De deux fractions. Comparer des fractions. Comment comparer des fractions avec différents dénominateurs

De deux fractions avec mêmes dénominateurs celui avec le plus grand numérateur est plus grand et celui avec le plus petit numérateur est plus petit. En fait, le dénominateur indique en combien de parties une valeur entière a été divisée, et le numérateur indique en combien de parties ces parties ont été prises.

Il s'avère que nous avons divisé chaque cercle entier par le même nombre 5 , mais ils ont pris différentes quantités parties : ils en ont pris plus - une fraction plus grande et cela s'est avéré.

De deux fractions ayant les mêmes numérateurs, celle avec le plus petit dénominateur est la plus grande et celle avec le plus grand dénominateur est la plus petite. Eh bien, en fait, si nous divisons un cercle en 8 pièces, et l'autre sur 5 pièces et prenez une partie de chacun des cercles. Quelle partie sera la plus grande ?

Bien sûr, à partir d'un cercle divisé par 5 les pièces! Imaginez maintenant qu'ils ne divisaient pas des cercles, mais des gâteaux. Quelle pièce préférez-vous, ou plutôt quelle part : une cinquième ou une huitième ?

Comparer des fractions avec des numérateurs différents et différents dénominateurs, vous devez réduire les fractions au plus petit dénominateur commun, puis comparer les fractions avec les mêmes dénominateurs.

Exemples. Comparer fractions communes:

Réduisons ces fractions à leur plus petit dénominateur commun. NOZ(4 ; 6)=12. Nous trouvons des facteurs supplémentaires pour chacune des fractions. Pour la 1ère fraction un facteur supplémentaire 3 (12: 4=3 ). Pour la 2ème fraction un facteur supplémentaire 2 (12: 6=2 ). Comparons maintenant les numérateurs des deux fractions résultantes avec les mêmes dénominateurs. Puisque le numérateur de la première fraction est inférieur au numérateur de la deuxième fraction ( 9<10) , alors la première fraction elle-même est inférieure à la deuxième fraction.

Dans cette leçon, nous apprendrons à comparer des fractions entre elles. Il s’agit d’une compétence très utile, nécessaire pour résoudre toute une classe de problèmes plus complexes.

Tout d'abord, permettez-moi de vous rappeler la définition de l'égalité des fractions :

Les fractions a /b et c /d sont dites égales si ad = bc.

1. 5/8 = 15/24, puisque 5 24 = 8 15 = 120 ;
2. 3/2 = 27/18, puisque 3 18 = 2 27 = 54.

Dans tous les autres cas, les fractions sont inégales et l'une des affirmations suivantes est vraie pour elles :

1. La fraction a/b est supérieure à la fraction c/d ;
2. La fraction a /b est inférieure à la fraction c /d.

La fraction a /b est dite supérieure à la fraction c /d si a /b − c /d > 0.

Une fraction x /y est dite plus petite qu’une fraction s /t si x /y − s /t< 0.

Désignation:

Ainsi, comparer des fractions revient à les soustraire. Question : comment ne pas se tromper avec les notations « plus que » (>) et « moins que » (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. La partie évasée du choucas pointe toujours vers le plus grand nombre ;
2. Le nez pointu d'un choucas indique toujours un nombre inférieur.

Souvent, dans les problèmes où vous devez comparer des nombres, un signe « ∨ » est placé entre eux. Il s'agit d'un daw avec le nez baissé, ce qui semble laisser entendre : le plus grand des nombres n'a pas encore été déterminé.

Tâche. Comparez les nombres :

En suivant la définition, soustrayez les fractions les unes des autres :

Dans chaque comparaison, nous devions réduire les fractions à un dénominateur commun. Plus précisément, en utilisant la méthode croisée et en trouvant le multiple le plus commun. Je ne me suis délibérément pas concentré sur ces points, mais si quelque chose n'est pas clair, jetez un œil à la leçon « Addition et soustraction de fractions » - c'est très simple.

Comparaison des décimales

Dans le cas des fractions décimales, tout est beaucoup plus simple. Il n’est pas nécessaire de soustraire quoi que ce soit ici – comparez simplement les chiffres. C’est une bonne idée de se rappeler quelle est la partie significative d’un nombre. Pour ceux qui ont oublié, je suggère de répéter la leçon « Multiplier et diviser des nombres décimaux » - cela ne prendra également que quelques minutes.

Une décimale positive X est supérieure à une décimale positive Y si elle contient une décimale telle que :

1. Le chiffre à cet endroit dans la fraction X est supérieur au chiffre correspondant dans la fraction Y ;
2. Tous les chiffres supérieurs pour les fractions X et Y sont identiques.

1. 12h25 > 12h16. Les deux premiers chiffres sont identiques (12 = 12) et le troisième est supérieur (2 > 1) ;
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

En d’autres termes, on parcourt les décimales une à une et on cherche la différence. Dans ce cas, un nombre plus grand correspond à une fraction plus grande.

Cette définition nécessite cependant des précisions. Par exemple, comment écrire et comparer les décimales ? N'oubliez pas : tout nombre écrit sous forme décimale peut avoir n'importe quel nombre de zéros ajoutés à gauche. Voici quelques autres exemples :

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (nous parlons de sur le grade supérieur).
2. 2300,5 > 0,0025, car 0,0025 = 0000,0025 - trois zéros ont été ajoutés à gauche. Vous pouvez maintenant voir que la différence commence au premier chiffre : 2 > 0.

Bien sûr, dans les exemples donnés avec des zéros, il y avait une exagération évidente, mais le but est exactement le suivant : remplissez les bits manquants à gauche, puis comparez.

Tâche. Comparez des fractions :

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

Par définition nous avons :

1. 0,029 > 0,007. Les deux premiers chiffres coïncident (00 = 00), puis la différence commence (2 > 0) ;
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0,00003 > 0,0000099. Ici, vous devez compter soigneusement les zéros. Les 5 premiers chiffres des deux fractions sont zéro, mais dans la première fraction il y en a 3 et dans la seconde - 0. Évidemment, 3 > 0 ;
4. 1700,1 > 0,99501. Réécrivons la deuxième fraction sous la forme 0000.99501, en ajoutant 3 zéros à gauche. Maintenant, tout est évident : 1 > 0 - la différence est détectée dans le premier chiffre.

Malheureusement, le schéma de comparaison donné décimales pas universel. Cette méthode ne peut comparer nombres positifs. Dans le cas général, l'algorithme de fonctionnement est le suivant :

1. Une fraction positive est toujours supérieure à une fraction négative ;
2. Deux fractions positives sont comparées à l'aide de l'algorithme ci-dessus ;
3. Deux fractions négatives sont comparées de la même manière, mais à la fin le signe de l'inégalité est inversé.

Eh bien, pas mal ? Maintenant regardons exemples spécifiques- et tout deviendra clair.

Tâche. Comparez des fractions :

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. −0,192 > −0,39. Les fractions sont négatives, le 2ème chiffre est différent. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0,15 > −11,3. Nombre positif toujours plus négatif ;
4. 19,032 > 0,091. Il suffit de réécrire la deuxième fraction sous la forme 00,091 pour constater que la différence apparaît déjà dans le 1er chiffre ;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. La différence se situe dans la première catégorie.

Deux fractions inégales sont soumises à une comparaison plus approfondie pour découvrir quelle fraction est la plus grande et quelle fraction est la plus petite. Pour comparer deux fractions, il existe une règle de comparaison de fractions, que nous formulerons ci-dessous, et nous examinerons également des exemples d'application de cette règle lors de la comparaison de fractions avec des dénominateurs similaires et différents. En conclusion, nous montrerons comment comparer des fractions ayant les mêmes numérateurs sans les réduire à un dénominateur commun, et nous verrons également comment comparer une fraction commune avec un nombre naturel.

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Comparer des fractions avec les mêmes dénominateurs

Comparer des fractions avec les mêmes dénominateurs est essentiellement une comparaison du nombre d’actions identiques. Par exemple, la fraction commune 3/7 détermine 3 parties 1/7, et la fraction 8/7 correspond à 8 parties 1/7, donc comparer des fractions de mêmes dénominateurs 3/7 et 8/7 revient à comparer les nombres 3 et 8, c'est-à-dire pour comparer les numérateurs.

De ces considérations il résulte règle pour comparer des fractions avec des dénominateurs similaires: de deux fractions ayant les mêmes dénominateurs, plus grande est la fraction dont le numérateur est le plus grand, et moins est la fraction dont le numérateur est le plus petit.

La règle énoncée explique comment comparer des fractions avec les mêmes dénominateurs. Regardons un exemple d'application de la règle de comparaison de fractions avec des dénominateurs similaires.

Exemple.

Quelle fraction est la plus grande : 65/126 ou 87/126 ?

Solution.

Les dénominateurs des fractions ordinaires comparées sont égaux, et le numérateur 87 de la fraction 87/126 est supérieur au numérateur 65 de la fraction 65/126 (si nécessaire, voir la comparaison des nombres naturels). Ainsi, selon la règle de comparaison des fractions ayant les mêmes dénominateurs, la fraction 87/126 est supérieure à la fraction 65/126.

Répondre:

Comparer des fractions avec différents dénominateurs

Comparer des fractions avec différents dénominateurs peut être réduit à comparer des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Pour ce faire, il suffit de ramener les fractions ordinaires comparées à un dénominateur commun.

Ainsi, pour comparer deux fractions de dénominateurs différents, il faut

• réduire les fractions à un dénominateur commun ;
• Comparez les fractions résultantes avec les mêmes dénominateurs.

Regardons la solution de l'exemple.

Exemple.

Comparez la fraction 5/12 avec la fraction 9/16.

Solution.

Tout d'abord, rassemblons ces fractions avec des dénominateurs différents à un dénominateur commun (voir la règle et des exemples pour amener des fractions à un dénominateur commun). Comme dénominateur commun, nous prenons le plus petit dénominateur commun égal à LCM(12, 16)=48. Alors le facteur supplémentaire de la fraction 5/12 sera le nombre 48:12=4, et le facteur supplémentaire de la fraction 9/16 sera le nombre 48:16=3. On a Et .

En comparant les fractions résultantes, nous avons . La fraction 5/12 est donc plus petite que la fraction 9/16. Ceci termine la comparaison des fractions avec des dénominateurs différents.

Répondre:

Voyons une autre façon de comparer des fractions avec des dénominateurs différents, qui vous permettra de comparer des fractions sans les réduire à un dénominateur commun et sans toutes les difficultés associées à ce processus.

Pour comparer les fractions a/b et c/d, on peut les réduire à un dénominateur commun b·d, égal au produit des dénominateurs des fractions comparées. Dans ce cas, les facteurs supplémentaires des fractions a/b et c/d sont respectivement les nombres d et b, et les fractions originales sont réduites à des fractions avec un dénominateur commun b·d. En nous rappelant la règle de comparaison des fractions ayant les mêmes dénominateurs, nous concluons que la comparaison des fractions originales a/b et c/d a été réduite à une comparaison des produits a·d et c·b.

Cela implique ce qui suit règle pour comparer des fractions avec des dénominateurs différents: si a d>b c , alors , et si a d

Voyons ainsi comparer des fractions avec différents dénominateurs.

Exemple.

Comparez les fractions communes 5/18 et 23/86.

Solution.

Dans cet exemple, a=5 , b=18 , c=23 et d=86 . Calculons les produits a·d et b·c. Nous avons a·d=5·86=430 et b·c=18·23=414. Puisque 430>414, alors la fraction 5/18 est supérieure à la fraction 23/86.

Répondre:

Comparer des fractions avec les mêmes numérateurs

Les fractions ayant les mêmes numérateurs et des dénominateurs différents peuvent certainement être comparées en utilisant les règles évoquées dans le paragraphe précédent. Cependant, le résultat de la comparaison de ces fractions peut être facilement obtenu en comparant les dénominateurs de ces fractions.

Il y a une telle chose règle pour comparer des fractions avec les mêmes numérateurs: de deux fractions ayant les mêmes numérateurs, celle avec le plus petit dénominateur est la plus grande, et la fraction avec le plus grand dénominateur est la plus petite.

Regardons l'exemple de solution.

Exemple.

Comparez les fractions 54/19 et 54/31.

Solution.

Puisque les numérateurs des fractions comparées sont égaux et que le dénominateur 19 de la fraction 54/19 est inférieur au dénominateur 31 de la fraction 54/31, alors 54/19 est supérieur à 54/31.

Objectifs de la leçon:

1. Éducatif: apprendre à comparer des fractions divers types en utilisant diverses techniques;
2. Éducatif: développement des techniques de base de l'activité mentale, généralisation de la comparaison, mise en évidence de l'essentiel ; développement de la mémoire, de la parole.
3. Éducatif: apprendre à s'écouter, favoriser l'entraide, une culture de la communication et du comportement.

Étapes du cours :

1. Organisationnel.

Commençons la leçon par les mots de l'écrivain français A. France : « Apprendre peut être amusant... Pour digérer la connaissance, il faut l'absorber avec appétit.

Suivons ce conseil, essayons d'être attentifs et d'absorber les connaissances avec beaucoup d'envie, car... ils nous seront utiles dans le futur.

2. Actualisation des connaissances des étudiants.

1.) Travail oral frontal des étudiants.

Objectif : répéter la matière abordée, nécessaire pour apprendre de nouvelles choses :

A) fractions régulières et impropres ;
B) amener les fractions à un nouveau dénominateur ;
C) trouver le plus petit dénominateur commun ;

(Nous travaillons avec des fichiers. Les élèves en disposent à chaque cours. Ils y écrivent les réponses avec un feutre, puis les informations inutiles sont effacées.)

Devoirs pour le travail oral.

1. Nommez la fraction supplémentaire dans la chaîne :

A) 5/6 ; 1/3 ; 7/10 ; 11/3 ; 4/7.
B) 2/6 ; 18/06 ; 1/3 ; 4/5 ; 4/12.

2. Réduisez les fractions à un nouveau dénominateur 30 :

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

Trouvez le plus petit dénominateur commun des fractions :

1/5 et 2/7 ; 3/4 et 1/6 ; 2/9 et 1/2.

2.) Situation de jeu.

Les gars, notre ami le clown (les élèves l'ont rencontré à la rentrée) m'a demandé de l'aider à résoudre un problème. Mais je crois que vous pouvez aider notre ami sans moi. Et la tâche est la suivante.

« Comparez des fractions :

a) 1/2 et 1/6 ;
b) 3/5 et 1/3 ;
c) 5/6 et 1/6 ;
d) 12/7 et 4/7 ;
e) 3 1/7 et 3 1/5 ;
e) 7 5/6 et 3 1/2;
g) 1/10 et 1 ;
h) 10/3 et 1 ;
i) 7/7 et 1.”

Les gars, pour aider le clown, que faut-il apprendre ?

Le but de la leçon, les tâches (les élèves formulent de manière indépendante).

L'enseignant les aide en posant des questions :

a) quelles paires de fractions pouvons-nous déjà comparer ?

b) de quel outil avons-nous besoin pour comparer des fractions ?

3. Les gars en groupe (en groupes permanents à plusieurs niveaux).

Chaque groupe se voit confier une tâche et des instructions pour la réaliser.

Premier groupe : Comparez les fractions mélangées :

a) 1 1/2 et 2 5/6 ;
b) 3 1/2 et 3 4/5

et dériver la règle d'équation fractions mélangées avec des parties entières identiques et différentes.

Instructions : Comparer des fractions mixtes (à l'aide d'un faisceau de nombres)

1. comparer des parties entières de fractions et tirer une conclusion ;
2. comparer les parties fractionnaires (ne pas afficher la règle de comparaison des parties fractionnaires) ;
3. établissez une règle - un algorithme :

Deuxième groupe : Comparez des fractions avec des dénominateurs et des numérateurs différents. (utiliser le faisceau numérique)

a) 6/7 et 9/14 ;
b) 11/05 et 22/01

Instructions

1. Comparer les dénominateurs
2. Demandez-vous s'il est possible de réduire les fractions à un dénominateur commun
3. Commencez la règle par les mots : « Pour comparer des fractions avec des dénominateurs différents, vous devez... »

Troisième groupe : Comparaison de fractions avec une.

a) 2/3 et 1 ;
b) 8/7 et 1 ;
c) 10/10 et 1 et formuler une règle.

Instructions

Considérez tous les cas : (utiliser le faisceau numérique)

a) Si le numérateur d'une fraction est égal au dénominateur, ……… ;
b) Si le numérateur d'une fraction est inférieur au dénominateur,……… ;
c) Si le numérateur d'une fraction est supérieur au dénominateur,………. .

Formulez une règle.

Quatrième groupe : Comparez des fractions :

a) 5/8 et 3/8 ;
b) 1/7 et 4/7 et formuler une règle pour comparer des fractions avec le même dénominateur.

Instructions

Utilisez le faisceau numérique.

Comparez les numérateurs et tirez une conclusion en commençant par les mots : « De deux fractions avec les mêmes dénominateurs….. ».

Cinquième groupe : Comparez des fractions :

a) 1/6 et 1/3 ;
b) 4/9 et 4/3, en utilisant le faisceau numérique :

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

Formuler une règle pour comparer des fractions avec les mêmes numérateurs.

Instructions

Comparez les dénominateurs et tirez une conclusion en commençant par les mots :

« De deux fractions ayant les mêmes numérateurs……….. ».

Sixième groupe : Comparez des fractions :

a) 4/3 et 5/6 ; b) 7/2 et 1/2 en utilisant le faisceau numérique

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

Formuler une règle pour comparer les fractions propres et impropres.

Instructions.

Pensez à quelle fraction est toujours la plus grande, appropriée ou impropre.

4. Discussion des conclusions faites en groupes.

Un mot pour chaque groupe. Formulation des règles des élèves et comparaison de celles-ci avec les standards des règles correspondantes. Ensuite, des imprimés des règles permettant de comparer différents types de fractions ordinaires sont remis à chaque élève.

5. Revenons à la tâche posée au début de la leçon. (Résolvons ensemble le problème des clowns).

6. Travaillez dans des cahiers. À l'aide des règles de comparaison des fractions, les élèves, sous la direction de l'enseignant, comparent les fractions :

a) 13/8 et 25/8 ;
b)11/42 et 3/42 ;
c)7/5 et 1/5 ;
d) 18/21 et 7/3 ;
e) 2 1/2 et 3 1/5 ;
e) 5 1/2 et 5 4/3;

(il est possible d'inviter l'élève au tableau).

7. Les élèves doivent passer un test comparant des fractions avec deux options.

Option 1.

1) comparer les fractions : 1/8 et 1/12

a) 1/8 > 1/12 ;
b) 1/8<1/12;
c) 1/8 = 1/12

2) Quel est le plus grand : 5/13 ou 7/13 ?

a) 5/13 ;
b) 13/7 ;
c) égal

3) Qu'est-ce qui est le plus petit : 2\3 ou 4/6 ?

une) 2/3 ;
b) 4/6 ;
c) égal

4) Quelle fraction est inférieure à 1 : 3/5 ; 17/9 ; 7/7 ?

une) 3/5 ;
b) 17/9 ;
c) 7/7

5) Quelle fraction est supérieure à 1 : ?; 7/8 ; 4/3 ?

une) 1/2 ;
b) 7/8 ;
c) 4/3

6) Comparez les fractions : 2 1/5 et 1 7/9

a) 2 1/5<1 7/9;
b) 2 1/5 = 1 7/9 ;
c) 2 1/5 >1 7/9

Option 2.

1) comparer les fractions : 3/5 et 3/10

a) 3/5 > 3/10 ;
b) 3/5<3/10;
c) 3/5=3/10

2) Quel est le plus grand : 10/12 ou 1/12 ?

a) égal ;
b) 10/12 ;
c) 1/12

3) Qu'est-ce qui est le moins : 3/5 ou 1/10 ?

une) 3/5 ;
b) 1/10 ;
c) égal

4) Quelle fraction est inférieure à 1 : 4/3 ; 1/15 ; 16/16 ?

a) 4/3 ;
b) 1/15 ;
c) 16/16

5) Quelle fraction est supérieure à 1 : 2/5 ; 9/8 ; 11/12 ?

une) 2/5 ;
b) 9/8 ;
c) 11/12

6) Comparez les fractions : 3 1/4 et 3 2/3

une) 3 1/4=3 2/3 ;
b) 3 1/4 > 3 2/3 ;
c) 3 1/4< 3 2/3

Réponses au test :

Option 1 : 1a, 2b, 3c, 4a, 5b, 6a

Option 2 : 2a, 2b, 3b, 4b, 5b, 6c

8. Revenons encore une fois au but de la leçon.

Nous vérifions les règles de comparaison et donnons des devoirs différenciés :

Groupes 1,2,3 – proposez deux exemples de comparaison pour chaque règle et résolvez-les.

4,5,6 groupes - N° 83 a, b, c, n° 84 a, b, c (du manuel).