입구수치 삼각법 표현식을 변환합니다. "삼각식의 단순화" 단원
레슨 1
주제: 11학년(통합국가시험 준비)
단순화 삼각함수 표현.
간단한 삼각 방정식을 푼다. (2시간)
목표:
- 삼각법 공식의 사용 및 간단한 삼각 방정식 풀이와 관련된 학생들의 지식과 기술을 체계화, 일반화, 확장합니다.
수업을 위한 장비:
수업 구조:
- 조직적인 순간
- 노트북에서 테스트 중입니다. 결과에 대한 토론.
- 삼각함수 표현식 단순화
- 간단한 삼각 방정식 풀기
- 독립적 인 일.
- 강의 요약. 숙제 설명.
1. 조직적인 순간. (2분)
교사는 청중에게 인사하고, 수업 주제를 발표하고, 이전에 삼각법 공식을 반복하는 과제를 받았음을 상기시키고, 학생들이 시험을 준비하도록 합니다.
2. 테스트. (15분 + 3분 토론)
목표는 삼각함수 공식에 대한 지식과 이를 적용하는 능력을 테스트하는 것입니다. 각 학생은 책상 위에 시험 버전이 담긴 노트북을 가지고 있습니다.
옵션은 얼마든지 있을 수 있습니다. 그 중 하나의 예를 들어 보겠습니다.
나 옵션.
표현식 단순화:
가) 기본 삼각법 정체성
1. 죄 2 3y + cos 2 3y + 1;
b) 덧셈 공식
3. 죄5x - 죄3x;
c) 곱을 합계로 변환
6. 2sin8y cos3y;
d) 이중 각도 공식
7. 2sin5x cos5x;
e) 반각 공식
f) 삼중각 공식
g) 보편적 대체
h) 학위 감소
16. cos 2 (3x/7);
학생들은 노트북의 각 공식 옆에 있는 답을 볼 수 있습니다.
작업은 컴퓨터로 즉시 확인됩니다. 결과는 누구나 볼 수 있도록 대형 화면에 표시됩니다.
또한, 작업이 끝나면 학생들의 노트북에 정답이 표시됩니다. 각 학생은 어디에서 실수가 발생했는지, 어떤 공식을 반복해야 하는지 확인합니다.
3. 삼각법 표현의 단순화. (25분)
목표는 기본 삼각법 공식의 사용을 반복하고, 연습하고, 통합하는 것입니다. 통합 상태 시험에서 문제 B7을 해결합니다.
이 단계에서는 수업을 강한 학생 그룹(후속 테스트와 함께 독립적으로 작업)과 교사와 함께 작업하는 약한 학생 그룹으로 나누는 것이 좋습니다.
강한 학생을 위한 과제(인쇄본으로 미리 준비됨). 2011년 통합 상태 시험(Unified State Exam 2011)에 따르면 주요 강조점은 축소 및 이중 각도 공식에 있습니다.
표현을 단순화하세요(강한 학생을 위한):
동시에 교사는 약한 학생들과 함께 작업하며 학생들의 받아쓰기에 따라 화면에서 과제를 토론하고 해결합니다.
계산하다:
5) 죄(270° - α) + cos(270° + α)
6) 
단순화:
강팀의 활동 결과를 논의하는 시간이었습니다.
답변이 화면에 나타나고 비디오 카메라를 사용하여 5명의 학생의 작업이 표시됩니다(각각 하나의 작업).
약자는 해결의 조건과 방법을 본다. 논의와 분석이 진행 중입니다. 사용 기술적 수단그것은 빨리 일어납니다.
4. 간단한 삼각 방정식을 푼다. (30 분.)
목표는 가장 간단한 삼각 방정식의 해를 반복, 체계화 및 일반화하고 그 뿌리를 기록하는 것입니다. 문제 B3에 대한 해결책.
삼각법 방정식은 어떻게 해결하든 가장 간단한 방정식으로 이어집니다.
과제를 완료할 때 학생들은 특별한 경우의 방정식의 근을 적는 데 주의를 기울여야 합니다. 일반적인 견해그리고 마지막 방정식에서 근의 선택에 관한 것입니다.
방정식 풀기:
답으로 가장 작은 양의 근을 적어보세요.
5. 독립적인 작업(10분)
목표는 습득한 기술을 테스트하고 문제, 오류 및 이를 제거하는 방법을 식별하는 것입니다.
학생의 선택에 따라 다단계 학습이 제공됩니다.
옵션 "3"
1) 표현식의 값을 찾으십시오. 
2) 식을 단순화 1 - sin 2 3α - cos 2 3α
3) 방정식을 푼다 
"4"에 대한 옵션
1) 표현식의 값을 찾으십시오.
2) 방정식을 푼다 
답에 가장 작은 양수근을 적어보세요.
"5"에 대한 옵션
1) 다음과 같은 경우 tanα를 구합니다. 
2) 방정식의 근을 구하라 
답으로 가장 작은 양의 근을 적어보세요.
6. 강의 요약(5분)
교사는 수업에서 반복되고 강화된 내용을 요약합니다. 삼각법 공식, 간단한 삼각 방정식을 푼다.
숙제는 다음 수업에서 무작위로 확인하여 배정됩니다(사전 인쇄본으로 준비).
방정식 풀기:
9) 
10) 
답에 가장 작은 양의 근을 표시하십시오.
레슨 2
주제: 11학년(통합국가시험 준비)
삼각 방정식을 푸는 방법. 루트 선택. (2시간)
목표:
- 다양한 유형의 삼각 방정식을 푸는 데 필요한 지식을 일반화하고 체계화합니다.
- 학생들의 수학적 사고, 관찰, 비교, 일반화 및 분류 능력의 발달을 촉진합니다.
- 학생들이 정신활동 과정에서 어려움을 극복하고 자기조절과 활동에 대한 성찰을 하도록 격려한다.
수업을 위한 장비: KRMu, 각 학생을 위한 노트북.
수업 구조:
- 조직적인 순간
- d/z와 self에 대한 토론. 지난 수업부터 일해
- 삼각 방정식을 푸는 방법을 검토합니다.
- 삼각 방정식 풀기
- 삼각 방정식에서 근 선택.
- 독립적 인 일.
- 강의 요약. 숙제.
1. 조직적인 순간(2분)
교사는 청중에게 인사하고 수업 주제와 작업 계획을 발표합니다.
2. a) 분석 숙제(5 분.)
목표는 실행을 확인하는 것입니다. 하나의 작품은 비디오 카메라를 사용하여 화면에 표시되고 나머지는 교사 확인을 위해 선택적으로 수집됩니다.
나) 분석 독립적 인 일(3분)
목표는 실수를 분석하고 이를 극복할 수 있는 방법을 제시하는 것입니다.
답변과 해결책이 화면에 표시됩니다. 학생들은 자신의 과제를 미리 제공받습니다. 분석은 빠르게 진행됩니다.
3. 삼각 방정식을 푸는 방법 검토(5분)
목표는 삼각 방정식을 푸는 방법을 기억하는 것입니다.
학생들에게 삼각 방정식을 푸는 방법이 무엇인지 물어보십시오. 소위 기본(자주 사용되는) 방법이 있다는 점을 강조하십시오.
- 변수 교체,
- 채권 차압 통고,
- 균질 방정식,
적용된 방법이 있습니다.
또한 하나의 방정식은 다양한 방법으로 풀 수 있다는 점을 기억해야 합니다.
4. 삼각 방정식 풀기(30분)
목표는 이 주제에 대한 지식과 기술을 일반화하고 통합하여 통합 상태 시험의 C1 솔루션을 준비하는 것입니다.
학생들과 함께 각 방법에 대한 방정식을 풀어보는 것이 바람직하다고 생각합니다.
학생이 해결책을 지시하고, 교사가 이를 태블릿에 적으면 전체 과정이 화면에 표시됩니다. 이렇게 하면 이전에 다뤘던 내용을 기억 속에서 빠르고 효과적으로 불러올 수 있습니다.
방정식 풀기:
1) 변수 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0 대체
2) 인수분해 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0
3) 동차방정식죄 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0
4) 합을 곱 cos5x + cos7x = cos(π + 6x)로 변환
5) 곱을 합계 2sinx sin2x + cos3x = 0으로 변환합니다.
6) sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0.5 정도의 감소
7) 보편적 삼각 치환 sinx + 5cosx + 5 = 0.
이 방정식을 풀 때 사인과 코사인이 tg(x/2)로 대체되므로 이 방법을 사용하면 정의 범위가 좁아진다는 점에 유의해야 합니다. 따라서 답을 쓰기 전에 π + 2πn, n Z 집합의 숫자가 이 방정식의 말인지 확인해야 합니다.
8) 보조각 도입 √3sinx + cosx - √2 = 0
9) 일부 삼각 함수 cosx cos2x cos4x = 1/8을 곱합니다.
5. 삼각 방정식의 근 선택(20분)
대학 입학 시 경쟁이 치열한 상황에서 시험의 첫 번째 부분만으로는 충분하지 않기 때문에 대부분의 학생들은 두 번째 부분(C1, C2, C3)의 과제에 주의를 기울여야 합니다.
따라서 이 수업 단계의 목표는 이전에 공부한 내용을 기억하고 Unified State Exam 2011의 문제 C1 해결을 준비하는 것입니다.
존재하다 삼각 방정식, 답을 작성할 때 루트를 선택해야 합니다. 이는 몇 가지 제한 사항으로 인해 발생합니다. 예를 들어 분수의 분모는 다음과 같습니다. 0과 같음, 짝수 근 아래의 표현식은 음수가 아니고, 로그 기호 아래의 표현식은 양수입니다.
이러한 방정식은 복잡성이 증가한 방정식으로 간주됩니다. 통합 상태 시험 버전두 번째 부분, 즉 C1에 있습니다.
방정식을 푼다:
분수는 0과 같습니다. 
사용하여 단위원루트를 선택해 보겠습니다(그림 1 참조).
그림 1.
우리는 x = π + 2πn, n Z를 얻습니다.
답: π + 2πn, n Z
화면에서는 뿌리 선택이 컬러 이미지로 원으로 표시됩니다.
요소 중 하나 이상이 0과 같을 때 곱은 0과 같고 호는 그 의미를 잃지 않습니다. 그 다음에
단위원을 사용하여 근을 선택합니다(그림 2 참조).
귀하의 요청에 따라.
6. 표현을 단순화합니다:
왜냐하면 최대 90°까지 서로 보완적인 각도의 공함수는 같습니다., 그런 다음 분수 분자의 sin50°를 cos40°로 바꾸고 이중 인수의 사인 공식을 분자에 적용합니다. 우리는 분자에 5sin80°를 얻습니다. sin80°를 cos10°로 바꾸면 분수를 줄일 수 있습니다.
적용된 수식: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.
7. 안에 산술 진행, 차이가 12이고 여덟 번째 항이 54인 경우, 음수 항의 수를 구합니다.
솔루션 계획. 이 수열의 일반 항에 대한 공식을 만들고 n개의 음수 항의 어떤 값이 얻어지는지 알아봅시다. 이를 위해서는 진행의 첫 번째 항을 찾아야 합니다.
d=12, a 8=54가 있습니다. a n =a 1 +(n-1)∙d 공식을 사용하여 다음과 같이 씁니다.
8 = 1 +7d. 사용 가능한 데이터를 대체해 보겠습니다. 54=a1 +7∙12;
a1=-30. 이 값을 공식 a n =a 1 +(n-1)∙d로 대체합니다.
n =-30+(n-1)∙12 또는 n =-30+12n-12. 단순화해보자: a n =12n-42.
우리는 부정적인 용어의 수를 찾고 있으므로 부등식을 해결해야 합니다.
앤<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;
12n<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.
8. 다음 함수의 값 범위를 찾습니다: y=x-|x|.
모듈식 브래킷을 열어 보겠습니다. x≥0이면 y=x-x ⇒ y=0입니다. 그래프는 원점 오른쪽의 Ox 축이 됩니다. 만약 x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].
9. 직원뿔의 모선이 18 cm이고 밑면의 넓이가 36 cm 2 일 때 직원뿔의 옆면적을 구합니다.
축 단면 MAV가 있는 원뿔이 주어집니다. 발전기 VM=18, S 메인. =36π. S 측 공식을 사용하여 원뿔의 측면 표면적을 계산합니다. =πRl, 여기서 l은 생성기이고 조건에 따라 18cm이고 R은 밑면의 반경이며 공식 S cr을 사용하여 찾을 수 있습니다. = πR 2 . S cr이 있습니다. = S 기본 = 36π. 따라서 πR 2 =36π ⇒ R=6입니다.
그럼 S쪽. =π∙6∙18 ⇒ S측. =108π cm 2.
12. 로그 방정식을 푸는 중입니다. 분수는 분자가 분모와 같으면 1과 같습니다. 즉,
log(x 2 +5x+4)=2logx(logx≠0인 경우). 우리는 로그 기호 아래 숫자의 거듭제곱 속성을 평등의 오른쪽에 적용합니다: lg(x 2 +5x+4)=lgx 2. 이 십진 로그는 동일하므로 로그 기호 아래의 숫자는 같습니다. , 그러므로:
x 2 +5x+4=x 2, 따라서 5x=-4; 우리는 x=-0.8을 얻습니다. 그러나 로그 부호 아래에는 양수만 포함될 수 있으므로 이 값을 사용할 수 없습니다. 따라서 이 방정식에는 해가 없습니다. 메모. 결정 초기에 ODZ를 찾아서는 안 되며(시간 낭비!), 마지막에 확인하는 것이 좋습니다(지금 하고 있는 것처럼).
13. 식 (x o – y o)의 값을 구합니다. 여기서 (x o; y o)는 연립방정식의 해입니다.
14. 방정식을 푼다:
로 나누면 2 그리고 분수의 분자와 분모를 이용하여 이중각의 탄젠트 공식을 배우게 됩니다. 결과는 간단한 방정식입니다: tg4x=1.
15. 함수의 도함수를 구하세요: f(x)=(6x 2 -4x) 5.
우리에게는 복잡한 기능이 주어졌습니다. 우리는 그것을 한 단어로 정의합니다. 이것이 학위입니다. 따라서 복잡한 함수의 미분 규칙에 따라 차수의 도함수를 찾고 공식에 따라 이 차수 밑의 도함수를 곱합니다.
(u n)' = n ∙ 너 -1 ∙ 유'.
f'(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x)' = 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x 2 -4x) 4 .
16. 함수인 경우 f'(1)을 찾아야 합니다.
17. 정삼각형에서 모든 이등분선의 합은 33√3cm입니다. 삼각형의 넓이를 구하세요.
정삼각형의 이등분선은 중앙값과 고도입니다. 따라서 이 삼각형의 고도 BD의 길이는 다음과 같습니다.
직사각형 Δ ABD에서 변 AB를 구해 봅시다. sin60° = BD이므로 : AB, AB = BD : 죄60°.
18. 높이가 12cm인 정삼각형에 원이 새겨져 있습니다.
원(O; OD)은 등변 Δ ABC에 새겨져 있습니다. 고도 BD는 이등분선이자 중앙값이기도 하며 원의 중심인 점 O가 BD에 있습니다.
O – 높이, 이등분선 및 중앙값의 교차점은 꼭지점부터 계산하여 중앙값 BD를 2:1 비율로 나눕니다. 따라서 OD=(1/3)BD=12:3=4입니다. 원의 반경 R=OD=4 cm 원의 면적 S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π cm 2
19. 정사각형 피라미드의 옆 모서리의 길이는 9 cm이고, 밑면의 한 변의 길이는 8 cm입니다. 피라미드의 높이를 구하십시오.
정사각뿔의 밑변은 정사각형 ABCD이고, 높이 MO의 밑변은 정사각형의 중심입니다.
20. 단순화:
분자에서는 차이의 제곱이 접혀 있습니다.
용어를 그룹화하는 방법을 사용하여 분모를 인수분해합니다.
21. 계산하다:
산술 제곱근을 추출하려면 근호 표현이 완전제곱근이어야 합니다. 공식을 사용하여 루트 기호 아래의 표현식을 두 표현식 간의 차이의 제곱으로 표현해 보겠습니다.
a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2, a 2 +b 2 =10이라고 가정합니다.
22. 부등식을 해결합니다.
부등식의 좌변을 곱으로 표현해 보겠습니다. 두 각도의 사인의 합은 이 각도의 절반 합의 사인과 이 각도의 절반 차이의 코사인을 곱한 값의 두 배와 같습니다.:
우리는 다음을 얻습니다:
이 불평등을 그래픽으로 해결해 보겠습니다. y=비용 그래프에서 직선 위에 있는 점을 선택하고 이 점의 가로좌표를 결정합니다(음영으로 표시).
23. 함수 h(x)=cos 2 x에 대한 모든 역도함수를 구합니다.
다음 공식을 사용하여 차수를 낮추어 이 함수를 변환해 보겠습니다.
1+cos2α=2cos2α. 우리는 다음과 같은 기능을 얻습니다.
24. 벡터의 좌표 찾기
25. 올바른 동등성을 얻을 수 있도록 별표 대신 산술 기호를 삽입하십시오: (3*3)*(4*4) = 31 – 6.
우리는 숫자가 25(31 – 6 = 25)여야 한다고 추론합니다. 동작 기호를 사용하여 두 개의 "3"과 두 개의 "4"에서 이 숫자를 얻는 방법은 무엇입니까?
물론입니다: 3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 = 9 + 16 = 25. 답 E).
비디오 강의 "삼각 함수 표현 단순화"는 기본 삼각 항등식을 사용하여 삼각 문제를 해결하는 학생들의 기술을 개발하도록 고안되었습니다. 비디오 강의에서는 삼각법 항등식의 유형과 이를 사용하여 문제를 해결하는 예에 대해 논의합니다. 시각 자료를 사용하면 교사가 수업 목표를 더 쉽게 달성할 수 있습니다. 자료를 생생하게 제시하면 중요한 점을 기억하는 데 도움이 됩니다. 애니메이션 효과와 음성 해설을 사용하면 자료를 설명하는 단계에서 교사를 완전히 대체할 수 있습니다. 따라서 수학 수업에서 이러한 시각 자료를 사용함으로써 교사는 교육 효과를 높일 수 있습니다.
비디오 강의가 시작될 때 주제가 발표됩니다. 그런 다음 앞서 연구한 삼각법 항등식을 떠올립니다. 화면에는 등식 sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t가 표시됩니다. 여기서 kϵZ의 경우 t≠π/2+πk, ctg t=cos t/sin t, t≠πk의 경우 정확합니다. 여기서 kϵZ, tg t· ctg t=1, t≠πk/2에 대해, 여기서 kϵZ는 기본 삼각법 항등식이라고 합니다. 이러한 항등식은 동등성을 증명하거나 표현을 단순화해야 하는 문제를 해결하는 데 자주 사용됩니다.
아래에서는 문제 해결에 이러한 정체성을 적용한 예를 고려합니다. 첫째, 표현을 단순화하는 문제의 해결을 고려할 것을 제안한다. 예제 1에서는 cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t라는 표현을 단순화할 필요가 있습니다. 예제를 풀려면 먼저 대괄호에서 공통 인수 cos 2 t를 가져옵니다. 괄호 안의 이러한 변환의 결과로 표현 1-cos 2 t가 얻어지며, 그 값은 삼각법의 주요 항등식에서 sin 2 t와 같습니다. 표현식을 변환한 후, 하나 이상의 공통 인수 sin 2 t를 괄호에서 꺼낼 수 있으며 그 후 표현식은 sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t) 형식을 취합니다. 동일한 기본 항등으로부터 우리는 1과 같은 괄호 안의 표현식 값을 도출합니다. 단순화의 결과로 cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t를 얻습니다.
예제 2에서는 표현식 비용/(1-sint)+ 비용/(1+ sint)를 단순화해야 합니다. 두 분수의 분자에는 표현식 비용이 포함되어 있으므로 괄호에서 공약수로 꺼낼 수 있습니다. 그런 다음 (1-sint)(1+sint)를 곱하여 괄호 안의 분수를 공통 분모로 줄입니다. 비슷한 용어를 가져온 후에도 분자는 2로 유지되고 분모는 1 - sin 2 t입니다. 화면 오른쪽에는 기본 삼각 항등식 sin 2 t+cos 2 t=1이 호출됩니다. 이를 사용하여 분수 cos 2 t의 분모를 찾습니다. 분수를 줄인 후 비용/(1-sint)+ 비용/(1+ sint)=2/비용의 단순화된 형태를 얻습니다.
다음으로 삼각법의 기본 항등식에 대해 획득한 지식을 사용하는 항등 증명의 예를 고려합니다. 예시 3에서는 항등식(tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t를 증명해야 합니다. 화면 오른쪽에는 증명에 필요한 세 가지 ID(제한 사항이 있는 tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t 및 tg t=sin t/cos t)가 표시됩니다. 항등식을 증명하기 위해 먼저 괄호를 연 후 주요 삼각 항등식 tg t·ctg t=1의 표현을 반영하는 제품이 형성됩니다. 그러면 코탄젠트 정의의 항등식에 따라 ctg 2 t가 변환됩니다. 변환의 결과로 1-cos 2 t라는 표현이 얻어집니다. 주요 아이덴티티를 이용하여 표현의 의미를 찾아봅니다. 따라서 (tg2t-sin2t)·ctg2t=sin2t임을 증명하였다.
예제 4에서는 tg t+ctg t=6인 경우 tg 2 t+ctg 2 t 표현식의 값을 찾아야 합니다. 식을 계산하려면 먼저 등식의 오른쪽과 왼쪽을 제곱하세요(tg t+ctg t) 2 =6 2. 축약된 곱셈 공식이 화면 오른쪽에 호출됩니다. 식의 왼쪽에 있는 괄호를 열면 합 tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t가 형성되고 이를 변환하여 삼각법 항등식 tg t·ctg t=1 중 하나를 적용할 수 있습니다. , 그 형태가 화면 오른쪽에 호출됩니다. 변환 후에는 tg 2 t+ctg 2 t=34 등식이 얻어집니다. 등식의 좌변이 문제의 조건과 일치하므로 답은 34이다. 문제가 해결되었다.
전통적인 학교 수학 수업에서 비디오 수업 "삼각법 표현의 단순화"를 사용하는 것이 좋습니다. 이 자료는 원격 학습을 제공하는 교사에게도 유용할 것입니다. 삼각법 문제를 해결하는 기술을 개발합니다.
텍스트 디코딩:
"삼각함수 표현의 단순화."
평등
1) sin 2 t + cos 2 t = 1(사인 제곱 te 더하기 코사인 제곱 te는 1임)
2)tgt =, t ≠ + πk의 경우 kϵZ(탄젠트 te는 사인 te 대 코사인 te의 비율과 동일하며 te는 pi와 2를 더한 값 pi ka, ka는 zet에 속함)
3)ctgt = , t ≠ πk, kϵZ(코탄젠트 te는 코사인 te 대 사인 te의 비율과 동일하며 te는 pi ka와 같지 않고 ka는 zet에 속합니다).
4) tgt ∙ ctgt = 1(t ≠ , kϵZ)(탄젠트 te와 코탄젠트 te의 곱은 te가 피크 ka와 같지 않을 때 1과 같고, 이를 2로 나눈 값, ka는 zet에 속함)
기본 삼각 항등식이라고 합니다.
삼각함수 표현을 단순화하고 증명하는 데 자주 사용됩니다.
삼각함수 표현식을 단순화하기 위해 이러한 공식을 사용하는 예를 살펴보겠습니다.
예 1. 표현을 단순화합니다: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (코사인 제곱 te - 4차 코사인 te + 4차 사인 te로 표현).
해결책. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = 죄 2 티 1= 죄 2 티
(공통 인수 코사인 제곱 테를 꺼내면 괄호 안에 단위와 제곱 코사인 테의 차이가 나옵니다. 이는 첫 번째 항등식에 의한 제곱 사인 테와 같습니다. 우리는 4제곱 사인 테의 합을 얻습니다. 곱 코사인 제곱 테 및 사인 제곱 테 괄호 밖에서 공통 인자 사인 제곱 테를 꺼내고 괄호 안에는 기본 삼각법 항등식에 따라 코사인과 사인의 제곱의 합을 얻습니다. 결과적으로 우리는 사인 테의 제곱을 얻습니다.
예 2. 표현식을 단순화합니다: + .
(표현은 분모 1에서 사인 te를 뺀 첫 번째 코사인 te의 분자, 두 번째 코사인 te의 분모에서 사인 te를 더한 두 번째 코사인 te의 분자에 있는 두 분수의 합입니다.)
(공통 인수 코사인 te를 괄호에서 빼내고 괄호 안의 공통 분모로 가져옵니다. 이는 1 마이너스 사인 테와 1 더하기 사인 테의 곱입니다.
분자에서 우리는 다음을 얻습니다. 1 더하기 사인 테 더하기 1 빼기 사인 테, 우리는 유사한 것을 제공하고 분자는 유사한 것을 가져온 후 2와 같습니다.
분모에는 약식 곱셈 공식(제곱의 차이)을 적용하여 기본 삼각법 항등식에 따라 1과 사인테의 제곱의 차이를 구할 수 있습니다.
코사인 te의 제곱과 같습니다. 코사인 te로 줄인 후 최종 답을 얻습니다. 2를 코사인 te로 나눈 값입니다.
삼각함수 표현식을 증명하기 위해 이러한 공식을 사용하는 예를 살펴보겠습니다.
예 3. 항등식 증명 (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (탄젠트 te와 사인 te의 제곱과 코탄젠트 te의 제곱의 차이의 곱은 사인 테).
증거.
평등의 왼쪽을 변환해 보겠습니다.
(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2t = 죄 2t
(괄호를 열어 보겠습니다. 이전에 얻은 관계에서 탄젠트 te와 코탄젠트 te의 제곱의 곱이 1과 같다는 것이 알려져 있습니다. 코탄젠트 te는 코사인 te와 사인 te의 비율과 같습니다. 코탄젠트의 제곱은 코사인 te의 제곱과 사인 te의 제곱의 비율이라는 의미입니다.
사인 제곱 te로 축소한 후 단위와 코사인 제곱 te 사이의 차이를 얻습니다. 이는 사인 제곱 te와 같습니다. Q.E.D.
예 4. tgt + ctgt = 6인 경우 tg 2 t + ctg 2 t 표현식의 값을 찾습니다.
(탄젠트와 코탄젠트의 합이 6인 경우 탄젠트 te와 코탄젠트 te의 제곱의 합)
해결책. (tgt + ctgt) 2 = 6 2
tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36
tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36
tg 2 t + ctg 2 t = 36-2
tg 2 t + ctg 2 t = 34
원래 평등의 양쪽을 제곱해 봅시다:
(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (탄젠트 te와 코탄젠트 te의 합의 제곱은 6의 제곱과 같습니다). 약식 곱셈의 공식을 떠올려 보겠습니다. 두 수량의 합의 제곱은 첫 번째 제곱과 첫 번째 곱의 두 배, 두 번째 곱과 두 번째 제곱의 곱과 같습니다. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 우리는 tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (탄젠트 제곱 te 더하기 탄젠트 te 곱의 두 배, 코탄젠트 te 더하기 코탄젠트 제곱 te 동일) 서른 여섯) .
탄젠트 te와 코탄젠트 te의 곱은 1과 같으므로 tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36(탄젠트 te와 코탄젠트 te와 2의 제곱의 합은 36과 같습니다),