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로그 표현의 값을 찾습니다. 자연 로그, 함수 ln x

해결 방법이 다음과 같은 작업 로그 표현식 변환, 통합 국가 시험에서 매우 일반적입니다.

최소한의 시간에 성공적으로 대처하려면 기본 로그 항등식 외에도 몇 가지 더 많은 공식을 알고 올바르게 사용해야 합니다.

이는 a log a b = b, 여기서 a, b > 0, a ≠ 1입니다(로그 정의에서 직접 따릅니다).

로그 a b = 로그 c b / 로그 c a 또는 로그 a b = 1/log b a
여기서 a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

로그 a m b n = (m/n) 로그 |a| |b|
여기서 a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0입니다.

a 로그 c b = b 로그 c a
여기서 a, b, c > 0이고 a, b, c ≠ 1입니다.

네 번째 등식의 타당성을 보여주기 위해 왼쪽과 오른쪽의 로그를 밑수 a로 취하겠습니다. 우리는 log a(b가 있는 로그) = log a(a가 있는 b 로그) 또는 b가 있는 로그 = a가 있는 로그 · log a b를 얻습니다. 로그 c b = 로그 c a · (로그 c b / 로그 c a); b로 로그 = b로 로그.

우리는 로그의 동일성을 증명했습니다. 이는 로그 아래의 표현식도 동일하다는 것을 의미합니다. 포뮬러 4가 입증되었습니다.

예시 1.

81 로그 27 5 로그 5 4 를 계산합니다.

해결책.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

로그 27 5 = 1/3 로그 3 5, 로그 5 4 = 로그 3 4 / 로그 3 5. 따라서,

로그 27 5 로그 5 4 = 1/3 로그 3 5 (로그 3 4 / 로그 3 5) = 1/3 로그 3 4.

그러면 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4입니다.

다음 작업은 직접 완료할 수 있습니다.

(8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0.2 5를 계산합니다.

힌트로 0.2 = 1/5 = 5 -1 ; 로그 0.2 5 = -1.

답: 5.

예시 2.

계산 (√11) 통나무 √3 9- 로그 121 81 .

해결책.

식을 바꿔보겠습니다: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (공식 3이 사용되었습니다).

그러면 (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 로그 11 3) = 121/3.

예시 3.

로그 2 24 / 로그 96 2 - 로그 2 192 / 로그 12 2를 계산합니다.

해결책.

예제에 포함된 로그를 밑이 2인 로그로 바꿉니다.

로그 96 2 = 1/로그 2 96 = 1/로그 2 (2 5 3) = 1/(로그 2 2 5 + 로그 2 3) = 1/(5 + 로그 2 3);

로그 2 192 = 로그 2 (2 6 3) = (로그 2 2 6 + 로그 2 3) = (6 + 로그 2 3);

로그 2 24 = 로그 2 (2 3 3) = (로그 2 2 3 + 로그 2 3) = (3 + 로그 2 3);

로그 12 2 = 1/로그 2 12 = 1/로그 2 (2 2 3) = 1/(로그 2 2 2 + 로그 2 3) = 1/(2 + 로그 2 3).

그런 다음 로그 2 24 / 로그 96 2 – 로그 2 192 / 로그 12 2 = (3 + 로그 2 3) / (1/(5 + 로그 2 3)) – ((6 + 로그 2 3) / (1/( 2 + 로그 2 3)) =

= (3 + 로그 2 3) · (5 + 로그 2 3) – (6 + 로그 2 3)(2 + 로그 2 3).

괄호를 열고 비슷한 항을 가져오면 숫자 3을 얻습니다. (식을 단순화할 때 log 2 3 을 n으로 표기하고 식을 단순화하면 됩니다.

(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

답: 3.

다음 작업을 직접 완료할 수 있습니다.

(로그 3 4 + 로그 4 3 + 2) 계산 로그 3 16 로그 2 144 3.

여기서는 밑이 3인 로그로 전환하고 큰 숫자를 소인수로 분해하는 것이 필요합니다.

답:1/2

예시 4.

세 개의 숫자 A = 1/(log 3 0.5), B = 1/(log 0.5 3), C = log 0.5 12 – log 0.5 3. 오름차순으로 배열하세요.

해결책.

숫자를 변환해 보겠습니다. A = 1/(log 3 0.5) = log 0.5 3; C = 로그 0.5 12 – 로그 0.5 3 = 로그 0.5 12/3 = 로그 0.5 4 = -2.

비교해 봅시다

로그 0.5 3 > 로그 0.5 4 = -2 및 로그 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

아니면 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

답변. 따라서 숫자 배치 순서는 다음과 같습니다. C; ㅏ; 안에.

실시예 5.

간격에 몇 개의 정수가 있는지(log 3 1 / 16 ; log 2 6 48)

해결책.

숫자 1/16이 3의 거듭제곱 사이에 위치하는지 알아봅시다. 우리는 1/27을 얻습니다< 1 / 16 < 1 / 9 .

함수 y = log 3 x가 증가하므로 log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

로그 6 48 = 로그 6 (36 4 / 3) = 로그 6 36 + 로그 6 (4 / 3) = 2 + 로그 6 (4 / 3). 로그 6(4/3)과 1/5를 비교해 보겠습니다. 이를 위해 우리는 숫자 4/3과 6 1/5를 비교합니다. 두 숫자를 모두 5제곱해 보겠습니다. 우리는 (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243을 얻습니다.< 6. Следовательно,

로그 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

따라서 간격(log 3 1/16 ; log 6 48)에는 간격 [-2; 4] 그 위에 정수 -2가 배치됩니다. -1; 0; 1; 2; 삼; 4.

답: 7개의 정수.

실시예 6.

3 lglg 2/ lg 3 - lg20을 계산합니다.

해결책.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

그러면 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0.1 = -1입니다.

답: -1.

실시예 7.

log 2(√3 + 1) + log 2(√6 – 2) = A로 알려져 있습니다. log 2(√3 –1) + log 2(√6 + 2)를 구합니다.

해결책.

숫자 (√3 + 1) 및 (√3 – 1) (√6 – 2)와 (√6 + 2)는 공액입니다.

다음과 같은 표현 변환을 수행해 보자.

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

그러면 로그 2 (√3 – 1) + 로그 2 (√6 + 2) = 로그 2 (2/(√3 + 1)) + 로그 2 (2/(√6 – 2)) =

로그 2 2 – 로그 2 (√3 + 1) + 로그 2 2 – 로그 2 (√6 – 2) = 1 – 로그 2 (√3 + 1) + 1 – 로그 2 (√6 – 2) =

2 – 로그 2(√3 + 1) – 로그 2(√6 – 2) = 2 – A.

답: 2 – A.

실시예 8.

식의 대략적인 값을 단순화하고 찾습니다(로그 3 2 로그 4 3 로그 5 4 로그 6 5 ... 로그 10 9).

해결책.

모든 로그를 공통 밑수 10으로 줄이겠습니다.

(로그 3 2 로그 4 3 로그 5 4 로그 6 5 ... 로그 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≒ 0.3010 (lg 2의 대략적인 값은 표, 계산자 또는 계산기를 사용하여 찾을 수 있습니다).

답: 0.3010.

실시예 9.

log √ a b 3 = 1이면 log a 2 b 3 √(a 11 b -3)을 계산합니다. (이 예에서 a 2 b 3은 로그의 밑입니다.)

해결책.

log √ a b 3 = 1이면 3/(0.5 log a b = 1. 그리고 log a b = 1/6입니다.

그러면 log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) log a b = 1/ 6을 구하면 (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10.5/5 = 2.1이 됩니다.

답: 2.1.

다음 작업을 직접 완료할 수 있습니다.

log 0.7 27 = a이면 log √3 6 √2.1을 계산합니다.

답: (3 + a) / (3a).

실시예 10.

6.5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125를 계산하세요.

해결책.

6.5 4/ 로그 3 169 · 3 1/ 로그 4 13 + 로그 125 = (13/2) 4/2 로그 3 13 · 3 2/ 로그 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 로그 13 3 3 2 로그 13 2 + 6 = (13 로그 13 3 / 2 로그 13 3) 2 (3 로그 13 2) 2 + 6 = (3/2 로그 13 3) 2 (3 로그 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 로그 13 3) 2) · (2 ​​로그 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (공식 4))

9 + 6 = 15를 얻습니다.

답: 15.

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아시다시피, 표현식에 거듭제곱을 곱할 때 지수는 항상 합산됩니다(a b *a c = a b+c). 이 수학 법칙은 아르키메데스에 의해 도출되었으며, 이후 8세기에 수학자 비라센(Virasen)이 정수 지수 표를 만들었습니다. 로그의 추가 발견을 위해 봉사 한 것은 바로 그들이었습니다. 이 함수를 사용하는 예는 간단한 덧셈을 통해 번거로운 곱셈을 단순화해야 하는 거의 모든 곳에서 찾을 수 있습니다. 이 글을 10분만 투자하시면 로그가 무엇인지, 그리고 로그를 사용하는 방법을 설명해 드리겠습니다. 간단하고 접근하기 쉬운 언어로.

수학에서의 정의

로그는 다음 형식의 표현입니다: log a b=c, 즉 음수가 아닌 숫자(즉, 양수) "b"의 밑수 "a"의 로그는 "c"의 거듭제곱으로 간주됩니다. ” 궁극적으로 "b" 값을 얻으려면 밑수 "a"를 올려야 합니다. 예를 사용하여 로그를 분석해 보겠습니다. log 2 8이라는 표현식이 있다고 가정해 보겠습니다. 답을 찾는 방법은 무엇입니까? 매우 간단합니다. 2에서 필요한 전력까지 8이 되도록 거듭제곱을 찾아야 합니다. 머릿속으로 몇 가지 계산을 하면 숫자 3이 나옵니다! 그리고 그것은 사실입니다. 왜냐하면 2의 3승은 8이 되기 때문입니다.

로그의 유형

많은 학생과 학생에게 이 주제는 복잡하고 이해하기 어려운 것처럼 보이지만 실제로 로그는 그렇게 무섭지 않습니다. 가장 중요한 것은 일반적인 의미를 이해하고 속성과 일부 규칙을 기억하는 것입니다. 세 가지가 있습니다 개별 종로그 표현식:

  1. 밑이 오일러 수(e = 2.7)인 자연 로그 ln a.
  2. 밑이 10인 십진수 a.
  3. 밑수 a>1에 대한 임의의 숫자 b의 로그입니다.

각 문제는 로그 정리를 사용하여 단순화, 축소 및 단일 로그로의 후속 축소를 포함하는 표준 방식으로 해결됩니다. 올바른 로그 값을 얻으려면 로그를 풀 때 해당 속성과 동작 순서를 기억해야 합니다.

규칙 및 일부 제한사항

수학에는 공리로 인정되는 몇 가지 규칙 제약 조건이 있습니다. 즉, 논의 대상이 아니며 진실입니다. 예를 들어, 숫자를 0으로 나누는 것은 불가능하며, 음수의 짝수 근을 추출하는 것도 불가능합니다. 로그에는 또한 자체 규칙이 있으며, 이에 따라 길고 방대한 로그 표현을 사용해도 작업하는 방법을 쉽게 배울 수 있습니다.

  • 밑수 "a"는 항상 0보다 커야 하고 1이 아니어야 합니다. 그렇지 않으면 "1"과 "0"이 어느 정도든 항상 해당 값과 동일하기 때문에 표현의 의미가 상실됩니다.
  • a > 0이면 a b >0이면 "c"도 0보다 커야 합니다.

로그를 푸는 방법?

예를 들어, 방정식 10 x = 100에 대한 답을 찾는 작업이 제공됩니다. 이것은 매우 쉽습니다. 100이 되는 숫자 10을 올려 거듭제곱을 선택해야 합니다. 물론 이것은 10 2 =입니다. 100.

이제 이 표현을 로그 형식으로 표현해 보겠습니다. 우리는 로그 10 100 = 2를 얻습니다. 로그를 풀 때 모든 동작은 실제로 주어진 숫자를 얻기 위해 로그의 밑을 입력하는 데 필요한 거듭제곱을 찾기 위해 수렴됩니다.

알 수 없는 학위의 값을 정확하게 결정하려면 학위 표를 사용하여 작업하는 방법을 배워야 합니다. 다음과 같습니다.

보시다시피 일부 지수는 구구단에 대한 기술적 사고와 지식이 있으면 직관적으로 추측할 수 있습니다. 그러나 큰 값학위표가 필요합니다. 복잡한 수학 주제에 대해 전혀 모르는 사람도 사용할 수 있습니다. 왼쪽 열에는 숫자(기본 a)가 포함되고, 숫자의 맨 위 행은 숫자 a에 제곱되는 c의 거듭제곱 값입니다. 교차점의 셀에는 답(a c =b)인 숫자 값이 포함됩니다. 예를 들어 숫자 10이 있는 첫 번째 셀을 제곱하면 두 셀의 교차점에 표시되는 값 100을 얻습니다. 모든 것이 너무 간단하고 쉽기 때문에 가장 진정한 인본주의자라도 이해할 수 있습니다!

방정식과 부등식

특정 조건에서 지수는 로그임이 밝혀졌습니다. 따라서 모든 수학적 수치 표현은 대수 방정식으로 작성될 수 있습니다. 예를 들어, 3 4 =81은 81의 밑이 3인 로그가 4와 같다(log 3 81 = 4)라고 쓸 수 있습니다. 음수 거듭제곱의 경우 규칙은 동일합니다. 2 -5 = 1/32 이를 로그로 쓰면 로그 2(1/32) = -5를 얻습니다. 수학에서 가장 흥미로운 부분 중 하나는 "로그"라는 주제입니다. 속성을 연구한 후 즉시 아래 방정식의 예와 해를 살펴보겠습니다. 이제 불평등이 어떻게 생겼는지, 그리고 이를 방정식과 구별하는 방법을 살펴보겠습니다.

다음 형식의 표현식이 주어지면: log 2 (x-1) > 3 - 대수 부등식, 알 수 없는 값 "x"가 로그 기호 아래에 있기 때문입니다. 또한 표현식에서는 두 가지 양이 비교됩니다. 밑수 2에 대한 원하는 숫자의 로그가 숫자 3보다 큽니다.

로그 방정식과 부등식의 가장 중요한 차이점은 로그 방정식(예: 로그 2 x = √9)이 답에 하나 이상의 특정 수치 값을 암시하는 반면, 부등식을 풀 때는 영역으로 정의된다는 것입니다. 허용 가능한 값, 그리고 이 함수의 중단점. 결과적으로 답은 방정식에 대한 답처럼 단순한 개별 숫자 집합이 아니라 연속적인 일련의 숫자 또는 숫자 집합입니다.

로그에 관한 기본 정리

로그 값을 찾는 기본 작업을 해결할 때 해당 속성을 알 수 없을 수도 있습니다. 그러나 로그 방정식이나 부등식에 관해서는 우선 로그의 모든 기본 속성을 명확하게 이해하고 실제로 적용하는 것이 필요합니다. 나중에 방정식의 예를 살펴보겠습니다. 먼저 각 속성을 더 자세히 살펴보겠습니다.

  1. 주요 신원은 다음과 같습니다: a logaB =B. a가 0보다 크고 1이 아니고 B가 0보다 큰 경우에만 적용됩니다.
  2. 곱의 로그는 다음 공식으로 나타낼 수 있습니다: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. 이 경우 필수 조건은 d, s 1 및 s 2 > 0입니다. a≠1. 예제와 해법을 통해 이 로그 공식에 대한 증명을 제공할 수 있습니다. log a s 1 = f 1 및 log a s 2 = f 2라고 하면 a f1 = s 1, a f2 = s 2입니다. 우리는 s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2(속성)을 얻습니다. 도 ), 그리고 정의에 따라: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log as s 2, 이는 증명이 필요한 것입니다.
  3. 몫의 로그는 다음과 같습니다: log a (s 1/ s 2) = log as 1 - log a s 2.
  4. 공식 형태의 정리는 다음과 같은 형식을 취합니다: log a q b n = n/q log a b.

이 공식을 "로그 정도의 특성"이라고 합니다. 이는 일반적인 학위의 속성과 유사하며 모든 수학은 자연적인 가정을 기반으로 하기 때문에 놀라운 일이 아닙니다. 증거를 살펴보겠습니다.

log a b = t라고 하면 a t =b가 됩니다. 두 부분을 모두 m의 거듭제곱으로 올리면: a tn = bn ;

그러나 a tn = (a q) nt/q = bn이므로 log a q b n = (n*t)/t가 되고 log a q b n = n/q log a b가 됩니다. 정리가 입증되었습니다.

문제와 불평등의 예

로그에 관한 가장 일반적인 유형의 문제는 방정식과 부등식의 예입니다. 거의 모든 문제집에 나와 있으며, 수학 시험에서도 필수 부분입니다. 대학에 입학하거나 수학 입학 시험에 합격하려면 이러한 문제를 올바르게 해결하는 방법을 알아야합니다.

불행하게도 로그의 알려지지 않은 값을 해결하고 결정하기 위한 단일한 계획이나 방식은 없지만 각 수학적 부등식 또는 로그 방정식에 특정 규칙이 적용될 수 있습니다. 우선, 표현이 단순화될 수 있는지, 아니면 다음과 같이 이어질 수 있는지를 알아보아야 합니다. 일반적인 모습. 긴 것을 단순화하라 대수 표현식해당 속성을 올바르게 사용하면 가능합니다. 빨리 알아봅시다.

결정할 때 대수 방정식, 우리는 어떤 유형의 로그를 가지고 있는지 결정해야 합니다. 예제 표현식에는 자연 로그 또는 십진수 1이 포함될 수 있습니다.

다음은 ln100, ln1026의 예입니다. 그들의 해결책은 기본 10이 각각 100과 1026이 되는 거듭제곱을 결정해야 한다는 사실로 귀결됩니다. 솔루션의 경우 자연로그로그 항등식이나 해당 속성을 적용해야 합니다. 예제를 통해 솔루션을 살펴보겠습니다. 대수 문제다른 유형.

로그 공식을 사용하는 방법: 예제 및 솔루션 포함

그럼 로그에 관한 기본 정리를 활용한 예를 살펴보겠습니다.

  1. 제품의 로그 속성은 확장이 필요한 작업에 사용될 수 있습니다. 큰 중요성숫자 b를 더 간단한 요소로 나눕니다. 예를 들어 로그 2 4 + 로그 2 128 = 로그 2 (4*128) = 로그 2 512입니다. 답은 9입니다.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - 보시다시피 로그 거듭제곱의 네 번째 속성을 사용하여 겉보기에는 복잡하고 풀 수 없는 표현식을 풀 수 있었습니다. 밑수를 인수분해한 다음 로그 부호에서 지수 값을 빼면 됩니다.

통합 상태 시험의 과제

로그는 입학 시험에서 자주 발견되며, 특히 통합 상태 시험(모든 학교 졸업생을 대상으로 하는 상태 시험)에서 로그 문제가 많이 발견됩니다. 일반적으로 이러한 작업은 파트 A(가장 쉬운 작업)에만 존재하는 것이 아닙니다. 테스트 부분시험)뿐만 아니라 파트 C(가장 복잡하고 방대한 작업)에도 있습니다. 시험에는 "자연 로그"라는 주제에 대한 정확하고 완벽한 지식이 필요합니다.

문제에 대한 예와 해결책은 공식에서 가져옵니다. 통합 상태 시험 옵션. 이러한 작업이 어떻게 해결되는지 살펴 보겠습니다.

주어진 로그 2(2x-1) = 4. 해결 방법:
표현식을 다시 작성하여 약간 log 2 (2x-1) = 2 2로 단순화하겠습니다. 로그의 정의에 따라 2x-1 = 2 4이므로 2x = 17이 됩니다. x = 8.5.

  • 솔루션이 번거롭고 혼란스럽지 않도록 모든 로그를 동일한 밑으로 줄이는 것이 가장 좋습니다.
  • 로그 기호 아래의 모든 식은 양수로 표시되므로 로그 기호 아래에 있는 식의 지수를 승수로 취하면 로그 아래에 남아 있는 식은 양수여야 합니다.

    시작해보자 1의 로그의 속성. 그 공식은 다음과 같습니다: 1의 로그 0과 같음, 그건, 1=0을 기록 a>0이면 a≠1입니다. 증명은 어렵지 않습니다. 위의 조건 a>0 및 a≠1을 만족하는 임의의 a에 대해 a 0 =1이므로 증명할 등식 로그 a 1=0은 로그 정의에서 즉시 따릅니다.

    고려된 속성의 적용 예를 들어보겠습니다: log 3 1=0, log1=0 및 .

    다음 속성으로 넘어가겠습니다. 밑수와 동일한 숫자의 로그 1과 같다 , 그건, 로그 a = 1 a>0인 경우 a≠1입니다. 실제로 모든 a에 대해 a 1 =a이므로 로그 정의에 따라 log a a =1입니다.

    로그의 이 속성을 사용하는 예는 등식 log 5 5=1, log 5.6 5.6 및 lne=1입니다.

    예를 들어 log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 및 .

    2의 곱의 로그 양수 x와 y는 다음 숫자의 로그 곱과 같습니다. 로그 a (x y)=로그 a x+로그 a y, a>0 , a≠1 . 곱셈의 로그의 성질을 증명해 보자. 학위의 특성상 a 로그 a x+log a y =a 로그 a x ·a 로그 a y, 그리고 주요 로그 항등식에 의해 a log a x =x 및 a log a y =y이므로 a log a x ·a log a y =x·y입니다. 따라서 로그 a x+log a y =x·y, 로그의 정의에 의해 동등성이 증명됩니다.

    곱의 로그 속성을 사용하는 예를 보여드리겠습니다. log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 그리고 .

    곱의 로그 속성은 다음과 같이 양수 x 1 , x 2 , …, x n 의 유한수 n 의 곱으로 일반화될 수 있습니다. 로그 a (x 1 ·x 2 ·...·x n)= 로그 a x 1 +로그 a x 2 +… +로그 a x n . 이 평등은 문제 없이 입증될 수 있습니다.

    예를 들어, 곱의 자연 로그는 숫자 4, e 및 3개의 자연 로그의 합으로 대체될 수 있습니다.

    두 양수의 몫에 대한 로그 x와 y는 이 숫자의 로그 간의 차이와 같습니다. 몫의 로그 속성은 형식의 공식에 해당합니다. 여기서 a>0, a≠1, x 및 y는 양수입니다. 이 공식의 타당성은 제품의 로그 공식뿐만 아니라 입증되었습니다. , 그런 다음 로그를 정의합니다.

    다음은 로그의 이 속성을 사용하는 예입니다. .

    다음으로 넘어가자 거듭제곱의 로그 속성. 도의 로그는 지수와 이 도의 밑 모듈러스의 로그의 곱과 같습니다. 거듭제곱 로그의 이 속성을 공식으로 작성해 보겠습니다. 로그 a b p =p·log a |b|여기서 a>0, a≠1, b 및 p는 b p 정도가 의미가 있고 b p >0인 숫자입니다.

    먼저 우리는 양수 b에 대해 이 속성을 증명합니다. 기본 로그 항등식을 사용하면 숫자 b를 a log a b, b p =(a log a b) p로 표현할 수 있으며 결과 표현식은 거듭제곱의 속성으로 인해 a p·log a b와 같습니다. 따라서 우리는 등식 b p =a p·log a b에 이르렀고, 이로부터 로그의 정의에 따라 log a b p =p·log a b라는 결론을 내립니다.

    음수 b에 대해 이 속성을 증명하는 것이 남아 있습니다. 여기서 음수 b에 대한 log a b p 표현은 짝수 지수 p에 대해서만 의미가 있으며(b p 차의 값은 0보다 커야 하고 그렇지 않으면 로그가 의미가 없으므로), 이 경우 b p =|b| 피. 그 다음에 b p =|b| p =(a 로그 a |b|) p =a p·log a |b|, 여기서 log a b p =p·log a |b| .

    예를 들어, 및 ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

    이전 속성에서 이어집니다. 근으로부터의 로그의 성질: n번째 근의 로그는 분수 1/n과 근호 표현의 로그의 곱과 같습니다. 즉, 여기서 a>0, a≠1, n – 자연수, 1보다 큼, b>0.

    증명은 모든 양의 b에 대해 유효한 평등(참조)과 거듭제곱의 로그 속성을 기반으로 합니다. .

    다음은 이 속성을 사용하는 예입니다. .

    이제 증명해보자 새로운 로그 밑으로 이동하는 공식유형 . 이를 위해서는 등식 log c b=log a b·log c a의 타당성을 증명하면 충분합니다. 기본 로그 항등식을 사용하면 숫자 b를 log a b로 표현한 다음 log c b=log c a log a b로 표현할 수 있습니다. 정도의 로그 속성을 사용하는 것이 남아 있습니다. 로그 c a 로그 a b =log a b 로그 c a. 이는 log c b=log a b·log c a를 증명하며, 이는 로그의 새로운 밑수로의 전환 공식도 입증되었음을 의미합니다.

    이 로그 속성을 사용하는 몇 가지 예를 보여드리겠습니다. .

    새로운 밑으로 이동하는 공식을 사용하면 "편리한" 밑을 갖는 로그 작업으로 넘어갈 수 있습니다. 예를 들어, 도움을 받아 자연 또는 십진 로그로그 테이블에서 로그 값을 계산할 수 있습니다. 새로운 로그 밑으로 이동하는 공식을 사용하면 경우에 따라 다른 밑을 가진 일부 로그 값을 알 때 주어진 로그 값을 찾을 수도 있습니다.

    c=b ​​형태의 새로운 로그 밑으로 전환하기 위한 공식의 특별한 경우가 종종 사용됩니다. . 이는 로그 a b 및 로그 b a – 를 보여줍니다. 예: .

    공식도 자주 쓰인다 , 이는 로그 값을 찾는 데 편리합니다. 우리의 말을 확인하기 위해, 이것이 형식의 로그 값을 계산하는 데 어떻게 사용될 수 있는지 보여줄 것입니다. 우리는 . 공식을 증명하려면 로그 a의 새로운 밑으로 전환하기 위해 공식을 사용하는 것으로 충분합니다. .

    로그 비교의 속성을 증명하는 것이 남아 있습니다.

    임의의 양수 b 1 및 b 2, b 1에 대해 증명해 보겠습니다. log a b 2 , 그리고 a>1의 경우 – 부등식 log a b 1

    마지막으로, 나열된 로그의 마지막 속성을 증명하는 것이 남아 있습니다. 첫 번째 부분의 증명으로 제한해 보겠습니다. 즉, a 1 > 1, a 2 > 1 및 a 1임을 증명할 것입니다. 1은 참입니다 log a 1 b>log a 2 b . 로그의 이 속성에 대한 나머지 진술은 유사한 원리에 따라 증명됩니다.

    반대의 방법을 사용해 보자. 1 > 1, a 2 > 1 및 a 1에 대해 가정합니다. 1은 참입니다 log a 1 b≤log a 2 b . 로그의 속성을 기반으로 이러한 부등식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. 그리고 그리고 그들로부터 각각 log b a 1 ≤log b a 2 및 log b a 1 ≥log b a 2가 됩니다. 그런 다음 동일한 밑수를 갖는 거듭제곱의 속성에 따라 등식 b log b a 1 ≥b log b a 2 및 b log b a 1 ≥b log b a 2, 즉 a 1 ≥a 2 가 유지되어야 합니다. 그래서 우리는 조건 a 1에 모순이 생겼습니다.

서지.

  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. 및 기타 대수학 및 분석의 시작: 일반 교육 기관의 10~11학년을 위한 교과서.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. 수학(전문학교 입학을 위한 매뉴얼).

오늘 우리는 로그 공식그리고 우리는 지표를 줄 것입니다 솔루션 예시.

그것들 자체는 로그의 기본 속성에 따른 해법 패턴을 암시합니다. 해결하기 위해 로그 공식을 적용하기 전에 모든 속성을 상기시켜 드리겠습니다.

이제 이러한 공식(속성)을 바탕으로 다음을 보여드리겠습니다. 로그 해결의 예.

공식을 기반으로 로그를 푸는 예.

로그 a를 밑으로 하는 양수 b(log a b로 표시됨)는 b > 0, a > 0, 1인 b를 얻기 위해 a를 올려야 하는 지수입니다.

정의에 따르면 log a b = x는 a x = b와 동일하므로 log a a x = x입니다.

로그, 예:

로그 2 8 = 3, 왜냐하면 2 3 = 8

로그 7 49 = 2, 왜냐하면 7 2 = 49

로그 5 1/5 = -1, 왜냐하면 5 -1 = 1/5

십진 로그- 이것은 밑이 10인 일반 로그입니다. lg로 표시됩니다.

로그 10 100 = 2, 왜냐하면 10 2 = 100

자연로그- 또한 일반 로그, 로그이지만 e를 밑으로 합니다(e = 2.71828... - 무리수). ln으로 표시됩니다.

로그, 로그 방정식, 부등식을 풀 때 로그가 필요하기 때문에 로그의 공식이나 속성을 기억해 두는 것이 좋습니다. 예제를 통해 각 공식을 다시 살펴보겠습니다.

  • 기본 로그 항등식
    a 로그 a b = b

    8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

  • 곱의 로그는 로그의 합과 같습니다.
    로그 a (bc) = 로그 a b + 로그 a c

    로그 3 8.1 + 로그 3 10 = 로그 3 (8.1*10) = 로그 3 81 = 4

  • 몫의 로그는 로그의 차이와 같습니다.
    로그 a (b/c) = 로그 a b - 로그 a c

    9 로그 5 50 /9 로그 5 2 = 9 로그 5 50- 로그 5 2 = 9 로그 5 25 = 9 2 = 81

  • 로그 수의 거듭제곱과 로그 밑의 속성

    로그 수의 지수 log a b m = mlog a b

    로그 밑의 지수 log a n b =1/n*log a b

    로그 a n b m = m/n*log a b,

    m = n이면 log a n b n = log a b를 얻습니다.

    로그 4 9 = 로그 2 2 3 2 = 로그 2 3

  • 새로운 기반으로의 전환
    로그 a b = 로그 c b/로그 c a,

    c = b이면 log b b = 1을 얻습니다.

    그런 다음 로그 a b = 1/log b a

    로그 0.8 3*로그 3 1.25 = 로그 0.8 3*로그 0.8 1.25/로그 0.8 3 = 로그 0.8 1.25 = 로그 4/5 5/4 = -1

보시다시피 로그 공식은 보이는 것만큼 복잡하지 않습니다. 이제 로그 해결의 예를 살펴본 후 로그 방정식으로 넘어갈 수 있습니다. ""기사에서 로그 방정식을 푸는 예를 더 자세히 살펴보겠습니다. 놓치지 마세요!

솔루션에 대해 여전히 궁금한 점이 있으면 기사 댓글에 적어주세요.

참고: 우리는 옵션으로 다른 수준의 교육과 해외 유학을 받기로 결정했습니다.

원시 수준 대수학의 요소 중 하나는 로그입니다. 이름은 "숫자" 또는 "힘"이라는 단어에서 유래한 그리스어에서 유래되었으며 최종 숫자를 찾기 위해 밑수에 있는 숫자를 올려야 하는 힘을 의미합니다.

로그의 유형

  • log a b – 밑수 a에 대한 숫자 b의 로그(a > 0, a ≠ 1, b > 0);
  • log b – 십진 로그(밑이 10인 로그, a = 10);
  • ln b – 자연 로그(밑 e에 대한 로그, a = e).

로그를 푸는 방법?

밑수 a에 대한 b의 로그는 b를 밑수 a로 올려야 하는 지수입니다. 얻은 결과는 다음과 같이 발음됩니다. "밑수 a에 대한 b의 로그". 로그 문제에 대한 해결책은 지정된 숫자에서 숫자로 주어진 거듭제곱을 결정해야 한다는 것입니다. 표기법 자체를 변환하는 것뿐만 아니라 로그를 결정하거나 풀기 위한 몇 가지 기본 규칙이 있습니다. 이를 사용하여 로그 방정식을 풀고, 도함수를 구하고, 적분을 풀고, 기타 여러 작업을 수행합니다. 기본적으로 로그 자체에 대한 해법은 단순화된 표기법입니다. 다음은 기본 공식과 속성입니다.

어떤 경우에는 ; a > 0; a ≠ 1이고 모든 x에 대해; 와이 > 0.

  • a log a b = b – 기본 로그 항등
  • 로그 1 = 0
  • 로가 a = 1
  • 로그 a (x y) = 로그 a x + 로그 a y
  • 로그 x/y = 로그 x – 로그 a y
  • 1/x 로그 = -log a x
  • 로그 a x p = p 로그 a x
  • log a k x = 1/k log a x , k ≠ 0인 경우
  • 로그 a x = 로그 a c x c
  • log a x = log b x/ log b a – 새로운 밑수로 이동하는 공식
  • 로그 x = 1/로그 x a


로그를 푸는 방법 - 해결을 위한 단계별 지침

  • 먼저, 필요한 방정식을 적어보세요.

참고: 기본 로그가 10이면 항목이 단축되어 소수 로그가 됩니다. 자연수 e가 있으면 이를 적어 자연 로그로 줄입니다. 이는 모든 로그의 결과가 숫자 b를 얻기 위해 밑수를 올리는 거듭제곱이라는 것을 의미합니다.


직접적으로 해결책은 이 정도를 계산하는 데 있습니다. 로그로 표현식을 풀기 전에 공식을 사용하여 규칙에 따라 단순화해야 합니다. 기사를 조금 뒤로 돌아가면 주요 정체성을 찾을 수 있습니다.

두 개의 다른 숫자를 사용하지만 밑이 동일한 로그를 더하고 뺄 때 숫자 b와 c의 곱이나 나눗셈을 각각 하나의 로그로 바꾸십시오. 이 경우 다른 거점으로 이동하는 공식을 적용할 수 있습니다(위 참조).

표현식을 사용하여 로그를 단순화하는 경우 고려해야 할 몇 가지 제한 사항이 있습니다. 즉, 로그 a의 밑은 양수일 뿐이고 1과 같지 않습니다. 숫자 b는 a와 마찬가지로 0보다 커야 합니다.

식을 단순화하면 로그를 수치적으로 계산할 수 없는 경우가 있습니다. 많은 거듭제곱이 무리수이기 때문에 그러한 표현이 의미가 없는 경우가 있습니다. 이 조건에서 숫자의 거듭제곱을 로그로 둡니다.