Perpendularité des plans dans l'espace de présentation. Perpendiculaire des lignes et des plans dans l'espace, présentation pour un cours de géométrie (10e année) sur le sujet. Lignes perpendiculaires sur un plan

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Légendes des diapositives :

Perpendiculaire des lignes et des plans

Lignes perpendiculaires dans l'espace Deux lignes sont dites perpendiculaires si l'angle entre elles est de 90 o a b c a  b c  b α

Lemme Si l’une des deux droites parallèles est perpendiculaire à la troisième droite, alors l’autre droite est également perpendiculaire à cette droite. A C a α M b c Étant donné : a || b, a  c Prouver : b  c Preuve :

Une droite est dite perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à toute droite située dans ce plan α a a  α

Théorème 1 Si l'une des deux droites parallèles est perpendiculaire à un plan, alors l'autre droite est également perpendiculaire à ce plan. α x Étant donné : a || un 1 ; a  α Prouver : a 1  α Preuve : a a 1

Théorème 2 α Démontrer : a || b Preuve : a Si deux droites sont perpendiculaires à un plan, alors elles sont parallèles. β b 1 Soit : a  α ; b  α bMs

Signe de perpendiculaire d'une droite et d'un plan Si une droite est perpendiculaire à deux droites sécantes situées dans un plan, alors elle est perpendiculaire à ce plan. α q Prouver : a  α Preuve : a p m O Étant donné : a  p ; une  q p  α ; q  α p ∩ q = O

α q l m O a p B P Q Preuve : L a) cas particulier A

α q a p m O Preuve : a) cas général a 1

Théorème 4 Par tout point de l'espace passe une droite perpendiculaire à un plan donné, et de plus une seule. α a β М b с Prouver : 1) ∃ с, с  α, М  с ; 2) avec – ! Preuve : Étant donné : α ; M  α

Problème trouvé : MD A B D M Solution : Étant donné :  ABC ; MB  BC; MB  BA; MB = BD = a Prouver : M B  BD C a a

Problème 128 Démontrer : O M  (ABC) Soit : ABCD est un parallélogramme ; AC ∩ BD = O ; M  (ABC); MA = MS, MB = MD A B D C O M Preuve :

Problème 12 2 Trouver : AD ; BD ; AK ; B.K. A B D C O K Solution : Soit :  ABC – r/s ; О – centre  ABC CD  (ABC) ; D'accord || CD A B = 16  3, OK = 12 ; CD = 16 12 16

Perpendiculaire et incliné M A B N α MN  α A  α B  α MA et MV – incliné N  α AN et VN – projections de incliné MN – perpendiculaire M  α

Théorème des trois perpendiculaires Une ligne droite tracée dans un plan passant par la base d'un plan incliné perpendiculaire à sa projection sur ce plan est perpendiculaire à celui incliné. A N M α β a Étant donné : a  α, AN  α, AM – oblique, a  NM, M  a Prouver : a  AM Preuve :

Théorème inverse du théorème des trois perpendiculaires Une ligne droite tracée dans un plan passant par la base d'un plan incliné qui lui est perpendiculaire est également perpendiculaire à sa projection. A N M α β a Étant donné : a  α, AN  α, AM – oblique, a  AM, M  a Prouver : a  NM Preuve :

L'angle entre la droite et le plan А Н α β а О φ (а; α) =  АО = φ

Sur le thème : évolutions méthodologiques, présentations et notes

La présentation sur le thème « Perpendicularité d'une droite et d'un plan » correspond au matériel théorique étudié dans cette section de stéréométrie....

Présenté est l'élaboration d'une leçon en 10e année sur la géométrie pour le matériel pédagogique : Géométrie pour les classes 10-11, auteurs L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et autres. Il s'agit d'une leçon sur l'apprentissage de nouveaux matériaux en utilisant...

Perpendiculaire

directement à

espace

Définition.

Deux droites sont dites perpendiculaires si elles se coupent à angle droit.

Lignes perpendiculaires sur un plan

Combien de perpendiculaires peuvent être tracées à une ligne donnée passant par un point A donné ne se trouvant pas sur la ligne ou un point B se trouvant sur la ligne ?

À travers chaque point, vous pouvez dessiner une ligne droite , perpendiculaire à celui-ci.

Définition. Deux droites sont dites perpendiculaires si elles se coupent à angle droit.

Montrer que par n'importe quel point de l'espace, vous pouvez tracer une ligne perpendiculaire à celle donnée.

1. Par voie directe UN et période DANS dessinons un avion 

2. À travers le point DANS dans l'avion  faisons un direct Avec, perpendiculaire à la ligne UN.

Des lignes droites qui

Deux de suite sont appelés perpendiculaires s'ils se coupent à angle droit.

ne se croisent pas et

mentir dans le même avion

sont appelés parallèles

Conclusion. Les lignes perpendiculaire peut se situer dans des plans différents.

Trouver 2 perpendiculaires lignes droites situées dans le même plan et dans des plans différents.

Lemme: Si l’une des deux droites parallèles est perpendiculaire à la troisième, alors l’autre droite est également perpendiculaire à la troisième.

Donné:

Doc :

Document:

1. Par un point arbitraire M ne se trouvant pas sur ces droites, on trace MA ||a et MC || Avec. Parce que a ┴ c, alors AMC = 90˚

3. b|| SUIS.

2. b || un (par condition)

un || AM (par construction)

№ 116(a) (page 38)

Donné:

Doc :

1). CC ┴ B 1 C 1

2). UN B ┴ UNE 1 D 1

Donné:

DABC - tétraerd

Doc :

• Donnez la définition des droites perpendiculaires dans l’espace.

2. Énoncez le lemme prouvé.

Devoirs:

• Théorie (p. 34, enseigner)
• № 116b), 117

Diapositive 2

Lignes perpendiculaires dans l'espace Deux lignes dans l'espace sont dites perpendiculaires ( mutuellement perpendiculaires ) si l'angle entre elles est de 90°. La perpendiculaire des lignes a et b est notée comme suit : ab. Les lignes perpendiculaires peuvent se croiser et être inclinées. Dans la figure 1, les lignes perpendiculaires a et b se coupent et les lignes perpendiculaires a et c sont inclinées. a b c 90° Fig. 1

Diapositive 3

Si l’une des deux droites parallèles est perpendiculaire à la troisième droite, alors l’autre droite est perpendiculaire à cette droite. Démontrons le lemme sur la perpendiculaire de deux droites parallèles à la troisième droite. Lemme : Preuve : Soit a || b et ab. Montrons que b  c. Par un point arbitraire M de l'espace qui ne se trouve pas sur ces lignes, on trace les lignes MA et MC, parallèles aux lignes a et c, respectivement. Puisque a  c, alors AMC = 90°. Par condition b || a,a par construction a|| MA, donc b ||MA. Ainsi, les droites b et c sont respectivement parallèles aux droites MA et MC dont l'angle est de 90°. Cela signifie que l'angle entre les droites b et c est également égal à 90°, soit b  c. Riz. 2 b a C A M c

Diapositive 4

Lignes parallèles perpendiculaires à un plan Une ligne est dite perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à toute ligne située dans ce plan. La perpendiculaire de la droite a et du plan α est notée comme suit : a  α. Si la droite a est perpendiculaire au plan α, alors elle coupe ce plan. En fait, si la droite ane coupait le plan α, alors elle se trouverait dans ce plan ou lui serait parallèle. Mais alors dans le plan α il y aurait des lignes qui ne sont pas perpendiculaires à la ligne a, par exemple des lignes parallèles à celle-ci, ce qui contredit la définition de la perpendiculaire d'une ligne et d'un plan. Cela signifie que la droite a coupe le plan α.

Diapositive 5

La figure 3 montre une droite a, perpendiculaire au plan α. L’environnement qui nous entoure fournit de nombreux exemples illustrant la perpendiculaire d’une droite et d’un plan. Un poteau télégraphique incliné est droit, c'est-à-dire perpendiculaire au plan de la terre. Les colonnes du bâtiment sont également situées par rapport au plan de fondation, les lignes d'intersection des murs par rapport au plan du sol, etc. α a Fig. 3

Diapositive 6

Démontrons deux théorèmes dans lesquels un lien est établi entre le parallélisme des droites et leur perpendiculaire au plan : si l'une des deux droites parallèles est perpendiculaire au plan, alors l'autre droite est perpendiculaire à ce plan. Considérons deux droites parallèles a et b et un plan α tel que aα. Montrons que b  α. Traçons une droite x dans le plan α (Figure 4). Puisque un α, alors un x. Par le lemme de la perpendiculaire de deux droites parallèles à la troisième b  x. Ainsi, la ligne b est perpendiculaire à toute ligne située dans le plan α, c'est-à-dire b  α. Preuve : fig. 4 α a b x

Diapositive 7

Si deux droites sont perpendiculaires à un plan, alors elles sont parallèles. Considérons les droites a et b, perpendiculaires au plan α (Figure 5,a). Montrons qu'un || b. Par un point M de la ligne b, nous traçons une ligne q parallèle à la ligne. D’après le théorème précédent, q  α. Montrons que la droite q coïncide avec la droite b. Cela prouvera qu'un|| b. Supposons que les droites b et q ne coïncident pas. Puis dans le plan β, contenant les droites b et q, deux droites passent par le point M, perpendiculaire à la droite c, le long duquel les plans α et β se coupent (Figure 5, b). Mais c'est impossible, donc un || b. Preuve : fig. 5, a α a q Fig. 5, b α a M c b b

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Sections: Mathématiques

Objectifs de la leçon:

• identifier le niveau de maîtrise d'un ensemble de connaissances et de compétences pour résoudre des problèmes sur ce sujet,
• développer l'imagination spatiale, la pensée logique, l'attention et la mémoire,
• cultiver l’activité et les capacités d’écoute.

Matériel de cours :

• manuel L.S. Atanasyan et al., « Géométrie 10-11 » ;
• cahier d'exercices;
• Ordinateur personnel;
• projecteur multimédia;
• tableau interactif;
• présentation de l'auteur préparée à l'aide de Microsoft Power Point ( Annexe 1 )

Structure de la leçon :

1. Organisation du temps.
2. Actualisation des connaissances des étudiants sur le sujet.
3. Consolider les connaissances précédemment acquises et développer les compétences nécessaires pour appliquer ces connaissances lors de la résolution de problèmes.
4. Résumer la leçon.
5. Devoirs.

PENDANT LES COURS

1. Moment d'organisation de la leçon: salutation, vérification de l'état de préparation pour la leçon.

2. Actualisation des connaissances reçus par les élèves lors de la leçon précédente :

– la notion de lignes perpendiculaires dans l'espace ;
– la perpendiculaire d'une droite et d'un plan ;
– propriétés des droites parallèles perpendiculaires à un plan.

Afin de mettre à jour les connaissances un élève se rend au tableau et écrit la solution du problème n° 119a), le deuxième élève - la preuve du théorème sur les droites parallèles perpendiculaires à un plan.

Pendant qu'ils se préparent, une enquête frontale sur la classe :

– Quelle est la position relative de deux droites dans l’espace ?
– Dans quelles limites mesure-t-on l’angle entre des droites dans l’espace ?
– Quelles lignes dans l’espace sont dites perpendiculaires ?
– Formuler un lemme sur deux droites parallèles perpendiculaires à une troisième.
– Établir la séquence correcte d’actions dans la preuve du lemme.

Après exécution, vérification opérationnelle de l'exactitude.

Professeur: Définir la perpendiculaire d'une ligne et d'un plan.

Professeur:Énoncez le théorème inverse.

Vérifier l'exactitude de la solution du problème du devoir n°119a (en utilisant l'égalité des triangles).

3. Développement de compétences et d'aptitudes à appliquer les connaissances théoriques à la résolution de problèmes

1) Exercices oraux.

№1 La droite AB est perpendiculaire au plan, les points M et K appartiennent à ce plan. Montrer que la droite AB est perpendiculaire à la droite MK.

2) Exercices écrits .

№2 Dans un carré ABCD, t.O est le point d'intersection de ses diagonales. La droite MO est perpendiculaire au plan du carré. Montrer que MA = MB = MC = MD.

№3 Le côté AB du parallélogramme ABCD est perpendiculaire au plan. Trouvez BD si AC = 10 cm.

4. Vérification de l'assimilation des connaissances acquises lors de la réalisation du test

5. Résumer la leçon

Notez le devoir : p.15-16, n°118 n°120