ورودیروشهای انتخاب ریشه معادلات مثلثاتی دایره مثلثاتی. راهنمای نهایی (2019)
برای استفاده از پیش نمایش ارائه، یک حساب کاربری برای خود ایجاد کنید ( حساب کاربری) گوگل و وارد شوید: https://accounts.google.com
شرح اسلاید:
انتخاب ریشه هنگام حل معادلات مثلثاتی
1. محاسبه کنید: b) arccos ج) arcsin 2 د) arccos f) ar c ctg a) arcsin (-1) د) arctg (وجود ندارد). (وجود ندارد)؛
2. معادلات را حل کنید: ب) sin x = ج) cos x = 0; د) tan x = a) cos x = - 1;
1. انتخاب ریشه در یک معادله مثلثاتی با استفاده از دایره اعداد. مثال 1. cos x + cos 2 x – cos 3 x = 1. راه حل. cos x – cos 3 x – (1 – cos 2 x) = 0, 2sin x sin 2 x – 2sin 2 x = 0, 2sin x (sin 2 x – sin x) = 0,
اجازه دهید یک سری از ریشه ها را روی یک دایره مثلثاتی به تصویر بکشیم. 0 x y می بینیم که سری اول () شامل ریشه های سری دوم () و سری سوم () شامل اعداد شکل از ریشه های سری اول (). 0
مثال 2. tg x + tg 2 x – tg 3 x = 0. راه حل.
tg x · tg 2 x · tg 3 x = 0; اجازه دهید ODZ و یک سری ریشه را روی دایره عددی به تصویر بکشیم. 0 x y 0 از سری دوم ریشه () اعداد فرم ODZ را برآورده نمی کند، بلکه اعداد فرم را برآورده می کند. در سری سوم گنجانده شده اند () سری اول () نیز در سری سوم ریشه () گنجانده شده است، بنابراین پاسخ را می توان در یک فرمول نوشت.
مثال 3. راه حل. گاهی پیش می آید که قسمتی از یک سریال در جواب قرار می گیرد، اما بخشی نیست. بیایید تمام اعداد سری را روی دایره اعداد رسم کنیم و ریشه هایی را حذف کنیم که جواب های باقی مانده از سری ریشه ها را می توان در شرایط فرمول 0 x y 0 ترکیب کرد.
2. انتخاب ریشه در یک معادله مثلثاتی از نظر جبریمثال 1. راه حل. از آنجایی که بالاترین ارزشتابع y = cos t برابر با 1 است، سپس معادله معادله، تقاطع سری است، یعنی باید معادله را حل کنیم.
مثال 2. راه حل. راه حل معادله تقاطع سری است، یعنی باید معادله را حل کنیم که یک عدد صحیح است. سپس اجازه دهید بنابراین،
3. انتخاب ریشه در یک معادله مثلثاتی با شرایط معین مثال 1. ریشه های معادله را پیدا کنید sin 2 x = cos x | cos x |، ارضای شرط x. cos x (2sin x - | cos x |)=0; راه حل. sin 2 x = cos x | cos x |; 2sin x · cos x - cos x | cos x |=0;
0 y x 0 y x cos x ≥ 0 cos x
مثال 2. تمام جواب های معادله متعلق به بخش Solution را بیابید. ODZ: cos 3x ≥ 0; بیایید ODZ را روی دایره مثلثاتی علامت گذاری کنیم: 0 y x این پاره فقط شامل یک بازه از ODZ است، یعنی معادله را حل کنید و ریشه های متعلق به این بازه را انتخاب کنید: 1 + sin 2 x = 2cos 2 3 x ; sin 2x = cos 6x; sin 2 x - cos 6 x =0;
اجازه دهید ریشه هایی را انتخاب کنیم که شرایط مشکل را برآورده کند. از سری اول: بنابراین n = 2، یعنی از سری دوم: بنابراین n = 5، یعنی
مثال 3. تمام ریشه های معادله را که شرط حل را برآورده می کنند، بیابید. 10sin 2 x = – cos 2 x + 3; 10sin 2 x = 2sin 2 x – 1 + 3, 8sin 2 x = 2; 0 y x با استفاده از دایره عددی به دست می آوریم:
اجازه دهید ریشه هایی را انتخاب کنیم که شرایط مشکل را برآورده کند. از سری اول: بنابراین n = 0 یا n = 1، یعنی از سری دوم: بنابراین n = 0 یا n = 1، یعنی
حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید به ما اطلاع دهید.
جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی
اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.
در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.
در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.
چه اطلاعات شخصی را جمع آوری می کنیم:
- هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم ایمیلو غیره
نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:
- اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
- هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
- ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
- اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.
افشای اطلاعات به اشخاص ثالث
ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.
استثنائات:
- در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
- در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.
حفاظت از اطلاعات شخصی
ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.
احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت
برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.
هدف درس:
- فرمول های حل ساده ترین معادلات مثلثاتی را تکرار کنید.
- هنگام حل معادلات مثلثاتی سه روش اصلی انتخاب ریشه را در نظر بگیرید:
انتخاب بر اساس نابرابری، انتخاب بر اساس مخرج و انتخاب بر اساس فاصله.
تجهیزات:تجهیزات چند رسانه ای
نظر روشی.
- توجه دانش آموزان را به اهمیت موضوع درس جلب کنید.
- معادلات مثلثاتی که نیاز به انتخاب ریشه دارند اغلب در موضوعی یافت می شوند تست های آزمون یکپارچه دولتی;
حل چنین مشکلاتی به دانش آموزان اجازه می دهد تا دانش کسب شده قبلی خود را تثبیت و تعمیق بخشند.
پیشرفت درس
تکرار. یادآوری فرمول های حل ساده ترین معادلات مثلثاتی (صفحه نمایش) مفید است.
| ارزش ها | معادله | فرمول های حل معادلات |
| sinx=a | ||
| sinx=a | در معادله هیچ راه حلی ندارد | |
| a=0 | sinx=0 | |
| a=1 | sinx= 1 |
 |
| a= -1 | sinx= -1 |
 |
| cosx=a | ||
| cosx=a | معادله هیچ راه حلی ندارد | |
| a=0 | cosx=0 |
 |
| a=1 | cosx=1 | |
| a= -1 | cosx= -1 |
 |
| tgx=a | ||
| ctgx=a |
هنگام انتخاب ریشه در معادلات مثلثاتینوشتن جواب معادلات sinx=a، сosx=aدر کل توجیه بیشتری دارد. ما هنگام حل مشکلات از این موضوع مطمئن خواهیم شد.
حل معادلات.
وظیفه. معادله را حل کنید 
راه حل.این معادله معادل سیستم زیر است
دایره ای را در نظر بگیرید. بیایید ریشه های هر سیستم را روی آن علامت گذاری کنیم و با یک قوس آن قسمت از دایره را که در آن نابرابری ( برنج 1)
برنج. 1
ما آن را دریافت می کنیم 
نمی تواند راه حلی برای معادله اصلی باشد.
پاسخ:
در این مسئله ریشه ها را با نابرابری انتخاب کردیم.
در مسئله بعدی انتخاب را با مخرج انجام خواهیم داد. برای این کار، ریشه های صورت را انتخاب می کنیم، اما به گونه ای که ریشه های مخرج نباشند.
وظیفه 2.معادله را حل کنید.
راه حل. بیایید حل معادله را با استفاده از انتقال های معادل متوالی بنویسیم.
هنگام حل معادله و نامساوی سیستم، در جواب قرار می دهیم حروف مختلف، که نشان دهنده اعداد صحیح هستند. با نشان دادن در شکل، ریشه های معادله را با دایره و ریشه های مخرج را با ضربدر روی دایره مشخص می کنیم (شکل 2.)
برنج. 2
از شکل به وضوح مشخص است که 
- حل معادله اصلی
اجازه دهید توجه دانش آموزان را به این واقعیت جلب کنیم که انتخاب ریشه ها با استفاده از یک سیستم با ترسیم نقاط مربوطه روی دایره آسان تر بود.
پاسخ:
وظیفه 3.معادله را حل کنید
3sin2x = 10 cos 2 x – 2/
تمام ریشه های معادله متعلق به بخش را پیدا کنید.
راه حل.در این مشکل، ریشه ها در بازه ای انتخاب می شوند که با شرط مشکل مشخص می شود. انتخاب ریشه ها در یک بازه به دو روش انجام می شود: با جستجو در مقادیر یک متغیر برای اعداد صحیح یا با حل یک نابرابری.
در این معادله با استفاده از روش اول ریشه ها را انتخاب می کنیم و در مسئله بعدی با حل نابرابری.
بیایید از اصلی استفاده کنیم هویت مثلثاتیو فرمول زاویه دوگانه برای سینوس. معادله را می گیریم
6sinxcosx = 10cos 2 x – sin 2 x – cos 2 x,آن ها sin 2 x – 9cos 2 x+ 6sinxcosx = 0
چون در غیر این صورت sinx = 0، که نمی تواند باشد، زیرا هیچ زاویه ای وجود ندارد که هم سینوس و هم کسینوس برای آنها باشد برابر با صفردر ذهن sin 2 x+ cos 2 x = 0.
بیایید هر دو طرف معادله را بر تقسیم کنیم cos 2 x.می گیریم tg 2 x + 6tgx - 9 = 0/
اجازه دهید tgx = t، سپس t 2 + 6t - 9 = 0، t 1 = 2، t 2 = -8.
tgx = 2 یا tg = -8;
بیایید هر سری را جداگانه در نظر بگیریم، نقاطی را در داخل فاصله و یک نقطه در سمت چپ و راست آن پیدا کنیم.
اگر k=0، آن x=arctg2. این ریشه متعلق به بازه مورد بررسی است.
اگر k=1، آن x=arctg2+.این ریشه نیز متعلق به فاصله مورد نظر است.
اگر k=2، آن 
. معلوم است که این ریشه متعلق به فاصله ما نیست.
ما یک نقطه در سمت راست این فاصله در نظر گرفتیم، بنابراین k=3،4،…در نظر گرفته نمی شوند.
اگر k = -1،دریافت می کنیم - به بازه تعلق ندارد.
ارزش ها k = –2، –3،…در نظر گرفته نمی شوند.
بنابراین، از این سری دو ریشه به بازه تعلق دارند
مشابه مورد قبلی، مطمئن می شویم که چه زمانی n = 0و n = 2،و بنابراین، چه زمانی p = –1، –2،…p = 3.4،…ما ریشه هایی خواهیم گرفت که به بازه تعلق ندارند. فقط وقتی n=1به دست می آوریم، متعلق به این فاصله است.
پاسخ:
وظیفه 4.معادله را حل کنید 6sin 2 x+2sin 2 2x=5و ریشه های متعلق به فاصله را نشان دهید.
راه حل.بیایید معادله را ارائه دهیم 6sin 2 x+2sin 2 2x=5به معادله درجه دومنسبتا cos2x.
کجا cos2x 
در اینجا روش انتخاب را با استفاده از نابرابری مضاعف در بازه اعمال می کنیم
چون بهفقط مقادیر صحیح را می گیرد، فقط ممکن است k=2، k=3.
در k=2دریافت می کنیم، با k=3دریافت خواهیم کرد.
پاسخ: 
تفسیر روش شناختی.توصیه می شود معلم این چهار مشکل را در تخته سیاه با مشارکت دانش آموزان حل کند. برای حل مشکل بعدی بهتر است یک دانش آموز قوی را نزد دختر خود صدا کنید و به او حداکثر استقلال در استدلال بدهید.
وظیفه 5.معادله را حل کنید
راه حل.با تبدیل صورت، معادله را به شکل ساده تری کاهش می دهیم
معادله حاصل معادل ترکیب دو سیستم است:
انتخاب ریشه در فاصله (0; 5) بیایید این کار را به دو صورت انجام دهیم. روش اول برای سیستم اول جمع است، روش دوم برای سیستم دوم کل.
, 0
چون بهیک عدد صحیح است، پس k=1. سپس x =- حل معادله اصلی
سیستم دوم کل را در نظر بگیرید
اگر n=0، آن 
. در n = -1; -2;…هیچ راه حلی وجود نخواهد داشت
اگر n=1، 
– حل سیستم و در نتیجه معادله اصلی.
اگر n=2، آن
هیچ تصمیمی وجود نخواهد داشت.
به درخواست شما!
13. معادله 3-4cos 2 x=0 را حل کنید. مجموع ریشه های آن متعلق به بازه را بیابید.
بیایید درجه کسینوس را با استفاده از فرمول کاهش دهیم: 1+cos2α=2cos 2 α. یک معادله معادل بدست می آوریم:
3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. هر دو طرف تساوی را بر (2-) تقسیم می کنیم و ساده ترین معادله مثلثاتی را بدست می آوریم:
14. اگر b 4 = 25 و b 6 = 16 b 5 از تصاعد هندسی را بیابید.
هر جمله از پیشرفت هندسی، که از دومی شروع می شود، برابر است با میانگین حسابی عبارت های همسایه خود:
(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1 . (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25·16 ⇒ b 5 =±5·4 ⇒ b 5 =±20 داریم.
15. مشتق تابع را پیدا کنید: f(x)=tgx-ctgx.
16. بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع y(x)=x 2 -12x+27 را بیابید.
در بخش
برای پیدا کردن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع y=f(x) در بخش، باید مقادیر این تابع را در انتهای قطعه و در آن نقاط بحرانی که متعلق به این بخش است پیدا کنید و سپس از بین تمام مقادیر به دست آمده بزرگترین و کوچکترین را انتخاب کنید.
بیایید مقادیر تابع را در x=3 و x=7 پیدا کنیم، یعنی. در انتهای بخش
y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;
y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.
مشتق این تابع را بیابید: y’(x)=(x 2 -12x+27)’ =2x-12=2(x-6); نقطه بحرانی x=6 متعلق به این بازه است. بیایید مقدار تابع را در x=6 پیدا کنیم.
y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. حال از بین سه مقدار بدست آمده انتخاب می کنیم: 0; -8 و -9 بزرگترین و کوچکترین: در بزرگترین. =0; به نام =-9.
17. شکل کلی ضد مشتق ها را برای تابع پیدا کنید:
این بازه دامنه تعریف این تابع است. پاسخ ها باید با F(x) شروع شوند و نه با f(x) - بالاخره ما به دنبال یک ضد مشتق هستیم. طبق تعریف، تابع F(x) پاد مشتق تابع f(x) است اگر تساوی برقرار باشد: F’(x)=f(x). بنابراین تا زمانی که تابع داده شده را بدست آورید، به سادگی می توانید مشتقات پاسخ های پیشنهادی را پیدا کنید. یک راه حل دقیق، محاسبه انتگرال یک تابع معین است. ما فرمول ها را اعمال می کنیم:
19. معادله ای برای خط حاوی BD میانه مثلث ABC بنویسید اگر رئوس آن A(-6; 2)، B(6; 6) C(2; -6) باشد.
برای جمع آوری معادله یک خط، باید مختصات 2 نقطه از این خط را بدانید، اما ما فقط مختصات نقطه B را می دانیم. از آنجایی که میانه BD طرف مقابل را به نصف تقسیم می کند، نقطه D نقطه وسط پاره است. AC مختصات وسط یک پاره، نصف مجموع مختصات متناظر انتهای پاره است. مختصات نقطه D را پیدا می کنیم.
20. محاسبه کنید:
24. مساحت یک مثلث منظم که در قاعده منشور راست قرار دارد برابر است با
این مشکل برعکس مسئله شماره 24 از گزینه 0021 است.
25. الگو را پیدا کنید و عدد گم شده را وارد کنید: 1; 4; 9; 16; ...
معلومه که این عدد 25 ، از آنجایی که دنباله ای از مربع های اعداد طبیعی به ما داده می شود:
1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …
برای همه موفق و پیروز باشید