一般的な正弦式。 サインとコサインを介して接線と共接線を見つけます。 さて、円上の点を見つける練習をして、味のためにこれらの式を試してみましょう

学童が最大の困難に対処する数学の分野の1つは、三角法です。 不思議ではありません：この知識の領域を自由に習得するには、空間的思考、数式を使用してサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを見つけ、式を簡略化し、計算で円周率を使用できる能力が必要です。 さらに、定理を証明するときに三角法を適用できる必要があります。これには、開発された数学的メモリまたは複雑な論理チェーンを推定する機能のいずれかが必要です。

三角法の起源

この科学に精通している場合は、角度の正弦、余弦、接線の定義から始める必要がありますが、最初に三角法が一般的に何をするかを理解する必要があります。

歴史的に、直角三角形は数理科学のこのセクションの研究の主な対象でした。 90度の角度の存在により、2つの側面と1つの角度、または2つの角度と1つの側面を使用して、検討中の図のすべてのパラメーターの値を決定できるさまざまな操作を実行できます。 過去には、人々はこのパターンに気づき、建物の建設、ナビゲーション、天文学、さらには芸術にも積極的に使用し始めました。

第一段階

当初、人々は直角三角形の例だけで角度と辺の関係について話しました。 その後、使用の境界を拡大することを可能にする特別な式が発見されました 日常生活この数学の分野。

今日の学校での三角法の研究は直角三角形から始まり、その後、得られた知識は物理学と抽象的な問題の解決の学生によって使用されます。 三角方程式、高校で始まる仕事。

球面三角法

その後、科学が次のレベルの開発に到達すると、他の規則が適用される球面幾何学で、正弦、余弦、接線、共接の式が使用され始め、三角形の角度の合計は常に180度を超えます。 このセクションは学校では勉強していませんが、少なくともその存在について知る必要があります。 地球の表面、および他の惑星の表面は凸状です。つまり、表面のマーキングは3次元空間で「弧状」になります。

地球と糸を取りなさい。 糸を地球上の任意の2点に取り付けて、ぴんと張るようにします。 注意してください-それは弧の形を獲得しました。 測地学、天文学、その他の理論的および応用分野で使用される球面幾何学が扱うのは、このような形式です。

直角三角形

三角法の使用方法について少し学んだので、基本的な三角法に戻って、正弦、余弦、接線とは何か、彼らの助けを借りて実行できる計算、および使用する式をさらに理解しましょう。

最初のステップは、直角三角形に関連する概念を理解することです。 まず、斜辺は90度の角度の反対側です。 彼女は一番長いです。 ピタゴラスの定理によれば、その数値は他の2つの辺の二乗和の根に等しいことを覚えています。

たとえば、2つの辺がそれぞれ3センチメートルと4センチメートルの場合、斜辺の長さは5センチメートルになります。 ちなみに、古代エジプト人は約4年半前にこれを知っていました。

直角を形成する残りの2つの側面は脚と呼ばれます。 さらに、長方形の座標系の三角形の角度の合計は180度であることを覚えておく必要があります。

意味

最後に、幾何学的な底辺をしっかりと理解すると、角度の正弦、余弦、接線の定義に移ることができます。

角度の正弦は比率です 反対側の脚（つまり、反対側 希望の角度）斜辺に。 角度の正弦は比率です 隣接する脚斜辺に。

サインもコサインも1より大きくすることはできないことを忘れないでください！ なんで？ 斜辺はデフォルトで最長であるため、脚の長さに関係なく、斜辺よりも短くなります。つまり、斜辺の比率は常に次のようになります。 1つ未満。 したがって、問題の答えで1より大きい値の正弦または余弦が得られた場合は、計算または推論のエラーを探してください。 この答えは明らかに間違っています。

最後に、角度の接線は、反対側と隣接する側の比率です。 同じ結果で、正弦が余弦で除算されます。 見てください：式に従って、辺の長さを斜辺で割り、その後、2番目の辺の長さで割り、斜辺を掛けます。 したがって、接線の定義と同じ比率が得られます。

コタンジェントは、それぞれ、コーナーに隣接する側と反対側の比率です。 単位を接線で割っても同じ結果が得られます。

そこで、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義を検討し、数式を扱うことができます。

最も単純な式

三角法では、数式なしでは実行できません-数式なしで正弦、余弦、接線、共接線を見つける方法は？ そして、これはまさに問題を解決するときに必要なことです。

三角法の研究を開始するときに知っておく必要のある最初の式は、角度の正弦と余弦の2乗の合計が1に等しいことを示しています。 この式はピタゴラスの定理の直接の結果ですが、側面ではなく角度の値を知りたい場合は時間を節約できます。

多くの学生は、学校の問題を解決するときにも非常に人気のある2番目の式を思い出せません。1と角度の接線の2乗の合計は、1を角度の正弦の2乗で割ったものに等しくなります。 よく見てください。結局のところ、これは最初の式と同じステートメントであり、アイデンティティの両側のみが正弦の2乗で除算されています。 単純な数学演算は 三角関数の式完全に認識できません。 覚えておいてください：サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントが何であるか、変換ルールといくつかの基本的な式を知っていると、いつでも自分で必要な詳細を導き出すことができます 複雑な式一枚の紙に。

二倍角の公式と引数の追加

学習する必要のあるさらに2つの式は、角度の合計と差の正弦と余弦の値\ u200b\u200bに関連しています。 それらを下図に示します。 最初のケースでは、サインとコサインが両方の時間で乗算され、2番目のケースでは、サインとコサインのペアワイズ積が加算されることに注意してください。

ダブルアングル引数に関連する式もあります。 それらは前のものから完全に派生しています-練習として、アルファ角度を取ることによってそれらを自分で取得してみてください 角度に等しいベータ。

最後に、二倍角の公式は、正弦、余弦、接線アルファの次数を下げるように変換できることに注意してください。

定理

基本的な三角法の2つの主要な定理は、正弦定理と余弦定理です。 これらの定理の助けを借りて、正弦、余弦、接線を見つける方法を簡単に理解できます。したがって、図の面積、各辺のサイズなどを簡単に理解できます。

正弦定理は、三角形の各辺の長さを反対の角度の値で割った結果、同じ数が得られることを示しています。 さらに、この数は、外接円、つまり、指定された三角形のすべての点を含む円の2つの半径に等しくなります。

余弦定理はピタゴラス定理を一般化し、それを任意の三角形に投影します。 2つの辺の二乗の合計から、それらの積を減算し、それらに隣接する角度の2倍の正弦を掛けると、結果の値は3番目の辺の二乗に等しくなります。 したがって、ピタゴラス定理は余弦定理の特殊なケースであることがわかります。

不注意による間違い

サイン、コサイン、タンジェントが何であるかを知っていても、ぼんやりしたり、最も単純な計算のエラーのために間違いを犯しがちです。 そのような間違いを避けるために、それらの中で最も人気のあるものを知ってみましょう。

まず、最終結果が得られるまで、通常の分数を小数に変換しないでください。答えはフォームに残すことができます。 一般的な分数条件に別段の記載がない限り。 このような変換は間違いとは言えませんが、問題の各段階で新しい根が現れる可能性があることを覚えておく必要があります。これは、作者の考えによれば、減らす必要があります。 この場合、不必要な数学演算に時間を浪費することになります。 これは、3つまたは2つのルートなどの値に特に当てはまります。これは、すべてのステップのタスクで発生するためです。 同じことが「醜い」数値の丸めにも当てはまります。

さらに、余弦定理はどの三角形にも適用されますが、ピタゴラス定理には適用されないことに注意してください。 辺の積にそれらの間の角度の余弦を掛けたものの2倍を誤って減算するのを忘れると、完全に間違った結果が得られるだけでなく、主題の完全な誤解も示されます。 これは不注意な間違いよりも悪いです。

第三に、正弦、余弦、接線、余接定理の30度と60度の角度の値を混同しないでください。 30度の正弦は60の正弦に等しく、その逆もあるため、これらの値を覚えておいてください。 それらを混同するのは簡単であり、その結果、必然的に誤った結果が得られます。

応用

多くの学生は、三角法の適用された意味を理解していないため、三角法の勉強を急いで始めません。 エンジニアや天文学者にとって、サイン、コサイン、タンジェントとは何ですか？ これらは、遠方の星までの距離を計算したり、隕石の落下を予測したり、別の惑星に研究プローブを送信したりできる概念です。 それらがなければ、建物を建てたり、車を設計したり、表面の負荷や物体の軌道を計算したりすることは不可能です。 そして、これらは最も明白な例にすぎません！ 結局のところ、音楽から医学まで、あらゆる場所で何らかの形の三角法が使用されています。

ついに

つまり、あなたはサイン、コサイン、タンジェントです。 それらを計算に使用して、学校の問題をうまく解決することができます。

三角法の本質は、未知のパラメータが三角形の既知のパラメータから計算されなければならないという事実に要約されます。 全部で6つのパラメータがあります：3つの辺の長さと大きさ 三隅。 タスクの全体的な違いは、異なる入力データが与えられるという事実にあります。

に基づいて正弦、余弦、接線を見つける方法 既知の長さ足または斜辺、あなたは今知っています。 これらの用語は比率にすぎず、比率は分数であるため、 主な目標三角関数の問題は根を見つけることになります 常微分方程式または連立方程式。 そして、ここであなたは普通の学校の数学によって助けられるでしょう。

例：

\（\ cos（⁡30^°）= \）\（\ frac（\ sqrt（3））（2）\）
\（\cos⁡\）\（\ frac（π）（3）\）\（= \）\（\ frac（1）（2）\）
\（\cos⁡2=-0.416…\）

引数と値

鋭角の正弦

鋭角の正弦直角三角形を使用して決定できます。これは、斜辺に対する隣接する脚の比率に等しくなります。

例 :

1）角度を指定し、この角度の正弦を決定する必要があります。

2）この角にある直角三角形を完成させましょう。

3）必要な辺を測定したら、正弦を計算できます。

数の正弦

数の円を使用すると、任意の数の正弦を決定できますが、通常、次のように何らかの形で関連する数の正弦を見つけます：\（\ frac（π）（2）\）、\（\ frac（3π）（4）\）、 \（-2π\）。

たとえば、数値\（\ frac（π）（6）\）の場合、正弦は\（\ frac（\ sqrt（3））（2）\）に等しくなります。 そして、数\（-\）\（\ frac（3π）（4）\）の場合、それは\（-\）\（\ frac（\ sqrt（2））（2）\）（約\ （-0,71 \））。

実際によく遭遇する他の数値の正弦。を参照してください。

コサイン値は常に\（-1 \）と\（1 \）の間にあります。 この場合、正弦は絶対に任意の角度と数で計算できます。

任意の角度のコサイン

数字の円のおかげで、コサインだけでなく決定することができます 鋭角、しかしまた鈍く、否定的で、\（360°\）（フルターン）よりも大きい。 方法-\（100 \）回聞くよりも、一度見る方が簡単なので、写真を見てください。

今説明：角度の余弦を決定する必要があるようにしましょう KOA\（150°\）の度数で。 ポイントを組み合わせる O円の中心と側面で わかった--\（x \）軸を使用します。 その後、反時計回りに\（150°\）を取っておきます。 次に、ポイントの縦座標 しかしこの角度の正弦が表示されます。

たとえば、\（-60°\）（angle KOV）、同じことを行いますが、\（60°\）は時計回りに取っておきます。

そして最後に、角度は\（360°\）（角度 KOS）-すべてが鈍いのと似ていますが、時計回りに1回転した後、2回目のラウンドに進み、「度の不足を取得」します。 具体的には、この場合、角度\（405°\）は\（360°+ 45°\）としてプロットされます。

たとえば、\（960°\）で角度を確保するには、2回転（\（360°+360°+240°\））する必要があり、\で角度を設定する必要があることは容易に推測できます。 （2640°\）-7つ全部。

置き換えることができるように、数値の正弦と任意の角度の正弦の両方がほぼ同じ方法で定義されます。 円上の点を見つける方法だけが変わります。

四半期の正弦符号

余弦軸（つまり、図で赤で強調表示されている横軸）を使用すると、数値（三角法）円に沿った余弦の符号を簡単に判別できます。

軸上の値が\（0 \）から\（1 \）の場合、コサインにはプラス記号が付きます（IとIVの4分の1は緑色の領域です）。
-軸上の値が\（0 \）から\（-1 \）の場合、コサインにはマイナス記号が付きます（IIおよびIIIの四分の一-紫色の領域）。

他の三角関数との関係：

-同じ角度（または数）：基本 三角法の恒等式\（\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\）
-同じ角度（または数）：式\（1 + tg^2⁡x=\）\（\ frac（1）（\ cos ^2⁡x）\）
-および同じ角度（または数）の正弦：\（ctgx = \）\（\ frac（\ cos（x））（\sin⁡x）\）
他の最も一般的に使用される式を参照してください。

方程式の解\（\cos⁡x= a \）

方程式\（\cos⁡x= a \）の解。ここで、\（a \）は\（1 \）以下\（-1 \）以上の数です。 \（a∈[-1; 1] \）：

\（\cos⁡x= a \）\（⇔\）\（x =±\arccos⁡a+2πk、k∈Z\）

\（a> 1 \）または\（a<-1\), то решений у уравнения нет.

例 。 三角方程式\（\cos⁡x= \）\（\ frac（1）（2）\）を解きます。
解決：

数字の円を使用して方程式を解きます。 このため：
1）軸を作成しましょう。
2）サークルを作りましょう。
3）正弦軸（軸\（y \））で、点\（\ frac（1）（2）\）をマークします。
4）この点を通る正弦軸に垂直な線を引きます。
5）垂線と円の交点をマークします。
6）これらの点の値に署名しましょう：\（\ frac（π）（3）\）、\（-\）\（\ frac（π）（3）\）。
7）式\（x = t +2πk\）、\（k∈Z\）を使用して、これらの点に対応するすべての値を書き留めます。
\（x =±\）\（\ frac（π）（3）\）\（+2πk\）、\（k∈Z\）;

答え： \（x=±\frac（π）（3）+2πk\）\（k∈Z\）

関数\（y = \ cos（x）\）

\（x \）軸に沿って角度をラジアンでプロットし、\（y \）軸に沿ってこれらの角度に対応する正弦値\ u200b \ u200bをプロットすると、次のグラフが得られます。

このグラフはと呼ばれ、次のプロパティがあります。

定義域はxの任意の値です：\（D（\ cos（⁡x））= R \）
-値の範囲-\（-1 \）から\（1 \）まで：\（E（\ cos（x））= [-1; 1] \）
-偶数：\（\cos⁡（-x）= \ cos（x）\）
-周期\（2π\）の周期：\（\cos⁡（x +2π）= \ cos（x）\）
-座標軸との交点：
横軸：\（（\）\（\ frac（π）（2）\）\（+πn\）、\（; 0）\）、ここで\（n ϵ Z \）
y軸：\（（0; 1）\）
-文字間隔：
関数は次の区間で正です：\（（-\）\（\ frac（π）（2）\）\（+2πn; \）\（\ frac（π）（2）\）\（+2πn） \）、ここで\（n ϵ Z \）
関数は区間で負です：\（（\）\（\ frac（π）（2）\）\（+2πn; \）\（\ frac（3π）（2）\）\（+2πn）\ ）、ここで\（n ϵ Z \）
-増加と減少の間隔：
関数は次の間隔で増加します：\（（π+2πn;2π+2πn）\）、ここで\（n ϵ Z \）
関数は次の間隔で減少します：\（（2πn;π+2πn）\）、ここで\（n ϵ Z \）
-関数の最大値と最小値：
関数は、点\（x=2πn\）で最大値\（y = 1 \）を持ちます。ここで、\（n ϵ Z \）
この関数は、点\（x =π+2πn\）に最小値\（y = -1 \）を持ちます。ここで、\（n ϵ Z \）です。

三角関数公式は、1つの角度の正弦、余弦、接線、および共接線の間の関係を確立する等式です。これにより、他の関数がわかっている場合に、これらの関数のいずれかを見つけることができます。

tg \ alpha = \ frac（\ sin \ alpha）（\ cos \ alpha）、\ enspace ctg \ alpha = \ frac（\ cos \ alpha）（\ sin \ alpha）

tg \ alpha \ cdot ctg \ alpha = 1

このアイデンティティは、1つの角度のサインの2乗と1つの角度のコサインの2乗の合計が1に等しいことを示しています。これにより、実際には、コサインがわかっている場合に1つの角度のサインを計算できます。 。

三角関数の式を変換する場合、このIDがよく使用されます。これにより、1つの角度のコサインとサインの2乗の合計を1に置き換えたり、逆の順序で置換操作を実行したりできます。

サインとコサインを介してタンジェントとコタンジェントを見つける

tg \ alpha = \ frac（\ sin \ alpha）（\ cos \ alpha）、\ enspace

これらのアイデンティティは、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義から形成されます。 結局のところ、見てみると、定義上、yの縦座標は正弦であり、xの横座標は余弦です。 その場合、接線は比率に等しくなります \ frac（y）（x）= \ frac（\ sin \ alpha）（\ cos \ alpha）、および比率 \ frac（x）（y）= \ frac（\ cos \ alpha）（\ sin \ alpha）-コタンジェントになります。

それに含まれる三角関数が意味をなすような角度\alphaに対してのみ、恒等式が行われることを追加します。 ctg \ alpha = \ frac（\ cos \ alpha）（\ sin \ alpha）.

例えば： tg \ alpha = \ frac（\ sin \ alpha）（\ cos \ alpha）とは異なる\alpha角度に対して有効です \ frac（\ pi）（2）+ \ pi z、 ctg \ alpha = \ frac（\ cos \ alpha）（\ sin \ alpha）-\ piz以外の角度\alphaの場合、zは整数です。

タンジェントとコタンジェントの関係

tg \ alpha \ cdot ctg \ alpha = 1

このIDは、角度\alphaとは異なる場合にのみ有効です。 \ frac（\ pi）（2）z。 そうしないと、コタンジェントまたはタンジェントのいずれかが決定されません。

上記の点に基づいて、私たちはそれを得る tg \ alpha = \ frac（y）（x）、 ctg \ alpha = \ frac（x）（y）。 したがって、次のようになります tg \ alpha \ cdot ctg \ alpha = \ frac（y）（x）\ cdot \ frac（x）（y）= 1。 したがって、それらが意味をなす1つの角度の接線と共接線は、相互に逆数です。

タンジェントとコサイン、コタンジェントとサインの関係

tg ^（2）\ alpha + 1 = \ frac（1）（\ cos ^（2）\ alpha）-角度\alphaと1の接線の二乗の合計は、この角度の正弦の逆二乗に等しくなります。 このIDは、以外のすべての\alphaに有効です。 \ frac（\ pi）（2）+ \ pi z.

1 + ctg ^（2）\ alpha = \ frac（1）（\ sin ^（2）\ alpha）-1と角度\alphaのコタンジェントの二乗の合計は、指定された角度の正弦の逆二乗に等しくなります。 このIDは、\piz以外のすべての\alphaに有効です。

三角関数公式を使用した問題の解決策の例

例1

次の場合、\ sin\alphaおよびtg\alphaを検索します \ cos \ alpha =-\ frac12と \ frac（\ pi）（2）< \alpha < \pi ;

ソリューションを表示

解決

関数\sin\alphaと\cos\ alphaは、次の式でリンクされています \ sin ^（2）\ alpha + \ cos ^（2）\ alpha = 1。 この式に代入する \ cos \ alpha =-\ frac12、 我々が得る：

\ sin ^（2）\ alpha + \ left（-\ frac12 \ right）^ 2 = 1

この方程式には2つの解があります。

\ sin \ alpha = \ pm \ sqrt（1- \ frac14）= \ pm \ frac（\ sqrt 3）（2）

条件別 \ frac（\ pi）（2）< \alpha < \pi 。 第2四半期では、正弦は正であるため、 \ sin \ alpha = \ frac（\ sqrt 3）（2）.

tg \ alphaを見つけるには、次の式を使用します tg \ alpha = \ frac（\ sin \ alpha）（\ cos \ alpha）

tg \ alpha = \ frac（\ sqrt 3）（2）：\ frac12 = \ sqrt 3

例2

\ cos\alphaとctg\alphaを見つけて、 \ frac（\ pi）（2）< \alpha < \pi .

ソリューションを表示

解決

式に代入する \ sin ^（2）\ alpha + \ cos ^（2）\ alpha = 1条件数 \ sin \ alpha = \ frac（\ sqrt3）（2）、 我々が得る \ left（\ frac（\ sqrt3）（2）\ right）^（2）+ \ cos ^（2）\ alpha = 1。 この方程式には2つの解があります \ cos \ alpha = \ pm \ sqrt（1- \ frac34）= \ pm \ sqrt \ frac14.

条件別 \ frac（\ pi）（2）< \alpha < \pi 。 第2四半期では、正弦は負であるため、 \ cos \ alpha =-\ sqrt \ frac14 =-\ frac12.

ctg \ alphaを見つけるために、次の式を使用します ctg \ alpha = \ frac（\ cos \ alpha）（\ sin \ alpha）。 対応する値がわかっています。

ctg \ alpha =-\ frac12：\ frac（\ sqrt3）（2）=-\ frac（1）（\ sqrt 3）.

この記事では、その方法を示します 三角法における角度と数の正弦、余弦、接線、および共接線の定義。 ここでは、表記法について話し、記録の例を示し、図解を示します。 結論として、三角法と幾何学における正弦、余弦、接線、および共接線の定義の間に類似点を描きます。

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サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義

学校の数学のコースで、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの概念がどのように形成されるかを見ていきましょう。 幾何学のレッスンでは、直角三角形の鋭角の正弦、余弦、接線、および共接線の定義が与えられます。 そして、後で三角法が研究されます。これは、回転角と数の正弦、余弦、接線、および共接線を指します。 これらすべての定義を示し、例を示し、必要なコメントを示します。

直角三角形の鋭角

幾何学の過程から、直角三角形の鋭角の正弦、余弦、接線、および共接線の定義がわかります。 それらは辺の比率として与えられます 直角三角形。 それらの処方を提示します。

意味。

直角三角形の鋭角の正弦斜辺に対する反対側の脚の比率です。

意味。

直角三角形の鋭角の正弦斜辺に対する隣接する脚の比率です。

意味。

直角三角形の鋭角の接線は、反対側の脚と隣接する脚の比率です。

意味。

直角三角形の鋭角のコタンジェントは、隣接するレッグと反対側のレッグの比率です。

サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの表記もここに導入されています。それぞれ、sin、cos、tg、ctgです。

たとえば、ABCが直角Cの直角三角形である場合、鋭角Aの正弦は、斜辺ABに対する反対側の脚BCの比率に等しくなります。つまり、sin∠A= BC/ABです。

これらの定義により、直角三角形の辺の既知の長さ、および正弦、余弦、の既知の値から、鋭角の正弦、余弦、接線、および共接の値を計算できます。タンジェント、コタンジェント、および一方の辺の長さで、もう一方の辺の長さを求めます。 たとえば、直角三角形で脚ACが3で、斜辺ABが7であることがわかっている場合、定義により鋭角Aの正弦を計算できます：cos∠A= AC / AB=3/7。

回転角

三角法では、彼らは角度をより広く見始めます-彼らは回転角の概念を導入します。 回転角は、鋭角とは異なり、0〜90度のフレームによって制限されません。回転角は、度（およびラジアン）で、-∞〜+∞の任意の実数で表すことができます。

この観点から、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義は、もはや鋭角ではなく、任意の大きさの角度、つまり回転角です。 それらは、点A 1のx座標とy座標を介して与えられます。この点には、点Oを中心に角度αだけ回転した後、いわゆる初期点A（1、0）が通過します。これは直交デカルト座標系の始まりです。と単位円の中心。

意味。

回転角の正弦αは点A1の​​縦座標、つまりsinα=yです。

意味。

回転角の正弦αは点A1の​​横座標と呼ばれます。つまり、cosα=xです。

意味。

回転角の接線αは、点A 1の縦座標とその横座標の比率です。つまり、tgα= y/xです。

意味。

回転角のコタンジェントαは、点A 1の横座標とその縦座標の比率です。つまり、ctgα= x/yです。

サインとコサインは、任意の角度αに対して定義されます。これは、開始点を角度αだけ回転させることによって得られる点の横座標と縦座標を常に決定できるためです。 また、タンジェントとコタンジェントはどの角度に対しても定義されていません。 接線は、最初の点がゼロ横座標（0、1）または（0、-1）の点に向かうような角度αに対して定義されておらず、これは角度90°+ 180°k、k∈Zで発生します。 （π/ 2 +πkrad）。 実際、このような回転角では、式tgα= y / xはゼロによる除算を含んでいるため、意味がありません。 コタンジェントに関しては、開始点がゼロの縦座標（1、0）または（-1、0）の点に向かうような角度αについては定義されていません。これは角度180°k、kの場合です。 ∈Z（πkrad）。

したがって、正弦と余弦は任意の回転角度に対して定義され、接線は90°+ 180°k、k∈Z（π/ 2 +πkrad）を除くすべての角度に対して定義され、共接線は180を除くすべての角度に対して定義されます。 °・k、k∈Z（π・kラジアン）。

すでに知られている表記法は、sin、cos、tg、およびctgの定義に含まれています。これらは、回転角の正弦、余弦、正接、および共正接を表すためにも使用されます（tanおよびcotに対応するtanおよびcotの表記が見つかる場合があります。コタンジェント）。 したがって、30度の回転角の正弦はsin30°と書くことができます。レコードtg（-24°17'）とctgαは、回転角-24度17分の接線と回転角αの接線に対応します。 。 角度のラジアン測度を書くとき、表記「rad」はしばしば省略されることを思い出してください。 たとえば、3 pi radの回転角の正弦は、通常cos3πで表されます。

この段落の結論として、回転角のサイン、コサイン、タンジェント、およびコタンジェントについて話すとき、「回転角」というフレーズまたは「回転」という単語がしばしば省略されることに注意する価値があります。 つまり、「回転角アルファの正弦」というフレーズの代わりに、「アルファ角度の正弦」というフレーズが通常使用されるか、さらに短い「アルファの正弦」が使用されます。 同じことがコサイン、タンジェント、コタンジェントにも当てはまります。

また、右三角形の鋭角のサイン、コサイン、タンジェント、およびコタンジェントの定義は、0〜90の範囲の回転角度のサイン、コサイン、タンジェント、およびコタンジェントに対して与えられた定義と一致しているとしましょう。度。 これを実証します。

数字

意味。

数の正弦、余弦、接線、および共接線 tは、それぞれtラジアン単位の回転角の正弦、余弦、接線、および共接線に等しい数値です。

たとえば、8πの正弦は、定義上、8πラジアンの角度の正弦に等しい数です。 また、8πラジアンの角度の正弦は1に等しいため、8πの数の正弦は1に等しくなります。

数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義には別のアプローチがあります。 これは、各実数tに、長方形の座標系の原点を中心とする単位円の点が割り当てられ、この点の座標によって正弦、余弦、接線、および共接が決定されるという事実に基づいています。 これについて詳しく見ていきましょう。

実数と円の点の間の対応がどのように確立されるかを示しましょう。

• 番号0には、開始点A（1、0）が割り当てられます。
• 正の数tは、単位円上の点に関連付けられています。これは、開始点から反時計回りに円の周りを移動し、長さtのパスを通過する場合に到達します。
• 負の数tは、単位円上の点に関連付けられています。この点は、開始点から時計回りに円の周りを移動し、長さ|t|のパスを通過すると到達します。 。

次に、数tの正弦、余弦、接線、および共接線の定義に移りましょう。 数tが円A1（x、y）の点に対応すると仮定します（たとえば、数＆pi /2;は点A1（0、1）に対応します）。

意味。

数の正弦 tは、数値tに対応する単位円点の縦座標です。つまり、sint=yです。

意味。

数の正弦 tは、数tに対応する単位円の点の横座標と呼ばれます。つまり、cost=xです。

意味。

数の接線 tは、数値tに対応する単位円の点の横座標に対する縦座標の比率です。つまり、tgt = y/xです。 別の同等の定式化では、数tの接線は、この数の正弦と余弦の比率です。つまり、tgt = sint/costです。

意味。

数のコタンジェント tは、数値tに対応する単位円の点の縦座標に対する横座標の比率です。つまり、ctgt = x/yです。 別の定式化は次のとおりです。数tの接線は、数tの正弦に対する数tの余弦の比率です：ctgt = cost/sint。

ここで、今与えられた定義がこのサブセクションの冒頭で与えられた定義と一致することに注意してください。 実際、数tに対応する単位円の点は、開始点をtラジアンの角度で回転させて得られる点と一致します。

この点も明確にする価値があります。 sin3エントリがあるとしましょう。 数3の正弦または3ラジアンの回転角の正弦が問題であるかどうかを理解するにはどうすればよいですか？ これは通常、コンテキストから明らかですが、そうでない場合はおそらく問題ではありません。

角度および数値引数の三角関数

前の段落で与えられた定義によれば、各回転角αは、明確に定義されたsinαの値とcosαの値に対応します。 さらに、90°+ 180°k、k∈Z（π/ 2 +πkrad）以外のすべての回転角は、値tgαに対応し、180°k、k∈Z（πkrad）以外は値に対応します。 ctgαの値です。 したがって、sinα、cosα、tgα、およびctgαは角度αの関数です。 言い換えれば、これらは角度引数の関数です。

同様に、数値引数の関数sine、cosine、tangent、cotangentについて話すことができます。 実際、各実数tは、明確に定義されたsintの値とコストに対応します。 さらに、π/ 2 +π・k、k∈Z以外のすべての数値は値tgtに対応し、数値π・k、k∈Zは値ctgtに対応します。

関数sine、cosine、tangent、cotangentは呼び出されます 主要 三角関数 .

通常、角度引数または数値引数の三角関数を扱っていることは、コンテキストから明らかです。 それ以外の場合は、独立変数を角度の尺度（角度引数）と数値引数の両方と見なすことができます。

しかし、学校は主に数値関数、つまり引数とそれに対応する関数値が数値である関数を研究しています。 したがって、関数について話している場合は、三角関数を数値引数の関数と見なすことをお勧めします。

幾何学と三角法からの定義の接続

回転角αを0度から90度まで考えると、回転角の正弦、余弦、接線、および共接の定義の三角関数のコンテキストでのデータは、正弦、余弦の定義と完全に一致します。 、直角三角形の鋭角のタンジェントとコタンジェント。これらはジオメトリコースで指定されます。 これを実証しましょう。

直交デカルト座標系Oxyで単位円を描きます。 開始点A（1、0）に注意してください。 0度から90度の範囲の角度αで回転させてみましょう。点A1（x、y）が得られます。 垂線A1Hを点A1からOx軸にドロップしてみましょう。

直角三角形では、角度A 1 OHが回転角度αに等しく、この角度に隣接する脚OHの長さが点A 1の横軸、つまり|OHに等しいことが簡単にわかります。 | = x、角度の反対側の脚A 1 Hの長さは、点A 1の縦座標に等しく、つまり| A 1 H | = yであり、低腱OA1の長さは1に等しい。 、単位円の半径なので。 次に、幾何学からの定義により、直角三角形A 1 OHの鋭角αの正弦は、斜辺に対する反対側の脚の比率に等しくなります。つまり、sinα= | A 1 H | / | OA 1 | = y / 1=y。 また、三角法からの定義により、回転角αの正弦は点A 1の縦座標に等しくなります。つまり、sinα=yです。 これは、直角三角形の鋭角の正弦の定義が、0度から90度までのαの回転角αの正弦の定義と同等であることを示しています。

同様に、鋭角αのコサイン、タンジェント、およびコタンジェントの定義は、回転角αのコサイン、タンジェント、およびコタンジェントの定義と一致していることを示すことができます。

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この記事では、を包括的に見ていきます。 基本的な三角関数のアイデンティティは、1つの角度の正弦、余弦、接線、および共接線の間の関係を確立する等式であり、既知の他の三角関数を介してこれらの三角関数のいずれかを見つけることができます。

この記事で分析する主な三角関数公式をすぐにリストします。 それらを表に書き留め、以下にこれらの式の導出と必要な説明を示します。

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1つの角度の正弦と余弦の関係

時々、彼らは上の表にリストされている主な三角関数公式についてではなく、1つの単一について話します 基本的な三角法のアイデンティティ親切 。 この事実の説明は非常に簡単です。等式は、その両方の部分をそれぞれとで割った後の基本的な三角法の同一性から得られます。 と サイン、コサイン、タンジェント、およびコタンジェントの定義に従います。 これについては、次の段落で詳しく説明します。

つまり、主な三角法の恒等式の名前が付けられたのは、特に興味深いのは平等です。

基本的な三角法の恒等式を証明する前に、その定式化を行います。1つの角度の正弦と余弦の2乗の合計は1に等しくなります。 それを証明しましょう。

基本的な三角法のアイデンティティは、 三角関数式の変換。 これにより、1つの角度の正弦と余弦の2乗の合計を1に置き換えることができます。 それほど頻繁ではありませんが、基本的な三角法の恒等式は逆の順序で使用されます。単位は、任意の角度の正弦と余弦の2乗の合計に置き換えられます。

サインとコサインによる接線と共接

接線と共接線を、フォームの1つの角度のサインとコサインに接続するIDと サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義からすぐに続きます。 実際、定義上、正弦はyの縦座標、余弦はxの横座標、接線は縦座標と横座標の比率です。 、およびコタンジェントは、横座標と縦座標の比率です。つまり、 .

アイデンティティのこの自明性のために 多くの場合、接線と共接線の定義は、横座標と縦座標の比率ではなく、正弦と余弦の比率によって与えられます。 したがって、角度のタンジェントは、この角度のコサインに対するサインの比率であり、コタンジェントは、サインに対するコサインの比率です。

このセクションを締めくくるには、アイデンティティと それらの三角関数が意味をなすすべてのそのような角度を保持します。 したがって、数式は（そうでない場合は分母がゼロになり、ゼロによる除算を定義しなかった）以外の場合に有効であり、数式は -すべての場合、とは異なります。ここで、zは任意です。

タンジェントとコタンジェントの関係

前の2つのものよりもさらに明白な三角関数のアイデンティティは、フォームの1つの角度の接線と共接線を接続するアイデンティティです。 。 以外の角度で発生することは明らかです。それ以外の場合は、接線または共接線のいずれかが定義されていません。

式の証明 とてもシンプルです。 定義により、どこから 。 証明は、わずかに異なる方法で実行された可能性があります。 以来と 、 それから .

したがって、それらが意味をなす1つの角度の接線と共接線はです。