入り口2 本の直線の間の角度の余弦をオンラインで求めます。 直線間の角度を求める
空間に直線を与えましょう 私そして メートル。 空間のある点 A を通して直線を描きます 私 1 || 私そして メートル 1 || メートル(図138)。
点 A は任意に選択できることに注意してください。特に、点 A はこれらの線上の 1 つに位置する可能性があります。 真っ直ぐなら 私そして メートルが交差する場合、A をこれらの線の交点とみなすことができます ( 私 1 = lそして メートル 1 = m).
非平行線間の角度 私そして メートル交差する線によって形成される隣接する角度の最小値です。 私 1 そして メートル 1 (私 1 || 私, メートル 1 || メートル）。 平行線間の角度はゼロに等しいとみなされます。
直線間の角度 私そして メートル\(\widehat((l;m))\) で表されます。 定義から、度で測定される場合は 0° ということになります。 < \(\ワイドハット((l;m)) \) < 90°、ラジアン単位の場合は 0 < \(\ワイドハット((l;m)) \) < π / 2 .
タスク。立方体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 が与えられるとします (図 139)。
直線 AB と DC 1 の間の角度を求めます。
直線ABとDC1が交差します。 直線 DC は直線 AB に平行であるため、定義によれば、直線 AB と直線 DC 1 の間の角度は \(\widehat(C_(1)DC)\) に等しくなります。
したがって、\(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°になります。
直接 私そして メートル呼ばれています 垂直、 \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. たとえば、立方体では
直線間の角度の計算。
空間内の 2 つの直線の間の角度を計算する問題は、平面内での場合と同じ方法で解決されます。 線間の角度の大きさを φ で表すことにします。 私 1 そして 私 2、および ψ - 方向ベクトル間の角度の大きさ あ そして b この直線。
そうすると、
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (図 206.6) の場合、φ = 180° - ψ となります。 明らかに、どちらの場合も等式 cos φ = |cos ψ| が成り立ちます。 式 (ゼロでないベクトル a と b の間の角度の余弦は、これらのベクトルのスカラー積をそれらの長さの積で割ったものに等しい) によれば、次のようになります。
$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$
したがって、
$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$
直線を正準方程式で与えてみましょう
$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; そして \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$
次に、線間の角度 φ が次の式を使用して決定されます。
$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$
直線の 1 つ (または両方) が非正準方程式で与えられる場合、角度を計算するには、これらの直線の方向ベクトルの座標を見つけて、式 (1) を使用する必要があります。
タスク1。線間の角度を計算する
$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;そして\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$
直線の方向ベクトルには次の座標があります。
a = (-√2 ; √2 ; -2)、 b = (√3 ; √3 ; √6 ).
式 (1) を使用すると、次のようになります。
$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$
したがって、これらの線の間の角度は 60° になります。
タスク2。線間の角度を計算する
$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) および \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\終了(件) $$
ガイドベクトルの背後にある あ 最初の直線を取る ベクトル積法線ベクトル n 1 = (3; 0; -12) および n 2 = (1; 1; -3) 平面がこの線を定義します。 式 \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) を使用すると、次のようになります。
$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$
同様に、2 番目の直線の方向ベクトルを求めます。
$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$
ただし、式 (1) を使用して、目的の角度のコサインを計算します。
$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$
したがって、これらの線の間の角度は 90° になります。
タスク3.三角錐 MABC では、辺 MA、MB、MC は相互に垂直です (図 207)。
それらの長さはそれぞれ 4、3、6 です。点 D は中央 [MA] です。 線分 CA と線分 DB の間の角度 φ を求めます。
直線 CA と DB の方向ベクトルを CA と DB とする。
点Mを座標の原点とします。 方程式の条件により、A (4; 0; 0)、B(0; 0; 3)、C(0; 6; 0)、D (2; 0; 0) となります。 したがって、\(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0)、\(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3) となります。 式 (1) を使用してみましょう。
$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) )) $$
コサイン テーブルを使用すると、直線 CA と直線 DB の間の角度が約 72° であることがわかります。
数学の統一国家試験の準備をしているすべての生徒にとって、「直線の間の角度を求める」というトピックを繰り返し学習することは役に立ちます。 統計が示しているように、認定テストに合格すると、立体測定のこのセクションのタスクは困難を引き起こします。 大量学生。 同時に、直線間の角度を見つける必要があるタスクは、基礎と国家の両方の統一国家試験で見つかります。 プロファイルレベル。 つまり、誰もが問題を解決できるはずです。
基本的な瞬間
空間上の線の相対位置は 4 種類あります。 それらは、一致したり、交差したり、平行したり、交差したりすることができます。 それらの間の角度は鋭角または直線にすることができます。
統一国家試験で線間の角度を見つけるため、またはたとえば問題を解く際に、モスクワや他の都市の小学生は、立体測定のこのセクションの問題を解くためにいくつかの方法を使用できます。 古典的な構造を使用してタスクを完了できます。 これを行うには、立体測定の基本的な公理と定理を学ぶ価値があります。 学生は、課題を地形学的な問題に導くために、論理的に推論し、図面を作成できる必要があります。
単純な数式、ルール、アルゴリズムを使用して座標ベクトル法を使用することもできます。 この場合の主なことは、すべての計算を正しく実行することです。 Shkolkovo 教育プロジェクトは、立体測定や学校コースの他のセクションにおける問題解決スキルを磨くのに役立ちます。
このマテリアルは、交差する 2 つの線の間の角度などの概念に特化しています。 最初の段落では、それが何であるかを説明し、図で示します。 次に、この角度のサイン、コサイン、および角度自体を見つける方法を見ていきます (平面と 3 次元空間の場合を別々に検討します)。必要な式を示し、例で正確に示します。実際にどのように使用されるか。
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2 本の線が交差するときに形成される角度を理解するには、角度、直角度、交点の定義そのものを思い出す必要があります。
定義 1
2 つの直線が 1 つの共通点を持つ場合、それを交差すると呼びます。 この点を2本の線の交点と呼びます。
各直線は交点によって光線に分割されます。 両方の直線は 4 つの角度を形成し、そのうち 2 つは垂直で、2 つは隣接しています。 それらの 1 つの尺度がわかれば、残りのものを決定できます。
角度の 1 つが α に等しいことがわかっているとします。 この場合、それに対して垂直な角度もαに等しくなります。 残りの角度を見つけるには、差 180 ° - α を計算する必要があります。 α が 90 度に等しい場合、すべての角度は直角になります。 直角に交差する線は垂直と呼ばれます (垂直の概念については別の記事で説明します)。
写真を見てください:
主な定義の定式化に進みましょう。
定義 2
2 つの交差する線によって形成される角度は、これら 2 つの線を形成する 4 つの角度のうち小さい方の尺度です。
定義から重要な結論を導き出す必要があります: この場合の角度の大きさは、区間 (0, 90] 内の任意の実数で表されます。線が垂直の場合、線間の角度はいずれの場合も次のようになります)。 90度に等しい。
交差する 2 つの線の間の角度を求める機能は、多くの実際的な問題を解決するのに役立ちます。 解決方法はいくつかのオプションから選択できます。
まず、幾何学的な方法を採用できます。 補角について何かわかっていれば、等しいまたは類似の図形の特性を使用して、補角を必要な角度に関連付けることができます。 たとえば、三角形の辺がわかっていて、これらの辺が位置する線の間の角度を計算する必要がある場合、コサイン定理が解決策に適しています。 条件があれば 直角三角形, 次に、計算には角度のサイン、コサイン、タンジェントの知識も必要になります。
座標法は、この種の問題を解決するのにも非常に便利です。 正しい使い方を説明しましょう。
2 本の直線が与えられる直交 (デカルト) 座標系 O xy があります。 それらを文字 a と b で表します。 直線はいくつかの方程式を使用して説明できます。 元の線には交点 M があります。 これらの直線間に必要な角度 (α とします) を決定するにはどうすればよいでしょうか?
与えられた条件下で角度を求める基本原理を定式化することから始めましょう。
直線の概念は、方向ベクトルや法線ベクトルなどの概念と密接に関係していることがわかっています。 特定の直線の方程式がある場合、そこからこれらのベクトルの座標を取得できます。 交差する 2 本の線に対してこれを一度に行うことができます。
2 つの交差する線によって定められる角度は、次の方法で求めることができます。
- 方向ベクトル間の角度。
- 法線ベクトル間の角度。
- 一方の線の法線ベクトルともう一方の線の方向ベクトルの間の角度。
次に、それぞれの方法を個別に見てみましょう。
1. 方向ベクトル a → = (a x, a y) を持つ直線 a と、方向ベクトル b → (b x, b y) を持つ直線 b があると仮定します。 次に、交点から 2 つのベクトル a → と b → をプロットしてみましょう。 この後、それらがそれぞれ独自の直線上に配置されることがわかります。 次に、それらの相対的な配置には 4 つの選択肢があります。 図を参照してください:
2 つのベクトル間の角度が鈍角でない場合、それが交差する線 a と b の間に必要な角度になります。 鈍角の場合、目的の角度は角度 a →、b → ^ に隣接する角度と等しくなります。 したがって、 a → 、 b → ^ ≤ 90 ° の場合は α = a → 、 b → ^ 、 a → 、 b → ^ > 90 ° の場合は α = 180 ° - a → 、 b → ^ となります。
コサインが 等しい角度が等しい場合、結果の等式を次のように書き換えることができます。 cos α = cos a → , b → ^ 、 a → , b → ^ ≤ 90 ° の場合。 cos α = cos 180 ° - a →、b → ^ = - cos a →、b → ^、a →、b → ^ > 90 °の場合。
2 番目のケースでは、換算式が使用されました。 したがって、
cos α cos a → 、 b → ^ 、 cos a → 、 b → ^ ≥ 0 - cos a → 、 b → ^ 、 cos a → 、 b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
最後の式を言葉で書いてみましょう。
定義 3
2 つの交差する直線によって形成される角度の余弦は、その方向ベクトルの間の角度の余弦の係数に等しくなります。
2 つのベクトル a → = (a x , a y) と b → = (b x , b y) の間の角度の余弦を求める式の一般的な形式は次のようになります。
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
そこから、指定された 2 つの直線の間の角度の余弦の公式を導き出すことができます。
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
次に、角度自体は次の式を使用して求めることができます。
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
ここで、 a → = (a x , a y) および b → = (b x , b y) は、指定されたラインの方向ベクトルです。
問題を解決する例を示しましょう。
例1
平面上の直交座標系において、２本の交線ａ、ｂが与えられる。 これらはパラメトリック方程式 x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R および x 5 = y - 6 - 3 で記述できます。 これらの線の間の角度を計算します。
解決
条件にはパラメトリック方程式があります。これは、このラインの方向ベクトルの座標をすぐに書き留めることができることを意味します。 これを行うには、パラメータの係数の値を取得する必要があります。 直線 x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R の方向ベクトルは a → = (4, 1) になります。
2 行目は、正準方程式 x 5 = y - 6 - 3 を使用して記述されます。 ここで、分母から座標を取得できます。 したがって、この直線の方向ベクトルは b → = (5 , - 3) になります。
次に、角度を求める作業に直接進みます。 これを行うには、2 つのベクトルの既存の座標を上記の式 α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 に代入するだけです。 以下の結果が得られます。
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
答え: これらの直線は 45 度の角度を形成します。
法線ベクトル間の角度を求めることで、同様の問題を解決できます。 法線ベクトル n a → = (n a x , n a y) を持つ線 a と、法線ベクトル n b → = (n b x , n b y) を持つ線 b がある場合、それらの間の角度は、n a → と n a → の間の角度に等しくなります。 n b → または n a →、n b → ^ に隣接する角度。 この方法を次の図に示します。
法線ベクトルの座標を使用して、交差する線の間の角度の余弦とこの角度自体を計算する式は次のようになります。
cos α = cos na a → , n b → ^ = n a x n b x + na a y + n b y n a x 2 + na a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n by y 2
ここで、n a → および n b → は、指定された 2 つの直線の法線ベクトルを示します。
例 2
直交座標系では、方程式 3 x + 5 y - 30 = 0 および x + 4 y - 17 = 0 を使用して 2 つの直線が与えられます。 それらの間の角度のサインとコサイン、およびこの角度自体の大きさを求めます。
解決
元の線は、A x + B y + C = 0 の形式の法線方程式を使用して指定されます。 法線ベクトルを n → = (A, B) と表します。 1 つのラインの最初の法線ベクトルの座標を見つけて、 n a → = (3, 5) と書きましょう。 2 行目 x + 4 y - 17 = 0 の場合、法線ベクトルの座標は n b → = (1, 4) になります。 次に、取得した値を数式に追加して合計を計算しましょう。
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
角度の余弦がわかっている場合は、基本的な関数を使用してその正弦を計算できます。 三角恒等式。 直線がなす角度 α は鈍角ではないので、sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34 となります。
この場合、α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 となります。
答え: cos α = 23 2 34、sin α = 7 2 34、α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
最後のケースを分析してみましょう。一方の直線の方向ベクトルともう一方の直線の法線ベクトルの座標がわかっている場合に、直線間の角度を求めます。
直線 a の方向ベクトル a → = (a x , a y) 、直線 b の法線ベクトル n b → = (n b x , n b y) があるとします。 これらのベクトルを交点とは別に設定し、それらの相対位置に関するすべてのオプションを考慮する必要があります。 画像を参照してください:
与えられたベクトル間の角度が 90 度以下の場合、a と b の間の角度を直角に補うことがわかります。
a → 、n b → ^ = 90 ° - α (a → 、n b → ^ ≤ 90 ° の場合)。
90 度未満の場合は、次のようになります。
a → 、n b → ^ > 90 °、その後 a → 、n b → ^ = 90 ° + α
等しい角度の余弦が等しいという規則を使用して、次のように書きます。
cos a → 、n b → ^ = cos (90 ° - α) = a → 、n b → ^ ≤ 90 ° の sin α。
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = -sin α for a → , n b → ^ > 90 ° 。
したがって、
sin α = cos a → 、 n b → ^ 、 a → 、 n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → 、 n b → ^ 、 a → 、 n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → 、 n b → ^ 、 a → 、 n b → ^ > 0 - cos a → 、 n b → ^ 、 a → 、 n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
結論を導き出しましょう。
定義 4
平面上で交差する 2 本の線の間の角度の正弦を求めるには、最初の線の方向ベクトルと 2 番目の線の法線ベクトルの間の角度の余弦の係数を計算する必要があります。
必要な式を書いてみましょう。 角度の正弦を求める：
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n by y 2
角度そのものを求める：
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n by y 2
ここで、 a → は最初の線の方向ベクトル、n b → は 2 番目の線の法線ベクトルです。
例 3
2 つの交差する線は、方程式 x - 5 = y - 6 3 および x + 4 y - 17 = 0 で与えられます。 交差角を求めます。
解決
与えられた方程式からガイドと法線ベクトルの座標を取得します。 a → = (- 5, 3) および n → b = (1, 4) であることがわかります。 式 α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 を使用して、次のように計算します。
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
前の問題から方程式を取得し、まったく同じ結果が得られましたが、方法が異なることに注意してください。
答え：α = arc sin 7 2 34
別の見つけ方を教えてみましょう 希望の角度指定されたラインの角度係数を使用します。
方程式 y = k 1 x + b 1 を使用して直交座標系で定義された線 a と、y = k 2 x + b 2 として定義された線 b があります。 これらは傾きのある直線の方程式です。 交差角度を見つけるには、次の公式を使用します。
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1、ここで k 1 と k 2 は 角度係数与えられた直線。 この記録を取得するには、法線ベクトルの座標を通じて角度を決定する公式が使用されました。
例 4
平面上で交差する2本の直線があり、 方程式で与えられる y = - 3 5 x + 6 および y = - 1 4 x + 17 4 。 交差角度の値を計算します。
解決
直線の角度係数は、k 1 = - 3 5 および k 2 = - 1 4 に等しくなります。 これらを式 α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 に加えて計算してみましょう。
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
答え：α = arc cos 23 2 34
この段落の結論として、ここで示した角度を求める公式は暗記する必要はないことに注意してください。 これを行うには、ガイドの座標や指定されたラインの法線ベクトルを知り、さまざまなタイプの方程式を使用してそれらを決定できれば十分です。 ただし、角度の余弦を計算する公式を覚えておくか、書き留めておくことをお勧めします。
空間内の交差する線の間の角度を計算する方法
このような角度の計算は、方向ベクトルの座標を計算し、これらのベクトルによって形成される角度の大きさを決定することに要約できます。 このような例では、前に説明したのと同じ推論が使用されます。
3 次元空間に直交座標系があると仮定しましょう。 これには、交点 M を持つ 2 つの直線 a と b が含まれています。 方向ベクトルの座標を計算するには、これらの直線の方程式を知る必要があります。 方向ベクトルを a → = (a x , a y , a z) および b → = (b x , b y , b z) と表します。 それらの間の角度の余弦を計算するには、次の式を使用します。
cos α = cos a → 、b → ^ = a → 、b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
角度そのものを求めるには、次の公式が必要です。
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
例5
方程式 x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 を使用して 3 次元空間に定義された線があります。 O z 軸と交差することが知られています。 切片角とその角度の余弦を計算します。
解決
計算する必要がある角度を文字 α で表します。 最初の直線の方向ベクトルの座標を書き留めてみましょう – a → = (1, - 3, - 2) 。 適用軸については、座標ベクトル k → = (0, 0, 1) をガイドとして使用できます。 必要なデータを受け取ったので、それを目的の式に追加できます。
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
その結果、必要な角度は a r c cos 1 2 = 45 ° であることがわかりました。
答え： cos α = 1 2、α = 45 °。
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平面間の角度
それぞれ次の方程式で定義される 2 つの平面 α 1 と α 2 について考えます。
下 角度 2 つの平面の間で、次のいずれかを理解できます。 上反角これらの平面によって形成されます。 法線ベクトルと平面間の角度 α 1 および α 2 が、示された隣接する二面角の 1 つまたは 
。 それが理由です 
。 なぜなら 
そして 
、 それ
.
例。平面間の角度を決定する バツ+2y-3z+4=0 と 2 バツ+3y+z+8=0.
2 つの平面の平行度の条件。
2 つの平面 α 1 と α 2 は、それらの法線ベクトルが平行である場合にのみ平行です。 
.
したがって、2 つの平面は、対応する座標の係数が比例する場合にのみ互いに平行になります。
または
平面の直角度の状態。
2 つの平面が垂直であることは、その法線ベクトルが垂直である場合に限り、したがって であることは明らかです。
したがって、 。
例。
宇宙で真っ直ぐ。
直線のベクトル方程式。
パラメトリック直接方程式
空間内の線の位置は、その固定点のいずれかを指定することによって完全に決定されます。 M 1 とこの線に平行なベクトル。
直線に平行なベクトルを次のように呼びます。 ガイドこの線のベクトル。
だから直線にしてみよう 私点を通過する M 1 (バツ 1 , y 1 , z 1) ベクトルに平行な線上にあります。
任意の点を考える M(x,y,z)直線上にあります。 図から明らかなように、 
.
ベクトルと は同一線上にあるため、このような数が存在します t、何、乗数はどこですか t点の位置に応じて任意の数値を取ることができます M直線上にあります。 要素 tパラメータと呼ばれます。 点の半径ベクトルを指定したら M 1と Mそれぞれ、 と を通じて、 を取得します。 この方程式は次のように呼ばれます ベクター直線の方程式。 各パラメータ値について、 tある点の動径ベクトルに対応します M、直線上に横たわっています。
この方程式を座標形式で書いてみましょう。 注目してください。 
そしてここから
結果として得られる方程式は次のように呼ばれます。 パラメトリック直線の方程式。
パラメータを変更する場合 t座標の変更 バツ, yそして zそして期間 M直線的に動きます。
直接の正準方程式
させて M 1 (バツ 1 , y 1 , z 1) – 直線上にある点 私、 そして 
はその方向ベクトルです。 もう一度線上の任意の点を取ってみましょう M(x,y,z)そしてベクトルを考えてみましょう。
ベクトルも同一線上にあることは明らかなので、対応する座標は比例するはずです。したがって、
– 正規の直線の方程式。
注1.直線の正準方程式は、パラメーターを削除することでパラメトリック方程式から取得できることに注意してください。 t。 実際、パラメトリック方程式から次のことが得られます。 
または .
例。直線の方程式を書き留めます 
パラメトリック形式で。
と表しましょう 
、 ここから バツ = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
注2.直線を座標軸の 1 つ (たとえば、axis) に対して垂直にします。 牛。 すると、線の方向ベクトルは垂直になります 牛したがって、 メートル=0。 その結果、直線のパラメトリック方程式は次の形式になります。
方程式からパラメータを除外する t、次の形式で直線の方程式を取得します。
ただし、この場合も、線の正準方程式を次の形式で正式に記述することに同意します。 
。 したがって、分数の 1 つの分母がゼロである場合、これは直線が対応する座標軸に垂直であることを意味します。
正準方程式と同様 
軸に垂直な直線に相当します 牛そして オイまたは軸に平行 オズ.
例。
2 つの平面の交線としての直線の一般方程式
空間内のすべての直線を通して、無数の平面が存在します。 そのうちの 2 つが交差すると、空間内にそれが定義されます。 したがって、このような 2 つの平面の方程式を一緒に考えると、この直線の方程式が表されます。
一般に、どの 2 つもそうではありません。 平行面、一般方程式で与えられます
それらの交点の直線を決定します。 これらの方程式は次のように呼ばれます 一般方程式真っ直ぐ。
例。
方程式で与えられる直線を作成します 
直線を作成するには、その任意の 2 つの点を見つけるだけで十分です。 最も簡単な方法は、直線と座標平面の交点を選択することです。 たとえば、平面との交点 xOy直線の方程式から次のことを仮定して得ます。 z= 0:
このシステムを解決すると、ポイントがわかります M 1 (1;2;0).
同様に、 y= 0、線と平面の交点を取得します。 オズ:
直線の一般方程式から、その正準方程式またはパラメトリック方程式に進むことができます。 これを行うには、何らかの点を見つける必要があります M直線上の 1 と直線の方向ベクトル。
点座標 Mこの方程式系から座標の 1 つに任意の値を与えて 1 を取得します。 方向ベクトルを見つけるには、このベクトルが両方の法線ベクトルに対して垂直でなければならないことに注意してください。 
そして 
。 したがって、直線の方向ベクトルを超えて、 私法線ベクトルのベクトル積を求めることができます。
.
例。鉛 一般方程式真っ直ぐ 
正規形に。
直線上にある点を見つけてみましょう。 これを行うには、座標の 1 つを任意に選択します。たとえば、 y= 0 として連立方程式を解きます。
線を定義する平面の法線ベクトルには座標があります。 
したがって、方向ベクトルは直線になります。
。 したがって、 私: 
.
直線間の角度
角度空間内の直線間の角度を、データに平行な任意の点を通って引かれた 2 本の直線によって形成される隣接する角度と呼びます。
スペースに 2 行を入力します。
明らかに、直線間の角度 φ は、その方向ベクトル と の間の角度とみなすことができます。 以来、ベクトル間の角度の余弦の公式を使用すると、次のようになります。
角度空間内の直線間の角度を、データに平行な任意の点を通って引かれた 2 本の直線によって形成される隣接する角度と呼びます。
スペースに 2 行を入力します。
明らかに、直線間の角度 φ は、その方向ベクトル と の間の角度とみなすことができます。 以来、ベクトル間の角度の余弦の公式を使用すると、次のようになります。
2 つの直線の平行度および垂直度の条件は、それらの方向ベクトルの平行度および垂直度の条件と等価であり、次のとおりです。
2ストレート 平行対応する係数が比例する場合にのみ、つまり、 私 1パラレル 私 2 並列の場合にのみ 
.
2ストレート 垂直対応する係数の積の合計がゼロに等しい場合に限り、 。
U 線と面の間のゴール
まっすぐにしておきます d- θ 平面に対して垂直ではありません。
d'− 線の投影 dθ平面へ。
直線間の最小角度 dそして d「電話します」 直線と平面の間の角度.
それを φ=( d,θ)
もし d⊥θ なら ( d、θ)=π/2
大井→j→k→− 直交座標系。
平面方程式:
θ: 斧+による+Cz+D=0
直線は点と方向ベクトルによって定義されると仮定します。 d[M 0,p→]
ベクター n→(あ,B,C)⊥θ
次に、ベクトル間の角度を見つけることが残ります。 n→そして p→、これを γ=( n→,p→).
角度γの場合<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
角度が γ>π/2 の場合、望ましい角度は φ=γ−π/2 です。
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
それから、 直線と平面の間の角度次の式を使用して計算できます。
sinφ=∣cosγ∣=∣∣ アプ 1+血圧 2+CP 3∣ ∣ √あ 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23
質問29. 二次形式の概念。 二次形式の符号明確性。
二次形式 j (x 1, x 2, …, x n) n 実数変数 x 1, x 2, …, x nは次の形式の和と呼ばれます 
, (1)
どこ アイジ – 係数と呼ばれるいくつかの数値。 一般性を失うことなく、次のように仮定できます。 アイジ = あじ.
二次形式は次のように呼ばれます 有効、もし アイジ
Î GR. 二次形式の行列はその係数から構成される行列と呼ばれます。 二次形式 (1) は唯一の対称行列に対応します。 
あれは A T = A。 したがって、二次形式 (1) は行列形式 j ( バツ) = ×たああ、 どこ ×T = (バツ 1 バツ 2 … ×n). (2)
逆に、すべての対称行列 (2) は、変数の表記に至るまで固有の 2 次形式に対応します。
二次形式のランクはその行列のランクと呼ばれます。 二次形式は次のように呼ばれます 非退化、その行列が特異でない場合 あ。 (行列を思い出してください あ行列式がそうでない場合、非縮退と呼ばれます。 ゼロに等しい）。 それ以外の場合、二次形式は縮退します。
正定値（または厳密に肯定的な）場合
j ( バツ) > 0 、 誰にも バツ = (バツ 1 , バツ 2 , …, ×n), を除外する バツ = (0, 0, …, 0).
マトリックス あ正定二次形式 j ( バツ) は正定値とも呼ばれます。 したがって、正定二次形式は一意の正定行列に対応し、その逆も同様です。
二次形式 (1) は次のように呼ばれます。 否定的に定義された(または厳密に否定的)
j ( バツ) < 0, для любого バツ = (バツ 1 , バツ 2 , …, ×n）、 を除外する バツ = (0, 0, …, 0).
上記と同様に、負定値 2 次形式の行列も負定値と呼ばれます。
したがって、正（負）の定二次形式 j ( バツ) が最小 (最大) 値 j ( バツ*) = 0 バツ* = (0, 0, …, 0).
ほとんどの 2 次形式は符号が明確ではない、つまり、正でも負でもないことに注意してください。 このような二次形式は、座標系の原点だけでなく、他の点でも消滅します。
いつ n> 2、二次形式の符号をチェックするには特別な基準が必要です。 それらを見てみましょう。
メジャーマイナー二次形式はマイナーと呼ばれます。
つまり、これらは 1、2、... の順序の未成年者です。 n行列 あ、左上隅に位置し、それらの最後は行列の行列式と一致します。 あ.
正の明確性基準 (シルベスター基準)
バツ) = ×たああが正定値であった場合、行列のすべての長短調が存在することが必要かつ十分です。 あ陽性でした、つまり: M 1 > 0, M 2 > 0, …, ん > 0. 負の確実性基準 二次形式 j ( バツ) = ×たああが負定であった場合、偶数次の主要マイナーが正であり、奇数次が負であることが必要かつ十分です。つまり、次のようになります。 M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n