表示空間における平面の垂直性。 空間における線と平面の垂直性、このテーマに関する幾何学の授業 (10 年生) のプレゼンテーション。 平面上の垂直線

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スライドのキャプション:

線と平面の直角度

空間内の垂直線 2 本の線の間の角度が 90 度の場合、その線は垂直と呼ばれます o a b c a  b c  b α

補助定理 2 本の平行線の 1 つが 3 番目の線に垂直である場合、もう 1 つの線もこの線に垂直です。 A C a α M b c 与えられる: a || b, a  c 証明: b  c 証明:

線がこの平面内にある任意の線に対して垂直である場合、その線は平面に対して垂直であると呼ばれます α a a  α

定理 1 2 本の平行線のうちの 1 つが平面に対して垂直である場合、もう 1 つの直線もこの平面に対して垂直です。 α x 指定: a || 1 ; a  α 証明: a 1  α 証明: a a 1

定理 2 α 証明: a || b 証明: a 2 本の線が平面に垂直であれば、それらは平行です。 β b 1 与えられる: a  α ; b  α b M s

線と平面の垂直性の記号 線が、平面内にある 2 つの交差する線に対して垂直である場合、その線はこの平面に対して垂直です。 α q 証明: a  α 証明: a p m O 与えられた: a  p ; a  q p  α ; q  α p ∩ q = O

α q l m O a p B P Q 証明: L a) 特別な場合 A

α q a p m O 証明: a) 一般的なケース a 1

定理 4 空間内の任意の点を通過すると、与えられた平面に垂直な線が通過しますが、その線は 1 本だけです。 α a β М b с 証明: 1) ∃ с, с  α, М  с; 2) – 付き 証明: 与えられた: α ; M  α

問題の検索: MD A B D M 解決策: 与えられた:  ABC ; MB  BC; MB  BA; MB = BD = a 証明: MB  BD C a a

問題 128 証明: O M  (ABC) 与えられた場合: ABCD は平行四辺形です。 AC ∩ BD = 0; M  (ABC); MA = MS、MB = MD A B D C O M 証明:

問題 12 2 検索: AD; BD; AK; BK A B D C O K 解: 与えられた:  ABC – r/s; О – 中央  ABC CD  (ABC); OK || CD A B = 16 × 3、OK = 12; CD = 16 12 16

垂直および傾斜 M A B N α MN  α A  α B  α MA および MV – 傾斜 N  α AN および VN – 傾斜 MN の投影 – 垂直 M  α

3 つの垂線の定理 傾斜面の底面を通り、この面への投影に垂直な面に描かれた直線は、傾斜面に対して垂直です。 A N M α β a 与えられた場合: a  α、AN  α、AM – 斜め、a  NM、M  a 証明: a  AM 証明:

3 つの垂線の定理の逆定理 斜面に垂直な斜面の底面を通る平面に描かれた直線は、その投影線にも垂直です。 A N M α β a 与えられた: a  α、AN  α、AM – 斜め、a  AM、M  a 証明: a  NM 証明:

直線と平面との間の角度 А Н α β а О φ (а; α) =  АО = φ

トピックについて: 方法論の開発、プレゼンテーション、メモ

「線と平面の垂直性」というテーマに関するプレゼンテーションは、立体測定のこのセクションで研究される理論的資料に対応します。

提示されているのは、教材用の幾何学に関する 10 年生のレッスンの展開です。10 ～ 11 年生の幾何学、著者 L.S. アタナシアン、V.F.ブトゥーゾフ、S.B. カドムツェフ他。これは、...を使用して新しい教材を学習するためのレッスンです。

垂直

に向かってまっすぐ

空間

意味。

2 本の線が直角に交差する場合、垂直と呼ばれます。

平面上の垂直線

直線上にない指定された点 A または直線上にある点 B を通り、指定された直線に垂線を何本引くことができますか?

各ポイントを通じて描画できる 一本の直線 、これに垂直です。

意味。 2 本の線が直角に交差する場合、垂直と呼ばれます。

空間内の任意の点を通して、指定された点に垂直な線を引くことができることを証明してください。

1. 直接経由 あ そして期間 で 平面を描いてみましょう 

2. ポイントを通過 で 飛行機の中で  ダイレクトにしましょう と、 線に垂直な A.

直線

2ストレート 垂直と呼ばれます それらが直角に交差する場合。

交差しないでください

同じ平面上に横たわる

パラレルと呼ばれます

結論。 垂直線 異なる平面に存在する可能性があります。

探す 2 垂直同じ平面内と異なる平面上にある直線。

補題: 2 本の平行線の 1 つが 3 番目の平行線に対して垂直である場合、もう 1 つの平行線も 3 番目の平行線に対して垂直になります。

与えられる:

ドクター:

書類：

1. これらの直線上にない任意の点 M を通して、MA ||a と MC || を描きます。 と。 なぜなら a ┴ c の場合、AMC = 90°

3. b|| 午前。

2. b || a (条件による)

|| 午前中（工事中）

№ 116(a) (38 ページ)

与えられる:

ドクター:

1)。 DC ┴ B1C1

2)。 AB ┴ A 1 D 1

与えられる:

DABC - テトラアード

ドクター:

• 空間内の垂直線の定義を教えてください。

2. 証明された補題を述べます。

宿題：

• 理論 (p. 34、教える)
• № 116(b)、117

スライド 2

空間内の垂直線 空間内の 2 本の線は、それらの間の角度が 90° である場合、垂直 (相互に垂直) と呼ばれます。 線分 a と線分 b の直角度は ab と表されます。 垂線は交差したり、歪んだりすることがあります。図 1 では、垂線 a と垂線 b が交差し、垂線 a と c は歪んでいます。 a b c 90° 図 1

スライド 3

2 本の平行線の 1 つが 3 番目の線に対して垂直である場合、もう 1 つの線はこの線に対して垂直です。 2 本の平行線と 3 番目の線の垂直性に関する補題を証明してみましょう。 bとab。 b  c であることを証明しましょう。 これらの直線上にない空間の任意の点 M を介して、それぞれ直線 a と直線 c に平行な直線 MA と MC を描きます。 a  c なので、AMC = 90°になります。 条件 b || による a,a 構造上 a|| MA、したがって b ||MA したがって、直線 b と直線 c は、それぞれ直線 MA と直線 MC に平行で、その間の角度は 90°です。 これは、直線 b と直線 c の間の角度も 90° に等しい、つまり b  c であることを意味します。 米。 2 b a C A M c

スライド 4

平面に垂直な平行線 直線は、この平面内にある任意の線に対して垂直である場合、平面に垂直であると呼ばれます。 直線 a と平面 α の直角度は a  α で表されます。 直線 a が平面 α に垂直であれば、この平面と交差します。 実際、線 an が平面 α と交差する場合、この平面内にあるか、この平面に平行であることになります。 しかし、平面 α には、線 a に垂直でない線、たとえば線 a に平行な線が存在することになり、これは線と平面の垂直性の定義に矛盾します。 これは、直線 a が平面 α と交差することを意味します。

スライド 5

図 3 は、平面 α に垂直な直線 a を示しています。 私たちの周囲の環境には、直線と平面の垂直性を示す例が数多くあります。 傾いた電信柱はまっすぐ、つまり地表に対して垂直に立っています。 建物の柱も基礎面との関係、壁の交線と床面との関係などで配置されます。 3

スライド 6

線の平行度と平面に対する垂直度との間に関係が成立する 2 つの定理を証明しましょう。2 本の平行線のうちの 1 つが平面に垂直であれば、もう 1 つの線もこの平面に垂直です。 2 本の平行線 a と b と、aα となるような平面 α を考えます。 b  α であることを証明しましょう。 α 平面に直線 x を引いてみましょう (図 4)。 αだからx。 2 本の平行線の 3 番目の平行線に対する垂直性に関する補題により、b  x となります。 したがって、線 b は、平面 α 内にある任意の線に対して垂直です。つまり、 bα。 証明: 図。 4 α a b x

スライド 7

2 本の線が平面に対して垂直であれば、それらは平行です。 平面 α に垂直な直線 a と b を考えてみましょう (図 5、a)。 || であることを証明しましょう。 b. 線分 b のある点 M を通って、その線に平行な線 q を描きます。 前の定理によれば、q  α。 直線 q が直線 b と一致することを証明しましょう。 これにより、|| が証明されます。 b. 線分 b と線 q が一致しないと仮定します。 次に、線 b と q を含む平面 β 内で、2 本の線が点 M を通り、線 c に垂直で、それに沿って平面 α と β が交差します (図 5、b)。 しかし、これは不可能なので、|| b. 証明: 図。 5、a α a q 図。 5、b α a M c b b

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セクション: 数学

レッスンの目標:

• このトピックに関する問題を解決するための知識とスキルの複合体の習熟レベルを特定する、
• 空間想像力、論理的思考、注意力、記憶力を養います。
• アクティビティとリスニングのスキルを養います。

レッスン用具：

• 教科書 L.S. Atanasyan et al.「幾何学 10-11」;
• ワークブック;
• パソコン;
• マルチメディアプロジェクター。
• インタラクティブボード;
• Microsoft PowerPoint を使用して作成された著者のプレゼンテーション ( 付録 1 )

レッスンの構成:

1. 整理の時間。
2. トピックに関する学生の知識を更新します。
3. 以前に取得した知識を統合し、問題を解決する際にその知識を適用するスキルを開発します。
4. レッスンをまとめます。
5. 宿題。

授業中

1. レッスンの組織的な瞬間: 挨拶、レッスンの準備状況の確認。

2. 知識のアップデート前回のレッスンで生徒が受け取ったもの:

– 空間内の垂直線の概念。
– 直線と平面の垂直度。
– 平面に垂直な平行線の特性。

知識をアップデートするために 1 人の生徒は黒板に行き、問題番号 119a) の解決策を書き留め、2 番目の生徒は平面に垂直な平行線に関する定理の証明を書きます。

準備をしている間、クラスを正面から調査しました。

– 空間内の 2 つの線の相対的な位置は何ですか?
– 空間内の直線間の角度はどのような制限内で測定されますか?
– 空間内のどの線を垂直と呼びますか?
– 3 番目の平行線に垂直な 2 本の平行線に関する補助定理を定式化します。
– 補題の証明におけるアクションの正しい順序を確立します。

実行後、動作が正しいかどうかを検証します。

教師：線と平面の垂直度を定義します。

教師：逆の定理を述べよ。

宿題問題 No.119a (三角形の等価性を使用) の解法が正しいかどうかを確認します。

3. 理論的知識を問題解決に適用するスキルと能力の開発

1) 口頭演習。

№1 直線 AB は平面に垂直で、点 M と K はこの平面に属します。 線分ABが線分MKに垂直であることを証明してください。

2) 筆記演習 .

№2 正方形 ABCD では、t.O はその対角線の交点です。 直線MOは正方形の平面に垂直です。 MA = MB = MC = MD であることを証明します。

№3 平行四辺形ABCDの辺ABは平面に垂直です。 AC = 10 cm の場合、BD を求めます。

4. テスト実施時に習得した知識の吸収を確認する

5. レッスンのまとめ

宿題を書き留めます: p. 15-16、No. 118 No. 120