逆導関数の 1 つである関数のグラフが与えられると、

直線 y=3x+2 は関数 y=-12x^2+bx-10 のグラフに接しています。 接点の横座標がゼロ未満であるとして、b を求めます。

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解決

x_0 を、関数 y=-12x^2+bx-10 のグラフ上の点の横座標とし、このグラフの接線が通過します。

点 x_0 における導関数の値は次のとおりです。 スロープ接線、つまり y"(x_0)=-24x_0+b=3 です。一方、接点は関数のグラフと接線の両方に同時に属します、つまり -12x_0^2+bx_0- 10=3x_0+2. 連立方程式が得られます。 \begin(case) -24x_0+b=3、\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2。 \終了(件)

この系を解くと、x_0^2=1 が得られます。これは、x_0=-1 または x_0=1 のいずれかを意味します。 横軸の条件によれば、接点は 0 未満であるため、x_0=-1、b=3+24x_0=-21 となります。

答え

状態

この図は、関数 y=f(x) のグラフを示しています (これは 3 つの直線で構成される破線です)。 この図を使用して、F(9)-F(5) を計算します。ここで、F(x) は関数 f(x) の逆導関数の 1 つです。

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解決

ニュートン・ライプニッツの公式によれば、差 F(9)-F(5) (F(x) は関数 f(x) の逆導関数の 1 つ) は、制限された曲線台形の面積に等しくなります。関数 y=f(x) のグラフから、直線 y=0 、 x=9 、 x=5 が得られます。 グラフから、示された湾曲した台形は、底辺が 4 と 3 に等しく、高さが 3 の台形であることがわかります。

その面積は等しい \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5。

答え

出典: 「数学。 2017 年統一国家試験の準備。 プロファイルレベル」 エド。 F. F. リセンコ、S. ユ. クラブホワ。

状態

この図は、y=f"(x) - 区間 (-4; 10) で定義された関数 f(x) の導関数のグラフを示しています。減少する関数 f(x) の区間を見つけます。あなたの答えでは、そのうちの最大のものの長さを示します。

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解決

知られているように、関数 f(x) は、導関数 f"(x) が 0 未満である各点の間隔で減少します。それらの最大のものの長さを見つける必要があることを考慮すると、そのような間隔は次の 3 つになります。図から自然に区別されます: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9)。

それらの最大のもの - (5; 9) の長さは 4 です。

答え

出典: 「数学。 2017 年統一国家試験の準備。 プロフィールレベル。」 エド。 F. F. リセンコ、S. ユ. クラブホワ。

状態

この図は、区間 (-8; 7) で定義された関数 f(x) の導関数である y=f"(x) のグラフを示しています。以下に属する関数 f(x) の最大点の数を求めます。間隔 [-6; -2]。

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解決

このグラフは、関数 f(x) の導関数 f"(x) が、区間 [ -6; -2 ] したがって、区間 [-6; -2] 上には、最大点が 1 つだけ存在します。

答え

出典: 「数学。 2017 年統一国家試験の準備。 プロフィールレベル。」 エド。 F. F. リセンコ、S. ユ. クラブホワ。

状態

この図は、区間 (-2; 8) で定義された関数 y=f(x) のグラフを示しています。 関数 f(x) の導関数が 0 に等しい点の数を決定します。

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解決

ある点における導関数がゼロに等しいということは、この点で描かれた関数のグラフの接線が Ox 軸に平行であることを意味します。 したがって、関数のグラフの接線が Ox 軸に平行になる点を見つけます。 このチャートでは、そのような点が極値点（最大点または最小点）です。 ご覧のとおり、極値点は 5 つあります。

答え

出典: 「数学。 2017 年統一国家試験の準備。 プロフィールレベル。」 エド。 F. F. リセンコ、S. ユ. クラブホワ。

状態

直線 y=-3x+4 は、関数 y=-x^2+5x-7 のグラフの接線に平行です。 接点の横座標を求めます。

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解決

任意の点 x_0 における関数 y=-x^2+5x-7 のグラフへの直線の角度係数は y"(x_0) に等しくなります。ただし、 y"=-2x+5、つまり y" になります。 (x_0)=-2x_0+5。条件で指定された直線 y=-3x+4 の角度係数は -3 に等しい。平行線は同じ傾き係数を持ちます。したがって、=- となるような値 x_0 を見つけます。 2x_0 +5=-3。

x_0 = 4 が得られます。

答え

出典: 「数学。 2017 年統一国家試験の準備。 プロフィールレベル。」 エド。 F. F. リセンコ、S. ユ. クラブホワ。

状態

この図は関数 y=f(x) のグラフを示しており、点 -6、-1、1、4 が横軸にマークされています。 これらの点のうち導関数が最も小さいのはどれですか? この点を回答の中で明記してください。

51. 図はグラフを示しています y=f "(x)- 関数の導関数 f(x)、間隔 (− 4; 6) で定義されます。 関数のグラフの接線が交わる点の横座標を求めます。 y=f(x) 線に平行 y=3xまたはそれと一致します。

答え: 5

52. 図はグラフを示しています y=F(x) f(x) f(x)ポジティブ？

答え: 7

53. 図はグラフを示しています y=F(x)ある関数の逆導関数の 1 つ f(x)、x 軸には 8 つの点がマークされています。 x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8。関数はこれらの点のうち何点にありますか f(x)ネガティブ？

答え: 3

54. 図はグラフを示しています y=F(x)ある関数の逆導関数の 1 つ f(x) X 軸には 10 個の点がマークされています。 x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10。 関数はこれらの点のうち何点にありますか f(x)ポジティブ？

答え: 6

55. 図はグラフを示しています y=F(x f(x)、間隔 (− 7; 5) で定義されます。 図を使用して、方程式の解の数を決定します。 f(x)=0セグメント [− 5; 2]。

答え: 3

56. 図はグラフを示しています y=F(x)ある関数 f の逆導関数の 1 つ （バツ）、間隔 (− 8; 7) で定義されます。 図を使用して、方程式の解の数を決定します。 f(x)=区間 [− 5; 5]。

答え: 4

57. 図はグラフを示しています y=F(バツ) ある関数の逆導関数の 1 つ f(バツ)、区間 (1;13) で定義されます。 図を使用して、方程式の解の数を決定します。 f (バツ)=0 セグメント上。

答え: 4

58. 図はある関数のグラフを示しています y=f(x)(共通の開始点を持つ 2 つの光線)。 図を使って計算してみると、 F(−1)−F(−8)、どこ F(x) f(x)。

答え: 20

59. 図はある関数のグラフを示しています y=f(x) (共通の開始点を持つ 2 つの光線)。 図を使って計算してみると、 F(−1)−F(−9)、どこ F(x)- 原始関数の 1 つ f(x)。

答え: 24

60. 図はある関数のグラフを示しています y=f(x）。 関数

-原始関数の一つ f(x)。影付きの図形の面積を求めます.

答え: 6

61. 図はある関数のグラフを示しています y=f(x)。関数

原始関数の一つ f(x)。 影付きの図形の面積を求めます。

答え: 14.5

関数のグラフの接線に平行

答え:0.5

接点の横座標を求めます。

答え: -1

関数のグラフに接しています

探す c.

答え: 20

関数のグラフに接しています

探す ある.

答え:0.125

関数のグラフに接しています

探す b、接点の横座標が 0 より大きいことを考慮します。

答え: -33

67. 実体点は法則に従って直線運動する

どこ バツ t- 動きが始まった瞬間から測定された秒単位の時間。 その速度が 96 m/s に等しかったのはどの時点 (秒単位) でしょうか?

答え: 18

68. 実体点は法則に従って直線運動する

どこ バツ- 基準点からの距離 (メートル単位)、 t- 動きが始まった瞬間から測定された秒単位の時間。 その速度が 48 m/s に等しかったのはどの時点 (秒単位) でしょうか?

答え: 9

69. 実体点は法則に従って直線運動する

どこ バツ t t=6 と。

答え: 20

70. 実体点は法則に従って直線運動する

どこ バツ- 基準点からの距離 (メートル単位)、 t- 動きの開始から測定された秒単位の時間。 瞬間の速度（m/s）を求めます t=3 と。

答え: 59

皆さん、こんにちは！ この記事では、アンチデリバティブのタスクについて説明します。 これらの課題は、数学の統一州試験に含まれています。 代数コースのセクション自体 (微分と積分) は非常にボリュームがあり、理解するには責任あるアプローチが必要であるという事実にもかかわらず、タスク自体は数学のオープンなタスクバンクに含まれており、統一された数学コースでは非常に簡単です。国家試験は 1 つまたは 2 つのステップで解決できます。

逆微分の本質、特に積分の幾何学的意味を正確に理解することが重要です。 理論的基礎を簡単に考えてみましょう。

積分の幾何学的意味

積分について簡単に言うと、積分は面積です。

定義: 線分上に定義された正の関数 f のグラフを座標平面上に与えるとします。 部分グラフ (または曲線台形) は、関数 f のグラフ、線 x = a および x = b、および x 軸によって囲まれた図形です。

定義: 有限セグメント上で定義された正の関数 f が与えられるとします。 セグメント上の関数 f の積分は、その部分グラフの面積です。

すでに述べたように、F'(x) = f (x)。どう結論づけられるでしょうか?

それは簡単です。 このグラフ上に F'(x) = 0 となる点がいくつあるかを判断する必要があります。これらの点では、関数のグラフの接線が x 軸に平行であることがわかります。 区間 [–2;4] 上のこれらの点を示してみましょう。

これらは、特定の関数 F (x) の極値点です。 それらは10個あります。

答え: 10

この図は、特定の関数 y = f (x) のグラフを示しています (共通の開始点を持つ 2 つの光線)。 この図を使用して、F (8) – F (2) を計算します。ここで、F (x) は関数 f (x) の逆導関数の 1 つです。

ニュートン-ライプニッツの定理をもう一度書き留めてみましょう。f を与えられた関数とし、F をその任意の逆導関数とします。 それから

そして、すでに述べたように、これは関数のサブグラフの領域です。

したがって、問題は台形の面積 (2 から 8 までの間隔) を見つけることになります。

セルごとに計算することは難しくありません。 7 が得られます。Figure は x 軸の上 (または y 軸の正の半平面) にあるため、符号は正です。

この場合でも、次のように言えます。点における逆導関数の値の差は、図の面積です。

答え: 7

図は、ある関数 y = f (x) のグラフを示しています。 関数 F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1.875 は、関数 y = f (x) の逆導関数の 1 つです。 影付きの図形の面積を求めます。

についてはすでに述べたように 幾何学的な感覚積分とは、関数 f (x) のグラフ、直線 x = a および x = b、ox 軸によって制限された図形の面積です。

定理 (ニュートン-ライプニッツ):

したがって、タスクは、-11 から -9 までの範囲で指定された関数の定積分を計算することになります。つまり、指定された点で計算された逆導関数の値の差を見つける必要があります。

答え: 6

この図は、ある関数 y = f (x) のグラフを示しています。

関数 F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 は、関数 f (x) の逆導関数の 1 つです。 影付きの図形の面積を求めます。

定理 (ニュートン-ライプニッツ):

問題は、-10 から -8 までの範囲にわたる特定の関数の定積分を計算することになります。

答え: 4 閲覧できます .

導関数と微分規則も にあります。 そのようなタスクを解決するだけでなく、それらを知る必要があります。

見ることもできます 背景情報ウェブサイトと .

短いビデオをご覧ください。これは映画「ブラインド・サイド」からの抜粋です。 これは教育についての映画、慈悲についての映画、私たちの人生における「偶然の」出会いの重要性についての映画であると言えます...しかし、これらの言葉だけでは十分ではありません。映画自体を観ることをお勧めします。強くお勧めします。

私はあなたの成功を祈って！

よろしくお願いします、アレクサンダー・クルチツキーク

P.S: ソーシャルネットワーク上でこのサイトについて教えていただければ幸いです。

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

コンテンツ

コンテンツ要素

導関数、タンジェント、逆導関数、関数と導関数のグラフ。

デリバティブ関数 \(f(x)\) を点 \(x_0\) の近傍で定義するとします。

点 \(x_0\) における関数 \(f\) の導関数限界と呼ばれる

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

この制限が存在する場合。

ある点における関数の導関数は、指定された点におけるこの関数の変化率を特徴付けます。

デリバティブ表

関数	デリバティブ
\(定数\)	\(0\)
\（バツ\）	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tg x\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)

微分の法則\(f\) と \(g\) は変数 \(x\) に依存する関数です。 \(c\) は数値です。

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - 複素関数の導関数

導関数の幾何学的意味 直線の方程式- 軸 \(Oy\) に平行ではない場合は、 \(y=kx+b\) の形式で書くことができます。 この方程式の係数 \(k\) は 直線の傾き。 タンジェントに等しい 傾斜角この直線。

直角- \(Ox\) 軸の正の方向とこの直線の間の角度。正の角度の方向 (つまり、\(Ox\) 軸から \ への最小回転の方向で測定) (Oy\) 軸)。

点 \(x_0\) における関数 \(f(x)\) の導関数は、この点での関数のグラフの接線の傾きに等しくなります: \(f"(x_0)=\tg\アルファ。\）

\(f"(x_0)=0\) の場合、関数 \(f(x)\) の点 \(x_0\) における接線は軸 \(Ox\) に平行になります。

接線方程式

関数 \(f(x)\) の点 \(x_0\) におけるグラフの接線の方程式:

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

関数の単調性関数の導関数が区間のすべての点で正である場合、関数はこの区間で増加します。

関数の導関数が区間のすべての点で負である場合、関数はこの区間で減少します。

最小値、最大値、変曲点 ポジティブの上 ネガティブこの時点で、 \(x_0\) が関数 \(f\) の最大点になります。

関数 \(f\) が点 \(x_0\) で連続で、この関数の導関数 \(f"\) の値が次のように変化するとします。 ネガティブの上 ポジティブこの時点で、 \(x_0\) は関数 \(f\) の最小点になります。

導関数 \(f"\) がゼロに等しいか存在しない点は、と呼ばれます。 重要なポイント\(f\) の関数です。

関数 \(f(x)\) の定義域の内部点。\(f"(x)=0\) は最小点、最大点、または変曲点になります。

導関数の物理的意味質点が直線的に移動し、その座標が法則 \(x=x(t)\) に従って時間に応じて変化する場合、この点の速度は、時間に関する座標の導関数に等しくなります。

加速度 質点時間に対するこの点の速度の導関数に等しい：

\(a(t)=v"(t).\)

ジョブタイプ: 7
トピック: 関数の逆導関数

状態

この図は、関数 y=f(x) のグラフを示しています (これは 3 つの直線で構成される破線です)。 この図を使用して、F(9)-F(5) を計算します。ここで、F(x) は関数 f(x) の逆導関数の 1 つです。

解決策を表示する

解決

ニュートン・ライプニッツの公式によれば、差 F(9)-F(5) (F(x) は関数 f(x) の逆導関数の 1 つ) は、制限された曲線台形の面積に等しくなります。関数 y=f(x) のグラフから、直線 y=0 、 x=9 、 x=5 が得られます。 グラフから、示された湾曲した台形は、底辺が 4 と 3 に等しく、高さが 3 の台形であることがわかります。

その面積は等しい \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5。

答え

ジョブタイプ: 7
トピック: 関数の逆導関数

状態

この図は、関数 y=F(x) のグラフを示しています。これは、区間 (-5; 5) で定義された関数 f(x) の逆導関数の 1 つです。 この図を使用して、セグメント [-3; 4]。

解決策を表示する

解決

逆導関数の定義によれば、F"(x)=f(x) という等式が成り立ちます。したがって、方程式 f(x)=0 は F"(x)=0 と書くことができます。 この図は関数 y=F(x) のグラフを示しているため、区間 [-3; 4]、関数 F(x) の導関数はゼロに等しい。 図から、これらが F(x) グラフの極値点 (最大値または最小値) の横座標になることが明らかです。 示された間隔内にそれらが正確に 7 つあります (最小点が 4 つ、最大点が 3 つ)。

答え

出典: 「数学。 2017 年統一国家試験の準備。 プロフィールレベル。」 エド。 F. F. リセンコ、S. ユ. クラブホワ。

ジョブタイプ: 7
トピック: 関数の逆導関数

状態

この図は、関数 y=f(x) のグラフを示しています (これは 3 つの直線で構成される破線です)。 この図を使用して、F(5)-F(0) を計算します。ここで、F(x) は関数 f(x) の逆導関数の 1 つです。

解決策を表示する

解決

ニュートン・ライプニッツの公式によれば、差 F(5)-F(0) (F(x) は関数 f(x) の逆導関数の 1 つ) は、制限された曲線台形の面積に等しくなります。関数 y=f(x) のグラフから、直線 y=0 、 x=5 、 x=0 が得られます。 グラフから、示された湾曲した台形は、底辺が 5 と 3 に等しく、高さが 3 の台形であることがわかります。

その面積は等しい \frac(5+3)(2)\cdot 3=12。

答え

出典: 「数学。 2017 年統一国家試験の準備。 プロフィールレベル。」 エド。 F. F. リセンコ、S. ユ. クラブホワ。

ジョブタイプ: 7
トピック: 関数の逆導関数

状態

この図は、関数 y=F(x) のグラフを示しています。関数 y=F(x) は、区間 (-5; 4) で定義された関数 f(x) の逆導関数の 1 つです。 この図を使用して、セグメント (-3; 3] 上の式 f (x) = 0 の解の数を決定します。

解決策を表示する

解決

逆導関数の定義によれば、F"(x)=f(x) という等式が成り立ちます。したがって、方程式 f(x)=0 は F"(x)=0 と書くことができます。 この図は関数 y=F(x) のグラフを示しているため、区間 [-3; 3]、関数 F(x) の導関数はゼロに等しい。

図から、これらが F(x) グラフの極値点 (最大値または最小値) の横座標になることが明らかです。 示された間隔内にそれらがちょうど 5 つあります (2 つの最小点と 3 つの最大点)。

答え

出典: 「数学。 2017 年統一国家試験の準備。 プロフィールレベル。」 エド。 F. F. リセンコ、S. ユ. クラブホワ。

ジョブタイプ: 7
トピック: 関数の逆導関数

状態

この図は、ある関数 y=f(x) のグラフを示しています。 関数 F(x)=-x^3+4.5x^2-7 は、関数 f(x) の逆導関数の 1 つです。

影付きの図形の面積を求めます。

解決策を表示する

解決

影付きの図は、関数 y=f(x) のグラフ、直線 y=0、x=1、および x=3 によって上から境界付けられた曲線台形です。 ニュートン・ライプニッツの公式によれば、その面積 S は差 F(3)-F(1) に等しくなります。ここで、F(x) は条件で指定された関数 f(x) の逆微分です。 それが理由です S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4.5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4.5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

答え

出典: 「数学。 2017 年統一国家試験の準備。 プロフィールレベル。」 エド。 F. F. リセンコ、S. ユ. クラブホワ。

ジョブタイプ: 7
トピック: 関数の逆導関数

状態

この図は、ある関数 y=f(x) のグラフを示しています。 関数 F(x)=x^3+6x^2+13x-5 は、関数 f(x) の逆導関数の 1 つです。 影付きの図形の面積を求めます。