피타고라스의 정리를 증명하는 세 가지 방법. 피타고라스 정리의 역사. 정리의 실제 적용

피타고라스의 정리를 증명하는 다양한 방법

9기 A반 학생

시립교육기관 제8중학교

과학 고문:

수학 선생님,

시립교육기관 제8중학교

미술. 노보로즈데스트벤스카야

크라스노다르 지역.

미술. 노보로즈데스트벤스카야

주석.

피타고라스의 정리는 기하학 과정에서 가장 중요한 것으로 간주되며 세심한 주의를 기울일 가치가 있습니다. 이는 많은 기하학적 문제를 해결하기 위한 기초이며, 향후 이론 및 실무 기하학 과정을 공부하기 위한 기초입니다. 정리는 그 외관 및 증명 방법과 관련된 풍부한 역사적 자료로 둘러싸여 있습니다. 기하학 발전의 역사를 연구하는 것은 이 주제에 대한 사랑을 심어주고, 인지적 관심, 일반 문화 및 창의성의 발달을 촉진하며, 또한 연구 기술을 개발합니다.

검색 활동의 결과, 피타고라스 정리 증명에 대한 지식을 보충하고 일반화하는 작업의 목표가 달성되었습니다. 찾아서 검토하도록 관리됨 다양한 방법학교 교과서의 페이지를 넘어서 주제에 대한 증거를 확보하고 지식을 심화시킵니다.

수집된 자료는 피타고라스의 정리가 기하학의 위대한 정리이며 엄청난 이론적, 실제적 중요성을 갖고 있음을 더욱 확신시켜 줍니다.

소개. 역사적 참고자료 5 주요 부분 8

3. 결론 19

4. 사용된 문헌 20
1. 소개. 역사적 참고자료.

진리의 본질은 그것이 영원히 우리를 위한 것이라는 것입니다.

그녀의 통찰력에서 적어도 한 번은 빛을 볼 때,

그리고 오랜 세월이 흐른 뒤 피타고라스의 정리

우리에게는 그에게도 그것은 논쟁의 여지가 없고 흠잡을 데가 없습니다.

기뻐하기 위해 피타고라스는 신들에게 다음과 같이 맹세했습니다.

무한한 지혜를 만지기 위해,

그는 영원한 황소들 덕분에 백 마리의 황소를 도살했습니다.

그는 희생자를 따라 기도와 찬양을 드렸습니다.

그 이후로 황소들은 냄새를 맡으면 밀고,

그 흔적이 다시 사람들을 새로운 진실로 인도한다는 것을,

맹렬히 포효하니 들어도 소용이 없고

그러한 피타고라스는 그들에게 영원히 공포를 심어주었습니다.

새로운 진실에 저항할 힘이 없는 황소들,

남은 것은 무엇입니까? - 그냥 눈을 감고 으르렁거리고 떨린다.

피타고라스가 자신의 정리를 어떻게 증명했는지는 알려져 있지 않습니다. 확실한 것은 그가 이집트 과학의 강한 영향을 받아 그것을 발견했다는 것이다. 피타고라스 정리의 특별한 경우(변 3, 4, 5가 있는 삼각형의 속성)는 피타고라스가 탄생하기 오래 전에 피라미드 건축자들에게 알려졌으며 그 자신은 20년 이상 이집트 성직자들과 함께 공부했습니다. 그의 유명한 정리를 입증 한 피타고라스는 황소 한 마리를 신에게 희생했으며 다른 출처에 따르면 황소 100 마리까지 희생했다는 전설이 보존되었습니다. 그러나 이것은 피타고라스의 도덕적, 종교적 견해에 대한 정보와 모순됩니다. 문학 자료를 보면 그가 “동물을 죽이는 것조차 금지했고, 먹이를 주는 것도 금했다. 왜냐하면 동물도 우리와 마찬가지로 영혼을 갖고 있기 때문이다”라고 읽을 수 있습니다. 피타고라스는 꿀, 빵, 야채만 먹었고 가끔 생선도 먹었습니다. 이 모든 것과 관련하여 다음 항목이 더 그럴듯하다고 간주될 수 있습니다. "... 그리고 직각 삼각형에서 빗변이 다리에 해당한다는 것을 발견했을 때에도 그는 밀 반죽으로 만든 황소를 희생했습니다."

피타고라스 정리의 인기가 너무 커서 유명한 영국 작가 Huxley의 "Young Archimedes"이야기와 같은 소설에서도 그 증거를 찾을 수 있습니다. 동일한 증명이 이등변 직각삼각형의 특별한 경우에 대한 것이지만 플라톤의 대화 "메노(Meno)"에 나와 있습니다.

동화 "집".

“비행기도 날지 못하는 멀고 먼 곳에 기하학의 나라가 있다. 이 특이한 나라에는 테오렘(Teorem)이라는 놀라운 도시가 하나 있었습니다. 어느 날 나는 이 도시에 왔다. 아름다운 소녀빗변이라는 이름을 붙였습니다. 그녀는 방을 빌릴려고 했지만 어디에 신청해도 거절당했습니다. 마침내 그녀는 허름한 집에 다가가 노크를 했다. 자신을 Right Angle이라고 부르는 남자가 그녀에게 문을 열었고 Hypotenuse를 초대하여 그와 함께 살았습니다. 빗변은 Right Angle과 Katetes라는 그의 두 어린 아들이 살았던 집에 남아있었습니다. 그 이후로 Right Angle 하우스의 생활은 새로운 방식으로 변했습니다. 빗변은 창문에 꽃을 심었고 앞마당에는 빨간 장미를 심었습니다. 집은 직각 삼각형 모양을 취했습니다. 두 다리는 Hypotenuse를 정말 좋아했고 그녀에게 집에 영원히 머물 것을 요청했습니다. 저녁에는 이 친근한 가족이 가족 식탁에 모입니다. 때때로 Right Angle은 아이들과 숨바꼭질을 합니다. 가장 자주 그는 봐야하며 Hypotenuse는 너무 능숙하게 숨어서 그녀를 찾는 것이 매우 어려울 수 있습니다. 어느 날 Right Angle은 놀다가 흥미로운 특성을 발견했습니다. 다리를 찾으면 빗변을 찾는 것이 어렵지 않습니다. 따라서 Right Angle은 이 패턴을 매우 성공적으로 사용한다고 말하고 싶습니다. 이 부동산에 정삼각형그리고 피타고라스의 정리가 확립되었습니다."

(A. Okunev의 책 "수업에 감사드립니다, 아이들"에서 발췌).

정리의 유머러스한 공식화:

삼각형이 주어지면

게다가 직각으로,

그것은 빗변의 제곱이다

우리는 항상 쉽게 찾을 수 있습니다:

우리는 다리를 정사각형으로 만들고,

우리는 힘의 합을 찾습니다 -

그리고 이렇게 간단한 방법으로

우리는 결과를 얻을 것입니다.

10학년 때 대수학과 해석학, 기하학의 시작을 공부하면서 8학년 때 논의한 피타고라스의 정리를 증명하는 방법 외에 다른 증명 방법이 있다는 것을 확신하게 되었습니다. 나는 당신의 고려를 위해 그것들을 제시합니다.
2. 주요 부분.

정리. 직각삼각형 안에 정사각형이 있다

빗변은 다리의 제곱의 합과 같습니다.

1가지 방법.

다각형 면적의 특성을 이용하여 빗변과 직각삼각형의 변 사이에 놀라운 관계를 구축하겠습니다.

증거.

에이, 씨그리고 빗변 와 함께(그림 1, a).

그것을 증명해보자 c²=a²+b².

증거.

삼각형을 변이 있는 정사각형으로 완성해 봅시다 a + b그림과 같이 1, ㄴ. 이 정사각형의 면적 S는 (a + b)²입니다. 반면에 이 정사각형은 4개의 동일한 직각 삼각형으로 구성되어 있으며 각 삼각형의 면적은 ½입니다. 아  , 측면이 있는 정사각형 와 함께,그러므로 S = 4 * ½ 아야 + 초² = 2아야 + 초².

따라서,

(a + b)² = 2 아야 + 초²,

c²=a²+b².

정리가 입증되었습니다.
2 방법.

“닮은 삼각형”이라는 주제를 공부한 후, 피타고라스 정리의 증명에 삼각형의 유사성을 적용할 수 있다는 것을 알게 되었습니다. 즉, 직각삼각형의 다리는 빗변에 비례하는 평균이고, 다리와 꼭지점에서 그어진 고도 사이에 둘러싸인 빗변의 부분이라는 진술을 사용했습니다. 직각.

직각 C, CD – 높이를 갖는 직각삼각형을 생각해 보십시오(그림 2). 그것을 증명해보자 교류² +NE² = AB² .

증거.

직각삼각형의 다리에 관한 진술에 기초하여:

AC = , SV = .

결과 평등을 제곱하고 추가해 보겠습니다.

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), 여기서 AD+DB=AB이면

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

증명이 완료되었습니다.
3 방법.

피타고라스의 정리를 증명하기 위해 직각삼각형의 예각의 코사인 정의를 적용할 수 있습니다. 그림을 살펴보자. 삼.

증거:

ABC를 직각 C를 갖는 직각 삼각형이라고 가정합니다. 직각 C의 꼭지점에서 고도 CD를 그려 보겠습니다.

각도의 코사인 정의에 따르면:

왜냐하면 A = AD/AC = AC/AB입니다. 따라서 AB * AD = AC²

비슷하게,

cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.

따라서 AB * BD = BC²입니다.

결과적인 평등 항을 항별로 추가하고 AD + DB = AB에 주목하면 다음을 얻습니다.

교류² + 태양² = AB (AD + DB) = AB²

증명이 완료되었습니다.
4 방법.

'직각삼각형의 변과 각의 관계'라는 주제를 연구한 결과, 피타고라스의 정리는 다른 방법으로도 증명될 수 있다고 생각합니다.

다리가 있는 직각삼각형을 생각해 보세요. 에이, 씨그리고 빗변 와 함께. (그림 4).

그것을 증명해보자 c²=a²+b².

증거.

죄 비=고품질 ; 코사인 비=에어컨 , 그런 다음 결과 평등을 제곱하면 다음을 얻습니다.

죄² 비= in²/s²; 코스² 안에= a²/c².

이를 더하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

죄² 안에+cos² 비=в²/с²+ а²/с², 여기서 sin² 안에+cos² B=1,

1= (в²+ а²) / с², 그러므로,

c²= a² + b².

증명이 완료되었습니다.

5 방법.

이 증명은 다리에 만들어진 사각형을 자르고(그림 5) 빗변에 만들어진 사각형에 결과 부품을 배치하는 것을 기반으로 합니다.

6 방법.

측면에서 증거를 위해 해우리는 건물을 짓고 있어요 BCD 알파벳(그림 6). 우리는 유사한 도형의 면적이 유사한 선형 치수의 제곱과 관련되어 있음을 알고 있습니다.

첫 번째 평등에서 두 번째 평등을 빼면 다음을 얻습니다.

c2 = a2 + b2.

증명이 완료되었습니다.

7 방법.

주어진(그림 7):

알파벳,= 90° , 해= 에이, AC=비, AB = c.

입증하다:c2 = a2 +b2.

증거.

다리를 보자 비 ㅏ.세그먼트를 계속하자 북동쪽포인트당 안에그리고 삼각형을 만들어 골밀도그래야 포인트가 중그리고 ㅏ직선의 한쪽에 누워 CD게다가, BD =비, BDM= 90°, DM= 에, 그러면 골밀도= 알파벳양면과 그 사이의 각도. 점 A 및 중세그먼트와 연결 오전.우리는 MD CD그리고 A.C. CD,그건 곧다는 뜻이야 교류선과 평행 MD왜냐하면 MD< АС, 그럼 똑바로 CD그리고 오전.평행하지 않음. 그러므로, AMDC-직사각형 사다리꼴.

직각삼각형 ABC와 골밀도 1 + 2 = 90° 및 3 + 4 = 90°, 그러나 = =이므로 3 + 2 = 90°; 그 다음에 AVM=180° - 90° = 90°. 사다리꼴이라는 것이 밝혀졌습니다. AMDC세 개의 서로 겹치지 않는 직각삼각형으로 나누어진 다음, 면적 공리에 의해

(a+b)(a+b)

불평등의 모든 항을 로 나누면, 우리는 다음을 얻습니다:

ㅏb + c2 + ab = (a +비) , 2 ab+c2 = a2+ 2a비+ b2,

c2 = a2 + b2.

증명이 완료되었습니다.

8 방법.

이 방법은 직각삼각형의 빗변과 변을 기반으로 합니다. 알파벳.그는 상응하는 정사각형을 구성하고 빗변 위에 만들어진 정사각형이 다리 위에 만들어진 정사각형의 합과 같다는 것을 증명했습니다(그림 8).

증거.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ 알파벳= FBA+ 알파벳,수단, FBC = DBA.

따라서, FBC=ABD(양측과 그 사이의 각도).

2) , 여기서 AL DE는 BD가 공통 베이스이므로, DL-총 높이.

3) , FB가 기반이기 때문에 AB- 총 높이.

4)

5) 마찬가지로 다음과 같이 증명할 수 있다.

6) 용어별로 용어를 추가하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

, BC2 = AB2 + AC2 . 증명이 완료되었습니다.

9 방법.

증거.

1) 하자 ABDE- 변이 직각 삼각형의 빗변과 같은 정사각형 (그림 9) 알파벳= s, BC = a, AC =비).

2) 하자 DK 기원전그리고 DK = 태양, 1 + 2 = 90°(직각삼각형의 예각과 같음), 3 + 2 = 90°(정사각형의 각도와 같음), AB= BD(사각형의 측면).

수단, 알파벳= BDK(빗변과 예각 기준).

3) 하자 엘자 D.K., A.M. 엘자. ABC = BDK = DEL = EAM(다리 있음)은 쉽게 증명될 수 있습니다. ㅏ그리고 비).그 다음에 캔사스= 센티미터= M.L.= L.K.= ㅏ -비.

4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a - b),와 함께2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

증명이 완료되었습니다.

10 방법.

증명은 농담으로 "피타고라스 바지"라고 불리는 그림에서 수행될 수 있습니다(그림 10). 그 아이디어는 변에 만들어진 정사각형을 빗변의 정사각형을 구성하는 동일한 삼각형으로 변환하는 것입니다.

알파벳화살표로 표시된 대로 이동하면 위치가 결정됩니다. KDN.그림의 나머지 부분 AKDCB정사각형의 동일한 면적 AKDC이것은 평행사변형이다 AKNB.

평행사변형 모델이 만들어졌습니다. AKNB. 작품 내용에 스케치된 대로 평행사변형을 재배열합니다. 평행사변형이 면적이 같은 삼각형으로 변환되는 것을 보여주기 위해 학생들 앞에서 모델의 삼각형을 잘라서 아래로 이동시킵니다. 따라서 광장의 면적은 AKDC직사각형의 면적과 같은 것으로 밝혀졌습니다. 마찬가지로 정사각형의 면적을 직사각형의 면적으로 변환합니다.

다리 위에 세워진 사각형을 변형해 봅시다 ㅏ(그림 11, a):

a) 정사각형은 동일한 평행사변형으로 변환됩니다(그림 11.6).

b) 평행사변형은 1/4 회전합니다(그림 12).

c) 평행사변형은 동일한 직사각형으로 변환됩니다(그림 13). 11 방법.

증거:

PCL-직선(그림 14);

클로아= ACPF= 에이시드=a2;

LGBO= SVMR =씨비엔큐=b 2;

AKGB= 아클로 +LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

증명은 끝났다 .

12 방법.

쌀. 그림 15는 피타고라스 정리의 또 다른 원본 증명을 보여줍니다.

여기: 직각 C를 가진 삼각형 ABC; 선분 BF수직 북동쪽그리고 그것과 동일하게, 세그먼트 BE수직 AB그리고 그것과 동일하게, 세그먼트 기원 후수직 교류그리고 그것과 동등하다; 포인트들 에프, 씨,디같은 계열에 속해있습니다. 사각형 ADFB그리고 ASVE크기가 같기 때문에 ABF = ECB;삼각형 ADF그리고 에이스크기가 동일합니다. 두 개의 동일한 사변형에서 그들이 공유하는 삼각형을 뺍니다. 알파벳,우리는 얻는다

, c2 = a2 + b2.

증명이 완료되었습니다.

13 방법.

한쪽의 주어진 직각 삼각형의 면적은 다음과 같습니다. , 다른 사람과, ,

3. 결론.

검색 활동의 결과, 피타고라스 정리 증명에 대한 지식을 보충하고 일반화하는 작업의 목표가 달성되었습니다. 그것을 증명할 수 있는 다양한 방법을 찾아 고민하는 것이 가능했고, 교과서의 지면을 넘어 주제에 대한 지식을 심화시킬 수 있었습니다.

내가 수집한 자료는 피타고라스의 정리가 기하학의 위대한 정리이며 엄청난 이론적, 실제적 중요성을 갖고 있다는 사실을 더욱 확신시켜 주었습니다. 결론적으로 저는 피타고라스 삼위일체 정리가 인기를 얻은 이유는 그 아름다움, 단순함, 중요성 때문이라고 말하고 싶습니다!

4. 사용된 문헌.

1. 재미있는 대수학. . 모스크바 "과학", 1978.

2. 신문 "9월 1일"에 대한 주간 교육 및 방법론 보충 자료, 2001년 24월.

3. 기하학 7-9. 등등

4. 기하학 7-9. 등등

학교 커리큘럼에서 공부하는 피타고라스 정리의 역사에 관심이있는 사람들은 겉보기에 단순 해 보이는이 정리에 대한 370 가지 증명이 담긴 책이 1940 년에 출판 된 것과 같은 사실에 대해서도 궁금 할 것입니다. 그러나 그것은 다양한 시대의 많은 수학자 및 철학자들의 흥미를 끌었습니다. 기네스북에는 증명 횟수가 가장 많은 정리로 기록되어 있다.

피타고라스 정리의 역사

피타고라스의 이름과 관련된 이 정리는 위대한 철학자가 태어나기 오래 전부터 알려졌습니다. 따라서 이집트에서는 구조물을 건설하는 동안 5천년 전에 직각 삼각형의 종횡비가 고려되었습니다. 바빌로니아 문헌에는 피타고라스 탄생 1200년 전에 직각삼각형의 동일한 종횡비가 언급되어 있습니다.

그렇다면 왜 역사는 피타고라스 정리의 기원이 그에게 속한다고 말하는가? 답은 하나뿐입니다. 그는 삼각형의 변의 비율을 증명했습니다. 그는 수세기 전에 경험에 의해 확립된 종횡비와 빗변을 단순히 사용했던 사람들이 하지 않았던 일을 했습니다.

피타고라스의 삶에서

미래의 위대한 과학자, 수학자, 철학자는 기원전 570년 사모스 섬에서 태어났습니다. 역사 문서에는 조각가였던 피타고라스의 아버지에 대한 정보가 보존되어 있습니다. 보석, 그러나 어머니에 대한 정보는 없습니다. 그들은 태어난 소년에 대해 그가 보여준 특별한 아이라고 말했습니다. 어린 시절음악과 시에 대한 열정. 역사가들 중에는 어린 피타고라스의 스승인 시로스의 헤르모다마스(Hermodamas)와 페레키데스(Pherecydes)가 포함됩니다. 첫 번째는 소년을 뮤즈의 세계로 소개했고, 두 번째는 철학자이자 이탈리아 철학 학교의 창시자로서 청년의 시선을 로고스로 이끌었습니다.

22세(기원전 548년)에 피타고라스는 이집트인의 언어와 종교를 공부하기 위해 나우크라티스로 갔다. 다음으로 그의 길은 멤피스에 있었는데, 그곳에서 성직자들 덕분에 독창적인 테스트를 거쳐 이집트 기하학을 이해했으며 아마도 호기심 많은 청년이 피타고라스의 정리를 증명하도록 촉발했을 것입니다. 역사는 나중에 이 정리에 이 이름을 부여할 것입니다.

바벨론 왕의 포로 생활

헬라스로 돌아가는 길에 피타고라스는 바빌론 왕에게 포로가 됩니다. 그러나 포로 생활은 야심찬 수학자의 호기심 많은 마음에 도움이 되었습니다. 실제로 그 당시 바빌론의 수학은 이집트보다 더 발전했습니다. 그는 12년 동안 수학, 기하학, 마술을 공부했습니다. 그리고 아마도 삼각형의 변의 비율 증명과 정리 발견의 역사에 참여한 것은 바빌로니아 기하학이었을 것입니다. 피타고라스는 이에 대한 충분한 지식과 시간을 가지고 있었습니다. 그러나 바빌론에서 이런 일이 일어났다는 문서적인 확인이나 반박은 없습니다.

기원전 530년. 피타고라스는 포로에서 탈출하여 고국으로 가서 폭군 폴리크라테스의 궁정에서 반노예의 신분으로 살고 있습니다. 피타고라스는 그러한 삶에 만족하지 않고 사모스 동굴로 은퇴 한 다음 당시 그리스 식민지 크로톤이 있던 이탈리아 남부로 이동합니다.

비밀 수도원 명령

이 식민지를 기반으로 피타고라스는 종교 연합이자 과학 사회인 비밀 수도원 조직을 조직했습니다. 이 사회에는 규정 준수를 명시한 자체 헌장이 있습니다. 특별한 이미지삶.

피타고라스는 신을 이해하려면 대수학과 기하학과 같은 과학을 알아야하고 천문학을 알고 음악을 이해해야한다고 주장했습니다. 연구숫자와 철학의 신비로운 측면에 대한 지식으로 요약됩니다. 당시 피타고라스가 설파한 원리는 현재에도 모방하는 것이 타당하다는 점에 유의해야 한다.

피타고라스의 학생들이 이룩한 많은 발견은 그에게 귀속되었습니다. 그러나 간단히 말해서 당시 고대 역사가와 전기 작가가 피타고라스 정리를 만든 역사는이 철학자, 사상가 및 수학자의 이름과 직접적으로 관련되어 있습니다.

피타고라스의 가르침

아마도 정리와 피타고라스의 이름 사이의 연관성에 대한 아이디어는 우리 삶의 모든 현상이 다리와 빗변이 있는 악명 높은 삼각형에 암호화되어 있다는 위대한 그리스인의 진술에 의해 촉발되었을 것입니다. 그리고 이 삼각형은 모든 새로운 문제를 해결하는 "열쇠"입니다. 위대한 철학자는 삼각형을 봐야 문제의 3분의 2가 해결되었다고 생각할 수 있다고 말했습니다.

피타고라스는 자신의 가르침에 대해 학생들에게 구두로만 말했고, 메모도 하지 않고 비밀을 유지했습니다. 불행하게도 가르침은 가장 위대한 철학자오늘날까지 살아남지 못했습니다. 뭔가가 새어 나왔지만 알려진 내용이 얼마나 사실이고 얼마나 거짓인지 말할 수 없습니다. 피타고라스 정리의 역사에도 불구하고 모든 것이 확실한 것은 아닙니다. 수학 역사가들은 피타고라스의 저자를 의심합니다. 그들의 의견으로는 이 정리는 그가 태어나기 수세기 전에 사용되었습니다.

피타고라스의 정리

이상하게 보일 수도 있지만 역사적 사실기록 보관소나 다른 출처에는 피타고라스 자신의 정리에 대한 증거가 없습니다. 현대 버전에서는 그것이 다름 아닌 유클리드 자신의 것이라고 믿어집니다.

기원전 2300년경 이집트인들이 기록한 베를린 박물관에 보관된 파피루스에서 발견한 가장 위대한 수학 역사가 중 한 명인 모리츠 칸토어(Moritz Cantor)의 증거가 있습니다. 이자형. 평등, 읽기: 3² + 4² = 5².

피타고라스 정리의 간략한 역사

번역에서 유클리드 "원리"의 정리 공식화는 현대 해석과 동일하게 들립니다. 그녀의 독서에는 새로운 것이 없습니다. 직각 반대편 변의 제곱은 직각에 인접한 변의 제곱의 합과 같습니다. 인도와 중국의 고대 문명이 이 정리를 사용했다는 사실은 "주비수안진(Zhou-bi suan jin)"이라는 논문에 의해 확인됩니다. 여기에는 종횡비가 3:4:5로 설명되는 이집트 삼각형에 대한 정보가 포함되어 있습니다.

그다지 흥미로운 것은 바샤라(Bashara)의 힌두 기하학 그림과 일치하는 설명과 그림과 함께 피타고라스 삼각형을 언급하는 또 다른 중국 수학 책인 "Chu Pei"입니다. 책에서는 삼각형 자체에 대해 직각을 구성 요소로 분해할 수 있고 밑변이 3이고 높이가 4라면 변의 끝을 연결하는 선은 5와 같다고 말합니다. .

인도 논문 "Sulva Sutra"는 대략 기원전 7~5세기로 거슬러 올라갑니다. 즉, 이집트 삼각형을 사용하여 직각을 만드는 방법에 대해 이야기합니다.

정리의 증명

중세 시대에 학생들은 정리를 증명하는 것이 너무 어렵다고 생각했습니다. 약한 학생들은 증명의 의미를 이해하지 못한 채 정리를 암기했습니다. 이와 관련하여 그들은 피타고라스의 정리가 당나귀의 다리처럼 극복할 수 없는 장애물이었기 때문에 "당나귀"라는 별명을 받았습니다. 중세 시대에 학생들은 이 정리를 주제로 유머러스한 시를 내놓았습니다.

피타고라스 정리를 가장 쉬운 방법으로 증명하려면 증명에서 넓이의 개념을 사용하지 않고 단순히 변의 크기만 측정하면 됩니다. 직각 반대편의 변의 길이는 c이고 그에 인접한 a와 b는 결과적으로 방정식 a 2 + b 2 = c 2를 얻습니다. 위에서 언급했듯이 이 진술은 직각삼각형의 변의 길이를 측정하여 확인됩니다.

삼각형의 변에 쌓인 직사각형의 넓이를 고려하여 정리의 증명을 시작하면 전체 도형의 넓이를 결정할 수 있습니다. 변(a+b)이 있는 정사각형의 면적과 같고, 반면에 네 개의 삼각형과 안쪽 정사각형의 면적을 합한 것과 같습니다.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a2+2ab+b2;

c 2 = a 2 + b 2 , 이것이 증명되어야 하는 것입니다.

피타고라스 정리의 실질적인 중요성은 선분을 측정하지 않고도 선분의 길이를 알아내는 데 사용될 수 있다는 것입니다. 구조물을 건설하는 동안 거리, 지지대 및 보의 배치가 계산되고 무게 중심이 결정됩니다. 피타고라스의 정리는 모든 것에 적용됩니다. 현대 기술. 그들은 3D-6D 차원에서 영화를 만들 때 우리에게 익숙한 3차원 외에도 높이, 길이, 너비, 시간, 냄새 및 맛이 고려되는 정리를 잊지 않았습니다. 맛과 냄새가 정리와 어떤 관련이 있습니까? 모든 것이 매우 간단합니다. 영화를 상영할 때 강당에서 어떤 냄새와 맛을 연출할 것인지 계산해야 합니다.

그것은 단지 시작일 뿐입니다. 새로운 기술을 발견하고 창조할 수 있는 무한한 범위가 호기심 많은 사람들을 기다리고 있습니다.

피타고라스의 정리

다른 정리와 문제의 운명은 독특합니다... 예를 들어, 피타고라스 정리에 대한 수학자 및 수학 애호가의 이러한 특별한 관심을 설명하는 방법은 무엇입니까? 왜 그들 중 많은 사람들은 이미 알려진 증거에 만족하지 않고 자신의 증거를 발견하여 상대적으로 예측 가능한 세기가 넘는 25년이 넘는 증거의 수를 수백 개로 늘렸습니까?
언제 우리 얘기 중이야피타고라스 정리에 대해 특이한 것은 그 이름으로 시작됩니다. 그것을 처음 공식화한 사람은 피타고라스가 아니라고 믿어집니다. 이를 입증했다는 점도 의심스럽다. 피타고라스가 실존 인물이라면(어떤 사람들은 이것을 의심하기도 합니다!), 그는 아마도 6~5세기에 살았을 것입니다. 기원전 이자형. 그는 자신이 아무것도 쓰지 않았고 자신을 철학자라고 불렀습니다. 이는 자신의 이해에서 "지혜를 위해 노력하는 것"을 의미하며 피타고라스 연합을 설립했으며 회원들은 음악, 체조, 수학, 물리학 및 천문학을 공부했습니다. 분명히 그는 Croton시에 머물렀던 것과 관련된 다음 전설에서 알 수 있듯이 훌륭한 연설가이기도했습니다. “Croton 사람들 앞에 피타고라스가 처음 등장한 것은 젊은이들에게 연설하는 것으로 시작되었습니다. 엄격하지만 동시에 매우 흥미로워서 청년들의 의무를 설명했고, 도시의 장로들은 지시 없이 그들을 떠나지 말라고 요청했습니다. 이 두 번째 연설에서 그는 가족의 기초로서 도덕의 합법성과 순수성을 지적했습니다. 다음 두 편에서 그는 어린이와 여성들에게 연설했습니다. 결과 마지막 연설그는 특히 사치를 비난했는데, 수천 개의 귀중한 드레스가 헤라 신전에 배달되었는데, 단 한 명의 여성도 더 이상 그 드레스를 입고 거리에 나타나지 않았기 때문입니다… 700년이 지난 지금, 그들은 꽤 잘 살고 일했습니다. 진짜 사람들, 피타고라스 동맹의 영향을 분명히 받았으며 전설에 따르면 피타고라스가 창조한 것에 대해 큰 존경심을 가졌던 특별한 과학자들입니다.
또한 정리에 대한 관심이 정리가 다음 중 하나를 차지한다는 사실로 인해 발생한다는 것에는 의심의 여지가 없습니다. 중심 장소, 그리고 우리 시대 이전에 살았던 로마 시인 퀸투스 호레이스 플라쿠스(Quintus Horace Flaccus)가 “잘 알려진 사실을 표현하는 것은 어렵다”고 말한 어려움을 극복한 증거 저자들의 만족감.
처음에 정리는 빗변과 직각삼각형의 변으로 구성된 정사각형 면적 사이의 관계를 확립했습니다.
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대수 공식:
직각 삼각형에서 빗변 길이의 제곱은 다리 길이의 제곱의 합과 같습니다.
즉, 삼각형의 빗변의 길이를 c로 나타내고 다리의 길이를 a와 b로 나타냅니다. a 2 + b 2 =c 2. 정리의 두 공식은 동일하지만 두 번째 공식은 면적의 개념이 필요하지 않습니다. 즉, 두 번째 명제는 넓이에 대해 아무것도 모르고 직각삼각형의 변의 길이만 측정하면 검증할 수 있습니다.
반대 피타고라스 정리. 3개마다 양수 a, b, c는 다음과 같습니다.
a 2 + b 2 = c 2, 다리 a와 b, 빗변 c가 있는 직각삼각형이 있습니다.

증거

~에 이 순간이 정리에 대한 367개의 증거가 과학 문헌에 기록되었습니다. 아마도 피타고라스의 정리는 그토록 인상적인 수의 증명을 가진 유일한 정리일 것입니다. 그러한 다양성은 기하학 정리의 근본적인 중요성에 의해서만 설명될 수 있습니다.
물론 개념적으로는 모두 소수의 클래스로 나눌 수 있습니다. 그 중 가장 유명한 것은 면적법에 의한 증명, 공리적이고 이국적인 증명(예: 미분 방정식 사용)입니다.

비슷한 삼각형을 통해

대수적 공식에 대한 다음 증명은 공리로부터 직접 구성된 가장 간단한 증명입니다. 특히, 도형의 넓이 개념을 사용하지 않습니다.
ABC를 직각 C를 갖는 직각삼각형이라고 가정합니다. C에서 고도를 그리고 그 밑변을 H로 표시합니다. 삼각형 ACH는 두 각도에서 삼각형 ABC와 유사합니다.
마찬가지로 삼각형 CBH는 ABC와 유사합니다. 표기법을 도입하여

우리는 얻는다

동등한 것은 무엇입니까?

그것을 더하면, 우리는 얻는다.

또는

면적법을 사용한 증명

아래 증명은 겉보기 단순함에도 불구하고 전혀 간단하지 않습니다. 그들은 모두 면적의 속성을 사용하는데, 그 증명은 피타고라스 정리 자체의 증명보다 더 복잡합니다.

등가상보성을 통한 증명

1. 그림과 같이 동일한 직각삼각형 4개를 배치합니다.
2. 두 변의 합이 c인 사각형은 정사각형입니다. 날카로운 모서리 90°, 펼쳐진 각도는 180°입니다.
3. 전체 그림의 면적은 한편으로는 변(a + b)이 있는 정사각형의 면적과 같고, 다른 한편으로는 네 개의 삼각형의 면적의 합과 같습니다. 내부 광장.



Q.E.D.

동등성을 통한 증명

그러한 증명 중 하나의 예가 오른쪽 그림에 나와 있는데, 여기서 빗변 위에 만들어진 정사각형은 다리 위에 만들어진 두 개의 정사각형으로 재배열됩니다.

유클리드의 증명

유클리드 증명의 아이디어는 다음과 같습니다. 빗변 위에 만들어진 정사각형의 면적의 절반이 다리에 만들어진 정사각형의 절반 면적의 합과 같다는 것을 증명해 보겠습니다. 큰 정사각형과 두 개의 작은 정사각형은 같습니다. 왼쪽 그림을 볼까요? 그 위에 우리는 직각 삼각형의 변에 정사각형을 구성하고 빗변 AB에 수직인 직각 C의 꼭지점에서 광선 s를 그렸습니다. 빗변 위에 만들어진 정사각형 ABIK를 두 개의 직사각형(BHJI 및 HAKJ)으로 자릅니다. 각기. 이 직사각형의 면적은 해당 다리에 만들어진 정사각형의 면적과 정확히 동일하다는 것이 밝혀졌습니다. 정사각형 DECA의 면적이 직사각형 AHJK의 면적과 동일하다는 것을 증명해 보겠습니다. 이를 위해 보조 관찰을 사용합니다. 높이와 밑변이 같은 삼각형의 면적. 주어진 직사각형은 주어진 직사각형 면적의 절반과 같습니다. 이는 삼각형의 면적을 밑변과 높이의 곱의 절반으로 정의한 결과입니다. 이 관찰에 따르면 삼각형 ACK의 면적은 삼각형 AHK의 면적(그림에는 표시되지 않음)과 같고 이는 결국 직사각형 AHJK 면적의 절반과 같습니다. 이제 삼각형 ACK의 면적이 정사각형 DECA 면적의 절반과 같다는 것을 증명해 보겠습니다. 이를 위해 수행해야 할 유일한 일은 삼각형 ACK와 BDA의 동등성을 증명하는 것입니다(삼각형 BDA의 면적은 위의 속성에 따라 정사각형 면적의 절반과 같기 때문입니다). 이 평등은 명백합니다. 삼각형은 양쪽이 동일하고 그 사이의 각도도 동일합니다. 즉, - AB=AK,AD=AC - CAK와 BAD 각도의 동일성은 운동 방법으로 쉽게 증명할 수 있습니다. 삼각형 CAK를 시계 반대 방향으로 90° 회전하면 두 삼각형의 해당 변이 다음과 같습니다. 질문은 일치할 것입니다(정사각형 꼭지점의 각도가 90°이기 때문에). 정사각형 BCFG와 직사각형 BHJI의 면적이 동일하다는 이유는 완전히 유사합니다. 따라서 우리는 빗변 위에 만들어진 정사각형의 면적이 다리에 만들어진 정사각형의 면적으로 구성된다는 것을 증명했습니다.

레오나르도 다빈치의 증거

증명의 주요 요소는 대칭성과 운동이다.

도면을 고려해 봅시다. 대칭에서 볼 수 있듯이 세그먼트 CI는 정사각형 ABHJ를 두 개의 동일한 부분으로 자릅니다(삼각형 ABC와 JHI는 구성이 동일하므로). 시계 반대 방향으로 90도 회전하면 음영 처리된 숫자 CAJI와 GDAB가 동일함을 알 수 있습니다. 이제 우리가 음영 처리한 그림의 면적은 다리에 만들어진 사각형 면적의 절반과 원래 삼각형 면적의 합과 같다는 것이 분명합니다. 반면에 빗변 위에 만들어진 정사각형의 면적의 절반에 원래 삼각형의 면적을 더한 것과 같습니다. 증명의 마지막 단계는 독자의 몫입니다.

창의성의 잠재력은 일반적으로 인문학에 기인하며 자연과학은 분석, 실용적인 접근 방식, 공식과 숫자의 무미건조한 언어에 맡깁니다. 수학은 인문학 과목으로 분류될 수 없습니다. 그러나 창의력이 없으면 "모든 과학의 여왕"에 도달하지 못할 것입니다. 사람들은 이것을 오랫동안 알고 있습니다. 예를 들어 피타고라스 시대부터.

불행히도 학교 교과서는 일반적으로 수학에서 정리, 공리 및 공식을 벼락치기하는 것뿐만 아니라 중요하다는 것을 설명하지 않습니다. 기본 원리를 이해하고 느끼는 것이 중요합니다. 동시에 진부함과 기본적인 진실로부터 마음을 자유롭게 하십시오. 그러한 조건에서만 모든 위대한 발견이 탄생합니다.

그러한 발견에는 오늘날 우리가 피타고라스의 정리로 알고 있는 것이 포함됩니다. 그것의 도움으로 우리는 수학이 흥미로울 수 있을 뿐만 아니라 흥미로워야 한다는 것을 보여주려고 노력할 것입니다. 그리고 이 모험은 두꺼운 안경을 쓴 괴짜뿐만 아니라 정신이 강하고 정신이 강한 모든 사람에게 적합합니다.

문제의 역사에서

엄밀히 말하면 이 정리를 '피타고라스의 정리'라고 부르지만 피타고라스 자신은 이를 발견하지 못했습니다. 직각삼각형과 그 특별한 성질은 그보다 오래 전부터 연구되었습니다. 이 문제에 대해서는 두 가지 극단적인 관점이 있습니다. 한 버전에 따르면 피타고라스는 정리의 완전한 증거를 최초로 발견했습니다. 다른 사람에 따르면 그 증거는 피타고라스의 저자에 속하지 않습니다.

오늘날에는 더 이상 누가 옳고 그른지 확인할 수 없습니다. 알려진 것은 피타고라스의 증거가 존재했다면 살아남지 못했다는 것입니다. 그러나 유클리드 원소의 유명한 증명은 피타고라스에 속할 수 있으며 유클리드는 그것을 기록했을 뿐이라는 제안이 있습니다.

직각 삼각형에 관한 문제는 파라오 아메넴하트 1세(Pharaoh Amenemhat I) 시대의 이집트 자료, 함무라비 왕 통치 시대의 바빌로니아 점토판, 고대 인도 논문 "술바 수트라(Sulva Sutra)" 및 고대 중국 작품 "에서 발견되는 것으로 오늘날에도 알려져 있습니다. 저우비수안진”.

보시다시피 피타고라스의 정리는 고대부터 수학자들의 마음을 사로 잡았습니다. 이는 오늘날 존재하는 약 367개의 다양한 증거로 확인됩니다. 이것에 있어서는 다른 어떤 정리도 그것과 경쟁할 수 없습니다. 유명한 증명 저자들 중에는 레오나르도 다빈치와 20대 미국 대통령 제임스 가필드가 있습니다. 이 모든 것은 수학에서 이 정리의 극도의 중요성을 말해줍니다. 대부분의 기하학 정리는 이 정리에서 파생되거나 어떻게든 연결되어 있습니다.

피타고라스 정리의 증명

학교 교과서는 대부분 대수적 증명을 제공합니다. 하지만 정리의 본질은 기하학에 있으므로 먼저 이 과학에 기초한 유명한 정리의 증거를 고려해 보겠습니다.

증거 1

대부분의 경우 간단한 증명직각삼각형에 대한 피타고라스의 정리가 주어져야 합니다 이상적인 조건: 삼각형은 직사각형일 뿐만 아니라 이등변으로도 만들 수 있습니다. 고대 수학자들이 처음에 고려했던 것이 바로 이런 종류의 삼각형이었다고 믿을 만한 이유가 있습니다.

성명 “직각삼각형의 빗변으로 만든 정사각형은 그 다리로 만든 정사각형의 합과 같습니다.”다음 그림으로 설명할 수 있습니다.

직각 이등변삼각형 ABC를 보세요. 빗변 AC에서 원래 ABC와 동일한 삼각형 4개로 구성된 정사각형을 만들 수 있습니다. 그리고 변 AB와 BC에는 정사각형이 만들어지며 각 정사각형에는 두 개의 유사한 삼각형이 포함됩니다.

그건 그렇고, 이 그림은 피타고라스 정리에 전념하는 수많은 농담과 만화의 기초를 형성했습니다. 가장 유명한 것은 아마도 "피타고라스 바지는 모든 방향에서 동일하다":

증거 2

이 방법은 대수학과 기하학을 결합하며 수학자 바스카리(Bhaskari)의 고대 인도 증명의 변형으로 간주될 수 있습니다.

변이 있는 직각삼각형 만들기 a, b, c(그림 1). 그런 다음 측면이 있는 두 개의 정사각형을 만듭니다. 합계와 동일두 다리의 길이, – (a+b). 각 사각형에서 그림 2와 3과 같이 구성하십시오.

첫 번째 정사각형에서 그림 1과 유사한 4개의 삼각형을 만듭니다. 결과는 두 개의 정사각형입니다. 하나는 변이 a이고 두 번째는 변이 있습니다. 비.

두 번째 정사각형에서는 4개의 유사한 삼각형이 빗변과 같은 변을 갖는 정사각형을 형성합니다. 씨.

그림 2에서 구성된 정사각형의 면적의 합은 그림 3에서 변 c로 구성된 정사각형의 면적과 같습니다. 이는 그림 1의 사각형의 면적을 계산하여 쉽게 확인할 수 있습니다. 2 공식에 따라. 그리고 그림 3의 내접 정사각형의 면적은 한 변이 있는 큰 정사각형의 면적에서 정사각형에 내접된 직각삼각형 4개의 면적을 뺀 값입니다. (a+b).

이 모든 것을 적어 보면 다음과 같습니다. a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. 괄호를 열고 필요한 모든 대수 계산을 수행하여 결과를 얻습니다. 가 2 +b 2 = 가 2 +b 2. 이 경우 그림 3에 표시된 영역이 됩니다. 정사각형은 전통적인 공식을 사용하여 계산할 수도 있습니다 에스=c2. 저것들. a 2 +b 2 =c 2– 피타고라스의 정리를 증명하셨습니다.

증거 3

고대 인도의 증거 자체는 12세기 논문 "지식의 왕관"("Siddhanta Shiromani")에 설명되어 있으며 저자는 학생과 추종자의 수학적 재능과 관찰 기술에 대한 호소를 사용하여 주요 주장을 사용합니다. 바라보다!"

하지만 우리는 이 증명을 더 자세히 분석할 것입니다:

정사각형 안에 그림에 표시된 대로 직각삼각형 4개를 만듭니다. 빗변이라고도 알려진 큰 정사각형의 변을 나타내자. 와 함께. 삼각형의 다리를 부르자 ㅏ그리고 비. 도면에 따르면 내부 사각형의 측면은 (a-b).

정사각형의 면적에 대한 공식을 사용하십시오 에스=c2바깥쪽 사각형의 면적을 계산합니다. 동시에 내부 정사각형의 면적과 직각 삼각형 4개의 면적을 모두 더하여 동일한 값을 계산합니다. (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

정사각형의 면적을 계산하는 데 두 가지 옵션을 모두 사용하여 동일한 결과를 얻을 수 있습니다. 그리고 이것은 당신에게 그것을 적을 수 있는 권리를 줍니다. c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. 솔루션의 결과로 피타고라스 정리의 공식을 얻게 됩니다. c 2 =a 2 +b 2. 정리가 입증되었습니다.

증명 4

이 흥미로운 고대 중국 증거는 "신부의 의자"라고 불렸습니다. 모든 구성에서 나오는 의자 같은 모습 때문입니다.

두 번째 증명에서는 그림 3에서 이미 본 그림을 사용합니다. 그리고 측면 c가 있는 내부 정사각형은 위에 제공된 고대 인도 증명과 동일한 방식으로 구성됩니다.

그림 1의 그림에서 두 개의 녹색 직사각형 삼각형을 정신적으로 잘라내어 변 c가 있는 정사각형의 반대쪽으로 이동하고 빗변을 라일락 삼각형의 빗변에 연결하면 "신부의 의자"라는 그림이 나타납니다. (그림 2). 명확성을 위해 종이 사각형과 삼각형에도 동일한 작업을 수행할 수 있습니다. "신부 의자"가 두 개의 사각형으로 구성되어 있는지 확인합니다. 비그리고 옆면도 크고 ㅏ.

이러한 구조를 통해 고대 중국 수학자들과 그들을 따르는 우리는 다음과 같은 결론에 도달할 수 있었습니다. c 2 =a 2 +b 2.

증거 5

이것은 기하학을 사용하여 피타고라스 정리의 해를 찾는 또 다른 방법입니다. 가필드 메소드라고 합니다.

직각삼각형 만들기 알파벳. 우리는 그것을 증명해야 합니다 BC 2 = AC 2 + AB 2.

이렇게하려면 다리를 계속하십시오. 교류세그먼트를 구성하고 CD, 이는 다리와 동일합니다. AB. 수직을 낮추세요 기원 후선분 에드. 세그먼트 에드그리고 교류같다. 점들을 이으세요 이자형그리고 안에, 그리고 이자형그리고 와 함께아래 그림과 같은 그림을 얻으십시오.

타워를 증명하기 위해 우리는 이미 시도한 방법을 다시 사용합니다. 결과 그림의 영역을 두 가지 방법으로 찾고 표현을 서로 동일시합니다.

다각형의 면적 찾기 침대이를 구성하는 세 개의 삼각형의 면적을 더하면 됩니다. 그리고 그 중 하나는, 에루은 직사각형일 뿐만 아니라 이등변형이기도 합니다. 그것도 잊지 말자 AB=CD, AC=ED그리고 BC=SE– 이를 통해 녹음을 단순화하고 과부하를 방지할 수 있습니다. 그래서, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

동시에, 분명한 것은 침대- 이것은 사다리꼴입니다. 따라서 다음 공식을 사용하여 면적을 계산합니다. S ABED =(DE+AB)*1/2AD. 계산을 위해서는 세그먼트를 나타내는 것이 더 편리하고 명확합니다. 기원 후세그먼트의 합으로 교류그리고 CD.

그림의 면적을 계산하는 두 가지 방법을 모두 적어서 그 사이에 등호를 넣어 보겠습니다. AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). 우리는 이미 알고 있고 위에서 설명한 세그먼트의 동일성을 사용하여 표기법의 오른쪽을 단순화합니다. AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. 이제 괄호를 열고 동등성을 변환해 보겠습니다. AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. 모든 변환을 완료하면 필요한 것을 정확히 얻을 수 있습니다. BC 2 = AC 2 + AB 2. 우리는 정리를 증명했습니다.

물론 이 증거 목록은 완전하지 않습니다. 피타고라스 정리는 벡터, 복소수, 미분 방정식, 입체법 등을 사용하여 증명할 수도 있습니다. 물리학자도 마찬가지입니다. 예를 들어 그림에 표시된 것과 유사한 정사각형 및 삼각형 볼륨에 액체를 붓는 경우입니다. 액체를 붓는 것으로 결과적으로 면적의 동일성과 정리 자체를 증명할 수 있습니다.

피타고라스 삼중항에 관한 몇 마디

이 문제는 학교 커리큘럼에서 거의 또는 전혀 연구되지 않습니다. 그러는 동안 그는 매우 흥미롭고 큰 중요성기하학에서. 피타고라스 트리플은 많은 수학적 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 이를 이해하면 추가 교육에 도움이 될 수 있습니다.

그렇다면 피타고라스의 세 쌍둥이는 무엇입니까? 그게 그 사람들이 부르는 거야 정수, 3개로 수집되며, 2개의 제곱의 합은 제곱의 세 번째 숫자와 같습니다.

피타고라스 트리플은 다음과 같습니다.

• 원시(세 숫자 모두 상대적으로 소수임);
• 원시적이지 않습니다(트리플의 각 숫자에 동일한 숫자를 곱하면 원시적이지 않은 새로운 트리플을 얻습니다).

우리 시대 이전에도 고대 이집트인들은 피타고라스 세 ​​쌍둥이의 수에 매료되었습니다. 문제에서 그들은 변이 3, 4, 5인 직각삼각형을 고려했습니다. 그건 그렇고, 변이 피타고라스 삼중의 숫자와 같은 삼각형은 기본적으로 직사각형입니다.

피타고라스 삼중항의 예: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50) 등

정리의 실제 적용

피타고라스의 정리는 수학뿐만 아니라 건축과 건설, 천문학, 심지어 문학에도 사용됩니다.

먼저 구성에 대해: 피타고라스의 정리는 문제에 널리 사용됩니다. 다양한 레벨어려움. 예를 들어 로마네스크 양식의 창을 살펴보세요.

창의 너비를 다음과 같이 나타내자. 비, 그러면 주요 반원의 반경은 다음과 같이 표시될 수 있습니다. 아르 자형그리고 그것을 통해 표현한다. b: R=b/2. 더 작은 반원의 반지름은 다음과 같이 표현할 수도 있습니다. b:r=b/4. 이 문제에서 우리는 창 내부 원의 반경에 관심이 있습니다. 피).

피타고라스 정리는 계산에 유용합니다. 아르 자형. 이를 위해 그림에 점선으로 표시된 직각 삼각형을 사용합니다. 삼각형의 빗변은 두 개의 반지름으로 구성됩니다. b/4+p. 한쪽 다리는 반경을 나타냅니다. b/4, 또 다른 b/2-p. 피타고라스 정리를 사용하여 다음과 같이 씁니다. (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. 다음으로 괄호를 열고 다음을 얻습니다. b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. 이 표현을 다음과 같이 바꿔보자. bp/2=b 2 /4-bp. 그런 다음 모든 용어를 다음으로 나눕니다. 비, 우리는 유사한 것을 얻을 수 있도록 제시합니다. 3/2*p=b/4. 그리고 결국 우리는 그것을 발견합니다 p=b/6- 그것이 우리에게 필요한 것입니다.

정리를 사용하여 박공 지붕의 서까래 길이를 계산할 수 있습니다. 타워의 높이를 결정합니다. 이동통신신호가 특정 지점에 도달해야 합니다. 합의. 그리고 꾸준히 설치해도 크리스마스 트리도시 광장에서. 보시다시피, 이 정리는 교과서 페이지에만 적용되는 것이 아니라 실제 생활에서도 종종 유용합니다.

문학에서 피타고라스의 정리는 고대부터 작가들에게 영감을 주었으며 우리 시대에도 계속 영감을 주고 있습니다. 예를 들어, 19세기 독일 작가 아델베르트 폰 샤미소(Adelbert von Chamisso)는 영감을 받아 다음과 같은 소네트를 썼습니다.

진리의 빛은 곧 꺼지지 않을 것이며,
그러나 빛나고 나면 사라지지 않을 것입니다.
그리고 수천년 전처럼,
그것은 의심이나 논쟁을 일으키지 않을 것입니다.

시선에 닿을 때 가장 현명해
진실의 빛이시여, 신들께 감사드립니다.
그리고 백 마리의 황소가 도살되어 누워있습니다.
행운의 피타고라스가 보낸 답례.

그 이후로 황소들은 필사적으로 포효해 왔습니다.
황소 부족을 영원히 놀라게 했어
여기에 언급된 이벤트.

그들에게는 때가 곧 올 것 같지만,
그리고 그들은 다시 희생될 것이다
몇 가지 훌륭한 정리.

(Viktor Toporov 번역)

그리고 20세기에는 소련 작가 Evgeniy Veltistov는 그의 저서 "전자 공학의 모험"에서 피타고라스 정리의 증명에 전체 장을 할애했습니다. 그리고 피타고라스의 정리가 하나의 세계를 위한 기본 법칙이자 심지어 종교가 된다면 존재할 수 있는 2차원 세계에 대한 이야기의 또 다른 절반 장입니다. 그곳에서 사는 것은 훨씬 쉬울 것이지만 훨씬 더 지루할 것입니다. 예를 들어 거기에는 "둥근"과 "푹신한"이라는 단어의 의미를 이해하는 사람이 없습니다.

그리고 저자는 수학 교사 Taratar의 입을 통해 "전자 제품의 모험"이라는 책에서 다음과 같이 말합니다. "수학에서 가장 중요한 것은 생각의 움직임, 새로운 아이디어입니다." 피타고라스 정리를 탄생시키는 것은 바로 이러한 창의적인 사고의 비행입니다. 그것이 그렇게 많은 다양한 증거를 가지고 있다는 것은 아무것도 아닙니다. 익숙한 것의 경계를 넘어 익숙한 것을 새로운 방식으로 볼 수 있도록 도와줍니다.

결론

이 기사는 수학의 학교 커리큘럼을 넘어 교과서 "기하학 7-9"(L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) 및 "기하학 7"에 제공된 피타고라스 정리의 증명뿐만 아니라 배울 수 있도록 작성되었습니다. 11”(A.V. Pogorelov)뿐만 아니라 유명한 정리를 증명하는 다른 흥미로운 방법도 있습니다. 또한 피타고라스의 정리가 일상 생활에 어떻게 적용될 수 있는지에 대한 예도 살펴보세요.

첫째, 이 정보를 통해 수학 수업에서 더 높은 점수를 받을 자격을 얻을 수 있습니다. 추가 소스에서 해당 주제에 대한 정보를 항상 높이 평가합니다.

둘째, 우리는 여러분이 수학이 어떻게 이루어지는지에 대한 느낌을 갖도록 돕고 싶었습니다. 흥미로운 과학. 확실하게 하다 구체적인 예그 안에는 항상 창의성을 위한 자리가 있다는 것입니다. 우리는 피타고라스의 정리와 이 기사가 여러분이 수학과 기타 과학에서 독립적으로 탐구하고 흥미로운 발견을 하는 데 영감을 주기를 바랍니다.

기사에 제시된 증거가 흥미로웠다면 댓글로 알려주세요. 이 정보가 연구에 유용하다고 생각하시나요? 피타고라스 정리와 이 기사에 대해 어떻게 생각하는지 알려주세요. 이 모든 것에 대해 기꺼이 논의해 드리겠습니다.

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피타고라스 정리는 직각삼각형에만 적용되므로 주어진 삼각형이 직각삼각형인지 확인하세요. 직각삼각형에서는 세 각 중 하나가 항상 90도입니다.

• 직각 삼각형의 직각은 경사각을 나타내는 곡선이 아닌 사각형 아이콘으로 표시됩니다.

삼각형의 측면에 라벨을 붙입니다.다리에 "a"와 "b"(다리는 직각으로 교차하는 변)로 표시하고 빗변은 "c"로 표시합니다(빗변은 직각 삼각형의 가장 큰 변으로 직각 반대편에 위치함).

찾고 싶은 삼각형의 변을 결정하세요.피타고라스 정리를 사용하면 직각 삼각형의 모든 변을 찾을 수 있습니다(다른 두 변을 알고 있는 경우). 어느 쪽(a, b, c)을 찾아야 하는지 결정합니다.

• 예를 들어, 빗변이 5이고 변이 3이라고 가정합니다. 이 경우 두 번째 변을 찾아야 합니다. 나중에 이 예제로 다시 돌아오겠습니다.
• 다른 두 변을 알 수 없는 경우 피타고라스 정리를 적용하려면 알 수 없는 변 중 하나의 길이를 찾아야 합니다. 이렇게 하려면 기본을 사용하세요. 삼각함수(비스듬한 각도 중 하나의 값이 주어진 경우)

당신에게 주어진 값 (또는 당신이 찾은 값)을 공식 a 2 + b 2 = c 2로 대체하십시오. a와 b는 다리이고 c는 빗변이라는 것을 기억하세요.

• 이 예에서는 3² + b² = 5²라고 씁니다.

알려진 각 변을 제곱합니다.아니면 거듭제곱을 그대로 두세요. 나중에 숫자를 제곱할 수 있습니다.

• 이 예에서는 9 + b² = 25라고 씁니다.

방정식의 한 쪽에서 알 수 없는 쪽을 분리합니다.이렇게 하려면 이동하세요. 알려진 값방정식의 반대편으로. 빗변을 찾으면 피타고라스 정리에서 빗변은 이미 방정식의 한쪽에 고립되어 있으므로 아무 것도 할 필요가 없습니다.

• 이 예에서는 9를 방정식의 오른쪽으로 이동하여 미지의 b²를 분리합니다. b² = 16이 됩니다.

제거하다 제곱근미지수(제곱)가 방정식의 한 쪽에 존재하고 자유 항(숫자)이 다른 쪽에 존재한 후 방정식의 양쪽에서 알 수 있습니다.

• 이 예에서는 b² = 16입니다. 방정식의 양쪽 변에 제곱근을 취하여 b = 4를 얻습니다. 따라서 두 번째 변은 4입니다.

피타고라스의 정리를 이용해보세요 일상 생활, 다음에서 사용할 수 있기 때문에 큰 숫자실제적인 상황. 이렇게 하려면 일상 생활에서 직각 삼각형을 인식하는 방법을 배우십시오. 즉, 두 개체(또는 선)가 직각으로 교차하고 세 번째 개체(또는 선)가 처음 두 개체(또는 대각선으로)의 상단을 연결하는 모든 상황에서 직각 삼각형을 인식하는 방법을 배우십시오. 선), 피타고라스 정리를 사용하여 알려지지 않은 변을 찾을 수 있습니다(다른 두 변이 알려진 경우).

• 예: 건물에 기대어 있는 계단이 있습니다. 하단 부분계단은 벽 바닥에서 5m 떨어진 곳에 있습니다. 윗부분계단은 지상(벽 위)에서 20m 떨어져 있습니다. 계단의 길이는 얼마입니까?
  • "벽 바닥에서 5m"는 a = 5를 의미합니다. "지상에서 20m 떨어진 곳에 위치"는 b = 20을 의미합니다(즉, 건물 벽과 지구 표면이 직각으로 교차하므로 직각 삼각형의 두 다리가 제공됩니다). 계단의 길이는 빗변의 길이이며, 이는 알 수 없습니다.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20.6. 따라서 계단의 대략적인 길이는 20.6미터이다.