Résoudre des inégalités rationnelles à l'aide de la méthode des intervalles. Les inégalités rationnelles et leurs systèmes. Systèmes d'inégalités rationnelles

Le concept d’inégalité mathématique est apparu dans l’Antiquité. Ceci s'est produit quand homme primitif Il était nécessaire de comparer leur quantité et leur taille lors du comptage et de la manipulation de divers objets. Depuis l'Antiquité, Archimède, Euclide et d'autres scientifiques célèbres : mathématiciens, astronomes, designers et philosophes ont utilisé les inégalités dans leur raisonnement.

Mais ils utilisaient généralement une terminologie verbale dans leurs œuvres. Pour la première fois, des signes modernes désignant les concepts de « plus » et de « moins » tels que tous les écoliers les connaissent aujourd'hui ont été inventés et mis en pratique en Angleterre. Le mathématicien Thomas Harriot a rendu un tel service à ses descendants. Et cela s'est produit il y a environ quatre siècles.

Il existe de nombreux types d’inégalités connues. Parmi eux, il y en a des simples, contenant une, deux ou plusieurs variables, des rapports quadratiques, fractionnaires, complexes, et même ceux représentés par un système d'expressions. La meilleure façon de comprendre comment résoudre les inégalités est d’utiliser divers exemples.

Ne ratez pas le train

Pour commencer, imaginons qu’un habitant d’une zone rurale se précipite vers la gare ferroviaire, située à 20 km de son village. Afin de ne pas rater le train partant à 11 heures, il doit quitter la maison à l'heure. A quelle heure faut-il le faire si sa vitesse est de 5 km/h ? La solution à ce problème pratique revient à remplir les conditions de l'expression : 5 (11 - X) ≥ 20, où X est l'heure de départ.

Cela est compréhensible, car la distance qu'un villageois doit parcourir jusqu'à la gare est égale à la vitesse de déplacement multipliée par le nombre d'heures de route. Une personne peut arriver tôt, mais elle ne peut pas être en retard. En sachant comment résoudre les inégalités et en appliquant vos compétences dans la pratique, vous obtiendrez X ≤ 7, ce qui est la réponse. Cela signifie que le villageois doit se rendre à la gare à sept heures du matin ou un peu plus tôt.

Intervalles numériques sur une ligne de coordonnées

Voyons maintenant comment mapper les relations décrites sur l'inégalité obtenue ci-dessus n'est pas stricte. Cela signifie que la variable peut prendre des valeurs inférieures à 7, ou qu'elle peut être égale à ce nombre. Donnons d'autres exemples. Pour ce faire, considérez attentivement les quatre figures présentées ci-dessous.

Sur le premier d'entre eux, vous pouvez voir une représentation graphique de l'intervalle [-7; 7]. Il se compose d'un ensemble de nombres placés sur une ligne de coordonnées et situés entre -7 et 7, limites comprises. Dans ce cas, les points sur le graphique sont représentés par des cercles pleins et l'intervalle est enregistré en utilisant

La deuxième figure est une représentation graphique de l’inégalité stricte. Dans ce cas, les nombres limites -7 et 7, représentés par des points perforés (non remplis), ne sont pas inclus dans l'ensemble spécifié. Et l'intervalle lui-même est écrit entre parenthèses comme suit : (-7 ; 7).

Autrement dit, après avoir compris comment résoudre des inégalités de ce type et reçu une réponse similaire, nous pouvons conclure qu'il s'agit de nombres compris entre les limites en question, à l'exception de -7 et 7. Les deux cas suivants doivent être évalués de manière manière similaire. La troisième figure montre des images des intervalles (-∞; -7] U)