リーは指数関数的ではありません。 無限減少等比数列とゼノンのパラドックスの和

トピックに関するレッスン 「無限減少等比数列」（代数、10年生）

レッスンの目的:新しいタイプの数列、つまり無限に減少する等比数列を生徒に紹介します。

装置：プロジェクタースクリーン。

レッスンタイプ:レッスン - 学習 新しい話題.

授業中

私 。 組織 一瞬。 レッスンのテーマと目的を述べます。

Ⅱ 。 学生の知識を更新します。

9年生では、等差数列と等比数列を勉強しました。

質問

1. 定義 等差数列。 (等差数列とは、2 番目から始まる各メンバーが、同じ番号に前のメンバーを加算したものと等しいシーケンスです)。

2. 公式 n等差数列の第 項 (
)

3. 最初の合計の公式 n等差数列の用語。

(
または
)

4. 定義 等比数列。 (等比数列は、ゼロ以外の数値のシーケンスであり、2 番目から始まる各項は、前の項に同じ数値を乗じたものと等しくなります)。

5. 公式 n等比数列の第 3 項 (

)

6. 最初の合計の公式 n等比数列のメンバー。 (
)

7. 他にどんな公式を知っていますか?

(
、 どこ
;
;
;
,
)

5.等比数列について
5番目の項を見つけます。

6.等比数列について
探す n 3人目のメンバー。

7. 指数関数的に b 3 = 8 そして b 5 = 2 。 探す b 4 . (4)

8. 指数関数的に b 3 = 8 そして b 5 = 2 。 探す b 1 そして q .

9. 指数関数的に b 3 = 8 そして b 5 = 2 。 探す S 5 . (62)

Ⅲ 。 新しいトピックを学ぶ（プレゼンテーションの実演）。

一辺が 1 の正方形を考えます。最初の正方形の半分のサイズの辺をもつ別の正方形を描き、次に 2 番目の半分のサイズの別の正方形を描き、次に次の正方形を描く、というようにしてみましょう。 毎回、新しい正方形の辺は前の正方形の半分に等しくなります。

その結果、正方形の辺のシーケンスが得られました。 分母と等比数列を形成します。

そして、非常に重要なことは、そのような正方形を建てれば建てるほど、正方形の一辺が小さくなるということです。 例えば,

それらの。 数値 n が増加すると、数列の項は 0 に近づきます。

この図を使用して、別のシーケンスを検討できます。

たとえば、一連の正方形の領域は次のようになります。

。 そして、もう一度、もし nが無限に増加すると、面積は好きなだけゼロに近づきます。

別の例を見てみましょう。 正三角形一辺は1cmに等しい。 三角形の中線に関する定理に従って、最初の三角形の辺の中点に頂点を持つ次の三角形を作成しましょう - 2 番目の辺は最初の辺の半分、3 番目の辺の半分に等しい2 番目の辺の半分に等しい、など。 再び、三角形の辺の長さのシーケンスを取得します。

で
.

分母が負の等比数列を考えてみます。

その後、また数が増えていきます n進行の条件はゼロに近づきます。

これらの数列の分母に注目してみましょう。 どこでも、分母の絶対値は 1 未満でした。

結論としては、分母の係数が 1 未満の場合、等比数列は無限に減少します。

意味：

分母の係数が次の場合、等比数列は無限に減少するといいます。 1未満.
.

この定義を使用すると、等比数列が無限減少しているかどうかを判断できます。

タスク

次の式で与えられる場合、数列は無限に減少する等比数列になりますか?

;
.

解決：

。 見つけます q .

;
;
;
.

この等比数列は無限に減少します。

b)この数列は無限に減少する等比数列ではありません。

一辺が 1 の正方形を考えます。それを半分に分割し、そのうちの 1 つを半分に分割します。 結果として得られるすべての長方形の面積は、無限に減少する等比数列を形成します。

このようにして得られたすべての長方形の面積の合計は、最初の正方形の面積と等しく、1に等しくなります。

「数列、等比数列」というテーマのレッスンとプレゼンテーション

追加資料
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Integral オンライン ストアの 9 年生向けの教育補助器具とシミュレーター
累乗と根 関数とグラフ

皆さん、今日は別の種類の進行状況について説明します。
今日の授業のテーマは等比数列です。

幾何級数

意味。 2 番目から始まる各項が、前の項と一定の数の積に等しい数列を等比数列と呼びます。
シーケンスを再帰的に定義しましょう: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
ここで、b と q は特定の数値です。 数値 q は数列の分母と呼ばれます。

例。 1,2,4,8,16... 第 1 項を含む等比数列 1に等しい、$q=2$。

例。 8,8,8,8... 最初の項が 8 に等しい等比数列、
$q=1$となります。

例。 3,-3,3,-3,3... 最初の項が 3 に等しい等比数列、
$q=-1$ となります。

幾何学的な進行には単調な性質があります。
$b_(1)>0$、$q>1$ の場合、
その後、シーケンスが増加します。
$b_(1)>0$ の場合、$0 シーケンスは通常、$b_(1)、b_(2)、b_(3)、...、b_(n)、...$ の形式で表されます。

等差数列と同様に、等差数列の要素の数が有限である場合、その数列は有限等比数列と呼ばれます。

$b_(1)、b_(2)、b_(3)、...、b_(n-2)、b_(n-1)、b_(n)$。
数列が等比数列である場合、項の二乗数列も等比数列であることに注意してください。 2 番目のシーケンスでは、最初の項は $b_(1)^2$ に等しく、分母は $q^2$ に等しくなります。

等比数列の n 項の公式

幾何級数は分析形式で指定することもできます。 これを行う方法を見てみましょう。
$b_(1)=b_(1)$。
$b_(2)=b_(1)*q$。
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$。
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$。
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$。
$b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$ というパターンに簡単に気づきます。
私たちの公式は「等比数列の第 n 項の公式」と呼ばれます。

例に戻りましょう。

例。 1,2,4,8,16... 最初の項が 1 に等しい等比数列、
$q=2$となります。
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$。

例。 16,8,4,2,1,1/2… 最初の項が 16 に等しく、$q=\frac(1)(2)$ となる等比数列。
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$。

例。 8,8,8,8... 最初の項が 8 で、$q=1$ となる等比数列です。
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$。

例。 3,-3,3,-3,3... 最初の項が 3 に等しく、$q=-1$ となる等比数列。
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$。

例。 等比数列 $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ が与えられるとします。
a) $b_(1)=6、q=3$であることがわかっています。 $b_(5)$ を見つけます。
b) $b_(1)=6、q=2、b_(n)=768$ であることがわかっています。 n を見つけます。
c) $q=-2、b_(6)=96$ であることが知られています。 $b_(1)$ を見つけます。
d) $b_(1)=-2、b_(12)=4096$ であることがわかっています。 qを見つけてください。

解決。
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$。
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$。
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$、$2^7=128 => n-1=7 なので; n=8$。
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$。
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$。

例。 等比数列の第 7 項と第 5 項の差は 192、数列の第 5 項と第 6 項の和は 192 です。この数列の第 10 項を求めます。

解決。
$b_(7)-b_(5)=192$ および $b_(5)+b_(6)=192$ であることがわかります。
$b_(5)=b_(1)*q^4$; ということもわかります。 $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$。
それから：
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$。
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$。
連立方程式を受け取りました。
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$。
方程式を等価すると、次のようになります。
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$。
$q^2-1=q+1$。
$q^2-q-2=0$。
2 つの解 q が得られました: $q_(1)=2、q_(2)=-1$。
2 番目の式に順番に代入します。
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$。
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ 解決策はありません。
$b_(1)=4、q=2$ という結果が得られました。
第 10 項を見つけてみましょう: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$。

有限等比数列の和

有限等比数列を考えてみましょう。 等差数列と同じように、その項の合計を計算してみましょう。

$b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$ という有限等比数列が与えられるとします。
その項の合計の指定を導入しましょう: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$。
$q=1$の場合。 等比数列のすべての項が最初の項に等しい場合、$S_(n)=n*b_(1)$ であることが明らかです。
$q≠1$の場合を考えてみましょう。
上記の量にqを掛けてみましょう。
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$。
注記：
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$。
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$。

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$。

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$。

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$。

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$。

有限等比数列の和の公式が得られました。

例。
最初の項が 4 で分母が 3 である等比数列の最初の 7 項の合計を求めます。

解決。
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$。

例。
既知の等比数列の第 5 項を見つけます: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$。

解決。
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$。
$q^(n-1)=1024$。
$q^(n)=1024q$。

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$。
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$。
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$。
$1365q-1365=1024q-1$。
341 ドル = 1364 ドル。
$q=4$。
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$。

等比数列の特徴的な性質

みなさん、等比数列が与えられています。 その 3 つの連続するメンバー $b_(n-1)、b_(n)、b_(n+1)$ を見てみましょう。
私達はことを知っています：
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$。
$b_(n)*q=b_(n+1)$。
それから：
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$。
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$。
数列が有限である場合、この等価性は最初と最後の項を除くすべての項に当てはまります。
シーケンスの形式が事前に不明であるが、$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$ であることがわかっている場合。
そうすれば、これは等比数列であると言って間違いありません。

数列は、各要素の 2 乗が数列の 2 つの隣接する要素の積に等しい場合にのみ等比数列になります。 有限進行の場合、最初と最後の項ではこの条件が満たされないことを忘れないでください。

この恒等式を見てみましょう: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$。
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$。
$\sqrt(a*b)$ は、数値 a と b の幾何平均と呼ばれます。

等比数列の任意の項の係数は、隣接する 2 つの項の幾何平均に等しくなります。

例。
$x+2 となる x を見つけます。 2x+2; 3x+3$ は等比数列の 3 つの連続した項でした。

解決。
特徴的なプロパティを使用してみましょう。
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$。
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$。
$x^2-x-2=0$。
$x_(1)=2$ および $x_(2)=-1$。
解を元の式に順番に代入してみましょう。
$x=2$ の場合、シーケンス 4;6;9 が得られます。これは、$q=1.5$ の等比数列です。
$x=-1$ の場合、シーケンス 1;0;0 が得られます。
答え: $x=2.$

自主的に解決すべき問題

1. 等比数列 16;-8;4;-2… の 8 番目の第 1 項を見つけます。
2. 等比数列 11,22,44… の第 10 項を見つけます。
3. $b_(1)=5、q=3$ であることがわかります。 $b_(7)$ を見つけます。
4. $b_(1)=8、q=-2、b_(n)=512$ であることがわかります。 n を見つけます。
5. 等比数列 3;12;48… の最初の 11 項の和を求めます。
6. $3x+4 となる x を見つけます。 2x+4; x+5$ は等比数列の連続する 3 つの項です。

あるシリーズについて考えてみましょう。

7 28 112 448 1792...

その要素のいずれかの値が前の要素のちょうど 4 倍であることは明らかです。 これは、このシリーズが進歩していることを意味します。

等比数列とは、無限に続く数列です。 主な特徴つまり、次の数値は、前の数値に特定の数値を乗算して得られます。 これは次の式で表される。

a z +1 =a z ·q、ここで z は選択された要素の番号です。

したがって、z ∈ N となります。

学校で等比数列を学ぶ時期は9年生です。 例は概念を理解するのに役立ちます。

0.25 0.125 0.0625...

この式に基づいて、数列の分母は次のように求められます。

q も b z もゼロにはできません。 また、数列の各要素はゼロであってはなりません。

したがって、一連の次の数値を求めるには、最後の数値に q を掛ける必要があります。

この進行を設定するには、最初の要素と分母を指定する必要があります。 この後、後続の項とその合計を求めることができます。

品種

q と a 1 に応じて、この数列はいくつかのタイプに分類されます。

• a 1 と q の両方が 1 より大きい場合、そのようなシーケンスは後続の要素ごとに増加する等比数列になります。 この例を以下に示します。

例: a 1 =3、q=2 - 両方のパラメーターが 1 より大きくなります。

次に、数値シーケンスは次のように書くことができます。

3 6 12 24 48 ...

• |q| の場合 が 1 より小さい、つまり、それに乗算することは除算と同等である場合、同様の条件を持つ数列は減少等比数列です。 この例を以下に示します。

例: a 1 =6、q=1/3 - a 1 は 1 より大きく、q は小さいです。

次に、数値シーケンスは次のように書くことができます。

6 2 2/3 ... - 任意の要素は、それに続く要素より 3 倍大きくなります。

• 交互の標識。 qの場合<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

例: a 1 = -3、q = -2 - 両方のパラメーターがゼロ未満です。

次に、数値シーケンスは次のように書くことができます。

3, 6, -12, 24,...

数式

等比数列を便利に使用するための公式が多数あります。

• Z 項の式。 以前の数値を計算せずに、特定の数値の下の要素を計算できます。

例：q = 3, ある 1 = 4. 数列の 4 番目の要素を数える必要があります。

解決：ある 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• 量が次と等しい最初の要素の合計 z。 シーケンスのすべての要素の合計を計算できます。z包括的な。

以来 (1-q) が分母にある場合、(1 - q)≠ 0 であるため、q は 1 に等しくありません。

注: q=1 の場合、数列は無限に繰り返される一連の数値になります。

等比数列の和、例:ある 1 = 2, q= -2。 S5を計算します。

解決：S 5 = 22 - 式を使用した計算。

• | の場合の金額q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

例：ある 1 = 2 , q= 0.5。 金額を求めてください。

解決：サイズ = 2 · = 4

サイズ = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

いくつかのプロパティ:

• 特徴的なプロパティ。 以下の条件の場合 どれでも機能しますzの場合、指定された数列は等比数列になります。

z 2 = z -1 · あるz+1

• また、等比数列の任意の数値の 2 乗は、指定された系列内の他の 2 つの数値の 2 乗を加算することによって求められます (これらの数値がこの要素から等距離にある場合)。

z 2 = z - t 2 + z + t 2 、 どこt- これらの数値間の距離。

• 要素qが異なります一度。
• 数列の要素の対数も数列を形成しますが、算術数列、つまり、それぞれが前の数列よりも特定の数だけ大きくなります。

いくつかの古典的な問題の例

等比数列とは何かをよりよく理解するには、クラス 9 の解決策を含む例が役に立ちます。

• 条件：ある 1 = 3, ある 3 = 48. 探すq.

解決策: 後続の各要素は、前の要素より大きくなります。q 一度。分母を使用して、ある要素を他の要素に関して表現する必要があります。

したがって、ある 3 = q 2 · ある 1

代用する場合q= 4

• 条件：ある 2 = 6, ある 3 = 12. S 6 を計算します。

解決：これを行うには、最初の要素である q を見つけて式に代入するだけです。

ある 3 = q· ある 2 したがって、q= 2

a 2 = q · a 1 、それが理由です a1 = 3

S6 = 189

• · ある 1 = 10, q= -2。 進行の 4 番目の要素を見つけます。

解決策: これを行うには、最初の要素と分母を介して 4 番目の要素を表現するだけで十分です。

a 4 = q 3· a1 = -80

応用例：

• 銀行の顧客は 10,000 ルーブルの金額を預金しました。その条件では、顧客は毎年その額の 6% が元本に追加されます。 4年後に口座にあるお金はいくらになるでしょうか？

解決策: 最初の金額は 10,000 ルーブルです。 これは、投資から 1 年後にアカウントの残高が 10,000 + 10,000 になることを意味します。 · 0.06 = 10000 1.06

したがって、1年後の口座の金額は次のように表されます。

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

つまり、毎年1.06倍ずつ増えていることになります。 これは、4 年後の口座内の資金額を見つけるには、最初の要素が 10,000 に等しく、分母が 1.06 に等しい、数列の 4 番目の要素を見つけるだけで十分であることを意味します。

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

合計計算の問題の例:

等比数列はさまざまな問題で使用されます。 合計を求める例は次のようになります。

ある 1 = 4, q= 2、計算しますS5.

解決策: 計算に必要なデータはすべてわかっているので、それらを式に代入するだけです。

S 5 = 124

• ある 2 = 6, ある 3 = 18. 最初の 6 つの要素の合計を計算します。

解決：

ジオムで。 つまり、合計を計算するには、要素を知る必要があります。ある 1 と分母q.

ある 2 · q = ある 3

q = 3

同様に、次のことを見つける必要があります。ある 1 、知っているある 2 そしてq.

ある 1 · q = ある 2

a1 =2

S 6 = 728.

数学とは何か人間は自然と自分自身をコントロールします。

ソビエトの数学者、学者A.N. コルモゴロフ

幾何学的な進行。

数学の入試では等差数列の問題と並んで等比数列の概念に関わる問題もよく出題されます。 このような問題をうまく解決するには、等比数列の特性を理解し、それらを使用する優れたスキルを持っている必要があります。

この記事では等比数列の基本的な特性を説明します。 典型的な問題の解決例もここで提供されます。, 数学の入学試験の課題から借用したものです。

まず等比数列の基本的な性質に注目し、最も重要な公式とステートメントを思い出してみましょう。, この概念に関連しています。

意味。 2 番目から始まる各数値が前の数値と同じ数値を掛けたものと等しい場合、数列は等比数列と呼ばれます。 この数は等比数列の分母と呼ばれます。

等比数列の場合数式は有効です

, (1)

どこ 。 式 (1) は等比数列の一般項の公式と呼ばれ、式 (2) は等比数列の主な性質を表します。数列の各項は隣接する項の幾何平均と一致します。

注記、 問題の数列が「幾何学的」と呼ばれるのは、まさにこの特性のためです。

上記の式 (1) と (2) は次のように一般化されます。

, (3)

金額を計算するには初め 等比数列のメンバー式が適用されます

と表すと、

どこ 。 であるため、式 (6) は式 (5) を一般化したものになります。

ときと 等比数列無限に減っていきます。 金額を計算するには無限減少等比数列のすべての項について、次の公式が使用されます。

. (7)

例えば ​​、 式(7)を使用すると次のようになります。、 何

どこ 。 これらの等式は、 、（第 1 の等価性）、 、（第 2 の等価性）という条件の下で、式 (7) から得られます。

定理。の場合、

証拠。 の場合、

定理は証明されました。

「等比数列」というトピックに関する問題の解決例を考えてみましょう。

例1.与えられる: 、および 。 探す 。

解決。式(5)を当てはめると、

答え： 。

例2。なるがままに。 探す 。

解決。と なので、式 (5)、(6) を使用して連立方程式を取得します。

システム (9) の 2 番目の方程式を最初の式で割ると、、その後、または 。 このことから次のことがわかります 。 2 つのケースを考えてみましょう。

1. もし、 システム (9) の最初の方程式から、次のようになります。.

2. の場合は、 です。

例 3.しましょう、そして 。 探す 。

解決。式 (2) から、 または ということがわかります。 以来、その後、または 。

状態によります。 ただし、したがって。 以来、そして ここに方程式系があります

システムの 2 番目の方程式を最初の方程式で割ると、 または になります。

なぜなら、方程式には固有の適切な根があるからです。 この場合、システムの最初の方程式から導かれます。

式(7)を考慮すると、次のようになります。

答え： 。

例4.与えられる: と 。 探す 。

解決。それ以来。

以来、その後、または

式(2)によれば、 となります。 この点に関して、式 (10) から または が得られます。

ただし、条件によります。

例5。と知られている 。 探す 。

解決。 定理によれば、2つの等式が成り立ちます

以来、その後、または 。 なぜなら、それでは 。

答え： 。

例6。与えられる: と 。 探す 。

解決。式(5)を考慮すると、次のようになります。

それ以来。 以来 、そして 、その後 。

例7。なるがままに。 探す 。

解決。式 (1) によれば、次のように書くことができます。

したがって、 または があります。 と 、したがって と であることが知られています。

答え： 。

例8.次の場合、無限減少等比数列の分母を求めます。

そして 。

解決。 式(7)から次のようになります。そして 。 ここと問題の条件から、連立方程式が得られます。

システムの最初の方程式が 2 乗の場合, 次に、結果の式を 2 番目の式で除算します。、すると、

または 。

答え： 。

例9。シーケンス , , が等比数列となるすべての値を検索します。

解決。しましょう、そして 。 等比数列の主な性質を定義する式 (2) によれば、 または と書くことができます。

ここから二次方程式が得られます, 誰のルーツはそして 。

確認してみましょう:、その後、そして ; if 、 then 、および 。

最初のケースでは、そして 、そして 2 番目の – と 。

答え： 、 。

例10。方程式を解く

, (11)

どこと 。

解決。 方程式 (11) の左辺は、無限逓減等比数列の和であり、 と は、 と の条件に従います。

式(7)から次のようになります。、 何 。 これに関して、方程式 (11) は次の形式になります。または 。 適切な根 二次方程式は

答え： 。

例11. P 正の数の並び等差数列を形成する、A – 等比数列、それは と何の関係がありますか？ 探す 。

解決。なぜなら 等差数列、 それ (等差数列の主な性質)。 なぜなら、その後、または 。 これはつまり、 等比数列には次のような形式があること。 式(2)より、それを書き留めます。

と から、その後 。 この場合、式はまたは の形式を取ります。 状態により、 式から検討中の問題に対する独自の解決策が得られます、つまり 。

答え： 。

例12。合計を計算する

. (12)

解決。 等式 (12) の両辺に 5 を掛けて得ます。

結果の式から (12) を引くと、、 それ

または 。

計算するには、式(7)に値を代入して を取得します。 それ以来。

答え： 。

ここで紹介する問題の解答例は、受験生の受験対策に役立ちます。 問題解決手法をより深く学ぶために, 等比数列に関連する, 推奨文献のリストにあるチュートリアルを使用できます。

1. 大学受験生のための数学問題集 / 編 M.I. スキャナビ。 – M.: ミールと教育、2013. – 608 p.

2. スープルンVP 高校生のための数学: 学校カリキュラムの追加セクション。 – M.: レナンド / URSS、2014。 – 216 p。

3. メディンスキー M.M. 問題と演習による初等数学の完全コース。 ブック 2: 数列と数列。 – M.: エディタス、2015。 – 208 p。

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等比数列は、等差数列と並んで、9 年生の学校の代数学コースで学習される重要な数列です。 この記事では、等比数列の分母と、その値がそのプロパティにどのような影響を与えるかを見ていきます。

等比数列の定義

まず、これを定義しましょう 数列。 このような数列を等比数列といいます 有理数、最初の要素に分母と呼ばれる定数を順次乗算することによって形成されます。

たとえば、3、6、12、24、... という系列の数字は等比数列です。3 (最初の要素) に 2 を掛けると 6 になります。6 に 2 を掛けると、次のようになります。 12、など。

考慮中のシーケンスのメンバーは、通常、記号 ai で示されます。ここで、i は、シーケンス内の要素の番号を示す整数です。

上記の数列の定義は、数学言語で次のように書くことができます: an = bn-1 * a1 (b は分母)。 この式を確認するのは簡単です。n = 1 の場合、b1-1 = 1 となり、a1 = a1 が得られます。 n = 2 の場合、an = b * a1 となり、問題の一連の数値の定義に戻ります。 同様の推論は、n の値が大きい場合にも継続できます。

等比数列の分母

数値 b は、一連の数値全体がどのような文字を持つかを完全に決定します。 分母 b は、正、負、または 1 より大きいか小さい場合があります。 上記のオプションはすべて、異なるシーケンスになります。

• b > 1. 有理数の系列が増加しています。 たとえば、1、2、4、8、... 要素 a1 が負の場合、シーケンス全体は絶対値でのみ増加しますが、数値の符号に応じて減少します。
• b = 1。通常の一連の同一の有理数が存在するため、この場合は数列とは呼ばれません。 たとえば、-4、-4、-4。

金額の計算式

検討中の数列の種類の分母を使用して特定の問題の検討に移る前に、最初の n 要素の合計に関する重要な公式を与える必要があります。 式は次のようになります: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1)。

進行の項の再帰シーケンスを考慮すれば、この式を自分で取得できます。 また、上記の式では、任意の数の項の合計を求めるには、最初の要素と分母だけがわかれば十分であることに注意してください。

無限減少シーケンス

それが何であるかについては上で説明しました。 Sn の公式がわかったので、それをこの数列に適用してみましょう。 法が 1 を超えない数値は、大きなべき乗を行うとゼロになる傾向があるため、つまり、-1 の場合は b∞ => 0 になります。

分母の値に関係なく、差 (1 - b) は常に正となるため、無限減少等比数列 S∞ の和の符号は、その最初の要素 a1 の符号によって一意に決まります。

ここで、取得した知識を特定の数値に適用する方法を示すいくつかの問題を見てみましょう。

タスク No. 1. 数列と和の未知要素の計算

等比数列が与えられた場合、数列の分母は 2 で、その最初の要素は 3 です。その 7 番目と 10 番目の項は何に等しくなりますか、またその 7 つの最初の要素の合計は何ですか?

問題の条件は非常に単純であり、次のことを前提としています。 直接使用上記の式。 したがって、要素番号 n を計算するには、式 an = bn-1 * a1 を使用します。 7 番目の要素については、a7 = b6 * a1 が得られ、既知のデータを代入すると、a7 = 26 * 3 = 192 が得られます。10 番目の項についても同じことを行い、a10 = 29 * 3 = 1536 となります。

よく知られた合計の公式を使用して、系列の最初の 7 要素のこの値を決定してみましょう。 S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381 となります。

問題 No. 2. 数列の任意の要素の合計を求める

-2 を等比数列 bn-1 * 4 の分母と等しくします (n は整数)。 この系列の 5 番目から 10 番目までの要素の合計を求める必要があります。

提起された問題は、既知の公式を使用して直接解決することはできません。 2 つの異なる方法を使用して解決できます。 トピックのプレゼンテーションを完全にするために、両方を提示します。

方法 1. 考え方は簡単です。最初の項の対応する 2 つの合計を計算し、一方からもう一方を減算する必要があります。 小さい方の量を計算します: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364。 ここで、より大きな合計を計算します: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20。 問題の条件に従って計算する必要がある量には 5 番目の項がすでに含まれているため、最後の式では 4 つの項のみが合計されていることに注意してください。 最後に、差を計算します: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344。

方法 2. 数値を代入して数を数える前に、対象の級数の m 項と n 項の合計の式を取得できます。 方法 1 とまったく同じことを行いますが、最初に金額のシンボル表現を扱う点のみが異なります。 Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) 。 結果の式に既知の数値を代入して、最終結果を計算できます: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344。

問題その３．分母は何ですか？

a1 = 2 とし、その無限和が 3 であり、これが減少する一連の数であることがわかっているとして、等比数列の分母を求めます。

問題の状況に基づいて、どの公式を使用して問題を解決すべきかを推測することは難しくありません。 もちろん、進行の合計は無限に減少します。 S∞ = a1 / (1 - b) となります。 ここから分母を表します: b = 1 - a1 / S∞。 あとは代入するだけです 既知の値そして必要な数値を取得します: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 または -0.333(3)。 このタイプのシーケンスでは法 b が 1 を超えてはいけないことを覚えていれば、この結果を定性的に確認できます。

タスク No. 4. 一連の数値の復元

たとえば、数列の 2 つの要素が与えられたとします。たとえば、5 番目が 30 に等しく、10 番目が 60 に等しいとします。等比数列の特性を満たすことがわかっているので、これらのデータから系列全体を再構成する必要があります。

この問題を解決するには、まず既知の各用語に対応する表現を書き留める必要があります。 a5 = b4 * a1 および a10 = b9 * a1 となります。 2 番目の式を最初の式で割ると、a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5 が得られます。 ここから、問題ステートメントから既知の項の比率の 5 番目の根を取ることで分母を決定します (b = 1.148698)。 結果の数値を既知の要素の式の 1 つに代入すると、a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966 が得られます。

したがって、数列 bn の分母と等比数列 bn-1 * 17.2304966 = an (b = 1.148698) が見つかりました。

等比数列はどこで使用されますか?

この数列の実際的な応用がなければ、その研究は純粋に理論的な興味に終わってしまいます。 しかし、そのようなアプリケーションは存在します。

以下に最も有名な 3 つの例を示します。

• 機敏なアキレスが遅いカメに追いつけないというゼノンのパラドックスは、無限に減少する数列の概念を使用して解決されます。
• セルごとの場合 チェス盤 1 番目のセルに 1 粒、2 番目に 2 粒、3 番目に 3 粒というように小麦粒を配置します。ボードのすべてのセルを満たすには、18446744073709551615 粒が必要になります。
• ゲーム「ハノイの塔」では、ディスクをあるロッドから別のロッドに移動するには、2n - 1 回の操作を実行する必要があります。つまり、使用されるディスクの数 n に応じて、その数は指数関数的に増加します。