접선 기울기는 값과 같습니다. 함수 그래프에 접하는

수학에서 데카르트 좌표 평면의 선 위치를 설명하는 매개변수 중 하나는 다음과 같습니다. 경사이 직선. 이 매개변수는 가로축에 대한 직선의 기울기를 나타냅니다. 기울기를 찾는 방법을 이해하려면 먼저 XY 좌표계에서 직선 방정식의 일반적인 형태를 기억하십시오.

안에 일반적인 견해모든 직선은 ax+by=c라는 표현으로 표현될 수 있습니다. 여기서 a, b 및 c는 임의의 실수이지만 항상 a 2 + b 2 ≠ 0입니다.

간단한 변환을 사용하여 이러한 방정식은 y=kx+d 형식으로 가져올 수 있습니다. 여기서 k와 d는 실수입니다. 숫자 k는 기울기이고, 이러한 유형의 선의 방정식을 기울기가 있는 방정식이라고 합니다. 기울기를 찾으려면 원래 방정식을 위에 표시된 형식으로 축소하면 됩니다. 보다 완전한 이해를 위해 구체적인 예를 고려하십시오.

문제: 방정식 36x - 18y = 108로 주어진 선의 기울기를 구합니다.

해결 방법: 원래 방정식을 변환해 보겠습니다.

답: 이 선의 필수 기울기는 2입니다.

방정식을 변환하는 동안 x = const와 같은 표현식을 받았고 결과적으로 y를 x의 함수로 표현할 수 없다면 X 축에 평행한 직선을 다루고 있는 것입니다. 직선은 무한대와 같습니다.

y = const와 같은 방정식으로 표현된 선의 경우 기울기는 0입니다. 이는 가로축에 평행한 직선에 일반적입니다. 예를 들어:

문제: 방정식 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4로 주어진 선의 기울기를 구합니다.

해결 방법: 원래 방정식을 일반 형식으로 가져오겠습니다.

24x + 12년 - 12년 + 28 = 4

결과 표현식에서 y를 표현하는 것은 불가능합니다. 따라서 이 선의 각도 계수는 무한대와 같고 선 자체는 Y축과 평행합니다.

기하학적 의미

더 나은 이해를 위해 그림을 살펴보겠습니다.

그림에서 우리는 y = kx와 같은 함수의 그래프를 볼 수 있습니다. 단순화하기 위해 계수 c = 0을 사용하겠습니다. 삼각형 OAB에서 측면 BA와 AO의 비율은 각도 계수 k와 같습니다. 동시에 VA/AO 비율은 접선입니다. 예각α 안으로 직각삼각형 OAV. 직선의 각도 계수는 이 직선이 좌표 격자의 가로축과 이루는 각도의 탄젠트와 같습니다.

직선의 각도 계수를 찾는 방법에 대한 문제를 해결하여 직선과 좌표 격자의 X 축 사이의 각도의 탄젠트를 찾습니다. 경계의 경우 해당 선이 좌표축과 평행할 때 위 사항을 확인합니다. 실제로 방정식 y=const로 설명되는 직선의 경우 직선과 가로축 사이의 각도 0과 같음. 영각의 접선도 0이고 기울기도 0입니다.

x축에 수직이고 방정식 x=const로 설명되는 직선의 경우 해당 직선과 X축 사이의 각도는 90도입니다. 접선 직각는 무한대와 같고 유사한 직선의 각도 계수도 무한대와 같으므로 위에서 쓴 내용을 확인합니다.

접선 경사

실제로 자주 접하게 되는 일반적인 작업은 특정 지점에서 함수 그래프에 대한 접선의 기울기를 찾는 것입니다. 접선은 직선이므로 기울기의 개념도 적용 가능합니다.

접선의 기울기를 구하는 방법을 알아내기 위해서는 도함수의 개념을 기억해야 합니다. 특정 지점에서 함수의 도함수는 이 함수의 그래프에 대한 지정된 지점의 접선과 가로축 사이에 형성된 각도의 접선과 수치적으로 동일한 상수입니다. x 0 지점에서 접선의 각도 계수를 결정하려면 이 지점 k = f"(x 0)에서 원래 함수의 도함수 값을 계산해야 합니다. 예를 살펴보겠습니다.

문제: x = 0.1에서 함수 y = 12x 2 + 2xe x에 접하는 선의 기울기를 구합니다.

해결 방법: 일반 형태의 원래 함수의 도함수를 찾습니다.

y"(0.1) = 24.0.1 + 2.0.1.e 0.1 + 2.e 0.1

답: x = 0.1 지점에서 필요한 기울기는 4.831입니다.

함수의 미분을 취하는 방법을 배우십시오.도함수는 이 함수의 그래프에 있는 특정 지점에서 함수의 변화율을 나타냅니다. 안에 이 경우그래프는 직선일 수도 있고 곡선일 수도 있습니다. 즉, 도함수는 특정 시점에서 함수의 변화율을 나타냅니다. 기억하다 일반 규칙, 파생상품을 취한 후 다음 단계로 진행합니다.

• 기사를 읽어보세요.
• 예를 들어 파생 상품과 같이 가장 간단한 파생 상품을 취하는 방법 지수 방정식, 설명되었습니다. 다음 단계에 제시된 계산은 여기에 설명된 방법을 기반으로 합니다.

함수의 미분을 통해 기울기 계수를 계산해야 하는 문제를 구별하는 방법을 알아봅니다.문제에서 항상 함수의 기울기나 도함수를 구하라고 요구하는 것은 아닙니다. 예를 들어, A(x,y) 지점에서 함수의 변화율을 구하라는 요청을 받을 수 있습니다. A(x,y) 지점에서 접선의 기울기를 구하라는 요청을 받을 수도 있습니다. 두 경우 모두 함수의 미분을 구하는 것이 필요합니다.

당신은 이미 함수 그래프에 대한 접선의 개념에 익숙합니다. x 0 근처의 점 x 0에서 미분 가능한 함수 f의 그래프는 실제로 접선 부분과 다르지 않습니다. 즉, 점 (x 0 ; f (x 0))과 (를 통과하는 시컨트 부분 l에 가깝습니다. x 0 +Δx; f( x 0 + Δx)). 이들 할선 중 하나는 그래프(그림 1)의 점 A(x 0 ; f(x 0))를 통과합니다. 주어진 점 A를 통과하는 선을 고유하게 정의하려면 기울기를 나타내는 것으로 충분합니다. Δх→0인 시컨트의 각도 계수 Δy/Δx는 f'(x 0)(접선의 각도 계수로 사용함)이 되는 경향이 있습니다. 접선은 Δх→0에서 시컨트의 제한 위치입니다..

f'(x 0)이 존재하지 않으면 접선은 존재하지 않거나(점 (0; 0)의 함수 y = |x|와 같이, 그림 참조) 수직입니다(에서 함수의 그래프와 같이). 점 (0; 0), 그림 2).

따라서 점 xo에서 함수 f의 도함수가 존재하는 것은 그래프의 점 (x 0, f (x 0))에서 (비수직) 접선이 존재하는 것과 동일합니다. 접선 경사 f"(x 0)와 같습니다. 이는 기하학적 의미유도체

점 xo에서 미분 가능한 함수 f의 그래프에 대한 접선은 점 (x 0 ; f (x 0))을 통과하고 각도 계수 f '(x 0)을 갖는 직선입니다.

x 1, x 2, x 3 지점(그림 3)에서 함수 f의 그래프에 접선을 그리고 가로축과 형성되는 각도를 기록해 보겠습니다. (이것은 축의 양의 방향에서 직선까지의 양의 방향으로 측정된 각도입니다.) 직선 l이 Ox 축과 평행합니다. 예각의 탄젠트는 양수이고, 둔각의 탄젠트는 음수이며, tan 0 = 0입니다. 따라서

F"(x 1)>0, f'(x 2)=0, f'(x 3)
개별 점에 접선을 구성하면 그래프를 더욱 정확하게 스케치할 수 있습니다. 예를 들어 사인 함수 그래프의 스케치를 구성하려면 먼저 점 0에서 이를 찾습니다. π/2 및 사인의 π 도함수는 1과 같습니다. 각각 0과 -1입니다. 각각 1, 0 및 -1의 각도 계수를 사용하여 점 (0; 0), (π/2,1) 및 (π, 0)을 통과하는 직선을 구성해 보겠습니다(그림 4). 이 직선과 직선 Ox로 형성된 사다리꼴 결과, x가 0, π/2 및 π인 경우 해당 직선에 닿는 사인 그래프입니다.

0 부근의 사인 그래프는 실제로 직선 y = x와 구별할 수 없습니다. 예를 들어, 단위가 1cm의 세그먼트에 해당하도록 축을 따라 눈금을 선택한다고 가정해 보겠습니다. sin 0.5 ≒ 0.479425, 즉 |sin 0.5 - 0.5| ≒ 0.02이며 선택한 스케일에서 이는 0.2mm 길이의 세그먼트에 해당합니다. 따라서 간격 (-0.5; 0.5)에서 함수 y = sin x의 그래프는 직선 y = x에서 (수직 방향으로) 0.2mm 이하로 벗어날 것이며 이는 대략 두께에 해당합니다. 그려진 선.

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다음 그림을 고려하십시오.

이는 점 a에서 미분 가능한 특정 함수 y = f(x)를 나타냅니다. 좌표(a; f(a))가 있는 점 M이 표시됩니다. 시컨트 MR은 그래프의 임의의 점 P(a + Δx; f(a + Δx))를 통해 그려집니다.

이제 점 P가 그래프를 따라 점 M으로 이동하면 직선 MR이 점 M을 중심으로 회전합니다. 이 경우 Δx는 0이 되는 경향이 있습니다. 여기에서 우리는 함수 그래프에 대한 접선의 정의를 공식화할 수 있습니다.

함수 그래프에 접하는

함수 그래프의 접선은 인수의 증분이 0이 되는 경향이 있으므로 시컨트의 제한 위치입니다. x0 지점에서 함수 f의 도함수가 존재한다는 것은 그래프의 이 지점에 다음이 있다는 것을 의미한다는 것을 이해해야 합니다. 접선그에게.

이 경우 접선의 각도 계수는 이 지점 f'(x0)에서 이 함수의 도함수와 같습니다. 이것이 도함수의 기하학적 의미입니다. 점 x0에서 미분 가능한 함수 f의 그래프에 대한 접선은 점 (x0;f(x0))을 통과하고 각도 계수 f'(x0)를 갖는 특정 직선입니다.

탄젠트 방정식

점 A(x0; f(x0))에서 일부 함수 f의 그래프에 대한 접선 방정식을 구해 보겠습니다. 기울기가 k인 직선 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

우리의 기울기 계수는 미분과 동일하기 때문에 f'(x0)이면 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다: y = f'(x0)*x + b.

이제 b의 값을 계산해 봅시다. 이를 위해 함수가 점 A를 통과한다는 사실을 사용합니다.

f(x0) = f'(x0)*x0 + b, 여기에서 b를 표현하고 b = f(x0) - f'(x0)*x0을 얻습니다.

결과 값을 접선 방정식으로 대체합니다.

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

다음 예를 고려하십시오. x = 2 지점에서 함수 f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1의 그래프에 대한 접선의 방정식을 찾으십시오.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. 얻은 값을 접선 공식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. y = 1 + 4*(x - 2). 괄호를 열고 비슷한 용어를 가져오면 y = 4*x - 7이 됩니다.

답: y = 4*x - 7.

탄젠트 방정식을 구성하는 일반적인 방식함수 y = f(x)의 그래프로:

1. x0을 결정합니다.

2. f(x0)를 계산합니다.

3. f'(x) 계산