Égalités trigonométriques. Identités trigonométriques de base, leurs formulations et dérivation

Informations de référence sur les fonctions trigonométriques sinus (sin x) et cosinus (cos x). Définition géométrique, propriétés, graphiques, formules. Tableau des sinus et cosinus, dérivées, intégrales, développements en séries, sécantes, cosécantes. Expressions via des variables complexes. Connexion avec les fonctions hyperboliques.

Définition géométrique du sinus et du cosinus

|BD|- longueur de l'arc de cercle dont le centre est en un point UN.
α - angle exprimé en radians.

Définition
Sinus (sin α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur le côté opposé|C.-B.| à la longueur de l'hypoténuse |AC|.

Cosinus (cos α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur jambe adjacente|AB| à la longueur de l'hypoténuse |AC|.

Notations acceptées

;
;
.

;
;
.

Graphique de la fonction sinus, y = sin x

Graphique de la fonction cosinus, y = cos x

Propriétés du sinus et du cosinus

Périodicité

Fonctions y = péché x et y = parce que x périodique avec période 2π.

Parité

La fonction sinusoïdale est étrange. La fonction cosinus est paire.

Domaine de définition et valeurs, extrema, augmentation, diminution

Les fonctions sinus et cosinus sont continues dans leur domaine de définition, c'est-à-dire pour tout x (voir preuve de continuité). Leurs principales propriétés sont présentées dans le tableau (n - entier).

Formules de base

Somme des carrés du sinus et du cosinus

Formules pour le sinus et le cosinus à partir de la somme et de la différence

;
;

Formules pour le produit des sinus et des cosinus

Formules de somme et de différence

Exprimer le sinus par le cosinus

;
;
;
.

Exprimer le cosinus par le sinus

;
;
;
.

Expression par tangente

; .

Quand nous avons:
; .

À :
; .

Tableau des sinus et cosinus, tangentes et cotangentes

Ce tableau montre les valeurs des sinus et des cosinus pour certaines valeurs de l'argument.

Expressions via des variables complexes

;

La formule d'Euler

{ -∞ < x < +∞ }

Sécant, cosécant

Fonctions inverses

Fonctions inverses au sinus et au cosinus sont respectivement l'arc sinus et l'arc cosinus.

Arc sinus, arc sinus

Arccosinus, arccos

Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.

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Données de référence pour la tangente (tg x) et la cotangente (ctg x). Définition géométrique, propriétés, graphiques, formules. Tableau des tangentes et cotangentes, dérivées, intégrales, développements en séries. Expressions via des variables complexes. Connexion avec les fonctions hyperboliques.

Définition géométrique

|BD| - longueur de l'arc de cercle de centre au point A.
α est l'angle exprimé en radians.

Tangente ( bronzage α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche opposée |BC| à la longueur de la jambe adjacente |AB| .

Cotangente ( ctg α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche adjacente |AB| à la longueur de la jambe opposée |BC| .

Tangente

Où n- entier.

Dans la littérature occidentale, la tangente est notée comme suit :
.
;
;
.

Graphique de la fonction tangente, y = tan x

Cotangente

Où n- entier.

Dans la littérature occidentale, la cotangente est notée comme suit :
.
Les notations suivantes sont également acceptées :
;
;
.

Graphique de la fonction cotangente, y = ctg x

Propriétés de la tangente et de la cotangente

Périodicité

Fonctions y = tgx et y = ctg x sont périodiques de période π.

Parité

Les fonctions tangente et cotangente sont impaires.

Zones de définition et de valeurs, croissantes, décroissantes

Les fonctions tangente et cotangente sont continues dans leur domaine de définition (voir preuve de continuité). Les principales propriétés de la tangente et de la cotangente sont présentées dans le tableau ( n- entier).

Formules

Expressions utilisant le sinus et le cosinus

; ;
; ;
;

Formules pour la tangente et la cotangente à partir de la somme et de la différence

Les formules restantes sont faciles à obtenir, par exemple

Produit de tangentes

Formule pour la somme et la différence des tangentes

Ce tableau présente les valeurs des tangentes et des cotangentes pour certaines valeurs de l'argument.

Expressions utilisant des nombres complexes

Expressions via des fonctions hyperboliques

;
;

Dérivés

; .

.
Dérivée du nième ordre par rapport à la variable x de la fonction :
.
Dériver des formules pour la tangente > > > ; pour cotangente > > >

Intégrales

Extensions de série

Pour obtenir le développement de la tangente en puissances de x, il faut prendre plusieurs termes du développement en série de puissance pour les fonctions péché x Et parce que x et divisez ces polynômes les uns par les autres, . Cela produit les formules suivantes.

À .

à .
Où Bn- Les nombres de Bernoulli. Ils sont déterminés soit à partir de la relation de récurrence :
;
;
Où .
Ou selon la formule de Laplace :

Fonctions inverses

Les fonctions inverses de tangente et de cotangente sont respectivement arctangente et arccotangente.

Arctangente, arctg

, Où n- entier.

Arccotangente, arcctg

, Où n- entier.

Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.
G. Korn, Manuel de mathématiques pour les scientifiques et les ingénieurs, 2012.

Identités trigonométriques- ce sont des égalités qui établissent une relation entre sinus, cosinus, tangente et cotangente d'un angle, ce qui permet de retrouver n'importe laquelle de ces fonctions, à condition qu'une autre soit connue.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Cette identité dit que la somme du carré du sinus d'un angle et du carré du cosinus d'un angle est égale à un, ce qui permet en pratique de calculer le sinus d'un angle lorsque son cosinus est connu et vice versa. .

Lors de la conversion d'expressions trigonométriques, cette identité est très souvent utilisée, ce qui permet de remplacer la somme des carrés du cosinus et du sinus d'un angle par un et également d'effectuer l'opération de remplacement dans l'ordre inverse.

Trouver la tangente et la cotangente en utilisant le sinus et le cosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Ces identités sont formées à partir des définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente. Après tout, si vous le regardez, alors par définition l'ordonnée y est un sinus et l'abscisse x est un cosinus. Alors la tangente sera égale au rapport \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), et le rapport \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- sera une cotangente.

Ajoutons que ce n'est que pour les angles \alpha pour lesquels les fonctions trigonométriques qu'ils contiennent ont un sens que les identités seront valables, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Par exemple: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) est valable pour les angles \alpha différents de \frac(\pi)(2)+\piz, UN ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pour un angle \alpha autre que \pi z, z est un nombre entier.

Relation entre tangente et cotangente

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Cette identité n'est valable que pour les angles \alpha différents de \frac(\pi)(2) z. Sinon, ni la cotangente ni la tangente ne seront déterminées.

Sur la base des points ci-dessus, nous obtenons que tg \alpha = \frac(y)(x), UN ctg \alpha=\frac(x)(y). Il s'ensuit que tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Ainsi, la tangente et la cotangente du même angle auquel elles ont un sens sont des nombres mutuellement inverses.

Relations entre tangente et cosinus, cotangente et sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- la somme du carré de la tangente de l'angle \alpha et 1 est égale à l'inverse du carré du cosinus de cet angle. Cette identité est valable pour tous les \alpha autres que \frac(\pi)(2)+ \piz.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- la somme de 1 et du carré de la cotangente de l'angle \alpha est égale à l'inverse du carré du sinus de l'angle donné. Cette identité est valable pour tout \alpha différent de \pi z.

Exemples de solutions à des problèmes utilisant des identités trigonométriques

Exemple 1

Trouver \sin \alpha et tg \alpha si \cos \alpha=-\frac12 Et \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Afficher la solution

Solution

Les fonctions \sin \alpha et \cos \alpha sont liées par la formule \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Substituer dans cette formule \cos \alpha = -\frac12, on a:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Cette équation a 2 solutions :

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Par condition \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Au deuxième trimestre, le sinus est positif, donc \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Afin de trouver tan \alpha, on utilise la formule tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Exemple 2

Trouver \cos \alpha et ctg \alpha si et \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Afficher la solution

Solution

Substitution dans la formule \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 numéro donné \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), on a \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Cette équation a deux solutions \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Par condition \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Au deuxième trimestre, le cosinus est négatif, donc \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Afin de trouver ctg \alpha , on utilise la formule ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Nous connaissons les valeurs correspondantes.

ctg \alpha = -\frac12 : \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).