورد نظر با مقادیری که در خط اعداد قابل مشاهده است مطابقت داشته باشد. معادله حاصل باید حل شود. مقدار متغیری که در حین حل معادله به دست می آید باید با محدودیتی که توسط خود ماژول مشخص شده است بررسی شود. اگر مقدار متغیر به طور کامل شرط را برآورده کند، صحیح است. تمام ریشه هایی که در حین حل معادله به دست می آیند، اما با محدودیت ها تناسب ندارند، باید دور ریخته شوند.

ما ریاضی را انتخاب نمی کنیمحرفه او، و او ما را انتخاب می کند.

ریاضیدان روسی Yu.I. مانین

معادلات با مدول

دشوارترین مسائل برای حل در ریاضیات مدرسه معادلات حاوی متغیرهای زیر علامت مدول است. برای حل موفقیت آمیز چنین معادلاتی، باید تعریف و ویژگی های اصلی ماژول را بدانید. طبیعتا دانش آموزان باید مهارت حل معادلات از این نوع را داشته باشند.

مفاهیم و ویژگی های اساسی

مدول (مقدار مطلق) یک عدد واقعینشان داده شده با و به صورت زیر تعریف می شود:

ویژگی های ساده یک ماژول شامل روابط زیر است:

توجه داشته باشید، که دو ویژگی آخر برای هر درجه زوج معتبر است.

علاوه بر این، اگر، کجا، پس و

ویژگی های پیچیده تر ماژول, که می تواند به طور موثر در حل معادلات با مدول استفاده شود, از طریق قضایای زیر فرموله می شوند:

قضیه 1.برای هر توابع تحلیلیو نابرابری درست است

قضیه 2.برابری معادل نابرابری است.

قضیه 3.برابری مساوی با نابرابری.

بیایید به نمونه های معمولی حل مسائل در موضوع "معادلات" نگاه کنیم, حاوی متغیرهایی در زیر علامت مدول است."

حل معادلات با مدول

رایج ترین روش در ریاضیات مدرسه برای حل معادلات با مدول روش است, بر اساس گسترش ماژول این روش جهانی است, با این حال، در حالت کلی، استفاده از آن می تواند منجر به محاسبات بسیار دست و پا گیر شود. در این راستا دانش آموزان باید موارد دیگری را بدانند, روش ها و تکنیک های موثرتر برای حل این گونه معادلات. به خصوص, داشتن مهارت در کاربرد قضایا ضروری است, در این مقاله ارائه شده است.

مثال 1.معادله را حل کنید. (1)

راه حل. ما معادله (1) را با استفاده از روش "کلاسیک" - روش آشکار کردن ماژول ها حل خواهیم کرد. برای انجام این کار، اجازه دهید محور اعداد را تقسیم کنیمنقطه و به فواصل و سه مورد را در نظر بگیرید.

1. اگر , , , , و معادله (1) به شکل . از این نتیجه می شود. با این حال، در اینجا، بنابراین مقدار یافت شده ریشه معادله (1) نیست.

2. اگر، سپس از رابطه (1) بدست می آوریمیا .

از آن به بعد ریشه معادله (1).

3. اگر، سپس معادله (1) شکل می گیردیا . توجه داشته باشیم که.

پاسخ: ، .

هنگام حل معادلات بعدی با یک ماژول، ما به طور فعال از خواص ماژول ها برای افزایش کارایی حل چنین معادلاتی استفاده می کنیم.

مثال 2.معادله را حل کنید.

راه حل.از آنجایی که و سپس از معادله ای که به دست می آید. در این رابطه، ، ، و معادله شکل می گیرد. از اینجا می گیریم. با این حال ، بنابراین معادله اصلی ریشه ندارد.

پاسخ: بدون ریشه.

مثال 3.معادله را حل کنید.

راه حل.از آن به بعد. اگر پس از آن و معادله شکل می گیرد.

از اینجا می گیریم.

مثال 4.معادله را حل کنید.

راه حل.اجازه دهید معادله را به شکل معادل بازنویسی کنیم. (2)

معادله به دست آمده متعلق به معادلات از نوع است.

با در نظر گرفتن قضیه 2، می توان استدلال کرد که معادله (2) معادل نابرابری است. از اینجا می گیریم.

پاسخ: .

مثال 5.معادله را حل کنید.

راه حل. این معادله شکل دارد. از همین رو ، طبق قضیه 3, در اینجا ما نابرابری داریمیا .

مثال 6.معادله را حل کنید.

راه حل.بیایید این را فرض کنیم. زیرا ، سپس معادله داده شده به شکل یک معادله درجه دوم در می آید, (3)

جایی که . از آنجایی که معادله (3) یک ریشه مثبت داردو سپس . از اینجا دو ریشه معادله اصلی را بدست می آوریم:و .

مثال 7. معادله را حل کنید. (4)

راه حل. از آنجایی که معادلهمعادل ترکیب دو معادله است:و، پس هنگام حل معادله (4) لازم است دو حالت در نظر گرفته شود.

1. اگر، پس یا .

از اینجا می گیریم و .

2. اگر، پس یا .

از آن به بعد.

پاسخ: ، ، ، .

مثال 8.معادله را حل کنید . (5)

راه حل.از آن زمان و پس از آن . از اینجا و از معادله (5) نتیجه می شود که و، i.e. در اینجا ما یک سیستم معادلات داریم

با این حال، این سیستم معادلات ناسازگار است.

پاسخ: بدون ریشه.

مثال 9. معادله را حل کنید. (6)

راه حل.اگر نشان دهیم، پس و از رابطه (6) بدست می آوریم

یا . (7)

از آنجایی که معادله (7) دارای شکل است، این معادله معادل نامساوی است. از اینجا می گیریم. از آن پس یا .

پاسخ: .

مثال 10.معادله را حل کنید. (8)

راه حل.طبق قضیه 1 می توانیم بنویسیم

(9)

با در نظر گرفتن رابطه (8)، نتیجه می گیریم که هر دو نابرابری (9) به برابری تبدیل می شوند، یعنی. یک سیستم معادلات وجود دارد

با این حال، طبق قضیه 3، سیستم معادلات فوق معادل سیستم نابرابری ها است.

(10)

با حل سیستم نابرابری ها (10) بدست می آوریم. از آنجایی که سیستم نامساوی (10) معادل معادله (8) است، معادله اصلی دارای یک ریشه است.

پاسخ: .

مثال 11. معادله را حل کنید. (11)

راه حل.اجازه دهید و، سپس برابری از رابطه (11) به دست می آید.

به دنبال آن است که و . بنابراین، در اینجا ما یک سیستم نابرابری داریم

راه حل این سیستم نابرابری استو .

پاسخ: ، .

مثال 12.معادله را حل کنید. (12)

راه حل. معادله (12) با روش بسط متوالی ماژول ها حل خواهد شد. برای این کار چند مورد را در نظر می گیریم.

1. اگر، پس.

1.1. اگر , پس و , .

1.2. اگر پس از آن. با این حال ، بنابراین در این حالت معادله (12) ریشه ندارد.

2. اگر، پس.

2.1. اگر , پس و , .

2.2. اگر پس و .

پاسخ: ، ، ، ، .

مثال 13.معادله را حل کنید. (13)

راه حل.از آنجایی که سمت چپ معادله (13) غیر منفی است، پس . در این رابطه و معادله (13)

شکل یا .

معلوم است که معادله معادل ترکیب دو معادله استو، حل می کنیم که به دست می آوریم، . زیرا ، سپس معادله (13) یک ریشه دارد.

پاسخ: .

مثال 14. حل سیستم معادلات (14)

راه حل.از زمان و پس از آن و . در نتیجه، از سیستم معادلات (14) چهار سیستم معادله به دست می‌آید:

ریشه نظام های معادلات فوق ریشه نظام معادلات است (14).

پاسخ: ،، ، ، ، ، ، .

مثال 15. حل سیستم معادلات (15)

راه حل.از آن به بعد. در این راستا از سیستم معادلات (15) دو نظام معادله بدست می آوریم

ریشه های سیستم معادلات اول و و از سیستم معادلات دوم به دست می آید و .

پاسخ: ، ، ، .

مثال 16. حل سیستم معادلات (16)

راه حل.از معادله اول سیستم (16) چنین بر می آید که .

از آن به بعد . اجازه دهید معادله دوم سیستم را در نظر بگیریم. از آنجا که، این و معادله شکل می گیرد، ، یا .

اگر مقدار را جایگزین کنیدبه معادله اول سیستم (16)، سپس یا .

پاسخ: ، .

برای مطالعه عمیق تر روش های حل مسئله, مربوط به حل معادلات, حاوی متغیرهایی در زیر علامت مدول است, شما می توانید آموزش هایی را از لیست ادبیات توصیه شده توصیه کنید.

1. مجموعه مسائل در ریاضیات برای متقاضیان کالج / ویرایش. M.I. اسکانوی. - م.: صلح و آموزش، 2013. – 608 ص.

2. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: وظایف با پیچیدگی افزایش یافته - M.: CD "Librocom" / URSS، 2017. – 200 ص.

3. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: روش های غیر استاندارد برای حل مسائل. - M.: CD "Librocom" / URSS، 2017. – 296 ص.

هنوز سوالی دارید؟

برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی -.

blog.site، هنگام کپی کردن کامل یا جزئی مطالب، پیوند به منبع اصلی الزامی است.