모듈러스가 있는 로그 방정식, 솔루션의 예. 로그 방정식. 단순한 것부터 복잡한 것까지

로그 방정식. 단순한 것부터 복잡한 것까지.

주목!
추가사항이 있습니다
특별 조항 555의 자료.
매우 "그렇지 않은..." 사람들을 위해
그리고 "아주 많이…"라고 하시는 분들을 위해)

로그 방정식이란 무엇입니까?

이것은 로그를 사용한 방정식입니다. 놀랐죠?) 그럼 밝히겠습니다. 미지수(x)와 이를 이용한 표현식을 구하는 방정식입니다. 내부 로그.그리고 거기에만! 그건 중요해.

여기 몇 가지 예가 있어요 대수 방정식 :

로그 3 x = 로그 3 9

로그 3(x 2 -3) = 로그 3(2x)

로그 x+1 (x 2 +3x-7) = 2

LG 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

글쎄요, 이해하시겠죠... )

메모! X가 포함된 가장 다양한 표현이 위치해 있습니다. 로그 내에서만 가능합니다.갑자기 방정식 어딘가에 X가 나타나면 밖의, 예를 들어:

로그 2 x = 3+x,

이것은 방정식이 될 것입니다 혼합형. 이러한 방정식에는 이를 해결하기 위한 명확한 규칙이 없습니다. 지금은 고려하지 않겠습니다. 그건 그렇고, 로그 내부에 방정식이 있습니다 숫자만. 예를 들어:

내가 무엇을 말할 수 있습니까? 이걸 만난다면 당신은 행운아입니다! 숫자가 포함된 로그는 다음과 같습니다. 어떤 숫자.그게 다야. 그러한 방정식을 풀려면 로그의 속성을 아는 것으로 충분합니다. 특수 규칙에 대한 지식, 문제 해결에 특별히 적합한 기술 로그 방정식,여기서는 필요하지 않습니다.

그래서, 로그방정식이 뭐야?- 알아냈어요.

로그 방정식을 푸는 방법은 무엇입니까?

해결책 대수 방정식- 사실 상황은 그다지 간단하지 않습니다. 따라서 우리 섹션은 4개입니다. 모든 종류의 관련 주제에 대한 상당한 양의 지식이 필요합니다. 게다가 이 방정식에는 특별한 특징이 있습니다. 그리고 이 기능은 로그 방정식을 푸는 데 있어 주요 문제라고 안전하게 부를 수 있을 정도로 중요합니다. 이 문제는 다음 강의에서 자세히 다루겠습니다.

지금은 걱정하지 마세요. 우리는 올바른 길로 갈 거예요 단순한 것부터 복잡한 것까지.~에 구체적인 예. 가장 중요한 것은 간단한 것을 탐구하고 게으르지 말고 링크를 따라가는 것입니다. 이유가 있어서 링크를 거기에 두었습니다... 그리고 모든 것이 잘 될 것입니다. 반드시.

가장 기본적이고 간단한 방정식부터 시작해 보겠습니다. 이를 해결하려면 로그에 대한 아이디어를 갖는 것이 좋지만 그 이상은 아닙니다. 그냥 모르겠어요 로그,결정을 내리다 대수적방정식 - 어쩐지 어색하기까지 하다... 매우 대담하다고 말하고 싶습니다).

가장 간단한 로그 방정식.

다음 형식의 방정식은 다음과 같습니다.

1. 로그 3 x = 로그 3 9

2. 로그 7(2x-3) = 로그 7 x

3. 로그 7(50x-1) = 2

솔루션 프로세스 모든 로그 방정식로그가 있는 방정식에서 로그가 없는 방정식으로의 전환으로 구성됩니다. 가장 간단한 방정식에서는 이 전환이 한 단계로 수행됩니다. 그렇기 때문에 가장 간단합니다.)

그리고 그러한 로그 방정식은 놀라울 정도로 쉽게 풀 수 있습니다. 직접 확인해보세요.

첫 번째 예를 풀어보겠습니다.

로그 3 x = 로그 3 9

이 예를 해결하려면 거의 아무것도 알 필요가 없습니다. 예... 순전히 직관입니다!) 우리에게 필요한 것은 무엇입니까? 특히이 예가 마음에 들지 않나요? 뭐-뭐야... 난 로그를 좋아하지 않아! 오른쪽. 그러니 그들을 제거합시다. 예를 자세히 살펴보면 우리 안에 자연스러운 욕망이 생깁니다. 정말 거부할 수 없습니다! 로그를 모두 취하고 버리십시오. 그리고 좋은 점은 할 수 있다하다! 수학은 허용합니다. 로그가 사라집니다정답은:

좋아요, 그렇죠? 이는 항상 수행될 수 있고 수행되어야 합니다. 이러한 방식으로 로그를 제거하는 것은 로그 방정식과 부등식을 해결하는 주요 방법 중 하나입니다. 수학에서는 이 연산을 강화.물론 그러한 청산에 대한 규칙이 있지만 그 수가 적습니다. 기억하다:

다음과 같은 경우 걱정 없이 로그를 제거할 수 있습니다.

a) 동일한 수치 기반

c) 왼쪽-오른쪽 로그는 순수하며(계수 없음) 훌륭하게 격리되어 있습니다.

마지막 요점을 명확히하겠습니다. 방정식에서

로그 3 x = 2로그 3 (3x-1)

로그는 제거할 수 없습니다. 오른쪽 두 개는 허용되지 않습니다. 계수는... 예에서

로그 3 x+로그 3(x+1) = 로그 3(3+x)

방정식을 강화하는 것도 불가능합니다. 왼쪽에는 단일 로그가 없습니다. 두 가지가 있습니다.

즉, 방정식이 다음과 같거나 다음과 같은 경우에만 로그를 제거할 수 있습니다.

로그 a (.....) = 로그 a (.....)

줄임표가 있는 괄호 안에는 다음이 있을 수 있습니다. 어떤 표현이든.단순함, 매우 복잡함, 모든 종류. 무엇이든. 중요한 것은 로그를 제거한 후에 다음과 같은 결과가 남는다는 것입니다. 더 간단한 방정식.물론, 로그 없이 선형, 2차, 분수, 지수 및 기타 방정식을 푸는 방법을 이미 알고 있다고 가정합니다.)

이제 두 번째 예를 쉽게 해결할 수 있습니다.

로그 7(2x-3) = 로그 7 x

사실 마음속에서 결정되는 일이다. 우리는 다음을 얻습니다:

음 많이 어렵나요?) 보시다시피, 대수적방정식의 해의 일부는 다음과 같습니다. 로그를 제거하는 경우에만...그런 다음 그것들 없이 나머지 방정식의 해를 구합니다. 사소한 문제입니다.

세 번째 예를 풀어보겠습니다.

로그 7(50x-1) = 2

왼쪽에 로그가 있는 것을 볼 수 있습니다.

이 로그는 부분대수 표현, 즉 (50x-1).

그런데 이 숫자는 2개예요! 식에 따르면. 그건:

기본적으로 그게 전부입니다. 로그 사라졌다,남은 것은 무해한 방정식입니다.

우리는 로그의 의미만을 토대로 이 로그 방정식을 풀었습니다. 로그를 제거하는 것이 여전히 더 쉽습니까?) 동의합니다. 그런데, 2에서 로그를 만들면 소거를 통해 이 예를 풀 수 있습니다. 어떤 숫자든 로그로 만들 수 있습니다. 게다가 우리에게 필요한 방식입니다. 로그 방정식과 (특히!) 부등식을 해결하는 데 매우 유용한 기술입니다.

숫자에서 로그를 만드는 방법을 모르십니까? 괜찮아요. 섹션 555에 이 기술이 자세히 설명되어 있습니다. 당신은 그것을 마스터하고 최대한 활용할 수 있습니다! 오류 수를 크게 줄입니다.

네 번째 방정식은 (정의에 따라) 완전히 유사한 방식으로 해결됩니다.

그게 다야.

이번 강의를 요약해 보겠습니다. 예제를 사용하여 가장 간단한 로그 방정식의 해를 살펴보았습니다. 그것은 매우 중요합니다. 그리고 그러한 방정식이 시험과 시험에 나타나기 때문만은 아닙니다. 사실은 가장 사악하고 복잡한 방정식조차도 필연적으로 가장 단순한 방정식으로 축소된다는 것입니다!

실제로 가장 간단한 방정식은 솔루션의 마지막 부분입니다. 어느방정식. 그리고 이 마지막 부분은 엄격하게 이해되어야 합니다! 그리고 더. 이 페이지를 끝까지 읽어주세요. 깜짝 놀랄 일이 있어...)

이제 우리는 스스로 결정합니다. 말하자면 좀 나아지자...)

방정식의 근(또는 근이 여러 개인 경우 근의 합)을 구합니다.

ln(7x+2) = ln(5x+20)

로그 2 (x 2 +32) = 로그 2 (12x)

로그 16(0.5x-1.5) = 0.25

로그 0.2(3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

로그 2 (14x) = 로그 2 7 + 2

답변(물론 혼란스럽게): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

뭐, 모든 일이 잘 안되는 건 아니지? 일어난다. 괜찮아요! 섹션 555에서는 이러한 모든 예에 대한 해결책을 명확하고 자세하게 설명합니다. 당신은 분명히 그것을 알아낼 것입니다. 또한 유용한 실용적인 기술도 배우게 됩니다.

모든 일이 잘 풀렸나요!? "one left"의 모든 예는?) 축하합니다!

이제 당신에게 쓰라린 진실을 밝힐 시간입니다. 이러한 예제를 성공적으로 해결한다고 해서 다른 모든 로그 방정식의 해결이 성공한다는 보장은 없습니다. 이와 같은 가장 간단한 것조차도. 아아.

사실 모든 로그 방정식(심지어 가장 기본적인 방정식이라도!)의 해법은 다음과 같이 구성됩니다. 두 개의 동일한 부분.방정식을 풀고 ODZ로 작업합니다. 우리는 방정식 자체를 푸는 한 부분을 마스터했습니다. 그렇게 어렵지는 않아요오른쪽?

이번 강의에서는 DL이 어떤 식으로든 답변에 영향을 미치지 않는 예를 특별히 선택했습니다. 하지만 다들 나만큼 친절한 건 아니지 않나....)

따라서 다른 부분을 마스터하는 것이 필수적입니다. ODZ. 이것이 로그 방정식을 푸는 데 있어 주요 문제입니다. 어렵기 때문이 아닙니다. 이 부분은 첫 번째 부분보다 훨씬 쉽습니다. 그러나 그들은 단순히 ODZ를 잊어버렸기 때문입니다. 아니면 그들은 모릅니다. 아니면 둘다). 그리고 그들은 느닷없이 떨어지고...

다음 강의에서는 이 문제를 다루겠습니다. 그러면 자신있게 결정하시면 됩니다 어느간단한 로그 방정식을 이해하고 매우 견고한 작업에 접근합니다.

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예제 풀이를 연습하고 자신의 레벨을 알아볼 수 있습니다. 즉시 검증으로 테스트합니다. 배우자 - 관심을 가지고!)

함수와 파생물에 대해 알아볼 수 있습니다.

주요 속성.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x:y).

동일한 근거

로그6 4 + 로그6 9.

이제 작업을 조금 복잡하게 만들어 보겠습니다.

로그 해결의 예

로그의 밑수 또는 인수가 거듭제곱이면 어떻게 되나요? 그런 다음 이 정도의 지수는 다음 규칙에 따라 로그 부호에서 제거될 수 있습니다.

물론 로그의 ODZ가 관찰되면 이러한 모든 규칙이 의미가 있습니다. a > 0, a ≠ 1, x >

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

새로운 기반으로의 전환

로그 logax를 주어 보겠습니다. 그런 다음 c > 0이고 c ≠ 1인 임의의 숫자 c에 대해 동등성은 참입니다.

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

또한보십시오:

로그의 기본 속성

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지수는 2.718281828… 지수를 기억하려면 규칙을 공부할 수 있습니다. 지수는 2.7과 같고 Leo Nikolaevich Tolstoy 탄생 연도의 두 배입니다.

로그의 기본 속성

이 규칙을 알면 지수의 정확한 값과 레오 톨스토이의 생년월일을 모두 알 수 있습니다.

로그의 예

로그 표현식

예시 1.
ㅏ). x=10ac^2(a>0,c>0).

속성 3.5를 사용하여 계산합니다.

2.

3.

4. 어디 .

예 2. 다음 경우 x 찾기

예 3. 로그 값을 제공합니다.

다음과 같은 경우 log(x)를 계산합니다.

로그의 기본 속성

다른 숫자와 마찬가지로 로그도 모든 방법으로 더하고, 빼고, 변환할 수 있습니다. 그러나 로그는 정확히 평범한 숫자가 아니기 때문에 여기에는 다음과 같은 규칙이 있습니다. 주요 속성.

이러한 규칙을 확실히 알아야합니다. 규칙 없이는 심각한 문제를 해결할 수 없습니다. 대수 문제. 또한 그 중 거의 없습니다. 하루 만에 모든 것을 배울 수 있습니다. 그럼 시작해 보겠습니다.

로그 더하기 및 빼기

밑이 동일한 두 개의 로그(logax와 logay)를 생각해 보세요. 그런 다음 더하고 뺄 수 있으며 다음과 같습니다.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x:y).

따라서 로그의 합은 곱의 로그와 같고 그 차이는 몫의 로그와 같습니다. 메모: 중요한 순간여기 - 동일한 근거. 이유가 다르면 이 규칙은 적용되지 않습니다!

이 공식은 계산에 도움이 됩니다. 로그 표현개별 부분이 계산되지 않는 경우에도 마찬가지입니다(“로그란 무엇인가” 단원 참조). 예제를 살펴보고 다음을 확인하세요.

로그는 밑이 동일하므로 합계 공식을 사용합니다.
로그6 4 + 로그6 9 = 로그6 (4 9) = 로그6 36 = 2.

일. 다음 표현식의 값을 찾으세요: log2 48 − log2 3.

기본은 동일하므로 차이 공식을 사용합니다.
로그2 48 - 로그2 3 = 로그2(48:3) = 로그2 16 = 4.

일. 다음 표현식의 값을 찾습니다: log3 135 − log3 5.

이번에도 기본은 동일하므로 다음과 같습니다.
로그3 135 - 로그3 5 = 로그3(135:5) = 로그3 27 = 3.

보시다시피 원래 표현식은 별도로 계산되지 않는 "나쁜" 로그로 구성됩니다. 그러나 변환 후에는 완전히 정상적인 숫자가 얻어집니다. 많은 사람들이 이 사실을 토대로 만들어졌습니다. 시험지. 예, 통합 국가 시험에서는 시험과 같은 표현이 매우 진지하게(때로는 사실상 변경 없이) 제공됩니다.

로그에서 지수 추출하기

그건 알아차리기 쉽죠 마지막 규칙처음 두 개를 따릅니다. 그러나 어쨌든 기억하는 것이 좋습니다. 어떤 경우에는 계산량이 크게 줄어들 것입니다.

물론 로그의 ODZ가 관찰되면(a > 0, a ≠ 1, x > 0) 이러한 모든 규칙이 의미가 있습니다. 그리고 한 가지 더: 모든 수식을 왼쪽에서 오른쪽으로 적용하는 방법뿐만 아니라 그 반대로도 적용하는 방법을 배우십시오. , 즉. 로그 자체에 로그 기호 앞에 숫자를 입력할 수 있습니다. 이것이 가장 자주 필요한 것입니다.

일. log7 496 표현식의 값을 찾습니다.

첫 번째 공식을 사용하여 인수의 정도를 제거해 보겠습니다.
로그7 496 = 6 로그7 49 = 6 2 = 12

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

분모에는 로그가 포함되어 있으며 밑과 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 16 = 24; 49 = 72. 우리는 다음을 가집니다:

마지막 예에는 약간의 설명이 필요하다고 생각합니다. 로그는 어디로 갔나요? 마지막 순간까지 우리는 분모만을 가지고 작업합니다.

로그 수식. 로그 예제 솔루션.

우리는 거기에 있는 로그의 밑수와 인수를 거듭제곱의 형태로 제시하고 지수를 제거했습니다. 우리는 "3층" 분수를 얻었습니다.

이제 주요 분수를 살펴 보겠습니다. 분자와 분모에는 동일한 숫자인 log2 7이 포함됩니다. log2 7 ≠ 0이므로 분수를 줄일 수 있습니다. 2/4는 분모에 남아 있습니다. 산술 규칙에 따라 4개는 분자로 옮겨질 수 있으며, 이것이 이루어졌습니다. 그 결과는 2번이었습니다.

새로운 기반으로의 전환

로그의 덧셈과 뺄셈 규칙에 대해 말하면서 나는 로그가 동일한 밑수에서만 작동한다는 점을 특히 강조했습니다. 이유가 다르다면? 만약 같은 수의 정확한 거듭제곱이 아니라면 어떻게 될까요?

새로운 기반으로의 전환을 위한 공식이 구출되었습니다. 정리의 형태로 공식화합시다.

로그 logax를 주어 보겠습니다. 그런 다음 c > 0이고 c ≠ 1인 임의의 숫자 c에 대해 동등성은 참입니다.

특히 c = x로 설정하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

두 번째 공식에서는 로그의 밑과 인수를 바꿀 수 있지만 이 경우 전체 표현식이 "뒤집어집니다". 로그는 분모에 나타납니다.

이러한 공식은 기존의 공식에서는 거의 발견되지 않습니다. 수치 표현. 로그 방정식과 부등식을 풀 때만 얼마나 편리한지 평가할 수 있습니다.

그러나 새로운 기반으로 이전하지 않으면 전혀 해결할 수 없는 문제가 있다. 다음 중 몇 가지를 살펴보겠습니다.

일. log5 16 log2 25 표현식의 값을 찾습니다.

두 로그의 인수에는 정확한 거듭제곱이 포함되어 있습니다. 표시기를 꺼내 보겠습니다. log5 16 = log5 24 = 4log5 2; 로그2 25 = 로그2 52 = 2로그2 5;

이제 두 번째 로그를 "역전"시켜 보겠습니다.

요소를 재배열해도 곱이 변하지 않기 때문에 차분하게 4와 2를 곱한 뒤 로그를 다루었습니다.

일. 다음 표현식의 값을 찾으세요: log9 100 lg 3.

첫 번째 로그의 밑수와 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 이것을 기록하고 지표를 제거합시다.

이제 새로운 밑수로 이동하여 십진 로그를 제거해 보겠습니다.

기본 로그 항등식

풀이 과정에서 숫자를 주어진 밑수에 대한 로그로 표현해야 하는 경우가 종종 있습니다. 이 경우 다음 공식이 도움이 될 것입니다.

첫 번째 경우에는 숫자 n이 인수의 지수가 됩니다. 숫자 n은 단지 로그 값이기 때문에 무엇이든 될 수 있습니다.

두 번째 공식은 실제로 다른 말로 표현된 정의입니다. 그것이 바로 이름입니다: .

실제로 숫자 b를 이 거듭제곱하여 숫자 a를 제공하면 어떻게 될까요? 맞습니다. 결과는 같은 숫자 a입니다. 이 단락을 다시 주의 깊게 읽으십시오. 많은 사람들이 이 단락에서 막히게 됩니다.

새로운 진수로 이동하기 위한 공식과 마찬가지로, 기본 로그 항등식은 때때로 유일한 해법입니다.

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

log25 64 = log5 8 - 단순히 로그의 밑과 인수에서 제곱을 취했다는 점에 유의하세요. 동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하는 규칙을 고려하면 다음을 얻습니다.

모르는 사람이 있다면 이것은 통합 상태 시험의 실제 작업이었습니다 :)

로그 단위 및 로그 0

결론적으로 나는 속성이라고 부르기 어려운 두 가지 항등식을 제시할 것입니다. 오히려 그것은 로그 정의의 결과입니다. 그들은 끊임없이 문제에 나타나며 놀랍게도 "고급" 학생들에게도 문제를 일으킵니다.

1. logaa = 1 입니다. 한 번만 기억하세요. 밑수 자체의 밑수 a에 대한 로그는 1과 같습니다.
2. 로그 1 = 0입니다. 밑수 a는 무엇이든 될 수 있지만 인수에 하나가 포함된 경우 로그 0과 같음! a0 = 1은 정의의 직접적인 결과이기 때문입니다.

그것이 모든 속성입니다. 반드시 실천에 옮기는 연습을 하세요! 수업 시작 시 치트 시트를 다운로드하여 인쇄한 후 문제를 해결하세요.

또한보십시오:

밑수 a에 대한 b의 로그는 표현식을 나타냅니다. 로그를 계산한다는 것은 동등성이 충족되는 거듭제곱 x()를 찾는 것을 의미합니다.

로그의 기본 속성

로그와 관련된 거의 모든 문제와 예제가 이를 기반으로 해결되므로 위의 속성을 알아야 합니다. 나머지 이국적인 특성은 다음 공식을 사용한 수학적 조작을 통해 파생될 수 있습니다.

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로그의 합과 차이(3.4)에 대한 공식을 계산할 때 꽤 자주 접하게 됩니다. 나머지는 다소 복잡하지만 여러 작업에서 복잡한 표현식을 단순화하고 값을 계산하는 데 없어서는 안 될 요소입니다.

로그의 일반적인 경우

상용 로그 중 일부는 밑이 10, 지수 또는 2인 로그입니다.
밑이 10인 로그는 일반적으로 십진 로그라고 불리며 간단히 lg(x)로 표시됩니다.

녹음에 기본적인 내용이 적혀 있지 않다는 것은 녹음을 통해 분명합니다. 예를 들어

자연 로그는 밑이 지수(ln(x)로 표시됨)인 로그입니다.

지수는 2.718281828… 지수를 기억하려면 규칙을 공부할 수 있습니다. 지수는 2.7과 같고 Leo Nikolaevich Tolstoy 탄생 연도의 두 배입니다. 이 규칙을 알면 지수의 정확한 값과 레오 톨스토이의 생년월일을 모두 알 수 있습니다.

그리고 밑이 2인 또 다른 중요한 로그는 다음과 같이 표시됩니다.

함수 로그의 미분은 1을 변수로 나눈 값과 같습니다.

적분 또는 역도함수 로그는 다음 관계에 의해 결정됩니다.

주어진 자료는 로그 및 로그와 관련된 광범위한 문제를 해결하는 데 충분합니다. 자료의 이해를 돕기 위해 학교 커리큘럼과 대학의 몇 가지 일반적인 예만 제시하겠습니다.

로그의 예

로그 표현식

예시 1.
ㅏ). x=10ac^2(a>0,c>0).

속성 3.5를 사용하여 계산합니다.

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로그의 차이의 성질에 의해 우리는

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속성 3.5를 사용하여 우리는 다음을 찾습니다.

4. 어디 .

겉보기에 복잡해 보이는 표현식은 여러 규칙을 사용하여 단순화되어 형성됩니다.

로그 값 찾기

예 2. 다음 경우 x 찾기

해결책. 계산을 위해 마지막 항 5 및 13 속성에 적용됩니다.

기록에 남기고 애도한다

밑이 동일하므로 표현식을 동일시합니다.

로그. 첫 번째 수준.

로그의 값을 주어보자

다음과 같은 경우 log(x)를 계산합니다.

해결책: 변수의 로그를 취하여 항의 합을 통해 로그를 작성해 봅시다.

이것은 로그와 그 속성에 대한 우리의 지식의 시작일뿐입니다. 계산을 연습하고 실용적인 기술을 강화하세요. 곧 로그 방정식을 풀기 위해 얻는 지식이 필요할 것입니다. 그러한 방정식을 풀기 위한 기본 방법을 연구한 후, 우리는 대수 부등식이라는 또 다른 중요한 주제에 대한 지식을 확장할 것입니다...

로그의 기본 속성

다른 숫자와 마찬가지로 로그도 모든 방법으로 더하고, 빼고, 변환할 수 있습니다. 그러나 로그는 정확히 평범한 숫자가 아니기 때문에 여기에는 다음과 같은 규칙이 있습니다. 주요 속성.

이러한 규칙을 확실히 알아야 합니다. 규칙이 없으면 심각한 로그 문제 하나도 해결할 수 없습니다. 또한 그 중 거의 없습니다. 하루 만에 모든 것을 배울 수 있습니다. 그럼 시작해 보겠습니다.

로그 더하기 및 빼기

밑이 동일한 두 개의 로그(logax와 logay)를 생각해 보세요. 그런 다음 더하고 뺄 수 있으며 다음과 같습니다.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x:y).

따라서 로그의 합은 곱의 로그와 같고 그 차이는 몫의 로그와 같습니다. 참고하세요: 여기서 핵심은 다음과 같습니다. 동일한 근거. 이유가 다르면 이 규칙은 적용되지 않습니다!

이 공식은 개별 부분을 고려하지 않는 경우에도 로그 표현식을 계산하는 데 도움이 됩니다("로그란 무엇인가" 단원 참조). 예제를 살펴보고 다음을 확인하세요.

일. log6 4 + log6 9 표현식의 값을 찾습니다.

로그는 밑이 동일하므로 합계 공식을 사용합니다.
로그6 4 + 로그6 9 = 로그6 (4 9) = 로그6 36 = 2.

일. 다음 표현식의 값을 찾으세요: log2 48 − log2 3.

기본은 동일하므로 차이 공식을 사용합니다.
로그2 48 - 로그2 3 = 로그2(48:3) = 로그2 16 = 4.

일. 다음 표현식의 값을 찾습니다: log3 135 − log3 5.

이번에도 기본은 동일하므로 다음과 같습니다.
로그3 135 - 로그3 5 = 로그3(135:5) = 로그3 27 = 3.

보시다시피 원래 표현식은 별도로 계산되지 않는 "나쁜" 로그로 구성됩니다. 그러나 변환 후에는 완전히 정상적인 숫자가 얻어집니다. 많은 테스트가 이 사실을 기반으로 합니다. 예, 통합 국가 시험에서는 시험과 같은 표현이 매우 진지하게(때로는 사실상 변경 없이) 제공됩니다.

로그에서 지수 추출하기

이제 작업을 조금 복잡하게 만들어 보겠습니다. 로그의 밑수 또는 인수가 거듭제곱이면 어떻게 되나요? 그러면 이 정도의 지수는 다음 규칙에 따라 로그 부호에서 제거될 수 있습니다.

마지막 규칙이 처음 두 규칙을 따르는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 어쨌든 기억하는 것이 좋습니다. 어떤 경우에는 계산량이 크게 줄어들 것입니다.

물론 로그의 ODZ가 관찰되면(a > 0, a ≠ 1, x > 0) 이러한 모든 규칙이 의미가 있습니다. 그리고 한 가지 더: 모든 수식을 왼쪽에서 오른쪽으로 적용하는 방법뿐만 아니라 그 반대로도 적용하는 방법을 배우십시오. , 즉. 로그 자체에 로그 기호 앞에 숫자를 입력할 수 있습니다.

로그를 푸는 방법

이것이 가장 자주 요구되는 것입니다.

일. log7 496 표현식의 값을 찾습니다.

첫 번째 공식을 사용하여 인수의 정도를 제거해 보겠습니다.
로그7 496 = 6 로그7 49 = 6 2 = 12

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

분모에는 로그가 포함되어 있으며 밑과 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 16 = 24; 49 = 72. 우리는 다음을 가집니다:

마지막 예에는 약간의 설명이 필요하다고 생각합니다. 로그는 어디로 갔나요? 마지막 순간까지 우리는 분모만을 가지고 작업합니다. 우리는 거기에 있는 로그의 밑수와 인수를 거듭제곱의 형태로 제시하고 지수를 제거했습니다. 우리는 "3층" 분수를 얻었습니다.

이제 주요 분수를 살펴 보겠습니다. 분자와 분모에는 동일한 숫자인 log2 7이 포함됩니다. log2 7 ≠ 0이므로 분수를 줄일 수 있습니다. 2/4는 분모에 남아 있습니다. 산술 규칙에 따라 4개는 분자로 옮겨질 수 있으며, 이것이 이루어졌습니다. 그 결과는 2번이었습니다.

새로운 기반으로의 전환

로그의 덧셈과 뺄셈 규칙에 대해 말하면서 나는 로그가 동일한 밑수에서만 작동한다는 점을 특히 강조했습니다. 이유가 다르다면? 만약 같은 수의 정확한 거듭제곱이 아니라면 어떻게 될까요?

새로운 기반으로의 전환을 위한 공식이 구출되었습니다. 정리의 형태로 공식화합시다.

로그 logax를 주어 보겠습니다. 그런 다음 c > 0이고 c ≠ 1인 임의의 숫자 c에 대해 동등성은 참입니다.

특히 c = x로 설정하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

두 번째 공식에서는 로그의 밑과 인수를 바꿀 수 있지만 이 경우 전체 표현식이 "뒤집어집니다". 로그는 분모에 나타납니다.

이러한 공식은 일반적인 수치 표현에서는 거의 발견되지 않습니다. 로그 방정식과 부등식을 풀 때만 얼마나 편리한지 평가할 수 있습니다.

그러나 새로운 기반으로 이전하지 않으면 전혀 해결할 수 없는 문제가 있다. 다음 중 몇 가지를 살펴보겠습니다.

일. log5 16 log2 25 표현식의 값을 찾습니다.

두 로그의 인수에는 정확한 거듭제곱이 포함되어 있습니다. 표시기를 꺼내 보겠습니다. log5 16 = log5 24 = 4log5 2; 로그2 25 = 로그2 52 = 2로그2 5;

이제 두 번째 로그를 "역전"시켜 보겠습니다.

요소를 재배열해도 곱이 변하지 않기 때문에 차분하게 4와 2를 곱한 뒤 로그를 다루었습니다.

일. 다음 표현식의 값을 찾으세요: log9 100 lg 3.

첫 번째 로그의 밑수와 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 이것을 기록하고 지표를 제거합시다.

이제 새로운 밑수로 이동하여 십진 로그를 제거해 보겠습니다.

기본 로그 항등식

풀이 과정에서 숫자를 주어진 밑수에 대한 로그로 표현해야 하는 경우가 종종 있습니다. 이 경우 다음 공식이 도움이 될 것입니다.

첫 번째 경우에는 숫자 n이 인수의 지수가 됩니다. 숫자 n은 단지 로그 값이기 때문에 무엇이든 될 수 있습니다.

두 번째 공식은 실제로 다른 말로 표현된 정의입니다. 그것이 바로 이름입니다: .

실제로 숫자 b를 이 거듭제곱하여 숫자 a를 제공하면 어떻게 될까요? 맞습니다. 결과는 같은 숫자 a입니다. 이 단락을 다시 주의 깊게 읽으십시오. 많은 사람들이 이 단락에서 막히게 됩니다.

새로운 진수로 이동하기 위한 공식과 마찬가지로, 기본 로그 항등식은 때때로 유일한 해법입니다.

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

log25 64 = log5 8 - 단순히 로그의 밑과 인수에서 제곱을 취했다는 점에 유의하세요. 동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하는 규칙을 고려하면 다음을 얻습니다.

모르는 사람이 있다면 이것은 통합 상태 시험의 실제 작업이었습니다 :)

로그 단위 및 로그 0

결론적으로 나는 속성이라고 부르기 어려운 두 가지 항등식을 제시할 것입니다. 오히려 그것은 로그 정의의 결과입니다. 그들은 끊임없이 문제에 나타나며 놀랍게도 "고급" 학생들에게도 문제를 일으킵니다.

1. logaa = 1 입니다. 한 번만 기억하세요. 밑수 자체의 밑수 a에 대한 로그는 1과 같습니다.
2. 로그 1 = 0입니다. 밑수 a는 무엇이든 될 수 있지만 인수에 하나가 포함되어 있으면 로그는 0과 같습니다! a0 = 1은 정의의 직접적인 결과이기 때문입니다.

그것이 모든 속성입니다. 반드시 실천에 옮기는 연습을 하세요! 수업 시작 시 치트 시트를 다운로드하여 인쇄한 후 문제를 해결하세요.

소개

로그는 계산 속도를 높이고 단순화하기 위해 발명되었습니다. 로그의 아이디어, 즉 숫자를 같은 밑수로 표현하는 아이디어는 Mikhail Stiefel의 것입니다. 하지만 스티펠 시대에는 수학이 그다지 발달하지 않았고 로그 개념도 발달하지 않았습니다. 로그는 나중에 스코틀랜드 과학자 John Napier(1550-1617)에 의해 동시에 독립적으로 발명되었으며, 스위스 Jobst Burgi(1552-1632)는 1614년에 이 작품을 최초로 출판했습니다. "설명"이라는 제목의 놀라운 테이블로그”, 네이피어의 로그 이론은 상당히 완전한 볼륨으로 제공되었으며 로그 계산 방법은 가장 간단한 것으로 제공되었으므로 로그 발명에 대한 네이피어의 장점은 Bürgi의 장점보다 컸습니다. Bürgi는 Napier와 동시에 테이블 작업을 했지만 오랫동안그 내용을 비밀로 유지하고 1620년에야 출판했습니다. 네이피어는 1594년경 로그의 개념을 터득했습니다. 비록 그 표는 20년 후에 출판되었지만. 처음에 그는 자신의 로그를 "인공수"라고 불렀고 그 후에야 이러한 "인공수"를 한 단어 "로그"로 부르겠다고 제안했습니다. 이는 그리스어에서 번역된 "상관수"를 의미하며 하나는 산술 수열에서, 다른 하나는 산술 수열에서 가져옵니다. 이를 위해 특별히 선택된 기하학적 진행. 러시아어로 된 첫 번째 표는 1703년에 출판되었습니다. 18세기의 훌륭한 선생님의 참여로. L. F. Magnitsky. 대수 이론의 발전 큰 중요성상트페테르부르크 학자 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)의 작품이 있었습니다. 그는 로그를 거듭제곱의 역수로 간주한 최초의 사람입니다. 그는 "로그 밑"과 "가수"라는 용어를 도입했습니다. Briggs는 밑이 10인 로그 테이블을 편집했습니다. 소수 테이블은 실제 사용에 더 편리합니다. 네이피어 로그보다 간단합니다. 그렇기 때문에 십진 로그브리그라고도 불린다. "특성화"라는 용어는 Briggs에 의해 만들어졌습니다.

현자들이 처음으로 알 수 없는 수량을 포함하는 평등에 대해 생각하기 시작한 그 먼 시대에는 아마도 동전이나 지갑이 없었을 것입니다. 하지만 거기에는 더미는 물론, 냄비와 바구니도 있었는데, 알 수 없는 개수의 물건을 담을 수 있는 보관 캐시 역할에 딱 맞는 것들이었습니다. 메소포타미아, 인도, 중국, 그리스의 고대 수학 문제에서는 알 수 없는 양이 정원에 있는 공작새의 수, 무리에 있는 황소의 수, 재산을 나눌 때 고려하는 것의 총합을 표현했습니다. 서기관, 공무원 및 동수들은 회계 과학에 대해 잘 훈련을 받았습니다. 비밀 지식성직자들은 그러한 일에 아주 성공적으로 대처했습니다.

우리에게 도달한 소식통은 고대 과학자들이 일부를 소유했음을 나타냅니다. 일반 기술양을 알 수 없는 문제를 해결합니다. 그러나 단 하나의 파피루스나 점토판에도 이러한 기술에 대한 설명이 포함되어 있지 않습니다. 저자는 때때로 "보세요!", "이것을 해보세요!", "올바른 것을 찾았습니다."와 같은 빈약한 설명으로 수치 계산을 제공했습니다. 이러한 의미에서 그리스 수학자 알렉산드리아의 디오판투스(3세기)가 쓴 "산술"은 예외입니다. 이는 해법을 체계적으로 제시하여 방정식을 구성하는 문제 모음입니다.

그러나 널리 알려진 최초의 문제 해결 매뉴얼은 9세기 바그다드 과학자의 작품이었다. 무함마드 빈 무사 알콰리즈미. 이 논문의 아랍어 이름인 "Kitab al-jaber wal-mukabala"( "복원 및 반대의 책")에서 "al-jabr"이라는 단어는 시간이 지남에 따라 잘 알려진 단어 "algebra"로 바뀌었고 al- 크와리즈미의 연구 자체는 방정식 풀이 과학 발전의 출발점이 되었습니다.

로그 방정식과 부등식

1. 대수방정식

로그 기호 아래 또는 밑수에 미지수가 포함된 방정식을 로그 방정식이라고 합니다.

가장 간단한 로그 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.

통나무 ㅏ 엑스 = 비 . (1)

진술 1. 만약에 ㅏ > 0, ㅏ≠ 1, 임의의 실수에 대한 방정식 (1) 비독특한 솔루션을 가지고 있습니다 엑스 = a b .

예 1. 방정식을 푼다:

a) 로그 2 엑스= 3, b) 로그 3 엑스= -1, c)

해결책. 진술 1을 사용하여 우리는 다음을 얻습니다. 엑스= 2 3 또는 엑스= 8; 비) 엑스= 3 -1 또는 엑스= 1/3 ; 씨)

또는 엑스 = 1.

로그의 기본 특성을 제시해 보겠습니다.

P1. 기본 로그 항등식:

어디 ㅏ > 0, ㅏ≠ 1 및 비 > 0.

P2. 긍정적인 요인의 곱의 로그 합계와 동일다음 요소의 로그:

통나무 ㅏ N 1 · N 2 = 로그 ㅏ N 1 + 로그 ㅏ N 2 (ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

논평. 만약에 N 1 · N 2 > 0이면 속성 P2는 다음 형식을 취합니다.

통나무 ㅏ N 1 · N 2 = 로그 ㅏ |N 1 | +로그 ㅏ |N 2 | (ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. 두 양수의 몫의 로그는 피제수와 제수 로그의 차이와 같습니다.

(ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

논평. 만약에

, (동등한 N 1 N 2 > 0) 속성 P3은 다음 형식을 취합니다. (ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. 양수의 거듭제곱의 로그는 지수와 이 숫자의 로그의 곱과 같습니다.

통나무 ㅏ N 케이 = 케이통나무 ㅏ N (ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1, N > 0).

논평. 만약에 케이 - 우수 (케이 = 2에스), 저것

통나무 ㅏ N 2에스 = 2에스통나무 ㅏ |N | (ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1, N ≠ 0).

P5. 다른 기지로 이동하는 공식:

(ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1, 비 > 0, 비 ≠ 1, N > 0),

특히 만약에 N = 비, 우리는 얻는다

(ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1, 비 > 0, 비 ≠ 1). (2)

속성 P4 및 P5를 사용하면 다음 속성을 쉽게 얻을 수 있습니다.

(ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1, 비 > 0, 씨 ≠ 0), (3) (ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1, 비 > 0, 씨 ≠ 0), (4) (ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1, 비 > 0, 씨 ≠ 0), (5)

그리고 만약 (5)에 있다면 씨- 짝수 ( 씨 = 2N), 발생

(비 > 0, ㅏ ≠ 0, |ㅏ | ≠ 1). (6)

우리는 주요 속성을 나열합니다 로그 함수 에프 (엑스) = 로그 ㅏ 엑스 :

1. 로그 함수의 정의 영역은 양수의 집합입니다.

2. 로그 함수의 값 범위는 실수의 집합입니다.

3. 언제 ㅏ> 1 로그 함수는 엄격하게 증가합니다(0< 엑스 1 < 엑스 2로그 ㅏ 엑스 1 < logㅏ 엑스 2), 그리고 0에서< ㅏ < 1, - строго убывает (0 < 엑스 1 < 엑스 2로그 ㅏ 엑스 1 > 로그 ㅏ 엑스 2).

4.로그 ㅏ 1 = 0 및 로그 ㅏ ㅏ = 1 (ㅏ > 0, ㅏ ≠ 1).

5. 만약에 ㅏ> 1이면 로그 함수는 음수입니다. 엑스(0;1) 및 양수 엑스(1;+무한대), 그리고 0인 경우< ㅏ < 1, то логарифмическая функция положительна при 엑스 (0;1) 및 음수 엑스 (1;+∞).

6. 만일 ㅏ> 1이면 로그 함수는 위쪽으로 볼록하며, ㅏ(0;1) - 아래쪽으로 볼록합니다.

로그 방정식을 풀 때 다음 명령문(예를 들어 참조)이 사용됩니다.

로그 방정식 풀기. 1 부.

로그 방정식는 로그의 부호 아래(특히 로그의 밑 부분)에 미지수가 포함되어 있는 방정식입니다.

가장 간단한 대수 방정식형식은 다음과 같습니다.

로그 방정식 풀기로그에서 로그 기호 아래의 표현으로의 전환이 포함됩니다. 그러나 이 조치는 범위를 확장합니다. 허용 가능한 값방정식과 관련 없는 뿌리가 나타날 수 있습니다. 외국 뿌리의 출현을 피하기 위해, 다음 세 가지 방법 중 하나를 수행할 수 있습니다.

1. 동등한 전환 만들기원래 방정식에서 다음을 포함하는 시스템으로

어떤 불평등이냐 단순한가에 따라.

방정식의 로그 밑수에 미지수가 포함되어 있는 경우:

그런 다음 시스템으로 이동합니다.

2. 방정식의 허용 가능한 값 범위를 별도로 찾으십시오., 방정식을 풀고 찾은 해가 방정식을 만족하는지 확인합니다.

3. 방정식을 푼 다음 확인하다:찾은 해를 원래 방정식에 대입하고 올바른 평등을 얻었는지 확인하십시오.

모든 복잡성 수준의 로그 방정식은 항상 궁극적으로 가장 간단한 로그 방정식으로 축소됩니다.

모든 로그 방정식은 네 가지 유형으로 나눌 수 있습니다.

1 . 1차 거듭제곱에 대한 로그만 포함하는 방정식입니다. 변형과 사용의 도움으로 형태가 만들어집니다.

예. 방정식을 풀어 봅시다:

로그 기호 아래의 표현식을 동일시해 보겠습니다.

방정식의 근이 다음을 만족하는지 확인해 보겠습니다.

네, 만족합니다.

답: x=5

2 . 1이 아닌 거듭제곱에 대한 로그(특히 분수의 분모)를 포함하는 방정식. 이러한 방정식은 다음을 사용하여 풀 수 있습니다. 변수 변경 도입.

예.방정식을 풀어 봅시다:

ODZ 방정식을 찾아보겠습니다.

방정식에는 제곱된 로그가 포함되어 있으므로 변수 변경을 사용하여 풀 수 있습니다.

중요한! 대체를 도입하기 전에 로그의 속성을 사용하여 방정식의 일부인 로그를 "벽돌"로 "분리"해야 합니다.

로그를 "분리"할 때 로그의 속성을 매우 신중하게 사용하는 것이 중요합니다.

또한 여기에는 미묘한 점이 하나 더 있으며 일반적인 실수를 피하기 위해 중간 동등성을 사용합니다. 로그의 정도를 다음 형식으로 작성합니다.

비슷하게,

결과 표현식을 원래 방정식으로 대체해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

이제 우리는 미지수가 의 일부로 방정식에 포함되어 있음을 알 수 있습니다. 대체품을 소개해보자: . 실제 값을 취할 수 있으므로 변수에 어떠한 제한도 두지 않습니다.

이 단원에서는 로그에 대한 기본적인 이론적 사실을 검토하고 가장 간단한 로그 방정식을 푸는 방법을 고려할 것입니다.

중심 정의, 즉 로그의 정의를 떠올려 보겠습니다. 결정과 관련이 있습니다 지수 방정식. 이 방정식은 단일 근을 가지며, 이를 밑수 a에 대한 b의 로그라고 합니다.

정의:

밑수 a에 대한 b의 로그는 b를 얻기 위해 밑수 a를 올려야 하는 지수입니다.

우리가 당신에게 상기시켜 드리겠습니다 기본 로그 항등.

식(식 1)은 방정식(식 2)의 근입니다. x 대신 표현식 1의 값 x를 표현식 2로 대체하고 주요 로그 항등식을 얻습니다.

따라서 우리는 각 값이 값과 연관되어 있음을 알 수 있습니다. b를 x()로, c를 y로 표시하여 로그 함수를 얻습니다.

예를 들어:

로그 함수의 기본 속성을 기억해 보겠습니다.

로그 아래에는 로그의 밑수로서 엄격하게 긍정적인 표현이 있을 수 있으므로 여기서 다시 한 번 주목해 보겠습니다.

쌀. 1. 다양한 밑수를 갖는 로그 함수 그래프

함수의 그래프는 검정색으로 표시됩니다. 쌀. 1. 인수가 0에서 무한대로 증가하면 함수는 마이너스에서 플러스 무한대로 증가합니다.

함수의 그래프는 빨간색으로 표시됩니다. 쌀. 1.

이 기능의 속성:

도메인: ;

값 범위: ;

이 함수는 전체 정의 영역에서 단조롭습니다. 단조적으로(엄격하게) 증가하면, 더 높은 가치인수는 함수의 더 큰 값에 해당합니다. 단조적으로(엄격하게) 감소하는 경우 인수의 값이 클수록 함수의 값이 작아집니다.

로그 함수의 속성은 다양한 로그 방정식을 푸는 열쇠입니다.

가장 간단한 로그 방정식을 생각해 봅시다. 일반적으로 다른 모든 로그 방정식은 이 형식으로 축소됩니다.

로그의 밑과 로그 자체가 동일하므로 로그 아래의 함수도 동일하지만 정의 영역을 놓쳐서는 안 됩니다. 로그는 단지 성립할 수 있다 정수, 우리는 다음을 가지고 있습니다 :

우리는 함수 f와 g가 동일하다는 것을 알았으므로 ODZ를 준수하려면 부등식 중 하나를 선택하는 것으로 충분합니다.

따라서 방정식과 부등식이 있는 혼합 시스템이 있습니다.

일반적으로 부등식을 풀 필요는 없습니다. 방정식을 풀고 발견된 근을 부등식에 대입하여 검사를 수행하는 것으로 충분합니다.

가장 간단한 로그 방정식을 푸는 방법을 공식화해 보겠습니다.

로그의 밑을 균등화합니다.

하위 대수 함수를 동일시합니다.

점검을 수행하십시오.

구체적인 예를 살펴 보겠습니다.

예 1 - 방정식 풀기:

로그의 밑은 처음에는 동일합니다. 우리는 하위 로그 표현을 동일시할 권리가 있으며 ODZ를 잊지 말고 부등식을 구성하기 위해 첫 번째 로그를 선택합니다.

예 2 - 방정식 풀기:

이 방정식은 로그의 밑이 다음과 같다는 점에서 이전 방정식과 다릅니다. 1개 미만, 그러나 이는 어떤 식으로든 솔루션에 영향을 미치지 않습니다.

루트를 찾아 부등식에 대입해 보겠습니다.

잘못된 부등식을 받았습니다. 이는 발견된 루트가 ODZ를 충족하지 않음을 의미합니다.

예 3 - 방정식 풀기:

로그의 밑은 처음에는 동일합니다. 우리는 하위 로그 표현을 동일시할 권리가 있으며 ODZ를 잊지 말고 부등식을 구성하기 위해 두 번째 로그를 선택합니다.

루트를 찾아 부등식에 대입해 보겠습니다.

분명히 첫 번째 루트만이 DD를 만족합니다.