点間の距離の公式。 GPS 座標間の距離を計算する方法

座標を使用して、オブジェクトの位置を決定します。 グローブ。 座標は緯度と経度で表されます。 緯度は両側の赤道線から測定されます。 北半球では、緯度は正です。 南半球- ネガティブ。 経度は東または西のいずれかの本初子午線から測定され、東経または西経のいずれかが取得されます。

一般に受け入れられている立場によれば、本初子午線はグリニッジにある旧グリニッジ天文台を通過する子午線であると考えられています。 場所の地理座標は、GPS ナビゲーターを使用して取得できます。 このデバイスは、全世界共通の WGS-84 座標系の衛星測位システム信号を受信します。

ナビゲーターのモデルは、メーカー、機能、インターフェイスが異なります。 現在、一部の携帯電話モデルでは内蔵 GPS ナビゲーターも利用できます。 ただし、どのモデルでも点の座標を記録して保存できます。

GPS 座標間の距離

一部の業界における実践的および理論的問題を解決するには、点間の距離を座標によって決定できる必要があります。 これを行うにはいくつかの方法があります。 地理座標を表す正規形式: 度、分、秒。

たとえば、次の座標間の距離を決定できます。ポイント No. 1 - 北緯 55°45'07"、東経 37°36'56"。 ポイントNo.2 - 北緯58度00分02秒、東経102度39分42秒。

最も簡単な方法は、電卓を使用して 2 点間の長さを計算することです。 ブラウザの検索エンジンでは、次の検索パラメータを設定する必要があります。 オンライン - 2 つの座標間の距離を計算します。 オンライン計算機では、緯度と経度の値が最初と 2 番目の座標のクエリ フィールドに入力されます。 オンライン計算機で計算すると、3,800,619 mという結果が得られました。

次の方法は、より手間がかかりますが、より視覚的でもあります。 利用可能なマッピング プログラムまたはナビゲーション プログラムを使用する必要があります。 座標を使用して点を作成し、それらの間の距離を測定できるプログラムには、BaseCamp (MapSource プログラムの最新の類似物)、Google Earth、SAS.Planet などのアプリケーションが含まれます。

上記のプログラムはすべて、ネットワーク ユーザーであれば誰でも利用できます。 たとえば、Google Earth で 2 つの座標間の距離を計算するには、最初の点と 2 番目の点の座標を示す 2 つのラベルを作成する必要があります。 次に、「ルーラー」ツールを使用して、最初と 2 番目のマークを線で結ぶ必要があります。プログラムは自動的に測定結果を表示し、地球の衛星画像上にパスを表示します。

上記の例の場合、Google Earth プログラムは、ポイント No. 1 とポイント No. 2 の間の距離の長さは 3,817,353 m という結果を返しました。

距離を決定する際に誤差が生じる理由

座標間の範囲の計算はすべて、円弧の長さの計算に基づいています。 地球の半径は、弧の長さの計算に関係します。 しかし、地球の形は扁平楕円体に近いため、地球の半径は場所によって異なります。 座標間の距離を計算するには、地球の半径の平均値が取られますが、これにより測定に誤差が生じます。 測定する距離が長いほど、誤差は大きくなります。

直交座標系が与えられるとします。

定理1.1。平面上の任意の 2 点 M 1 (x 1;y 1) および M 2 (x 2;y 2) について、それらの間の距離 d は次の式で表されます。

証拠。それぞれ点 M 1 と M 2 から垂線 M 1 B と M 2 A を下ろしましょう。

Oy 軸と Ox 軸上にあり、線 M 1 B と M 2 A の交点を K で示します (図 1.4)。 次のようなケースが考えられます。

1) 点 M1、M2、K が異なります。 明らかに、点 K の座標は (x 2;y 1) です。 M 1 K = ôx 2 – x 1 ô、M 2 K = ôу 2 – y 1 ô であることが簡単に分かります。 なぜなら ΔM 1 KM 2 は長方形であり、ピタゴラスの定理より d = M 1 M 2 = = .

2) 点 K は点 M 2 と一致しますが、点 M 1 とは異なります (図 1.5)。 この場合、y 2 = y 1

そして d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) 点 K は点 M 1 と一致しますが、点 M 2 とは異なります。 この場合、x 2 = x 1 および d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) 点 M 2 は点 M 1 と一致します。 次に、x 1 = x 2、y 1 = y 2、および

d = M 1 M 2 = O = 。

この点におけるセグメントの分割。

平面上に任意の線分 M 1 M 2 が与えられ、M ─ この任意の点とします。

点 M 2 とは異なるセグメント (図 1.6)。 等式 l = によって定義される数値 l 、と呼ばれる 態度、この点 M がセグメント M 1 M 2 を分割します。

定理1.2。点 M(x;y) が l に関して線分 M 1 M 2 を分割する場合、この点の座標は次の式で決定されます。

x = 、y = , (4)

ここで、(x 1;y 1) ─ 点 M 1 の座標、(x 2;y 2) ─ 点 M 2 の座標。

証拠。式(4)の最初の式を証明しましょう。 2 番目の式も同様の方法で証明されます。 考えられるケースは 2 つあります。

x = x 1 = = = .

2) 直線 M 1 M 2 は Ox 軸に対して垂直ではありません (図 1.6)。 点 M 1、M、M 2 から Ox 軸への垂線を下ろし、Ox 軸との交点をそれぞれ P 1、P、P 2 として指定します。 についての定理により 比例セグメント = l.

なぜなら P 1 P = ôx – x 1 ô、PP 2 = ôx 2 – xô、および数値 (x – x 1) と (x 2 – x) は同じ符号を持ちます (x 1 では)< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 は負です)、その後

l = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x)、x + lx = x 1 + lx 2、

x = .

結果 1.2.1。 M 1 (x 1;y 1) および M 2 (x 2;y 2) が 2 つの任意の点であり、点 M(x;y) がセグメント M 1 M 2 の中央である場合、次のようになります。

x = 、y = (5)

証拠。 M 1 M = M 2 M なので、l = 1 となり、式 (4) を使用すると式 (5) が得られます。

三角形の面積。

定理1.3。同じ上にない点 A(x 1;y 1)、B(x 2;y 2)、および C(x 3;y 3) について

直線の場合、三角形ABCの​​面積Sは次の式で表されます。

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

証拠。図の面積ΔABC。 1.7 の場合、次のように計算します。

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD 。

台形の面積を計算します。

SADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

今では、

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1))。

別の位置ΔABCについても同様に式(6)を証明しますが、「-」が付く場合があります。 したがって、式 (6) には係数の符号が入れられています。

講義2。

平面上の直線の方程式：主係数をもつ直線の方程式、 一般方程式直線、セグメント内の直線の方程式、2 点を通る直線の方程式。 直線間の角度、平面上の直線の平行度、直角度の条件。

2.1. 平面上に直交座標系と何らかの直線Lを与えるとする。

定義 2.1.変数 x と y を接続する F(x;y) = 0 の形式の方程式は、と呼ばれます。 直線方程式 L(与えられた座標系において) この式が、直線 L 上にある任意の点の座標によって満たされ、この直線上にない点の座標によって満たされない場合。

平面上の直線の方程式の例。

1) 直交座標系の Oy 軸に平行な直線を考えます (図 2.1)。 この線と Ox 軸の交点を文字 A で表しましょう (a;o) ─ その or-

ディナツ。 方程式 x = a は、指定された直線の方程式です。 実際、この方程式は、この直線の任意の点 M(a;y) の座標によって満たされますが、直線上にない点の座標によっては満たされません。 a = 0 の場合、直線は Oy 軸と一致し、方程式 x = 0 になります。

2) 方程式 x - y = 0 は、I 座標角と III 座標角の二等分線を構成する平面の点のセットを定義します。

3) 方程式 x 2 - y 2 = 0 ─ は、座標角の 2 つの二等分線の方程式です。

4) 方程式 x 2 + y 2 = 0 は、平面上の単一点 O(0;0) を定義します。

5) 方程式 x 2 + y 2 = 25 ─ 原点を中心とした半径 5 の円の方程式。

平面上の座標に基づいて点間の距離を計算するのは基本的なことですが、地球の表面ではもう少し複雑です。投影変換を行わずに点間の距離と初期方位角を測定することを検討します。 まず、用語を理解しましょう。

導入

大円の弧の長さ– 球の表面上にある任意の 2 点の間の最短距離。これら 2 点を結び、球の表面または他の回転面に沿って通る線 (このような線は直交性と呼ばれます) に沿って測定されます。 球面幾何学は通常のユークリッド幾何学とは異なり、距離方程式も異なる形式になります。 ユークリッド幾何学では、2 点間の最短距離は直線です。 球上には直線はありません。 球面上のこれらの線は、大円、つまり中心が球の中心と一致する円の一部です。 初期方位角- 点 A から移動を開始し、大円に沿って点 B まで最短距離で移動し、終点が点 B になる方位。点 A から大圏の線に沿って点 B に移動する場合、からの方位角終点Bまでの現在位置は一定で変化します。 最初の方位角は一定のものとは異なり、その後現在点から最終点までの方位角は変わりませんが、たどるルートは 2 点間の最短距離ではありません。

球の表面上の任意の 2 点を介して、それらが互いに正反対でない場合 (つまり、対蹠地ではない場合)、固有の大円を描くことができます。 2 つの点が大きな円を 2 つの円弧に分割します。 短い円弧の長さは、2 点間の最短距離です。 2 つの対蹠点の間に無限の数の大きな円を描くことができますが、それらの間の距離はどの円でも同じで、円の円周の半分、つまり π*R (R は球の半径) に等しくなります。

(直交座標系の) 平面上では、大きな円とその断片は、上で述べたように、大きな円が直線であるグノモニック投影法を除くすべての投影法で円弧を表します。 実際には、これは、飛行機やその他の航空輸送が燃料を節約するために常に点間の最小距離のルートを使用することを意味します。つまり、飛行は円弧に見える平面上で大円距離に沿って実行されます。

地球の形状は球として説明できるため、大圏距離方程式は地球表面上の点間の最短距離を計算するために重要であり、ナビゲーションでよく使用されます。 この方法による距離の計算は、(直交座標系の) 投影座標に対して計算するよりも効率的であり、多くの場合より正確です。これは、第一に、平行移動が必要ないためです。 地理的座標第 2 に、多くの投影は、間違って選択すると、投影歪みの特性により長さの大幅な歪みを引き起こす可能性があります。 地球の形状をより正確に表すのは球体ではなく楕円体であることが知られていますが、この記事では特に球体上での距離の計算について説明します。計算には半径 6,372,795 メートルの球体が使用されます。これにより、距離の計算に 0.5% 程度の誤差が生じる可能性があります。

数式

大圏の球面距離を計算するには 3 つの方法があります。 1. 球面余弦定理距離が小さく、計算の深さ (小数点以下の桁数) が小さい場合、式を使用すると重大な丸め誤差が生じる可能性があります。 φ1、λ1; φ2、λ2 - ラジアン単位の 2 点の緯度と経度 Δλ - 経度での座標の差 Δδ - 角度の差 Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) 翻訳用 角距離メートル法にするには、角度差に地球の半径 (6372795 メートル) を掛ける必要があります。最終的な距離の単位は、半径を表す単位 (この場合はメートル) と同じになります。 2. ハバーシンの公式短距離での問題を回避するために使用されます。 3. 対掌体の修正前の式には対蹠点の問題もあるため、これを解決するには次の修正を使用します。

PHP での私の実装

// 地球の半径定義("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * 2 点間の距離 * $φA, $λA - 1 点目の緯度、経度、 * $φB, $λB - 2 点目の緯度、経度 * http://gis-lab.info/ をもとに記載qa/great-circles.html * Mikhail Kobzarev * */ function CalculateTheDistance ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // 座標をラジアンに変換 $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // 緯度と経度の差の余弦と正弦 $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($ lat2 ); $sl1 = sin($lat1); $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); //大圏の長さの計算 $y = sqrt(pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $ cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) 関数呼び出しの例: $lat1 = 77.1539; $long1 = -139.398; $lat2 = -77.1804; $long2 = -139.55; echo CalculateTheDistance($lat1, $long1, $lat2, $long2) 。 「メートル」; // "17166029 メートル" を返します

平面上の 2 点間の距離。
座標系

平面の各点 A は、その座標 (x, y) によって特徴付けられます。 これらは、座標の原点である点 0 から出るベクトル 0A の座標と一致します。

A と B を、それぞれ座標 (x 1 y 1) と (x 2, y 2) を持つ平面の任意の点とする。

この場合、ベクトル AB は明らかに座標 (x 2 - x 1, y 2 - y 1) を持ちます。 ベクトルの長さの二乗は 合計に等しいその座標の二乗。 したがって、点 A と点 B の間の距離 d、つまりベクトル AB の長さは、次の条件から決定されます。

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

結果として得られる式を使用すると、平面上の任意の 2 点間の距離を見つけることができます (これらの点の座標のみがわかっている場合)。

平面上の特定の点の座標について話すときは常に、明確に定義された座標系 x0y を意味します。 一般に、平面上の座標系はさまざまな方法で選択できます。 したがって、x0y 座標系の代わりに、開始点 0 を中心に古い座標軸を回転す​​ることによって取得される x"0y" 座標系を考慮することができます。 反時計回り角の矢印 α .

x0y 座標系の平面のある点が座標 (x, y) を持っていた場合、 新しいシステム座標 x"0y" は異なる座標 (x", y") になります。

例として、0x 軸上に位置し、点 0 から距離 1 離れた点 M を考えてみましょう。

明らかに、x0y 座標系では、この点の座標は (cos α 、罪 α )、x"0y" 座標系では、座標は (1,0) です。

平面 A および B 上の任意の 2 点の座標は、この平面での座標系の指定方法によって異なります。 ただし、これらの点間の距離は座標系の指定方法には依存しません。 この重要な状況を次の段落で大いに活用します。

演習

I. 座標を使用して平面の点間の距離を求めます。

1) (3.5) および (3.4)。 3) (0.5) および (5, 0)。 5) (-3,4) および (9, -17)。

2) (2, 1) および (-5, 1)。 4) (0, 7) および (3,3)。 6) (8, 21) および (1, -3)。

II. 次の方程式で辺が与えられる三角形の周囲長を求めます。

x + y - 1 = 0、2x - y - 2 = 0、y = 1。

Ⅲ． x0y 座標系では、点 M と点 N はそれぞれ (1, 0) と (0,1) の座標を持ちます。 新しい座標系でこれらの点の座標を見つけます。この座標系は、古い軸を開始点の周りに反時計回りに 30°回転させることによって取得されます。

IV. x0y 座標系では、点 M と N の座標は (2, 0) と (\ / それぞれ3/2、-1/2）。 新しい座標系でこれらの点の座標を見つけます。この座標系は、古い軸を開始点の周りで時計回りに 30°回転させることによって取得されます。

平面の各点 A は、その座標 (x, y) によって特徴付けられます。 これらは、座標の原点である点 0 から出るベクトル 0A の座標と一致します。

A と B を、それぞれ座標 (x 1 y 1) と (x 2, y 2) を持つ平面の任意の点とする。

この場合、ベクトル AB は明らかに座標 (x 2 - x 1, y 2 - y 1) を持ちます。 ベクトルの長さの二乗は、その座標の二乗の和に等しいことが知られています。 したがって、点 A と点 B の間の距離 d、つまりベクトル AB の長さは、次の条件から決定されます。

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

結果として得られる式を使用すると、平面上の任意の 2 点間の距離を見つけることができます (これらの点の座標のみがわかっている場合)。

平面上の特定の点の座標について話すときは常に、明確に定義された座標系 x0y を意味します。 一般に、平面上の座標系はさまざまな方法で選択できます。 したがって、座標系 x0y の代わりに、古い座標軸を始点 0 を中心に回転させた結果として得られる座標系 xִy を考えることができます。 反時計回り角の矢印 α .

座標系 x0y の平面の特定の点が座標 (x, y) を持っていた場合、新しい座標系 xִy では別の座標 (x, y) を持つことになります。

例として、0x 軸上にあり、点 0 から距離 1 離れた点 M を考えてみましょう。

明らかに、x0y 座標系では、この点の座標は (cos α 、罪 α )、xִy 座標系では、座標は (1,0) です。

平面 A および B 上の任意の 2 点の座標は、この平面での座標系の指定方法によって異なります。 そしてここ これらの点間の距離は座標系の指定方法に依存しません。 .

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