زاویه بین مماس ها برابر است. مماس بر دایره. محاسبه زوایا

مماس بر دایره. دوستان عزیز! پایه وظایف امتحان دولتی واحد در ریاضیات شامل گروهی از مسائل است که در آن شرط با یک مماس سروکار دارد و سؤال محاسبه زاویه را مطرح می کند. این وظایف بسیار ساده هستند. کمی تئوری:

مماس بر دایره چیست؟

مهم است که یک ویژگی اساسی یک مماس را به خاطر بسپارید:

در مسائل ارائه شده از دو ویژگی دیگر مربوط به زاویه ها استفاده شده است:

1. مجموع زوایای یک چهارضلعی 360 0 است، جزئیات بیشتر.

2. مقدار گوشه های تیزمثلث قائم الزاویه 90 0 است.

بیایید وظایف را در نظر بگیریم:

27879. از طریق انتها آو بکمان های دایره ای با مماس 62 0 رسم می شوند A.C.و قبل از میلاد مسیح.. زاویه را پیدا کنید ACB. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

گفته می شود که اندازه گیری درجه قوس AB برابر با 62 درجه است، یعنی زاویه AOB برابر با 62 است. 0 .

راه اول

معلوم است که مجموع زوایای یک چهارضلعی 360 0 است.

راه دوم

در مثلث ABC می توانیم زوایای ABC و BAC را پیدا کنیم. از خاصیت مماس استفاده کنیم.

از آنجایی که BC یک مماس است، زاویه OBC برابر با 90 0 است که به این معنی است:

به همین ترتیب

که در مثلث متساوی الساقین AOB:

به معنای

طبق قضیه مجموع زوایای مثلث:

جواب: 118 0

27880. مماس C.A.و C.B.یک زاویه به دایره تشکیل دهید ACB، برابر با 122 0. قدر قوس فرعی را بیابید AB، منقبض شده توسط نقاط مماس. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

وظیفه برعکس کار قبلی است. پیدا کردن زاویه AOB ضروری است.

از آنجایی که BC و AC مماس هستند، پس با خاصیت مماس:

معلوم است که مجموع زوایای یک چهارضلعی 360 است 0 .

در OASV چهار ضلعی ما سه زاویه را می شناسیم، می توانیم زاویه چهارم را پیدا کنیم:

جواب: 58

27882. زاویه ACOبرابر با 28 0 است که در آن O- مرکز دایره طرف او C.A.دایره را لمس می کند. قدر قوس فرعی را بیابید ABدایره موجود در این زاویه پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

مقدار درجه قوس مطابق با زاویه AOS است. یعنی مشکل به یافتن زاویه AOC در مثلث قائم الزاویه OCA برمی گردد. مثلث مستطیلی است زیرا AC مماس است و زاویه بین مماس و شعاع رسم شده به نقطه مماس 90 درجه است.

با توجه به خاصیت مثلث قائم الزاویه، مجموع زوایای تند آن برابر با 90 0 است، یعنی:

جواب: 62

27883. زاویه را پیدا کنید ACO، اگر طرف او C.A.دایره را لمس می کند O- مرکز دایره و قوس اصلی آگهیدایره موجود در این زاویه برابر با 116 0 است. پاسخ خود را بر حسب درجه بدهید.

گفته می شود که قوس آگهیدایره محصور در داخل زاویه ASO برابر با 116 0 است، یعنی زاویه DOA برابر با 116 0 است. مثلث OCA مستطیلی است.

زوایای AOC و DOA مجاور هستند، یعنی مجموع آنها برابر با 180 0 است، به این معنی:

زاویه مورد نیاز:

جواب: 26

\[(\Large(\text(زوایای مرکزی و محاطی)))\]

تعاریف

زاویه مرکزی زاویه ای است که راس آن در مرکز دایره قرار دارد.

زاویه محاطی زاویه ای است که راس آن روی دایره قرار دارد.

اندازه‌گیری درجه یک کمان دایره، اندازه‌گیری درجه زاویه مرکزی است که آن را تحت تأثیر قرار می‌دهد.

قضیه

اندازه درجه یک زاویه محاطی برابر با نصف درجه اندازه گیری کمانی است که روی آن قرار دارد.

اثبات

ما اثبات را در دو مرحله انجام می دهیم: اول، اعتبار گزاره را برای حالتی که یکی از اضلاع زاویه محاطی دارای قطر باشد، اثبات می کنیم. بگذارید نقطه \(B\) راس زاویه محاطی \(ABC\) و \(BC\) قطر دایره باشد:

مثلث \(AOB\) متساوی الساقین است، \(AO = OB\) ، \(\زاویه AOC\) خارجی است، سپس \(\ زاویه AOC = \ زاویه OAB + \ زاویه ABO = 2\ زاویه ABC\)، جایی که \(\زاویه ABC = 0.5\cdot\angle AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

اکنون یک زاویه محاطی دلخواه \(ABC\) را در نظر بگیرید. اجازه دهید قطر دایره \(BD\) را از راس زاویه محاطی بکشیم. دو مورد احتمالی وجود دارد:

1) قطر زاویه را به دو زاویه برش می دهد \(\زاویه ABD، \زاویه CBD\) (برای هر یک از آنها قضیه همانطور که در بالا ثابت شد صادق است، بنابراین برای زاویه اصلی که مجموع اینها است نیز صادق است. دو و در نتیجه برابر با نیمی از مجموع کمان هایی است که روی آن قرار دارد، یعنی برابر با نصف کمانی که روی آن قرار دارد). برنج. 1.

2) قطر زاویه را به دو زاویه برش نداد، سپس دو زاویه محاطی دیگر داریم \(\زاویه ABD، \زاویه CBD\) که ضلع آنها حاوی قطر است، بنابراین قضیه برای آنها صادق است، سپس برای زاویه اصلی نیز صادق است (که برابر است با اختلاف این دو زاویه، یعنی برابر است با نصف اختلاف کمان هایی که روی آنها قرار گرفته اند، یعنی برابر با نصف کمانی که روی آن قرار گرفته است) . برنج. 2.

عواقب

1. زوایای محاطی که زیر یک قوس قرار دارند با هم برابرند.

2. یک زاویه محاطی که توسط یک نیم دایره فرو رفته، یک زاویه قائمه است.

3. یک زاویه محاطی برابر با نیمی از زاویه مرکزی است که توسط همان قوس فرو رفته است.

\[(\Large(\text(مماس دایره)))\]

تعاریف

سه نوع وجود دارد موقعیت نسبیخط مستقیم و دایره:

1) خط مستقیم \(a\) دایره را در دو نقطه قطع می کند. به چنین خطی، خط بریده می گویند. در این حالت، فاصله \(d\) از مرکز دایره تا خط مستقیم کمتر از شعاع \(R\) دایره است (شکل 3).

2) خط مستقیم \(b\) دایره را در یک نقطه قطع می کند. چنین خطی را مماس و نقطه مشترک آنها \(B\) را نقطه مماس می نامند. در این مورد \(d=R\) (شکل 4).

قضیه

1. مماس بر دایره عمود بر شعاع کشیده شده به نقطه مماس است.

2. اگر خطی از انتهای شعاع دایره ای بگذرد و بر این شعاع عمود باشد، بر دایره مماس است.

نتیجه

پاره های مماس ترسیم شده از یک نقطه به یک دایره با هم برابرند.

اثبات

اجازه دهید دو مماس \(KA\) و \(KB\) به دایره از نقطه \(K\) بکشیم:

این بدان معنی است که \(OA\perp KA, OB\perp KB\) مانند شعاع هستند. مثلث های قائم الزاویه\(\مثلث KAO\) و \(\مثلث KBO\) در ساق و هیپوتنوز برابر هستند، بنابراین \(KA=KB\) .

نتیجه

مرکز دایره \(O\) روی نیمساز زاویه \(AKB\) قرار دارد که توسط دو مماس ترسیم شده از یک نقطه \(K\) تشکیل شده است.

\[(\Large(\text(قضیه های مربوط به زوایا)))\]

قضیه زاویه بین دو بخش

زاویه بین دو مقطع رسم شده از یک نقطه برابر است با نصف اختلاف در اندازه گیری کمان های بزرگتر و کوچکتر که آنها برش داده اند.

اثبات

فرض کنید \(M\) نقطه ای باشد که دو بخش از آن ترسیم می شود همانطور که در شکل نشان داده شده است:

بیایید آن را نشان دهیم \(\ زاویه DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\ زاویه DAB\) زاویه خارجی مثلث \(MAD\) است \(\ زاویه DAB = \ زاویه DMB + \ زاویه MDA\)، جایی که \(\ Angle DMB = \ Angle DAB - \ Angle MDA\)، اما زوایای \(\زاویه DAB\) و \(\زاویه MDA\) محاط می شوند، سپس \(\ زاویه DMB = \ زاویه DAB - \ زاویه MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\)، چیزی بود که باید ثابت می شد.

قضیه زاویه بین وترهای متقاطع

زاویه بین دو وتر متقاطع برابر است با نصف مجموع درجه های کمان هایی که بریده اند: \[\ زاویه CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

اثبات

\(\ زاویه BMA = \ زاویه CMD\) به صورت عمودی.

از مثلث \(AMD\) : \(\ زاویه AMD = 180^\circ - \ زاویه BDA - \ زاویه CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

ولی \(\ زاویه AMD = 180^\circ - \ زاویه CMD\)، که از آن نتیجه می گیریم که \[\ زاویه CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ لبخند\روی (سی دی)).\]

قضیه زاویه بین وتر و مماس

زاویه بین مماس و وتر که از نقطه مماس می گذرد برابر با نصف درجه اندازه کمانی است که توسط وتر فروکش می کند.

اثبات

اجازه دهید خط مستقیم \(a\) دایره را در نقطه \(A\) لمس کند، \(AB\) وتر این دایره است، \(O\) مرکز آن است. اجازه دهید خط حاوی \(OB\) \(a\) را در نقطه \(M\) قطع کند. این را ثابت کنیم \(\ زاویه BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

بیایید \(\ زاویه OAB = \alpha\) را نشان دهیم. از آنجایی که \(OA\) و \(OB\) شعاع هستند، پس \(OA = OB\) و \(\ زاویه OBA = \ زاویه OAB = \آلفا\). بدین ترتیب، \(\buildrel\smile\over(AB) = \ زاویه AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

از آنجایی که \(OA\) شعاع کشیده شده به نقطه مماس است، پس \(OA\perp a\)، یعنی \(\ زاویه OAM = 90^\circ\)، بنابراین، \(\ زاویه BAM = 90^\circ - \ زاویه OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

قضیه روی کمان هایی که توسط آکوردهای مساوی منتهی می شوند

آکوردهای مساوی کمانهای مساوی کوچکتر از نیم دایره را متمایل می کنند.

و بالعکس: کمان های مساوی توسط آکوردهای مساوی فرعی می شوند.

اثبات

1) اجازه دهید \(AB=CD\) . اجازه دهید ثابت کنیم که نیم دایره های کوچکتر کمان .

بنابراین، در سه طرف، \(\ زاویه AOB =\ زاویه COD\) . اما چون \(\ زاویه AOB، \زاویه COD\) - زوایای مرکزی، بر روی کمان ها قرار گرفته است \(\buildrel\smile\over(AB)، \buildrel\smile\over(CD)\)بر این اساس، پس \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) اگر \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\)، آن \(\مثلث AOB=\مثلث COD\)در دو طرف \(AO=BO=CO=DO\) و زاویه بین آنها \(\زاویه AOB=\زاویه COD\) . بنابراین، و \(AB=CD\) .

قضیه

اگر شعاع وتر را نصف کند، بر آن عمود است.

عکس آن نیز صادق است: اگر شعاع عمود بر وتر باشد، در نقطه تقاطع آن را به دو نیم می کند.

اثبات

1) اجازه دهید \(AN=NB\) . اجازه دهید ثابت کنیم که \(OQ\perp AB\) .

\(\مثلث AOB\) را در نظر بگیرید: متساوی الساقین است، زیرا \(OA=OB\) - شعاع دایره. زیرا \(ON\) میانه ای است که به پایه کشیده شده است، سپس ارتفاع نیز است، بنابراین \(ON\perp AB\) .

2) اجازه دهید \(OQ\perp AB\) . اجازه دهید ثابت کنیم که \(AN=NB\) .

به طور مشابه، \(\مثلث AOB\) متساوی الساقین است، \(ON\) ارتفاع است، بنابراین، \(ON\) میانه است. بنابراین، \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(قضیه های مربوط به طول پاره ها)))\]

قضیه حاصل ضرب قطعات وتر

اگر دو وتر یک دایره همدیگر را قطع کنند، حاصل ضرب قطعات یک وتر برابر است با حاصلضرب قطعات وتر دیگر.

اثبات

بگذارید آکوردهای \(AB\) و \(CD\) در نقطه \(E\) همدیگر را قطع کنند.

مثلث های \(ADE\) و \(CBE\) را در نظر بگیرید. در این مثلث‌ها، زوایای \(1\) و \(2\) با هم برابر هستند، زیرا بر روی یک کمان محاط شده‌اند و بر روی یک کمان قرار دارند و زوایای \(3\) و \(4\) برابر هستند. به صورت عمودی مثلث های \(ADE\) و \(CBE\) شبیه هم هستند (بر اساس اولین معیار تشابه مثلث ها).

سپس \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\)، که از آن \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

قضیه مماس و قطعی

مربع یک قطعه مماس برابر است با حاصلضرب یک سکنت و قسمت بیرونی آن.

اثبات

اجازه دهید مماس از نقطه \(M\) عبور کند و دایره را در نقطه \(A\) لمس کنید. اجازه دهید سکنت از نقطه \(M\) عبور کند و دایره را در نقاط \(B\) و \(C\) قطع کند تا \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

مثلث های \(MBA\) و \(MCA\) را در نظر بگیرید: \(\زاویه M\) مشترک است، \(\ زاویه BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). با توجه به قضیه زاویه بین مماس و سکانت، \(\ زاویه BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \ زاویه BCA\). بنابراین، مثلث های \(MBA\) و \(MCA\) در دو زاویه مشابه هستند.

از شباهت مثلث های \(MBA\) و \(MCA\) داریم: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\)، که معادل \(MB\cdot MC = MA^2\) است.

نتیجه

حاصلضرب یک سکانس که از نقطه \(O\) توسط قسمت خارجی آن کشیده شده است به انتخاب سکانس کشیده شده از نقطه \(O\) بستگی ندارد.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم پست الکترونیکو غیره.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.