入り口小数の書き方。 小数を正しく読む方法。 終了小数点
この記事では、小数部とは何か、小数部にはどのような特徴や性質があるのかを理解します。 行く！ 🙂
小数分数は、通常の分数 (分母が 10 の倍数) の特殊なケースです。
意味
小数とは、分母が 1 とそれに続くゼロの数で構成される分数です。 つまり、これらは分母が 10、100、1000 などの分数です。 それ以外の場合、小数分数は、分母が 10 または 10 の累乗の 1 つである分数として特徴付けることができます。
分数の例:
, ,
小数の分数は、通常の分数とは異なる方法で記述されます。 これらの分数の演算も、通常の分数の演算とは異なります。 これらの演算のルールは、整数の演算のルールとほぼ同様です。 これは特に、実際的な問題の解決に対する彼らの要求を説明しています。
分数を10進数で表現する
小数には分母はなく、分子の数値が表示されます。 で 一般的な見解小数部は次のスキームに従って記述されます。
ここで、X は小数部の整数部、Y は小数部、「,」は小数点です。
適切なプレゼンテーションのために 公分数 10 進数形式では、正確である必要があります。つまり、整数部分が (可能な場合) 強調表示され、分子が分母より小さい必要があります。 次に、10 進表記では、整数部分が小数点 (X) の前に書かれ、公分数の分子が小数点 (Y) の後に書かれます。
分子に分母のゼロの数より桁数が少ない数値が含まれている場合、部分 Y では、10 進表記で不足している桁数が分子の桁の前にゼロで埋められます。
例： 
公分数が 1 未満の場合、つまり に整数部分がない場合は、10 進数形式の X に 0 を書き込みます。
小数部 (Y) では、最後の有効桁 (ゼロ以外) の後に、任意の数のゼロを入力できます。 これは分数の値には影響しません。 逆に、小数部の末尾のゼロをすべて省略することもできます。
小数の読み方
パート X は通常、「X の整数」と読み取られます。
Y部分は分母の数字に従って読み取られます。 分母 10 の場合は「Y 10 分の 1」、分母 100 の場合は「Y 100 分の 1」、分母 1000 の場合は「Y 1000 分の 1」などと読む必要があります... 😉
小数部の桁数を数えるという別の読み方の方が、より正しいと考えられています。 これを行うには、小数部の桁が、分数の全体の桁に対して鏡像の位置にあることを理解する必要があります。
正しい読み方の名前を表に示します。
これを踏まえ、小数部下一桁の桁名に準拠して読み方を行ってください。
- 3.5は「スリー・ポイント・ファイブ」と読みます。
- 0.016 は「1600 分の 0 ポイント」を読み取ります。
任意の分数を小数に変換する
公用分数の分母が 10 または 10 の累乗の場合、分数の変換は上記のように実行されます。 他の状況では、追加の変換が必要になります。
翻訳方法は2通りあります。
最初の転送方法
分子と分母は、分母が 10 または 10 のべき乗のいずれかを生成するような整数で乗算する必要があります。 そして分数を10進数で表現します。
この方法は、分母が 2 と 5 にのみ展開できる分数に適用できます。 
。 展開に他の素因数 (たとえば、 ) が含まれている場合は、2 番目の方法に頼る必要があります。
第二の翻訳方法
2 番目の方法は、列または電卓で分子を分母で割ることです。 部分全体は、たとえあったとしても、変換には関与しません。
小数点以下の端数が得られる長い除算の規則を以下に説明します (「小数点の除算」を参照)。
小数を公分数に変換する
これを行うには、小数部 (小数点の右側) を分子として書き留め、小数部を読み取った結果を分母の対応する数値として書き留める必要があります。 次に、可能であれば、結果の端数を減らす必要があります。
有限および無限小数
小数部は最終分数と呼ばれ、小数部は有限の桁数で構成されます。
上記のすべての例には、最終的な小数が含まれています。 ただし、すべての普通の分数が最終的な小数として表現できるわけではありません。 最初の変換方法が特定の分数に適用できず、2 番目の方法で除算が完了できないことが判明した場合、無限小数のみを取得できます。
無限分数を完全な形で書くことは不可能です。 不完全な形では、このような分数は次のように表すことができます。
- 必要な小数点以下の桁数まで削減した結果。
- 周期分数として。
小数点以降が無限に繰り返される一連の数字を区別できる場合、分数は周期的と呼ばれます。
残りの端数は非周期と呼ばれます。 非周期的な分数の場合、第 1 の表現方法 (四捨五入) のみが許可されます。
周期的な分数の例: 0.8888888... ここでは数字の 8 が繰り返されていますが、そうでないと仮定する理由がないので、明らかに無限に繰り返されます。 この図はと呼ばれます 分数の周期.
周期分数は純粋または混合することができます。 純粋な小数とは、小数点の直後からピリオドが始まる小数のことです。 U 混合分数小数点の前に 1 桁以上の数字があります。
54.33333… – 周期的な純粋な小数
2.5621212121… – 周期帯分数
無限小数の書き方の例:
2 番目の例は、周期分数を記述する際にピリオドを正しくフォーマットする方法を示しています。
周期小数を普通の分数に変換する
純粋な周期分数を通常の周期に変換するには、それを分子に書き込み、周期の桁数に等しい量の 9 からなる数を分母に書き込みます。
混合周期小数は次のように変換されます。
- ピリオドの前の小数点以下の数字と最初のピリオドで構成される数字を形成する必要があります。
- 結果の数値から、ピリオドの前の小数点以下の数値を引きます。 結果は公分数の分子になります。
- 分母には、ピリオドの桁数に等しい 9 の数とそれに続く 0 で構成される数値を入力する必要があります。その数は、小数点以下の 1 番目の桁数と同じです。期間。
小数の比較
小数最初にその部分全体で比較されます。 全体の部分が大きい分数の方が大きくなります。
整数部が同じ場合は、小数部の対応する桁を先頭から（10の位から）比較します。 同じ原則がここにも当てはまります。つまり、10 分の 1 が多い分数が大きい分数になります。 10 の位が等しい場合は、100 の位が比較されます。
なぜなら
, 小数部分の整数部分と 10 分の 1 が等しいため、2 番目の分数の 100 分の 1 の桁が大きくなります。
小数の足し算と引き算
小数は、対応する数字を下に並べて書くことで、整数と同じように加算および減算されます。 これを行うには、小数点を上下に並べる必要があります。 すると、整数部の単位（10の位など）と小数部の10の位（100分の1など）が一致します。 小数部の欠落した桁はゼロで埋められます。 直接 加算と減算のプロセスは、整数の場合と同じ方法で実行されます。
小数の乗算
小数を乗算するには、小数点の位置に注意せずに、最後の桁に揃えて上下に並べて書く必要があります。 次に、整数を乗算する場合と同じ方法で数値を乗算する必要があります。 結果を受け取った後、両方の小数部の小数点以下の桁数を再計算し、結果の数値の小数点以下の桁数の合計をカンマで区切る必要があります。 十分な桁がない場合は、ゼロに置き換えられます。
小数を 10n で乗算および除算する
これらのアクションは単純で、要約すると小数点を移動することになります。 P 乗算する場合、小数点は 10n のゼロの数に等しい桁数だけ右に移動します (分数は増加します)。ここで、n は任意の整数乗です。 つまり、一定の桁数が小数部から整数部に転送されます。 したがって、除算の際には、カンマが左に移動（数値が減少）し、一部の桁が整数部から小数部に移されます。 転送するのに十分な数値がない場合、不足しているビットはゼロで埋められます。
小数と整数を整数と小数で割る
小数を整数で割るのは、2 つの整数を割ることと似ています。 さらに、考慮する必要があるのは小数点の位置だけです。カンマに続く桁の数字を削除する場合は、生成された回答の現在の数字の後にカンマを置く必要があります。 次に、ゼロになるまで割り算を続ける必要があります。 除算を完了するのに十分な符号が被除数にない場合は、ゼロを符号として使用する必要があります。
同様に、被除数のすべての桁が削除され、完全な除算がまだ完了していない場合、2 つの整数が列に分割されます。 この場合、被除数の最後の桁を削除した後、結果の答えに小数点が置かれ、削除された桁としてゼロが使用されます。 それらの。 ここでの被除数は、基本的に小数部分がゼロの小数として表されます。
小数 (または整数) を 10 進数で除算するには、被除数と除数に 10 n を乗算する必要があります。ゼロの数は除数の小数点以下の桁数に等しくなります。 このようにして、割りたい分数の小数点を削除します。 なお、分割処理は上記と同様である。
小数部のグラフ表示
小数は座標線を使用してグラフィカルに表されます。 これを行うには、定規でセンチメートルとミリメートルを同時にマークするのと同じように、個々のセグメントをさらに 10 等分の部分に分割します。 これにより、小数が正確に表示され、客観的に比較できるようになります。
個々のセグメントの分割を同一にするためには、単一セグメント自体の長さを慎重に考慮する必要があります。 追加分割の利便性が確保できるものでなければなりません。
小数。
小数の 10 進表記$0$ から $9$ までの 2 つ以上の数字のセットで、その間にはいわゆる \textit (小数点) があります。
例1
たとえば、$35.02$。 $100.7$; $123\456.5$; 54.89ドル。
数値の 10 進表記の左端の桁をゼロにすることはできません。唯一の例外は、小数点が最初の桁 $0$ の直後にある場合です。
例 2
たとえば、$0.357$; $0.064$。
多くの場合、小数点は小数点に置き換えられます。 たとえば、$35.02$。 $100.7$; $123\456.5$; 54.89ドル。
10 進数の定義
定義 1
小数-- これらは 10 進表記で表される小数です。
たとえば、121.05 ドル。 $67.9$; 345.6700ドル。
小数は、分母が $10$、$100$、$1\000$ などの数値である適切な分数をよりコンパクトに記述するために使用されます。 帯分数 (小数部の分母は $10$、$100$、$1\000$ など) です。
たとえば、公分数 $\frac(8)(10)$ は 10 進数 $0.8$ として書くことができ、帯分数 $405\frac(8)(100)$ は 10 進数 $405.08$ として書くことができます。
小数の読み方
通常の分数に対応する小数の分数は、先頭に「ゼロ整数」という語句が追加されるだけで、通常の分数と同じように読み取れます。 たとえば、公用分数 $\frac(25)(100)$ (「100 分の 25」と読みます) は、小数部分 $0.25$ (「100 分の 25」と読みます) に対応します。
帯分数に対応する小数は、帯分数と同じように読み取られます。 たとえば、帯分数 $43\frac(15)(1000)$ は、小数部分 $43.015$ (「1000 分の 43.15」と読みます) に対応します。
小数点での桁数
小数を書く場合、各桁の意味はその位置によって異なります。 それらの。 小数部でもこの概念は適用されます カテゴリー.
小数点以下の小数の位は自然数の位と同じと呼ばれます。 小数点以下の小数点以下の桁数を表に示します。
写真1。
例 3
たとえば、小数部 $56.328$ では、数字 $5$ は 10 の位、$6$ は単位の位、$3$ は 10 の位、$2$ は 100 の位、$8$ は 1000 の位になります。場所。
小数部の桁は優先順位によって区別されます。 小数を読み取るときは、左から右に移動します。 シニアにランク付けする 若い.
例 4
たとえば、小数部 $56.328$ では、最上位 (最高) の位は 10 の位、下位 (最低) の位は 1000 の位です。
小数部は、自然数の桁分解と同様に、桁に展開できます。
例5
たとえば、小数部 $37.851$ を数字に分解してみましょう。
$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$
終了小数点
定義 2
終了小数点は小数と呼ばれ、そのレコードには有限数の文字 (桁) が含まれます。
たとえば、$0.138$; $5.34$; $56.123456$; 350,972.54ドル。
任意の有限小数は、分数または帯分数に変換できます。
例6
たとえば、最後の小数部分 $7.39$ の答えは 小数$7\frac(39)(100)$ であり、最後の小数 $0.5$ は、適切な公分数 $\frac(5)(10)$ (またはそれに等しい任意の分数、たとえば $\frac) に対応します。 (1) (2)$ または $\frac(10)(20)$。
分数を小数に変換する
分母が $10、100、\dots$ の分数を小数に変換する
一部の適切な分数を小数に変換する前に、まずそれらを「準備」する必要があります。 このような準備の結果は、分子の桁数と分母のゼロの数が同じになるはずです。
小数に変換するための適切な普通分数の「下準備」の要点は、分子の左側にゼロを、桁数の合計が分母のゼロの数と等しくなるように追加することです。
例 7
たとえば、分数 $\frac(43)(1000)$ を 10 進数に変換する準備をして、$\frac(043)(1000)$ を取得してみましょう。 また、普通の分数 $\frac(83)(100)$ は準備する必要がありません。
定式化しましょう 分母が $10$、$100$、$1\000$、$\dots$ の固有公分数を小数に変換する規則:
$0$ と書き込みます。
その後に小数点を置きます。
分子からの数字を書き留めます（必要に応じて、準備後に追加されたゼロも加えて）。
例8
適切な分数 $\frac(23)(100)$ を 10 進数に変換します。
解決。
分母には $100$ という数値が含まれており、これには $2$ と 2 つのゼロが含まれます。 分子には数値 $23$ が含まれており、$2$.digits で記述されます。 これは、この分数を小数に変換するために準備する必要がないことを意味します。
$0$と書いて小数点を入れて、分子から$23$という数字を書きましょう。 小数部 $0.23$ が得られます。
答え: $0,23$.
例9
適切な分数 $\frac(351)(100000)$ を小数として書き込みます。
解決。
この分数の分子には $3$ の桁が含まれており、分母のゼロの数は $5$ であるため、この通常の分数は 10 進数に変換できるように準備する必要があります。 これを行うには、分子の左側に $5-3=2$ のゼロを追加する必要があります: $\frac(00351)(100000)$。
これで、目的の小数を形成できるようになりました。 これを行うには、$0$ を書き留めてから、カンマを追加して分子からの数値を書き留めます。 小数部 $0.00351$ が得られます。
答え: $0,00351$.
定式化しましょう 分母が $10$、$100$、$\dots$ の仮分数を小数に変換するためのルール:
分子からの数を書き留めます。
小数点を使用して、元の分数の分母にゼロがある数の右側の桁を区切ります。
例 10
仮分数 $\frac(12756)(100)$ を 10 進数に変換します。
解決。
分子 $12756$ からの数値を書き留めて、右側の $2$ の桁を小数点で区切ってみましょう。 元の分数 $2$ の分母はゼロです。 小数部 $127.56$ が得られます。
小数分数は通常の分数と同じですが、いわゆる 10 進表記です。 分母が 10、100、1000 などの分数には 10 進表記が使用されます。分数の代わりに 1/10; 1/100; 1/1000; ... 0.1 を書き込みます。 0.01; 0.001;... 。
たとえば、0.7 ( ゼロポイントセブン) は分数 7/10 です。 5.43 ( 五時四十三分) は帯分数 5 43/100 (または同じ、仮分数 543/100) です。
小数点の直後に 1 つ以上のゼロが存在する場合があります。1.03 は小数 1 3/100 です。 17.0087 は 17 87/10000 の端数です。 原則これですか： 公用分数の分母には、小数点以下の桁数と同じ数のゼロがなければなりません.
小数部は 1 つ以上のゼロで終わる場合があります。 これらのゼロは「余分」であることがわかり、単純に削除できます。1.30 = 1.3; 5.4600 = 5.46; 3,000 = 3. なぜそうなるのか分かりますか?
「四捨五入」の数値 (10、100、1000 など) で割る場合、自然に小数が発生します。次の例を必ず理解してください。
27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;
579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;
33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;
34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;
6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.
ここにパターンがあることに気づきましたか? それを定式化してみてください。 小数に 10、100、1000 を掛けるとどうなりますか?
普通の分数を小数に変換するには、それを何らかの「四捨五入」分母に減らす必要があります。
2/5 = 4/10 = 0.4; 11/20 = 55/100 = 0.55; 9/2 = 45/10 = 4.5 など
小数の加算は、分数の加算よりもはるかに簡単です。 加算は、対応する桁に従って、通常の数値と同じ方法で実行されます。 列に追加する場合、用語はカンマが同じ縦になるように記述する必要があります。 合計のカンマも同じ縦になります。 小数部の減算もまったく同じ方法で実行されます。
分数の一方を加算または減算するときに、小数点以下の桁数がもう一方の分数よりも少ない場合は、必要な数のゼロをこの分数の末尾に追加する必要があります。 これらのゼロを追加することはできませんが、頭の中で想像するだけです。
小数を乗算する場合は、通常の数値として再度乗算する必要があります (小数点の下にカンマを書く必要はなくなりました)。 結果として得られる結果では、両方の要素の小数点以下の桁数の合計に等しい桁数をカンマで区切る必要があります。
小数を除算する場合、被除数と除数の小数点を同じ桁数だけ右に同時に移動できます。これにより商は変わりません。
2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;
4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;
6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.
なぜそうなるのか説明してください。
- 10×10の正方形を描きます。 次の値に等しい部分をペイントします。 a) 0.02; b) 0.7; c) 0.57; d) 0.91; e) 正方形全体の面積 0.135。
- 2.43平方とは何ですか? それを絵に描いてみましょう。
- 数値 37 を 10 で割ります。 795; 4; 2.3; 65.27; 0.48 を計算し、結果を小数として書き込みます。 同じ数値を 100 と 1000 で割ります。
- 数値 4.6 に 10 を掛けます。 6.52; 23.095; 0.01999。 同じ数値に 100 と 1000 を掛けます。
- 小数を分数で表し、約分します。
a) 0.5; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8;
b) 0.25; 0.75; 0.05; 0.35; 0.025;
c) 0.125; 0.375; 0.625; 0.875;
d) 0.44; 0.26; 0.92; 0.78; 0.666; 0.848。 - 混合分数として存在: 1.5; 3.2; 6.6; 2.25; 10.75; 4.125; 23.005; 7.0125。
- 分数を小数として表現します。
a) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 5月18日;
b) 1/4; 3/4; 5/4; 4月19日。 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
c) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
d) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000年。 - 合計を求めます: a) 7.3+12.8; b) 65.14+49.76; c) 3.762+12.85; d) 85.4+129.756; e) 1.44+2.56。
- 1 は小数点 2 桁の合計と考えてください。 このように表現する方法をさらに 20 個見つけてください。
- 違いを見つけてください: a) 13.4–8.7; b) 74.52～27.04; c) 49.736–43.45; d) 127.24–93.883; e) 67–52.07; e) 35.24 ～ 34.9975。
- 製品を検索します: a) 7.6·3.8; b) 4.8・12.5; c) 2.39・7.4; d) 3.74・9.65。
計算の便宜上、普通の分数を小数に変換したり、その逆に変換したりする必要がある場合があります。 この記事ではその方法について説明します。 普通の分数を小数に変換する、またはその逆の変換のルールを例とともに見てみましょう。
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通常の分数を一定の順序に従って小数に変換することを考えます。 まず、分母が 10 の倍数である通常の分数が、10、100、1000 などの小数にどのように変換されるかを見てみましょう。このような分母をもつ分数は、実際には、小数の分数のより複雑な表記です。
次に、10 の倍数だけでなく、分母が任意の普通の分数を小数に変換する方法を見ていきます。 普通の分数を小数に変換すると、有限の小数だけでなく、無限の周期小数も得られることに注意してください。
始めましょう！
分母が 10、100、1000 などの普通分数の変換 小数点まで
まず、一部の分数は 10 進形式に変換する前に準備が必要だとします。 それは何ですか？ 分子の数値の前に、分子の桁数が分母のゼロの数と等しくなるように、非常に多くのゼロを追加する必要があります。 たとえば、分数 3100 の場合、分子の 3 の左側に数値 0 を 1 回追加する必要があります。 上記のルールによれば、フラクション 610 は変更する必要がありません。
もう 1 つの例を見てみましょう。その後、分数の変換の経験があまりない場合に、最初に使用するのに特に便利なルールを定式化します。 したがって、分子にゼロを追加した後の小数 1610000 は、001510000 のようになります。
分母が10、100、1000などの公分数を変換する方法 10進数に?
通常の固有分数を小数に変換する規則
- 0 を書き留めて、その後にカンマを置きます。
- ゼロを加算して得られた分子からの数を書き留めます。
それでは例に移りましょう。
例 1: 分数を小数に変換する
小数部 39,100 を小数に変換してみましょう。
まず、分数を見て、準備アクションを実行する必要がないことがわかります。分子の桁数は分母のゼロの数と一致します。
ルールに従って、0を書き、その後に小数点を置き、分子から数字を書きます。 小数部 0.39 が得られます。
このトピックに関する別の例の解決策を見てみましょう。
例 2. 分数を小数に変換する
分数 105 10000000 を小数として書きましょう。
分母のゼロの数は 7 で、分子は 3 桁のみです。 分子の数値の前にゼロを 4 つ追加しましょう。
0000105 10000000
ここで、0を書き留め、その後ろに小数点を置き、分子からの数を書き留めます。 小数部 0.0000105 が得られます。
すべての例で考慮される分数は、通常の固有分数です。 しかし、仮分数を小数に変換するにはどうすればよいでしょうか? このような分数にゼロを追加する準備は必要ないことをすぐに言ってみましょう。 ルールを決めてみましょう。
通常の仮分数を小数に変換するための規則
- 分子に入る数字を書き留めてください。
- 小数点を使用して、元の分数の分母にゼロがある数の右側の桁を区切ります。
以下は、このルールの使用方法の例です。
例 3. 分数を小数に変換する
分数 56888038009 100000 を通常の不等分数から小数に変換してみましょう。
まず、分子からの数を書き留めましょう。
さて、右側では、5 つの数字を小数点で区切ります (分母のゼロの数は 5 です)。 我々が得る：
次に自然に生じる疑問は、帯分数の小数部の分母が 10、100、1000 などの場合、どのようにして小数に変換するかということです。 このような数値を小数に変換するには、次のルールを使用できます。
帯分数を小数に変換する規則
- 必要に応じて小数部を用意させていただきます。
- 元の数値の全体を書き留め、その後にコンマを置きます。
- 小数部分の分子からの数をゼロを加えて書き留めます。
例を見てみましょう。
例 4: 帯分数を 10 進数に変換する
帯分数 23 17 10000 を小数に変換してみましょう。
小数部には 17 10000 という式があります。 それを準備して、分子の左側にさらに 2 つのゼロを追加しましょう。 0017 10000 となります。
次に、数値の全体部分を書き留めて、その後ろにカンマを置きます: 23, . 。
小数点以下は分子からの数字をゼロとともに書きます。 結果が得られます:
23 17 10000 = 23 , 0017
普通分数を有限および無限の周期分数に変換する
もちろん、分母が 10、100、1000 などに等しくない小数や普通の分数に変換することもできます。
多くの場合、分数は簡単に新しい分母に換算でき、この記事の最初の段落で説明したルールを使用できます。 たとえば、分数 25 の分子と分母に 2 を掛けるだけで十分で、分数 410 が得られます。これは 10 進数の 0.4 に簡単に変換できます。
ただし、分数を小数に変換するこの方法は常に使用できるわけではありません。 以下では、検討した方法を適用できない場合の対処方法を検討します。
分数を小数に変換する根本的に新しい方法は、列を使用して分子を分母で割ることです。 この演算は自然数を列で除算するのとよく似ていますが、独自の特徴があります。
除算する場合、分子は小数として表されます。分子の最後の桁の右側にカンマが置かれ、ゼロが追加されます。 結果として得られる商には、分子の整数部分の除算が終了した時点で小数点が配置されます。 この方法がどのように正確に機能するかは、例を見れば明らかになります。
例 5. 分数を小数に変換する
公分数 621 4 を 10 進数形式に変換してみましょう。
分子の数値 621 を、小数点の後にいくつかのゼロを追加して小数として表してみましょう。 621 = 621.00
次に、列を使用して 621.00 を 4 で割ってみましょう。 割り算の最初の 3 ステップは自然数の割り算と同じで、 が得られます。
被除数が小数点に達し、余りがゼロと異なる場合は、商に小数点を入れて除算を続け、被除数のコンマには注意を払いません。
結果として、小数部 155, 25 が得られます。これは、公分数 621 4 を反転した結果です。
621 4 = 155 , 25
材料を強化する別の例を見てみましょう。
例 6. 分数を小数に変換する
公分数 21 800 を逆にしてみましょう。
これを行うには、端数 21,000 を 800 で列に分割します。 全体の除算は最初のステップで終了するので、その直後に商に小数点を入れて、剰余がゼロになるまで被除数のカンマに注意を払わずに除算を続けます。
その結果、21,800 = 0.02625 が得られました。
しかし、除算しても余りが 0 にならない場合はどうなるでしょうか。このような場合、除算は無限に続けることができます。 ただし、あるステップからは周期的に残差が繰り返されます。 したがって、商の数字が繰り返されます。 これは、普通の分数が 10 進数の無限の周期分数に変換されることを意味します。 これを例で説明してみましょう。
例 7. 分数を小数に変換する
公分数 19 44 を 10 進数に変換してみましょう。 これを行うには、列による除算を実行します。
除算中、残基 8 と 36 が繰り返されることがわかります。 この場合、商の中で数字 1 と 8 が繰り返されます。 これは小数点で表したピリオドです。 記録するとき、これらの番号は括弧内に置かれます。
したがって、元の常分数は無限周期小数に変換されます。
19 44 = 0 , 43 (18) .
既約常分数を見てみましょう。 どのような形になるのでしょうか？ どの常分数が有限小数に変換され、どの常分数が無限周期分数に変換されますか?
まず、分数を分母 10、100、1000... のいずれかに約分できる場合、最終的な小数の形式になるとします。 分数をこれらの分母の 1 つに減らすには、その分母が 10、100、1000 などの数値の少なくとも 1 つの約数でなければなりません。 数値を素因数に因数分解するルールから、数値の約数は 10、100、1000 などになることがわかります。 素因数に因数分解すると、数値 2 と 5 のみが含まれなければなりません。
言われたことを要約しましょう:
- 公分数は、分母が 2 と 5 の素因数に分解できる場合、最終的な小数に減らすことができます。
- 分母の展開に数値 2 と 5 に加えて他の素数がある場合、分数は無限周期小数の形に減らされます。
例を挙げてみましょう。
例 8. 分数を小数に変換する
これらの分数 47 20、7 12、21 56、31 17 のどれが最終的な小数に変換され、どれが周期的な小数にのみ変換されます。 分数を小数に直接変換せずに、この質問に答えてみましょう。
分かりやすいように、分数 47 20 は、分子と分母に 5 を掛けると、新しい分母 100 になります。
47 20 = 235 100。 このことから、この分数は最終的な小数に変換されると結論付けられます。
分数 7 12 の分母を因数分解すると、12 = 2 · 2 · 3 となります。 素因数 3 は 2 や 5 とは異なるため、この分数は有限小数として表すことができず、無限周期分数の形式になります。
まず、端数 21 56 を減らす必要があります。 7 で約分すると、既約分数 3 8 が得られ、その分母を因数分解すると 8 = 2 · 2 · 2 となります。 したがって、これは最終的な小数になります。
分数 31 17 の場合、分母を因数分解すると素数 17 そのものになります。 したがって、この分数は無限の周期小数に変換できます。
普通の分数を無限の非周期的な小数に変換することはできません
上記では、有限および無限の周期分数についてのみ説明しました。 しかし、普通の分数を無限の非周期分数に変換できるでしょうか?
私たちは答えます：いいえ！
重要！
無限分数を小数に変換すると、結果は有限小数または無限周期小数のいずれかになります。
除算の余りは常に除数より小さくなります。 言い換えれば、割り切り定理によれば、いくつかを分割すると、 自然数数値 q で割った場合、いかなる場合でも除算の余りは q-1 より大きくなりません。 分割が完了すると、次のいずれかの状況が考えられます。
- 余りが 0 になり、これで割り算が終了します。
- 剰余が得られ、それがその後の除算で繰り返され、無限の周期分数が得られます。
分数を小数に変換する場合、他のオプションは使用できません。 また、無限周期分数の周期の長さ (桁数) は、対応する普通分数の分母の桁数よりも常に小さいとします。
小数を分数に変換する
ここで、小数を公用分数に変換する逆のプロセスを見てみましょう。 3 つの段階を含む翻訳ルールを定式化してみましょう。 小数を公分数に変換するにはどうすればよいですか?
小数を普通の分数に変換するための規則
- 分子には、カンマと左側にあるすべてのゼロ (存在する場合) を破棄して、元の小数部の数値を書き込みます。
- 分母には、1 の後に元の小数の小数点以下の桁数と同じ数のゼロを書きます。
- 必要に応じて、得られた普通分数を減らします。
例を使用してこのルールの適用を見てみましょう。
例 8. 小数を普通の分数に変換する
3.025 という数字を普通の分数として想像してみましょう。
- カンマを捨てて、小数部分自体を分子に書き込みます: 3025。
- 分母に 1 を書き、その後にゼロを 3 つ書きます。これは、元の分数の小数点以下に含まれる桁数と正確に一致します: 3025 1000。
- 結果として得られる端数 3025 1000 は 25 減らすことができ、結果は次のようになります: 3025 1000 = 121 40。
例 9. 小数を普通の分数に変換する
分数 0.0017 を 10 進数から普通数に変換してみましょう。
- 分子には、左側のカンマとゼロを捨てて、小数点 0, 0017 を書き込みます。 17になるそうです。
- 分母に 1 を書き、その後に 4 つのゼロを書きます: 17 10000。 この分数は既約です。
小数部に整数部がある場合、そのような分数はすぐに帯分数に変換できます。 どうやってするの？
もう一つルールを定めてみましょう。
小数を帯分数に変換するためのルール。
- 分数の小数点の前の数値は、帯分数の整数部分として書き込まれます。
- 分子には、分数の小数点以下の数値を書きます。左側にゼロがある場合はそれを捨てます。
- 小数部の分母には、小数部の小数点以下の桁数と同じ数のゼロを 1 つ追加します。
例を挙げてみましょう
例 10. 小数から帯分数への変換
分数 155、06005 を帯分数として想像してみましょう。
- 155 という数字を整数部分として書きます。
- 分子には、小数点以下の数字を書き、ゼロを切り捨てます。
- 分母に 1 と 5 つのゼロを書きます
帯分数を学ぼう：155 6005 100000
小数部分は5で減らすことができます。 これを短縮すると、最終結果が得られます。
155 , 06005 = 155 1201 20000
無限周期小数を分数に変換する
周期小数を普通の分数に変換する方法の例を見てみましょう。 始める前に、明確にしておきます。周期小数はすべて普通の分数に変換できます。
最も単純なケースは小数点以下の期間です。 ゼロに等しい。 周期ゼロの周期分数は最終小数に置き換えられ、そのような分数を反転するプロセスは最終小数を反転するだけになります。
例 11. 周期小数を公分数に変換する
周期分数 3, 75 (0) を反転してみましょう。
右側のゼロを削除すると、最終的な小数部 3.75 が得られます。
前の段落で説明したアルゴリズムを使用してこの分数を通常の分数に変換すると、次のようになります。
3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .
分数の周期がゼロと異なる場合はどうなるでしょうか? 周期部分は、減少する等比数列の項の合計と考える必要があります。 これを例で説明しましょう。
0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .
無限逓減等比数列の項の和を求める公式があります。 数列の最初の項が b で、分母 q が 0 である場合、< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .
この式を使用した例をいくつか見てみましょう。
例 12. 周期小数を公分数に変換する
周期的な分数 0,(8) があるとします。これを通常のものに変換する必要があります。
0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .
ここでは無限減少します 等比数列最初の項は 0、8、分母は 0、1 です。
次の式を適用してみましょう。
0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9
これは必要な普通分数です。
資料を統合するために、別の例を考えてみましょう。
例 13. 周期小数を公分数に変換する
分数 0, 43 (18) を反転してみましょう。
まず、分数を無限和として書きます。
0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)
括弧内の用語を見てみましょう。 この等比数列は次のように表すことができます。
0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .
結果を最後の小数 0, 43 = 43 100 に加算すると、次の結果が得られます。
0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900
これらの分数を加算して削減すると、最終的な答えが得られます。
0 , 43 (18) = 19 44
この記事の結論として、非周期的な無限小数は通常の分数に変換できないと言います。
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として：
± dm … d 1 d 0 , d -1 d -2 …
ここで、±は分数記号です。+ または - のいずれかです。
、数値の整数部と小数部の間の区切り文字として機能する小数点です。
DK- 10 進数。
この場合、小数点の前 (左側) の数値の順序には終わりがあり (1 桁あたり最小 1 として)、小数点の後 (右側) は両方とも有限になります (オプションとして、小数点以下の桁がまったくない場合もあります)、無限大です。
10 進数値 ± dm … d 1 d 0 , d -1 d -2 … は実数です:
これは、有限数または無限数の項の合計に等しくなります。
小数を使用して実数を表すことは、10 進数体系で整数を記述することを一般化したものです。 整数の 10 進表現には小数点以下の数字がないため、表現は次のようになります。
± dm … d 1 d 0 ,
そしてこれは、私たちの数字を 10 進数で書くことと一致します。
10進数- これは 1 を 10、100、1000 などの部分に分割した結果です。 これらの分数は計算に非常に便利です。 これらは、整数のカウントと記録の基礎となる同じ位置システムに基づいています。 このおかげで、小数を扱うための表記と規則は整数の場合とほぼ同じです。
小数を書く場合、分母をマークする必要はありません。分母は、対応する桁が占める位置によって決まります。 まず数値の整数部分を書き、次に右側に小数点を置きます。 小数点の後の最初の桁は 10 分の数を示し、2 番目は 100 分の数を、3 番目は 1000 分の数を示します。 小数点以下の数字は、 小数.
例えば： 
小数の利点の 1 つは、小数を通常の分数に簡単に換算できることです。小数点以下の数値 (ここでは 5047) は次のようになります。 分子; 分母等しい n 10 の - 乗、ここで n- 小数点以下の桁数 (私たちの場合、これは n=4):
小数に整数部分がない場合は、小数点の前にゼロを置きます。
小数部のプロパティ。
1. 右側にゼロを追加しても小数は変わりません。
13.6 =13.6000.
2. 小数の末尾のゼロを削除しても、小数は変わりません。
0.00123000 = 0.00123.
注意！小数部の末尾にないゼロは削除できません。
3. 小数点を右に 1、2、2 などの位置に移動すると、小数は 10、100、1000 倍などと増加します。
3.675 → 367.5 (端数は 100 倍に増加)。
4. 小数点を左に 1、2、3 などの位置に移動すると、小数は 10 倍、100 倍、1000 倍などと小さくなります。
1536.78 → 1.53678 (端数は 1,000 倍小さくなりました)。
小数部の種類。
小数部分は次のように分割されます。 最後の, 無限のそして 周期小数.
最後の小数は次のようになります。これは、小数点以下の桁数が有限である (またはまったくない) 分数です。 それは次のようになります:
実数は、この数が有理数であり、既約分数として記述される場合にのみ、有限小数として表現できます。 p/q分母 q 2 と 5 以外に素因数はありません。
無限小数.
と呼ばれる無限に繰り返される数値のグループが含まれます。 期間。 ピリオドは括弧内に書きます。 たとえば、0.12345123451234512345… = 0.(12345).
周期小数- これは、特定の位置から始まる小数点以降の一連の数字が周期的に繰り返される数字のグループである無限小数です。 言い換えると、 周期分数- 次のような小数:
このような分数は、通常、次のように簡単に記述されます。
数字のグループ b 1 … b lを繰り返すのは、 分数の周期、このグループの桁数は 期間の長さ.
周期分数でピリオドが小数点の直後に来る場合、その分数は次のとおりであることを意味します。 純粋な周期的。 小数点と第 1 ピリオドの間に数値がある場合、分数は次のようになります。 混合周期、小数点以下ピリオドの 1 桁目までの数字群は、 分数前期.
例えば、分数 1,(23) = 1.2323... は純粋周期であり、分数 0.1(23) = 0.12323... は混合周期です。
周期分数の主な性質、そのため、それらは小数の分数のセット全体から区別され、周期的な分数だけが有理数を表すという事実にあります。 より正確には、次のことが起こります。
無限に周期的な小数は以下を表します。 有理数。 逆に、有理数を無限小数に拡張すると、その分数が周期的になることを意味します。