ورودنحوه تعیین تابع فرد توابع زوج و فرد. دوره عملکرد. افراطی عملکرد
یک تابع زوج (فرد) اگر برای هر و برابری نامیده می شود 
.
نمودار یک تابع زوج نسبت به محور متقارن است 
.
نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است.
مثال 6.2.زوج یا فرد بودن یک تابع را بررسی کنید
1)
;
2)
;
3)
.
راه حل.
1) تابع زمانی تعریف می شود 
. پیدا خواهیم کرد 
.
آن ها 
. به معنای، این تابعیکنواخت است
2) تابع زمانی تعریف می شود 
آن ها 
. بنابراین، این تابع فرد است.
3) تابع برای تعریف شده است، یعنی. برای
,
. بنابراین تابع نه زوج است و نه فرد. بیایید آن را تابعی از فرم کلی بنامیم.
3. مطالعه تابع برای یکنواختی.
تابع 
افزایش (کاهش) در یک بازه معین اگر هر یک در این بازه باشد نامیده می شود ارزش بالاترآرگومان مربوط به مقدار بزرگتر (کوچکتر) تابع است.
به توابع افزایش (کاهش) در یک بازه زمانی معین، یکنواخت می گویند.
اگر تابع 
قابل تفکیک در بازه 
و مشتق مثبت (منفی) دارد 
، سپس تابع 
در این فاصله افزایش (کاهش) می یابد.
مثال 6.3. فواصل یکنواختی توابع را بیابید
1)
;
3)
.
راه حل.
1) این تابع در کل خط اعداد تعریف شده است. بیایید مشتق را پیدا کنیم.
مشتق برابر با صفر است اگر 
و 
. دامنه تعریف، محور اعداد است که بر نقطه تقسیم می شود 
,
در فواصل زمانی اجازه دهید علامت مشتق را در هر بازه تعیین کنیم.
در فاصله زمانی 
مشتق منفی است، تابع در این بازه کاهش می یابد.
در فاصله زمانی 
مشتق مثبت است، بنابراین، تابع در این بازه افزایش می یابد.
2) این تابع اگر تعریف می شود 
یا
.
علامت سه جمله درجه دوم را در هر بازه تعیین می کنیم.
بنابراین، دامنه تعریف تابع
بیایید مشتق را پیدا کنیم 
,
، اگر 
، یعنی 
، ولی 
. اجازه دهید علامت مشتق را در فواصل مشخص کنیم 
.
در فاصله زمانی 
مشتق منفی است، بنابراین، تابع در بازه کاهش می یابد 
. در فاصله زمانی 
مشتق مثبت است، تابع در طول بازه افزایش می یابد 
.
4. مطالعه تابع در امتداد.
نقطه 
حداکثر (حداقل) نقطه تابع نامیده می شود 
، اگر چنین همسایگی نقطه وجود دارد 
این برای همه است 
از این محله نابرابری وجود دارد 
.
نقاط ماکزیمم و مینیمم یک تابع را نقاط انتهایی می نامند.
اگر تابع 
در نقطه 
یک اکستروم دارد، پس مشتق تابع در این نقطه برابر با صفر است یا وجود ندارد (شرط لازم برای وجود اکستروم).
نقاطی که مشتق در آنها صفر است یا وجود ندارد بحرانی نامیده می شوند.
5. شرایط کافی برای وجود افراط.
قانون 1. اگر در حین انتقال (از چپ به راست) از نقطه بحرانی 
مشتق 
علامت "+" را به "-" و سپس در نقطه تغییر می دهد 
تابع 
دارای حداکثر؛ اگر از "-" به "+"، سپس حداقل. اگر 
علامت تغییر نمی کند، پس افراطی وجود ندارد.
قانون 2. اجازه دهید در نقطه 
اولین مشتق از یک تابع 
برابر با صفر 
و مشتق دوم وجود دارد و با صفر متفاوت است. اگر 
، آن 
- حداکثر امتیاز، اگر 
، آن 
- حداقل نقطه تابع
مثال 6.4 . توابع حداکثر و حداقل را کاوش کنید:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
راه حل.
1) تابع در بازه تعریف شده و پیوسته است 
.
بیایید مشتق را پیدا کنیم 
و معادله را حل کنید 
، یعنی 
.از اینجا 
- نقاط بحرانی.
اجازه دهید علامت مشتق را در فواصل مشخص کنیم، 
.
هنگام عبور از نقاط 
و 
مشتق علامت "-" را به "+" تغییر می دهد، بنابراین، طبق قانون 1 
- حداقل امتیاز
هنگام عبور از یک نقطه 
مشتق علامت "+" را به "-" تغییر می دهد، بنابراین 
- حداکثر امتیاز
,
.
2) تابع در بازه تعریف شده و پیوسته است 
. بیایید مشتق را پیدا کنیم 
.
با حل معادله 
، پیدا خواهیم کرد 
و 
- نقاط بحرانی. اگر مخرج 
، یعنی 
، پس مشتق وجود ندارد. بنابراین، 
- سومین نقطه بحرانی اجازه دهید علامت مشتق را در فواصل مشخص کنیم.
بنابراین، تابع در نقطه حداقل دارد 
، حداکثر در امتیاز 
و 
.
3) یک تابع تعریف شده و پیوسته است اگر 
، یعنی در 
.
بیایید مشتق را پیدا کنیم 
.
بیایید نکات مهم را پیدا کنیم: 
همسایگی نقاط 
به حوزه تعریف تعلق ندارند، بنابراین افراطی نیستند. بنابراین، اجازه دهید نکات مهم را بررسی کنیم 
و 
.
4) تابع در بازه تعریف شده و پیوسته است 
. بیایید از قانون 2 استفاده کنیم. مشتق را پیدا کنید 
.
بیایید نکات مهم را پیدا کنیم:
بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم 
و علامت آن را در نقاط مشخص کنید 
در نقاط 
تابع دارای حداقل است.
در نقاط 
تابع دارای حداکثر است.
زوج، اگر برای همه \(x\) از دامنه تعریف آن موارد زیر درست باشد: \(f(-x)=f(x)\) .
نمودار یک تابع زوج متقارن با محور \(y\) است:
مثال: تابع \(f(x)=x^2+\cos x\) زوج است، زیرا \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) تابع \(f(x)\) فراخوانی می شود فرد، اگر برای همه \(x\) از دامنه تعریف آن موارد زیر درست باشد: \(f(-x)=-f(x)\) .
نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است:
مثال: تابع \(f(x)=x^3+x\) فرد است زیرا \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) توابعی که نه زوج هستند و نه فرد، توابع نامیده می شوند. نمای کلی. چنین تابعی را همیشه می توان به صورت یکتا به صورت مجموع یک تابع زوج و فرد نشان داد.
برای مثال، تابع \(f(x)=x^2-x\) مجموع تابع زوج \(f_1=x^2\) و فرد \(f_2=-x\) است.
\(\مثلث سیاه\) برخی از خواص:
1) حاصل ضرب و ضریب دو تابع همسان - حتی عملکرد.
2) حاصل ضرب و ضریب دو تابع از برابری های مختلف - تابع فرد.
3) مجموع و تفاضل توابع زوج - تابع زوج.
4) مجموع و تفاضل توابع فرد - تابع فرد.
5) اگر \(f(x)\) یک تابع زوج باشد، معادله \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\)) ریشه یکتا دارد اگر و فقط زمانی که \( x =0\).
6) اگر \(f(x)\) یک تابع زوج یا فرد باشد و معادله \(f(x)=0\) ریشه \(x=b\) داشته باشد، این معادله لزوما یک ثانیه خواهد داشت. ریشه \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) تابع \(f(x)\) در \(X\) دوره ای نامیده می شود اگر برای برخی از عدد \(T\ne 0\) موارد زیر برقرار باشد: \(f(x)=f( x+T) \) ، جایی که \(x، x+T\در X\). کوچکترین \(T\) که این برابری برای آن برآورده می شود دوره اصلی (اصلی) تابع نامیده می شود.
یک تابع تناوبی هر عددی به شکل \(nT\) دارد، که در آن \(n\in \mathbb(Z)\) نیز نقطه خواهد بود.
مثال: هر تابع مثلثاتیدوره ای است؛
برای توابع \(f(x)=\sin x\) و \(f(x)=\cos x\) دوره اصلی برابر است با \(2\pi\)، برای توابع \(f(x )=\mathrm(tg)\,x\) و \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) دوره اصلی برابر با \(\pi\) است.
برای ساختن نمودار یک تابع تناوبی، می توانید نمودار آن را بر روی هر قطعه ای از طول \(T\) (دوره اصلی) رسم کنید. سپس نمودار کل تابع با جابجایی قسمت ساخته شده با تعداد صحیح نقطه به راست و چپ تکمیل می شود:
\(\blacktriangleright\) دامنه \(D(f)\) تابع \(f(x)\) مجموعه‌ای از تمام مقادیر آرگومان \(x\) است که تابع برای آن معنا دارد. (تعریف شده است).
مثال: تابع \(f(x)=\sqrt x+1\) یک دامنه تعریف دارد: \(x\in
وظیفه 1 #6364
سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی
معادله در چه مقادیری از پارامتر \(a\) انجام می شود
یک راه حل واحد دارد؟
توجه داشته باشید که از آنجایی که \(x^2\) و \(\cos x\) توابع زوج هستند، اگر معادله ریشه \(x_0\) داشته باشد، ریشه \(-x_0\) نیز خواهد داشت.
در واقع، اجازه دهید \(x_0\) یک ریشه باشد، یعنی برابری \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\)درست. بیایید \(-x_0\) را جایگزین کنیم: \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
بنابراین، اگر \(x_0\ne 0\) باشد، معادله از قبل حداقل دو ریشه خواهد داشت. بنابراین، \(x_0=0\) . سپس:
ما دو مقدار برای پارامتر \(a\) دریافت کردیم. توجه داشته باشید که ما از این واقعیت استفاده کردیم که \(x=0\) دقیقاً ریشه معادله اصلی است. اما ما هرگز از این واقعیت استفاده نکردیم که او تنها است. بنابراین، باید مقادیر حاصل از پارامتر \(a\) را در معادله اصلی جایگزین کنید و بررسی کنید که ریشه \(x=0\) در کدام \(a\) خاص واقعاً منحصر به فرد خواهد بود.
1) اگر \(a=0\) باشد، معادله به شکل \(2x^2=0\) خواهد بود. بدیهی است که این معادله فقط یک ریشه \(x=0\) دارد. بنابراین، مقدار \(a=0\) برای ما مناسب است.
2) اگر \(a=-\mathrm(tg)\,1\) باشد، معادله شکل خواهد گرفت \ بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم \ زیرا \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\)، آن \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). در نتیجه، مقادیر سمت راست معادله (*) متعلق به بخش است \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
از آنجایی که \(x^2\geqslant 0\) است، پس سمت چپ معادله (*) بزرگتر یا مساوی \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) است.
بنابراین، تساوی (*) تنها زمانی می تواند صادق باشد که هر دو طرف معادله برابر با \(\mathrm(tg)^2\,1\) باشد. و این به این معنی است \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftright arrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftright arrow\quad x=0\]بنابراین، مقدار \(a=-\mathrm(tg)\,1\) برای ما مناسب است.
پاسخ:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
وظیفه 2 #3923
سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی
تمام مقادیر پارامتر \(a\) را پیدا کنید که برای هر کدام نمودار تابع است \
متقارن در مورد مبدا
اگر نمودار یک تابع نسبت به مبدا متقارن باشد، چنین تابعی فرد است، یعنی \(f(-x)=-f(x)\) برای هر \(x\) از دامنه برقرار است. تعریف تابع بنابراین، لازم است آن مقادیر پارامتر را پیدا کنید که برای آنها \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(تراز شده) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(تراز شده)\]
آخرین معادله باید برای همه \(x\) از دامنه \(f(x)\ برآورده شود، بنابراین، \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
پاسخ:
\(\dfrac n2، n\in\mathbb(Z)\)
وظیفه 3 #3069
سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی
تمام مقادیر پارامتر \(a\) را بیابید که برای هر کدام معادله \ 4 راه حل دارد که \(f\) یک تابع تناوبی زوج با دوره \(T=\dfrac(16)3\) است. در کل خط اعداد و \(f(x)=ax^2\) برای \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(تکلیف از مشترکین)
از آنجایی که \(f(x)\) یک تابع زوج است، نمودار آن متقارن با محور ارتجاعی است، بنابراین، وقتی \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . بنابراین، زمانی که \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\)، و این قطعه ای از طول \(\dfrac(16)3\) ، تابع \(f(x)=ax^2\) است.
1) اجازه دهید \(a>0\) . سپس نمودار تابع \(f(x)\) به شکل زیر خواهد بود: 
سپس برای اینکه معادله 4 جواب داشته باشد، لازم است نمودار \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) از نقطه \(A\) عبور کند: 
از این رو، \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftright arrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\پایان(تراز شده)\پایان(جمع آوری شده)\راست. \quad\فلش راست چپ\چهار \چپ[\شروع(جمع شده)\شروع(تراز شده) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(تراز شده) \end( جمع شد)\درست.\]از آنجایی که \(a>0\) ، پس \(a=\dfrac(18)(23)\) مناسب است.
2) اجازه دهید \(a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
لازم است که نمودار \(g(x)\) از نقطه \(B\) عبور کند: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(تراز شده) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(تراز شده) \end(جمع آوری شده)\راست.\]از وقتی که<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) موردی که \(a=0\) مناسب نیست، زیرا \(f(x)=0\) برای همه \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) و معادله فقط 1 ریشه خواهد داشت.
پاسخ:
\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)
وظیفه 4 #3072
سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی
تمام مقادیر \(a\) را پیدا کنید که برای هر یک از آنها معادله است \
حداقل یک ریشه دارد.
(تکلیف از مشترکین)
بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم \
و دو تابع را در نظر بگیرید: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) و \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
تابع \(g(x)\) زوج است و دارای حداقل نقطه \(x=0\) (و \(g(0)=49\)) است.
تابع \(f(x)\) برای \(x>0\) در حال کاهش است و برای \(x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
در واقع، وقتی \(x>0\) ماژول دوم مثبت باز می شود (\(|x|=x\))، بنابراین، صرف نظر از نحوه باز شدن ماژول اول، \(f(x)\) برابر خواهد بود. به \( kx+A\)، که در آن \(A\) عبارت \(a\) است و \(k\) برابر با \(-9\) یا \(-3\) است. وقتی \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
بیایید مقدار \(f\) را در حداکثر نقطه پیدا کنیم: \ 
برای اینکه معادله حداقل یک جواب داشته باشد، لازم است که نمودارهای توابع \(f\) و \(g\) حداقل یک نقطه تقاطع داشته باشند. بنابراین، شما نیاز دارید: \ \\]
پاسخ:
\(a\in \(-7\)\فنجان\)
وظیفه 5 #3912
سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی
تمام مقادیر پارامتر \(a\) را پیدا کنید که برای هر یک از آنها معادله است \
دارای شش راه حل مختلف
بیایید جایگزین \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) را ایجاد کنیم. سپس معادله شکل خواهد گرفت \
ما به تدریج شرایطی را می نویسیم که در آن معادله اصلی شش راه حل خواهد داشت.
توجه داشته باشید که معادله درجه دوم \((*)\) می تواند حداکثر دو جواب داشته باشد. هر معادله مکعبی \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) نمی تواند بیش از سه راه حل داشته باشد. بنابراین، اگر معادله \((*)\) دو راه حل مختلف داشته باشد (مثبت!، از آنجایی که \(t\) باید بزرگتر از صفر باشد) \(t_1\) و \(t_2\)، با انجام جایگزینی معکوس ، دریافت می کنیم: \[\سمت چپ[\begin(جمع شد)\begin(تراز شده) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(تراز شده)\end(جمع آوری)\راست.\]از آنجایی که هر عدد مثبت را می توان تا حدی به صورت \(\sqrt2\) نشان داد، برای مثال، \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\)، سپس اولین معادله مجموعه در فرم بازنویسی می شود \
همانطور که قبلاً گفتیم، هر معادله مکعبی بیش از سه راه حل ندارد، بنابراین هر معادله در مجموعه بیش از سه راه حل نخواهد داشت. این بدان معنی است که کل مجموعه بیش از شش راه حل نخواهد داشت.
این بدان معناست که برای اینکه معادله اصلی شش راه حل داشته باشد، معادله درجه دوم \((*)\) باید دو جواب متفاوت داشته باشد و هر معادله مکعبی حاصل (از مجموعه) باید سه جواب متفاوت داشته باشد (و نه یک جواب واحد). یک معادله باید با هر معادله منطبق باشد - با تصمیم دوم!)
بدیهی است که اگر معادله درجه دوم \((*)\) یک راه حل داشته باشد، برای معادله اصلی شش جواب نخواهیم داشت.
بنابراین، طرح راه حل روشن می شود. شرایطی را که باید رعایت شود را نقطه به نقطه بنویسیم.
1) برای اینکه معادله \((*)\) دو جواب متفاوت داشته باشد، ممیز آن باید مثبت باشد: \
2) همچنین لازم است که هر دو ریشه مثبت باشند (از آنجا که \(t>0\) ). اگر حاصل ضرب دو ریشه مثبت و مجموع آنها مثبت باشد، خود ریشه ها مثبت خواهند بود. بنابراین، شما نیاز دارید: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
بنابراین، ما قبلاً دو ریشه مثبت مختلف \(t_1\) و \(t_2\) را برای خود فراهم کرده ایم.
3)
بیایید به این معادله نگاه کنیم \
برای چه \(t\) سه راه حل مختلف خواهد داشت؟ بنابراین، ما تعیین کردیم که هر دو ریشه معادله \((*)\) باید در بازه \((1;4)\) قرار گیرند. چگونه این شرط را بنویسیم؟ دارای چهار ریشه مختلف، متفاوت از صفر، که همراه با \(x=0\)، یک پیشرفت حسابی را نشان می‌دهد. توجه داشته باشید که تابع \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) زوج است، به این معنی که اگر \(x_0\) ریشه معادله \( (*)\ ) ، سپس \(-x_0\) نیز ریشه آن خواهد بود. سپس لازم است که ریشه های این معادله اعدادی باشد که به ترتیب صعودی مرتب شده اند: \(-2d, -d, d, 2d\) (سپس \(d>0\)). پس از آن است که این پنج عدد یک تصاعد حسابی (با اختلاف \(d\)) تشکیل می دهند. برای اینکه این ریشه ها اعداد \(-2d، -d، d، 2d\) باشند، لازم است که اعداد \(d^(\,2)، 4d^(\,2)\) ریشه های باشند. معادله \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . سپس طبق قضیه ویتا: بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم \
و دو تابع را در نظر بگیرید: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) و \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . برای اینکه معادله حداقل یک جواب داشته باشد، لازم است که نمودارهای توابع \(f\) و \(g\) حداقل یک نقطه تقاطع داشته باشند. بنابراین، شما نیاز دارید: \
با حل این مجموعه از سیستم ها، به جواب می رسیم: \\]
پاسخ: \(a\in \(-2\)\فنجان\) وابستگی متغیر y به متغیر x که در آن هر مقدار x با یک مقدار y مطابقت دارد تابع نامیده می شود. برای تعیین از علامت y=f(x) استفاده کنید. هر تابع دارای تعدادی ویژگی اساسی مانند یکنواختی، برابری، تناوب و غیره است. نگاهی دقیق تر به ویژگی برابری بیندازید. یک تابع y=f(x) فراخوانی می شود حتی اگر دو شرط زیر را برآورده کند: 2. مقدار تابع در نقطه x، متعلق به دامنه تعریف تابع، باید برابر با مقدار تابع در نقطه -x باشد. یعنی برای هر نقطه x باید برابری زیر از دامنه تعریف تابع برآورده شود: f(x) = f(-x). اگر نموداری از یک تابع زوج را رسم کنید، نسبت به محور Oy متقارن خواهد بود. برای مثال تابع y=x^2 زوج است. بگذار چک کنیم. دامنه تعریف کل محور عددی است، به این معنی که نسبت به نقطه O متقارن است. بیایید x=3 دلخواه را در نظر بگیریم. f(x)=3^2=9. f(-x)=(-3)^2=9. بنابراین f(x) = f(-x). بنابراین، هر دو شرط برآورده می شوند، به این معنی که تابع یکنواخت است. در زیر نمودار تابع y=x^2 آمده است. شکل نشان می دهد که نمودار نسبت به محور Oy متقارن است. تابع y=f(x) اگر دو شرط زیر را داشته باشد فرد نامیده می شود: 1. دامنه تعریف یک تابع معین باید نسبت به نقطه O متقارن باشد. یعنی اگر نقطه a متعلق به دامنه تعریف تابع باشد، نقطه مربوطه -a نیز باید به دامنه تعریف تعلق داشته باشد. از تابع داده شده 2. برای هر نقطه x، برابری زیر باید از دامنه تعریف تابع برآورده شود: f(x) = -f(x). نمودار یک تابع فرد با توجه به نقطه O - مبدأ مختصات متقارن است. برای مثال، تابع y=x^3 فرد است. بگذار چک کنیم. دامنه تعریف کل محور عددی است، به این معنی که نسبت به نقطه O متقارن است. بیایید x=2 دلخواه را در نظر بگیریم. f(x)=2^3=8. f(-x)=(-2)^3=-8. بنابراین f(x) = -f(x). بنابراین، هر دو شرط برآورده می شوند، به این معنی که تابع فرد است. در زیر نمودار تابع y=x^3 آمده است. شکل به وضوح نشان می دهد که تابع فرد y=x^3 نسبت به مبدا متقارن است. برای این کار از کاغذ گراف یا ماشین حساب گراف استفاده کنید. هر تعداد از مقادیر متغیر مستقل را انتخاب کنید x (\displaystyle x)و آنها را به تابع وصل کنید تا مقادیر متغیر وابسته را محاسبه کنید y (\displaystyle y). مختصات یافت شده نقاط را در صفحه مختصات رسم کنید و سپس این نقاط را به هم متصل کنید تا نموداری از تابع بسازید. بررسی کنید که آیا نمودار تابع نسبت به محور Y متقارن است یا خیر.تقارن به معنای تصویر آینه ای از نمودار نسبت به محور ارتین است. اگر بخشی از نمودار در سمت راست محور Y (مقادیر مثبت متغیر مستقل) با قسمت نمودار سمت چپ محور Y (مقادیر منفی متغیر مستقل) یکسان باشد. ) نمودار نسبت به محور Y متقارن است.اگر تابع نسبت به محور y متقارن باشد، تابع زوج است. بررسی کنید که آیا نمودار تابع نسبت به مبدا متقارن است یا خیر.مبدا نقطه با مختصات (0,0) است. تقارن در مورد مبدا به این معنی است که یک مقدار مثبت است y (\displaystyle y)(با ارزش مثبت x (\displaystyle x)) مربوط به یک مقدار منفی است y (\displaystyle y)(با مقدار منفی x (\displaystyle x))، و بالعکس. توابع فرد دارای تقارن با مبدا هستند. بررسی کنید که آیا نمودار تابع دارای تقارن است یا خیر.آخرین نوع تابع تابعی است که نمودار آن تقارن ندارد، یعنی هم نسبت به محور ارتین و هم نسبت به مبدا تصویر آینه ای وجود ندارد. به عنوان مثال، با توجه به تابع . که تا حدودی برای شما آشنا بودند. همچنین در آنجا ذکر شد که موجودی ویژگی های تابع به تدریج دوباره پر می شود. دو ویژگی جدید در این بخش مورد بحث قرار خواهد گرفت. تعریف 1. تابع y = f(x)، x є X، فراخوانی می شود حتی اگر برای هر مقدار x از مجموعه X برابری f (-x) = f (x) برقرار باشد. تعریف 2. تابع y = f(x)، x є X، فرد نامیده می شود اگر برای هر مقدار x از مجموعه X برابری f (-x) = -f (x) برقرار باشد. ثابت کنید که y = x 4 یک تابع زوج است. راه حل. داریم: f(x) = x 4، f(-x) = (-x) 4. اما (-x) 4 = x 4. این بدان معناست که برای هر x برابری f(-x) = f(x) برقرار است، یعنی. عملکرد یکنواخت است به طور مشابه، می توان ثابت کرد که توابع y - x 2، y = x 6، y - x 8 زوج هستند. ثابت کنید که y = x 3 ~ یک تابع فرد است. راه حل. داریم: f(x) = x 3، f(-x) = (-x) 3. اما (-x) 3 = -x 3. این بدان معنی است که برای هر x برابری f (-x) = -f (x) برقرار است، یعنی. تابع فرد است به همین ترتیب، می توان ثابت کرد که توابع y = x، y = x 5، y = x 7 فرد هستند. من و شما قبلاً بیش از یک بار متقاعد شده ایم که اصطلاحات جدید در ریاضیات اغلب منشأ "زمینی" دارند، یعنی. می توان آنها را به نوعی توضیح داد. این مورد در هر دو توابع زوج و فرد صادق است. ببینید: y - x 3، y = x 5، y = x 7 توابع فرد هستند، در حالی که y = x 2، y = x 4، y = x 6 توابع زوج هستند. و به طور کلی، برای هر تابعی از شکل y = x" (در زیر به طور خاص این توابع را مطالعه خواهیم کرد)، که در آن n یک عدد طبیعی است، می‌توان نتیجه گرفت: اگر n یک عدد فرد باشد، تابع y = x" است. فرد؛ اگر n یک عدد زوج باشد، تابع y = xn زوج است. همچنین توابعی وجود دارند که نه زوج هستند و نه فرد. به عنوان مثال، تابع y = 2x + 3 است. در واقع، f(1) = 5، و f (-1) = 1. همانطور که می بینید، در اینجا، بنابراین، نه هویت f(-x) = f (x)، و نه هویت f(-x) = -f(x). بنابراین، یک تابع می تواند زوج، فرد یا هیچکدام باشد. مطالعه زوج یا فرد بودن یک تابع معین معمولاً مطالعه برابری نامیده می شود. تعاریف 1 و 2 به مقادیر تابع در نقاط x و -x اشاره دارد. این فرض را بر این می گذارد که تابع در هر دو نقطه x و نقطه -x تعریف شده است. این بدان معنی است که نقطه -x به دامنه تعریف تابع به طور همزمان با نقطه x تعلق دارد. اگر یک مجموعه عددی X، همراه با هر یک از عناصر آن x، حاوی عنصر مقابل -x نیز باشد، X یک مجموعه متقارن نامیده می شود. فرض کنید، (-2، 2)، [-5، 5]، (-oo، +oo) مجموعه های متقارن هستند، در حالی که )
تابع \(f(x)=x^3-3x^2+4\) را در نظر بگیرید.
می توان فاکتورسازی کرد: \
بنابراین، صفرهای آن عبارتند از: \(x=-1;2\) .
اگر مشتق \(f"(x)=3x^2-6x\) را پیدا کنیم، آنگاه دو نقطه افراطی \(x_(max)=0، x_(min)=2\) بدست می آوریم.
بنابراین، نمودار به شکل زیر است: 
می بینیم که هر خط افقی \(y=k\) ، جایی که \(0
بنابراین، شما نیاز دارید: \[\شروع (موارد) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
بیایید بلافاصله توجه داشته باشیم که اگر اعداد \(t_1\) و \(t_2\) متفاوت باشند، اعداد \(\log_(\sqrt2)t_1\) و \(\log_(\sqrt2)t_2\) خواهند بود. متفاوت است که به معنای معادلات است \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)و \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)ریشه های متفاوتی خواهد داشت.
سیستم \((**)\) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: \[\شروع (موارد) 1
ما ریشه ها را به صراحت نمی نویسیم.
تابع \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) را در نظر بگیرید. نمودار آن سهمی با شاخه های رو به بالا است که دارای دو نقطه تقاطع با محور x است (این شرط را در بند 1 یادداشت کردیم). نمودار آن چگونه باید باشد تا نقاط تقاطع با محور x در بازه \((1;4)\) باشد؟ بنابراین: 
اولاً مقادیر \(g(1)\) و \(g(4)\) تابع در نقاط \(1\) و \(4\) باید مثبت باشد و ثانیاً راس سهمی \(t_0\ ) نیز باید در بازه \((1;4)\) باشد. بنابراین، می توانیم سیستم را بنویسیم: \[\begin(موارد) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
تابع \(g(x)\) دارای حداکثر نقطه \(x=0\) است (و \(g_(\text(بالا))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). مشتق صفر: \(x=0\) . وقتی \(x<0\)
имеем: \(g">0\) ، برای \(x>0\) : \(g"<0\)
.
تابع \(f(x)\) برای \(x>0\) در حال افزایش است و برای \(x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
در واقع، وقتی \(x>0\) ماژول اول مثبت باز می شود (\(|x|=x\))، بنابراین، صرف نظر از نحوه باز شدن ماژول دوم، \(f(x)\) برابر خواهد بود. به \( kx+A\) ، که \(A\) عبارت \(a\) است و \(k\) برابر است با \(13-10=3\) یا \(13+10 =23\). وقتی \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
بیایید مقدار \(f\) را در حداقل نقطه پیدا کنیم: \
نمودار یک تابع زوج
نمودار یک تابع فرد
