Transformations d'expressions trigonométriques numériques. Leçon "simplification des expressions trigonométriques"

Leçon 1

Matière: 11e année (préparation à l'examen)

Simplification expressions trigonométriques.

Solution des équations trigonométriques les plus simples. (2 heures)

Objectifs:

• Systématiser, généraliser, élargir les connaissances et les compétences des élèves liées à l'utilisation des formules de trigonométrie et à la résolution des équations trigonométriques les plus simples.

Matériel pour le cours :

Structure de la leçon :

1. Orgmoment
2. Tests sur portables. La discussion des résultats.
3. Simplifier les expressions trigonométriques
4. Solution des équations trigonométriques les plus simples
5. Travail indépendant.
6. Résumé de la leçon. Explication des devoirs.

1. Moment d'organisation. (2 minutes.)

L'enseignant salue le public, annonce le sujet de la leçon, rappelle que la tâche a été précédemment donnée de répéter les formules de trigonométrie et prépare les élèves pour les tests.

2. Tests. (15min + 3min de discussion)

Le but est de tester la connaissance des formules trigonométriques et la capacité à les appliquer. Chaque étudiant a un ordinateur portable sur son bureau dans lequel il y a une option de test.

Il peut y avoir un certain nombre d'options, je vais donner un exemple de l'une d'entre elles :

J'option.

Simplifiez les expressions :

un basique identités trigonométriques

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) formules d'addition

3. sin5x - sin3x ;

c) convertir un produit en une somme

6. 2sin8y cos3y ;

d) formules d'angles doubles

7.2sin5x cos5x ;

e) formules de demi-angle

f) formules d'angles triples

g) substitution universelle

h) abaisser le degré

16.cos 2 (3x/7);

Les étudiants sur un ordinateur portable devant chaque formule voient leurs réponses.

Le travail est instantanément vérifié par l'ordinateur. Les résultats sont affichés sur un grand écran pour que tout le monde puisse les voir.

De plus, après la fin du travail, les bonnes réponses sont affichées sur les ordinateurs portables des élèves. Chaque élève voit où l'erreur a été commise et quelles formules il doit répéter.

3. Simplification des expressions trigonométriques. (25 min.)

Le but est de répéter, d'élaborer et de consolider l'application des formules de base de la trigonométrie. Résoudre les problèmes B7 de l'examen.

À ce stade, il est conseillé de diviser la classe en groupes d'élèves forts (travaillez de manière indépendante avec vérification ultérieure) et d'élèves faibles qui travaillent avec l'enseignant.

Devoir pour étudiants forts (préparé à l'avance sur une base imprimée). L'accent est mis sur les formules de réduction et d'angle double, selon l'USE 2011.

Simplifier les expressions (pour les apprenants forts) :

En parallèle, l'enseignant travaille avec des élèves faibles, discutant et résolvant des tâches à l'écran sous la dictée des élèves.

Calculer:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Simplifier:

Ce fut au tour de discuter des résultats des travaux du groupe fort.

Les réponses apparaissent à l'écran, et aussi, à l'aide d'une caméra vidéo, le travail de 5 élèves différents est affiché (une tâche pour chacun).

Le groupe faible voit la condition et la méthode de résolution. Il y a discussion et analyse. En utilisant moyens techniquesça arrive vite.

4. Solution des équations trigonométriques les plus simples. (30 minutes.)

Le but est de répéter, systématiser et généraliser la solution des équations trigonométriques les plus simples, en enregistrant leurs racines. Solution du problème B3.

Toute équation trigonométrique, quelle que soit la manière dont on la résout, conduit à la plus simple.

Lors de la réalisation de la tâche, les élèves doivent faire attention à écrire les racines des équations des cas particuliers et vue générale et sur la sélection des racines dans la dernière équation.

Résoudre des équations :

Écrivez la plus petite racine positive de la réponse.

5. Travail indépendant (10 min.)

L'objectif est de tester les compétences acquises, d'identifier les problèmes, les erreurs et les moyens de les éliminer.

Une variété de travaux est offerte au choix de l'étudiant.

Options pour "3"

1) Trouver la valeur de l'expression

2) Simplifier l'expression 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Résolvez l'équation

Options pour "4"

1) Trouver la valeur de l'expression

2) Résolvez l'équation Écrivez la plus petite racine positive de votre réponse.

Options pour "5"

1) Trouver tgα si

2) Trouver la racine de l'équation Écrivez la plus petite racine positive de votre réponse.

6. Résumé de la leçon (5 min.)

L'enseignant résume ce qui a été répété et consolidé dans la leçon formules trigonométriques, solution des équations trigonométriques les plus simples.

Les devoirs sont assignés (préparés à l'avance sur une base imprimée) avec une vérification ponctuelle lors de la prochaine leçon.

Résoudre des équations :

9)

10) Donnez votre réponse sous la forme de la plus petite racine positive.

Leçon 2

Matière: 11e année (préparation à l'examen)

Méthodes de résolution d'équations trigonométriques. Sélection racine. (2 heures)

Objectifs:

• Généraliser et systématiser les connaissances sur la résolution d'équations trigonométriques de différents types.
• Promouvoir le développement de la pensée mathématique des élèves, la capacité d'observer, de comparer, de généraliser, de classer.
• Encourager les élèves à surmonter les difficultés dans le processus de l'activité mentale, à la maîtrise de soi, à l'introspection de leurs activités.

Matériel pour le cours : KRMu, des ordinateurs portables pour chaque étudiant.

Structure de la leçon :

1. Orgmoment
2. Discussion d/s et samot. le travail de la dernière leçon
3. Répétition de méthodes de résolution d'équations trigonométriques.
4. Résolution d'équations trigonométriques
5. Sélection des racines dans les équations trigonométriques.
6. Travail indépendant.
7. Résumé de la leçon. Devoirs.

1. Moment d'organisation (2 min.)

L'enseignant salue le public, annonce le sujet de la leçon et le plan de travail.

2. a) Analyse devoirs(5 minutes.)

Le but est de vérifier les performances. Un travail à l'aide d'une caméra vidéo est affiché sur l'écran, le reste est collecté de manière sélective pour que l'enseignant puisse le vérifier.

b) Analyse travail indépendant(3 min.)

Le but est de trier les erreurs, d'indiquer les moyens de les surmonter.

Sur l'écran se trouvent les réponses et les solutions, les élèves ont pré-publié leur travail. L'analyse va vite.

3. Répétition de méthodes de résolution d'équations trigonométriques (5 min.)

Le but est de rappeler des méthodes de résolution d'équations trigonométriques.

Demandez aux élèves quelles méthodes de résolution d'équations trigonométriques ils connaissent. Insistez sur le fait qu'il existe des méthodes dites basiques (fréquemment utilisées) :

• substitution de variables,
• factorisation,
• équations homogènes,

et il existe des méthodes appliquées:

• selon les formules de conversion d'une somme en produit et d'un produit en somme,
• formules déclassement,
• substitution trigonométrique universelle
• introduction d'un angle auxiliaire,
• multiplication par quelques fonction trigonométrique.

Il convient également de rappeler qu'une équation peut être résolue de différentes manières.

4. Résolution d'équations trigonométriques (30 min.)

L'objectif est de généraliser et de consolider les connaissances et les compétences sur ce sujet, pour se préparer à résoudre C1 à partir de l'USE.

Je considère qu'il est opportun de résoudre les équations pour chaque méthode avec les élèves.

L'élève dicte la solution, le professeur écrit sur la tablette, tout le processus s'affiche à l'écran. Cela vous permettra de restaurer rapidement et efficacement le matériel précédemment couvert dans votre mémoire.

Résoudre des équations :

1) changement de variable 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) factorisation 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) équations homogènes sin2x + 3cos2x - 2sin2x = 0

4) convertir la somme en produit cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) convertir le produit en la somme 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) abaisser le degré de sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) substitution trigonométrique universelle sinx + 5cosx + 5 = 0.

Lors de la résolution de cette équation, il convient de noter que l'utilisation de cette méthode conduit à un rétrécissement du domaine de définition, puisque le sinus et le cosinus sont remplacés par tg(x/2). Par conséquent, avant d'écrire la réponse, il est nécessaire de vérifier si les nombres de l'ensemble π + 2πn, n Z sont des chevaux de cette équation.

8) introduction d'un angle auxiliaire √3sinx + cosx - √2 = 0

9) multiplication par une fonction trigonométrique cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Sélection des racines des équations trigonométriques (20 min.)

Étant donné que dans les conditions de concurrence féroce lors de l'entrée à l'université, la solution d'une première partie de l'examen ne suffit pas, la plupart des étudiants doivent prêter attention aux tâches de la deuxième partie (C1, C2, C3).

Par conséquent, le but de cette étape de la leçon est de rappeler la matière étudiée précédemment, pour se préparer à résoudre le problème C1 de l'USE en 2011.

Exister équations trigonométriques, dans lequel il est nécessaire de sélectionner les racines lors de l'extraction de la réponse. Cela est dû à certaines restrictions, par exemple : le dénominateur d'une fraction n'est pas zéro, l'expression sous la racine d'un degré pair est positive, l'expression sous le signe du logarithme est positive, etc.

Ces équations sont considérées comme des équations de complexité accrue et en version de l'examen sont dans la deuxième partie, à savoir C1.

Résous l'équation:

La fraction est nulle si alors passant par cercle unitaire nous allons sélectionner les racines (voir Figure 1)

Image 1.

on obtient x = π + 2πn, n Z

Réponse : π + 2πn, n Z

Sur l'écran, la sélection des racines est indiquée sur un cercle dans une image en couleur.

Le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro, et l'arc, en même temps, ne perd pas son sens. Puis

À l'aide du cercle unité, sélectionnez les racines (voir Figure 2)

A votre demande.

6. Simplifiez l'expression :

Comme les cofonctions des angles qui se complètent jusqu'à 90° sont égales à, puis on remplace sin50° au numérateur de la fraction par cos40° et on applique la formule du sinus du double argument au numérateur. Nous obtenons 5sin80° au numérateur. Remplaçons sin80° par cos10°, ce qui nous permettra de réduire la fraction.

Formules appliquées : 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.

7. À progression arithmétique, dont la différence est 12, et le huitième terme est 54, trouver le nombre de termes négatifs.

Plan de solutions. Faisons une formule pour le terme commun de cette progression et découvrons pour quelles valeurs de n termes négatifs seront obtenus. Pour cela, il va falloir trouver le premier terme de la progression.

Nous avons d=12, a 8 =54. Selon la formule a n \u003d a 1 + (n-1) ∙ d nous écrivons:

a 8 =a 1 +7d. Remplacez les données disponibles. 54=a 1 +7∙12;

un 1 \u003d -30. Substituez cette valeur dans la formule a n =a 1 +(n-1)∙d

un n =-30+(n-1)∙12 ou un n =-30+12n-12. Simplifiez: un n \u003d 12n-42.

On cherche le nombre de termes négatifs, il faut donc résoudre l'inégalité :

un<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;

12n<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. Trouvez les plages de la fonction suivante : y=x-|x|.

Développons les supports modulaires. Si x≥0, alors y=x-x ⇒ y=0. Le graphique servira d'axe des abscisses à droite de l'origine. Si x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

9. Trouver l'aire de surface latérale d'un cône circulaire droit si sa génératrice est de 18 cm et l'aire de base est de 36 cm 2.

Un cône de section axiale MAB est donné. Générant BM=18, S principal. =36π. L'aire de la surface latérale du cône est calculée par la formule : côté S. \u003d πRl, où l est la génératrice et vaut 18 cm par condition, R est le rayon de la base, on trouve par la formule : S cr. = πR 2 . Nous avons S cr. = S principal. = 36π. Donc πR 2 =36π ⇒ R=6.

Puis côté S. =π∙6∙18 ⇒ côté S. \u003d 108π cm 2.

12. Nous résolvons l'équation logarithmique. Une fraction est égale à 1 si son numérateur est égal au dénominateur, c'est-à-dire

lg(x 2 +5x+4)=2lgx à lgx≠0. Nous appliquons la propriété du degré du nombre sous le signe du logarithme au côté droit de l'égalité: lg (x 2 +5x+4) \u003d lgx 2, Ces logarithmes décimaux sont égaux, donc les nombres sous les signes des logarithmes sont également égaux, donc :

x 2 +5x+4=x 2 , donc 5x=-4; on obtient x=-0,8. Cependant, cette valeur ne peut pas être prise, car seuls les nombres positifs peuvent être sous le signe du logarithme, donc cette équation n'a pas de solutions. Noter. Il n'est pas nécessaire de trouver l'ODZ au début de la solution (prenez votre temps !), il vaut mieux faire une vérification (comme nous le faisons maintenant) à la fin.

13. Trouvez la valeur de l'expression (x o - y o), où (x o; y o) est la solution du système d'équations :

14. Résous l'équation:

Si vous divisez par 2 et le numérateur et le dénominateur d'une fraction, vous découvrirez la formule de la tangente d'un angle double. Vous obtenez une équation simple : tg4x=1.

15. Trouver la dérivée de la fonction : f(x)=(6x 2 -4x) 5 .

On nous donne une fonction complexe. Nous le définissons en un mot - c'est un degré. Donc, selon la règle de différenciation d'une fonction complexe, on trouve la dérivée du degré et on la multiplie par la dérivée de la base de ce degré selon la formule :

(u n)' = n ∙ tu n-1 ∙ tu'.

f'(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x)' = 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)=5(6x2-4x)4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x 2 -4x) 4 .

16. Il faut trouver f ‘(1) si la fonction

17. Dans un triangle équilatéral, la somme de toutes les bissectrices est de 33√3 cm. Trouvez l'aire du triangle.

La bissectrice d'un triangle équilatéral est à la fois la médiane et la hauteur. Ainsi, la longueur de hauteur BD de ce triangle est

Trouvons le côté AB à partir du rectangle Δ ABD. Puisque sin60° = BD : AB, alors AB = BD : sin60°.

18. Le cercle est inscrit dans un triangle équilatéral dont la hauteur est de 12 cm.Trouvez l'aire du cercle.

Le cercle (O; OD) est inscrit dans l'équilatéral Δ ABC. La hauteur BD est aussi une bissectrice et une médiane, et le centre du cercle, le point O, se trouve sur BD.

O - le point d'intersection des hauteurs, des bissectrices et des médianes divise la médiane BD dans un rapport de 2:1, en partant du haut. Par conséquent, OD=(1/3)BD=12:3=4. Rayon du cercle R=OD=4 cm Aire du cercle S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π cm 2.

19. Les bords latéraux d'une pyramide quadrangulaire régulière mesurent 9 cm et le côté de la base est de 8 cm. Trouvez la hauteur de la pyramide.

La base d'une pyramide quadrangulaire régulière est le carré ABCD, la base de la hauteur MO est le centre du carré.

20. Simplifier:

Au numérateur, le carré de la différence est raccourci.

Nous factorisons le dénominateur en utilisant la méthode de regroupement summand.

21. Calculer:

Afin de pouvoir extraire la racine carrée arithmétique, l'expression de la racine doit être un carré plein. Nous représentons l'expression sous le signe racine comme le carré de la différence de deux expressions selon la formule :

a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2 , en supposant que a 2 +b 2 =10.

22. Résolvez l'inégalité :

Nous représentons le côté gauche de l'inégalité sous la forme d'un produit. La somme des sinus de deux angles est égale au double du produit du sinus de la demi-somme de ces angles par le cosinus de la demi-différence de ces angles:

On a:

Résolvons graphiquement cette inégalité. Nous sélectionnons les points du graphique y=coût qui se situent au-dessus de la droite et déterminons les abscisses de ces points (représentées par un ombrage).

23. Trouvez toutes les primitives de la fonction : h(x)=cos 2 x.

On transforme cette fonction en abaissant son degré à l'aide de la formule :

1+cos2α=2cos2α. On obtient une fonction :

24. Trouver les coordonnées vectorielles

25. Insérez des signes arithmétiques à la place des astérisques afin d'obtenir la bonne égalité: (3 * 3) * (4 * 4) \u003d 31 - 6.

Nous argumentons: le nombre 25 devrait être obtenu (31 - 6 \u003d 25). Comment obtenir ce nombre à partir de deux "triples" et de deux "quatre" en utilisant des signes d'action ?

Bien sûr c'est : 3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 \u003d 9 + 16 \u003d 25. Réponse E).

La leçon vidéo "Simplification des expressions trigonométriques" est conçue pour former les élèves à la résolution de problèmes trigonométriques à l'aide d'identités trigonométriques de base. Au cours de la leçon vidéo, des types d'identités trigonométriques sont considérés, des exemples de résolution de problèmes les utilisant. En utilisant des aides visuelles, il est plus facile pour l'enseignant d'atteindre les objectifs de la leçon. Une présentation vivante du matériel contribue à la mémorisation des points importants. L'utilisation d'effets d'animation et de doublage vous permet de remplacer complètement l'enseignant au stade de l'explication du matériel. Ainsi, en utilisant cette aide visuelle dans les cours de mathématiques, l'enseignant peut augmenter l'efficacité de l'enseignement.

Au début de la leçon vidéo, son sujet est annoncé. Puis les identités trigonométriques étudiées précédemment sont rappelées. L'écran affiche les égalités sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, où t≠π/2+πk pour kϵZ, ctg t=cos t/sin t, vrai pour t≠πk, où kϵZ, tan t · ctg t=1, à t≠πk/2, où kϵZ, appelées identités trigonométriques de base. On note que ces identités sont souvent utilisées pour résoudre des problèmes où il est nécessaire de prouver l'égalité ou de simplifier l'expression.

De plus, des exemples d'application de ces identités dans la résolution de problèmes sont considérés. Dans un premier temps, il est proposé d'envisager la résolution de problèmes de simplification d'expressions. Dans l'exemple 1, il faut simplifier l'expression cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Pour résoudre l'exemple, le facteur commun cos 2 t est d'abord mis entre parenthèses. À la suite d'une telle transformation entre parenthèses, l'expression 1-cos 2 t est obtenue, dont la valeur à partir de l'identité de base de la trigonométrie est égale à sin 2 t. Après la transformation de l'expression, il est évident qu'un autre facteur commun sin 2 t peut être retiré des parenthèses, après quoi l'expression prend la forme sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). De la même identité de base, on déduit la valeur de l'expression entre parenthèses égale à 1. Par simplification, on obtient cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

Dans l'exemple 2, l'expression coût/(1- sint)+ coût/(1+ sint) doit également être simplifiée. Étant donné que le coût de l'expression est dans les numérateurs des deux fractions, il peut être mis entre parenthèses comme facteur commun. Ensuite, les fractions entre parenthèses sont réduites à un dénominateur commun en multipliant (1- sint)(1+ sint). Après réduction des termes similaires, 2 reste au numérateur et 1 - sin 2 t au dénominateur. A droite de l'écran, l'identité trigonométrique de base sin 2 t+cos 2 t=1 est rappelée. En l'utilisant, nous trouvons le dénominateur de la fraction cos 2 t. Après avoir réduit la fraction, nous obtenons une forme simplifiée de l'expression coût / (1- sint) + coût / (1 + sint) \u003d 2 / coût.

Ensuite, nous considérons des exemples de preuves d'identités dans lesquelles les connaissances acquises sur les identités de base de la trigonométrie sont appliquées. Dans l'exemple 3, il faut prouver l'identité (tg 2 t - sin 2 t)·ctg 2 t = sin 2 t. Le côté droit de l'écran affiche trois identités qui seront nécessaires pour la preuve - tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t et tg t=sin t/cos t avec restrictions. Pour prouver l'identité, les parenthèses sont d'abord ouvertes, après quoi un produit est formé qui reflète l'expression de l'identité trigonométrique principale tg t·ctg t=1. Ensuite, selon l'identité de la définition de la cotangente, ctg 2 t est transformé. À la suite de transformations, l'expression 1-cos 2 t est obtenue. En utilisant l'identité de base, nous trouvons la valeur de l'expression. Ainsi, il est prouvé que (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

Dans l'exemple 4, vous devez trouver la valeur de l'expression tg 2 t+ctg 2 t si tg t+ctg t=6. Pour évaluer l'expression, les côtés droit et gauche de l'équation (tg t+ctg t) 2 =6 2 sont d'abord élevés au carré. La formule de multiplication abrégée s'affiche sur le côté droit de l'écran. Après ouverture des parenthèses à gauche de l'expression, on forme la somme tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t, pour la transformation de laquelle on peut appliquer l'une des identités trigonométriques tg t ctg t=1, dont la forme est rappelée sur la partie droite de l'écran. Après la transformation, l'égalité tg 2 t + ctg 2 t = 34 est obtenue. Le côté gauche de l'égalité coïncide avec la condition du problème, donc la réponse est 34. Le problème est résolu.

La leçon vidéo "Simplifier les expressions trigonométriques" est recommandée pour une utilisation dans une leçon de mathématiques scolaire traditionnelle. De plus, le matériel sera utile à un enseignant qui dispense un enseignement à distance. Afin de former une compétence dans la résolution de problèmes trigonométriques.

INTERPRÉTATION DU TEXTE :

"Simplification des expressions trigonométriques".

Égalité

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus au carré te plus cosinus au carré te égale un)

2) cible =, à t ≠ + πk, kϵZ (la tangente de te est égale au rapport du sinus de te au cosinus de te lorsque te n'est pas égal à pi par deux plus pi ka, ka appartient à zet)

3) ctgt = , à t ≠ πk, kϵZ (la cotangente de te est égale au rapport du cosinus de te au sinus de te lorsque te n'est pas égal au pic de ka, qui appartient à z).

4) cible ∙ ctgt = 1 à t ≠ , kϵZ

sont appelées identités trigonométriques de base.

Ils sont souvent utilisés dans la simplification et la preuve d'expressions trigonométriques.

Considérez des exemples d'utilisation de ces formules lors de la simplification d'expressions trigonométriques.

EXEMPLE 1. Simplifiez l'expression : cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (expression un cosinus au carré de te moins le cosinus du quatrième degré de te plus le sinus du quatrième degré de te).

Décision. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(on sort le facteur commun cosinus carré te, entre parenthèses on obtient la différence entre l'unité et le carré du cosinus te, qui est égal au carré du sinus te par la première identité. On obtient la somme du sinus de la quatrième degré te du produit du cosinus carré te et du sinus carré te. Nous sortons le facteur commun sinus carré te en dehors des parenthèses, entre parenthèses nous obtenons la somme des carrés du cosinus et du sinus, qui, selon la trigonométrie de base identité, est égal à 1. Par conséquent, nous obtenons le carré du sinus te).

EXEMPLE 2. Simplifiez l'expression : + .

(expression soit la somme de deux fractions au numérateur du premier cosinus te au dénominateur un moins le sinus te, au numérateur du second cosinus te au dénominateur du second plus le sinus te).

(Nous prenons le facteur commun cosinus te entre parenthèses, et entre parenthèses nous l'amenons à un dénominateur commun, qui est le produit de un moins le sinus te par un plus le sinus te.

Au numérateur, nous obtenons: un plus sinus te plus un moins sinus te, nous donnons des semblables, le numérateur est égal à deux après avoir apporté des semblables.

Au dénominateur, vous pouvez appliquer la formule de multiplication abrégée (différence des carrés) et obtenir la différence entre l'unité et le carré du sinus te, qui, selon l'identité trigonométrique de base

est égal au carré du cosinus te. Après avoir réduit par le cosinus te, nous obtenons la réponse finale : deux divisé par le cosinus te).

Considérons des exemples d'utilisation de ces formules dans la preuve d'expressions trigonométriques.

EXEMPLE 3. Prouver l'identité (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (le produit de la différence entre les carrés de la tangente de te et du sinus de te et le carré de la cotangente de te est égal au carré du sinus de te).

Preuve.

Transformons le côté gauche de l'égalité :

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = péché 2 t

(Ouvrons les parenthèses, d'après la relation obtenue précédemment, on sait que le produit des carrés de la tangente de te par la cotangente de te est égal à un. Rappelons que la cotangente de te est égale au rapport du cosinus de te au sinus de te, ce qui signifie que le carré de la cotangente est le rapport du carré du cosinus de te au carré du sinus de te.

Après réduction par le sinus au carré de te, on obtient la différence entre l'unité et le cosinus du carré de te, qui est égal au sinus du carré de te). Q.E.D.

EXEMPLE 4. Trouver la valeur de l'expression tg 2 t + ctg 2 t si tgt + ctgt = 6.

(la somme des carrés de la tangente de te et de la cotangente de te, si la somme de la tangente et de la cotangente est de six).

Décision. (cible + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ cible ∙ ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Mettons au carré les deux parties de l'égalité d'origine :

(cible + ctgt) 2 = 6 2 (le carré de la somme de la tangente de te et de la cotangente de te est six au carré). Rappelez-vous la formule de multiplication abrégée : Le carré de la somme de deux quantités est égal au carré de la première plus deux fois le produit de la première et de la seconde plus le carré de la seconde. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 On obtient tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Puisque le produit de la tangente de te et de la cotangente de te est égal à un, alors tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (la somme des carrés de la tangente de te et de la cotangente de te et deux est trente-six),