입구사인, 탄젠트의 코사인 및 각도의 코탄젠트 결정. 코사인과 사인의 정리. 직각삼각형과 삼각법
직각삼각형 풀이 문제를 고찰할 때 사인과 코사인의 정의를 암기하는 기술을 제시하겠다고 약속했습니다. 이를 사용하면 어느 쪽이 빗변에 속하는지(인접 또는 반대) 항상 빠르게 기억할 수 있습니다. 너무 오래 미루지 않기로 했고, 필요한 재료아래 내용을 꼭 읽어주세요 😉
사실 저는 10-11학년 학생들이 이러한 정의를 기억하는 데 어려움을 겪는 것을 반복해서 관찰했습니다. 그들은 다리가 빗변을 의미한다는 것을 아주 잘 기억합니다.- 그들은 잊어버리고 혼란스러운. 시험에서 알 수 있듯이 실수의 대가는 상실점입니다.
제가 직접 제시하는 정보는 수학과 관련이 없습니다. 그녀는 연결되어 있습니다 상상력이 풍부한 사고, 그리고 언어적, 논리적 의사소통 방법을 사용합니다. 그게 바로 내가 기억하는 방식이야, 영원히정의 데이터. 잊어버린 경우 제시된 기술을 사용하여 언제든지 쉽게 기억할 수 있습니다.
직각 삼각형에서 사인과 코사인의 정의를 상기시켜 드리겠습니다.
코사인 예각직각 삼각형에서 빗변에 대한 인접한 다리의 비율은 다음과 같습니다.
공동직각 삼각형의 예각은 빗변에 대한 대변의 비율입니다.
그렇다면 코사인이라는 단어와 어떤 연관성이 있습니까?
아마 다들 자기만의 것이 있을 거예요 😉링크를 기억하세요:
따라서 그 표현은 즉시 당신의 기억 속에 나타날 것입니다.
«… 빗변에 대한 ADJACENT 다리의 비율».
코사인을 결정하는 문제가 해결되었습니다.
직각삼각형에서 사인의 정의를 기억하고 코사인의 정의를 기억해야 한다면 직각삼각형의 예각의 사인이 빗변에 대한 대변의 비율이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 결국 다리는 두 개뿐입니다. 인접한 다리가 코사인으로 "점유"되면 반대쪽 다리만 사인으로 남습니다.
탄젠트와 코탄젠트는 어떻습니까? 혼란은 똑같습니다. 학생들은 이것이 다리의 관계라는 것을 알고 있지만 문제는 어느 쪽이 어느 쪽을 가리키는지, 즉 인접한 쪽의 반대쪽인지 아니면 그 반대인지 기억하는 것입니다.
정의:
접선직각 삼각형의 예각은 반대쪽과 인접한 쪽의 비율입니다.
코탄젠트직각 삼각형의 예각은 인접한 변과 대변의 비율입니다.
기억하는 방법? 두 가지 방법이 있습니다. 하나는 언어-논리적 연결을 사용하고 다른 하나는 수학적 연결을 사용합니다.
수학적 방법
그러한 정의가 있습니다 - 예각의 탄젠트는 각도의 사인과 코사인의 비율입니다.
*공식을 외우면 직각삼각형의 예각의 탄젠트가 대변과 인접변의 비율이라는 것을 항상 알 수 있습니다.
비슷하게.예각의 코탄젠트는 각도의 코사인과 사인의 비율입니다.
그래서! 이러한 공식을 기억하면 다음 사항을 항상 확인할 수 있습니다.
- 직각삼각형의 예각의 접선은 대변과 인접변의 비율입니다.
- 직각 삼각형의 예각의 코탄젠트는 인접한 다리와 반대쪽 다리의 비율입니다.
단어-논리적 방법
탄젠트에 대해서. 링크를 기억하세요:
즉, 접선의 정의를 기억해야 할 경우 이러한 논리적 연결을 이용하면 접선이 무엇인지 쉽게 기억할 수 있습니다.
"...인접한 변에 대한 반대쪽의 비율"
코탄젠트에 대해 이야기하면 탄젠트의 정의를 기억하면 코탄젠트의 정의를 쉽게 말할 수 있습니다.
“...인접한 면과 반대쪽의 비율”
웹사이트에는 탄젠트와 코탄젠트를 기억하는 흥미로운 방법이 있습니다. " 수학적 탠덤 " , 바라보다.
보편적인 방법
그냥 외워두시면 됩니다.그러나 실습에서 알 수 있듯이 언어-논리적 연결 덕분에 사람은 수학적 정보뿐만 아니라 오랫동안 정보를 기억합니다.
자료가 귀하에게 도움이 되었기를 바랍니다.
감사합니다, Alexander Krutitskikh
추신: 소셜 네트워크 사이트에 대해 알려주시면 감사하겠습니다.
사인, 코사인, 탄젠트, 각도의 코탄젠트는 직각삼각형을 이해하는 데 도움이 됩니다.
직각삼각형의 변을 뭐라고 부르나요? 맞습니다, 빗변과 다리: 빗변은 반대편에 있는 면입니다 직각(이 예에서는 \(AC\) 쪽입니다); 다리는 나머지 두 변 \(AB\) 및 \(BC\)(직각에 인접한 것)이며, 각도 \(BC\)에 상대적인 다리를 고려하면 다리 \(AB\)는 다음과 같습니다. 인접한 다리, 다리 \(BC\)는 반대편입니다. 이제 각도의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트가 무엇인지에 대한 질문에 답해 보겠습니다.
각도의 사인– 빗변에 대한 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.
우리의 삼각형에서는:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
각도의 코사인– 빗변에 대한 인접한(닫힌) 다리의 비율입니다.
우리의 삼각형에서는:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
각도의 탄젠트– 반대쪽(먼 쪽)과 인접한 쪽(가까운 쪽)의 비율입니다.
우리의 삼각형에서는:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
각도의 코탄젠트– 인접한(가까운) 다리와 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.
우리의 삼각형에서는:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
이러한 정의가 필요합니다 기억하다! 어느 다리를 무엇으로 나누어야 할지 기억하기 쉽도록 하기 위해서는 접선그리고 코탄젠트다리만 앉고 빗변은 공동그리고 코사인. 그런 다음 일련의 연관을 생각해 낼 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
코사인→터치→터치→인접;
코탄젠트→터치→터치→인접.
우선, 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트는 삼각형의 변의 비율이 (같은 각도에서) 이들 변의 길이에 의존하지 않는다는 것을 기억해야 합니다. 믿을 수 없어? 그런 다음 그림을 보고 확인하십시오.
예를 들어 각도 \(\beta\) 의 코사인을 생각해 보세요. 정의에 따르면 삼각형 \(ABC\)에서 다음과 같습니다. \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), 그러나 삼각형 \(AHI \)에서 각도 \(\beta \)의 코사인을 계산할 수 있습니다. \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). 보시다시피, 변의 길이는 다르지만 한 각도의 코사인 값은 같습니다. 따라서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 값은 각도의 크기에만 의존합니다.
정의를 이해했다면 계속해서 통합하세요!
아래 그림에 표시된 삼각형 \(ABC \)에 대해 다음을 찾습니다. \(\sin \ \알파 ,\ \cos \ \알파 ,\ tg\ \알파 ,\ ctg\ \알파 \).
\(\begin(배열)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(배열) \)
글쎄요, 이해하셨나요? 그런 다음 직접 시도해 보십시오. 각도 \(\beta \) 에 대해서도 동일하게 계산하십시오.
답변: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
단위(삼각) 원
각도와 라디안의 개념을 이해하면서 반지름이 \(1\) 인 원을 고려했습니다. 그러한 원을 호출합니다. 하나의. 삼각법을 공부할 때 매우 유용할 것입니다. 그러므로 조금 더 자세히 살펴보겠습니다.
보시다시피 이 원은 데카르트 좌표계로 구성됩니다. 원 반경 1과 같다, 원의 중심은 원점에 있지만 반지름 벡터의 초기 위치는 \(x\) 축의 양의 방향을 따라 고정됩니다(이 예에서는 반지름 \(AB\)임).
원의 각 점은 \(x\) 축 좌표와 \(y\) 축 좌표라는 두 숫자에 해당합니다. 이 좌표 번호는 무엇입니까? 그리고 일반적으로 그들은 당면한 주제와 어떤 관련이 있습니까? 이렇게 하려면 고려된 직각삼각형에 대해 기억해야 합니다. 위 그림에서 두 개의 완전한 직각삼각형을 볼 수 있습니다. 삼각형 \(ACG\) 을 고려하십시오. \(CG\)가 \(x\) 축에 수직이므로 직사각형입니다.
삼각형 \(ACG \)에서 \(\cos \ \alpha \)는 무엇입니까? 좋아요 \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). 게다가 우리는 \(AC\)가 반지름이라는 것을 알고 있습니다. 단위원, 이는 \(AC=1\) 을 의미합니다. 이 값을 코사인 공식에 대입해 보겠습니다. 일어나는 일은 다음과 같습니다.
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
삼각형 \(ACG \)에서 \(\sin \ \alpha \)는 무엇과 같습니까? 물론이죠. \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! 이 공식에 반경 \(AC\) 값을 대입하면 다음을 얻습니다.
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
그렇다면 원에 속한 점 \(C\)의 좌표는 무엇인지 알 수 있나요? 글쎄요? \(\cos \ \alpha \)와 \(\sin \alpha \)가 단지 숫자라는 것을 알게 되면 어떻게 될까요? \(\cos \alpha \)는 어떤 좌표에 해당합니까? 물론 좌표 \(x\) 입니다! 그리고 \(\sin \alpha \)는 어떤 좌표에 해당합니까? 그렇죠, 좌표 \(y\)! 그래서 요점은 \(C(x;y)=C(\cos \알파 ;\sin \알파) \).
그러면 \(tg \alpha \)와 \(ctg \alpha \)는 무엇입니까? 맞습니다. 탄젠트와 코탄젠트의 해당 정의를 사용하여 \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), ㅏ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
각도가 더 크면 어떨까요? 예를 들어, 이 그림과 같습니다:
이 예에서는 무엇이 변경되었나요? 그것을 알아 봅시다. 이를 위해 다시 직각삼각형으로 돌아가 보겠습니다. 직각삼각형 \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : 각도(각 \(\beta \) 에 인접한 각도)를 생각해 보세요. 각도에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 값은 무엇입니까 \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\베타 \ \)? 그렇습니다. 우리는 삼각함수의 해당 정의를 준수합니다.
\(\begin(배열)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\각 ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(배열) \)
보시다시피 각도의 사인 값은 여전히 좌표 \(y\) 에 해당합니다. 각도의 코사인 값 – 좌표 \(x\) ; 해당 비율에 대한 탄젠트 및 코탄젠트 값. 따라서 이러한 관계는 반경 벡터의 모든 회전에 적용됩니다.
반경 벡터의 초기 위치는 \(x\) 축의 양의 방향을 따른다는 것이 이미 언급되었습니다. 지금까지 우리는 이 벡터를 시계 반대 방향으로 회전시켰습니다. 그러나 시계 방향으로 회전하면 어떻게 될까요? 특별한 것은 없습니다. 특정 값의 각도도 얻을 수 있지만 이는 음수일 뿐입니다. 따라서 반경 벡터를 시계 반대 방향으로 회전하면 다음을 얻습니다. 양의 각도, 그리고 시계방향으로 회전할 때 – 부정적인.
따라서 원 주위의 반지름 벡터의 전체 회전은 \(360()^\circ \) 또는 \(2\pi \) 입니다. 반경 벡터를 \(390()^\circ \) 또는 \(-1140()^\circ \)로 회전할 수 있습니까? 물론 가능합니다! 첫 번째 경우, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \)따라서 반경 벡터는 한 바퀴 완전히 회전하고 \(30()^\circ \) 또는 \(\dfrac(\pi )(6) \) 위치에서 중지됩니다.
두 번째 경우에는 \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \)즉, 반지름 벡터는 완전히 세 번 회전하고 \(-60()^\circ \) 또는 \(-\dfrac(\pi )(3) \) 위치에서 중지됩니다.
따라서 위의 예에서 우리는 각도가 \(360()^\circ \cdot m \) 또는 \(2\pi \cdot m \)(여기서 \(m \)은 임의의 정수임)만큼 다르다는 결론을 내릴 수 있습니다. 반경 벡터의 동일한 위치에 해당합니다.
아래 그림은 각도 \(\beta =-60()^\circ \) 를 보여줍니다. 같은 이미지가 모서리에 해당합니다. \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)등. 이 목록은 무기한으로 계속될 수 있습니다. 이 모든 각도는 일반 공식으로 쓸 수 있습니다 \(\beta +360()^\circ \cdot m\)또는 \(\beta +2\pi \cdot m \) (여기서 \(m \)은 정수임)
\(\begin(배열)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(배열) \)
이제 기본 삼각 함수의 정의를 알고 단위원을 사용하여 값이 무엇인지 답해 보세요.
\(\begin(배열)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\텍스트(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(배열) \)
여기에 도움이 되는 단위원이 있습니다:
어려움이 있나요? 그럼 알아 봅시다. 그래서 우리는 다음을 알고 있습니다.
\(\begin(배열)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(배열)\)
여기에서 특정 각도 측정에 해당하는 점의 좌표를 결정합니다. 글쎄, 순서대로 시작하자 : 코너 \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)좌표가 \(\left(0;1 \right) \) 인 점에 해당하므로 다음과 같습니다.
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\오른쪽 화살표 \text(tg)\ 90()^\circ \)- 존재하지 않는다;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
또한 동일한 논리를 따르면 모서리가 \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )좌표가 있는 점에 대응 \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \오른쪽) \), 각각. 이를 알면 해당 지점의 삼각함수 값을 쉽게 결정할 수 있습니다. 먼저 직접 시도해보고 답을 확인해 보세요.
답변:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- 존재하지 않는다
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\오른쪽 화살표 \text(tg)\ 270()^\circ \)- 존재하지 않는다
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\오른쪽 화살표 \text(ctg)\ 2\pi \)- 존재하지 않는다
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- 존재하지 않는다
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
따라서 우리는 다음과 같은 표를 만들 수 있습니다.
이 값을 모두 기억할 필요는 없습니다. 단위원의 점 좌표와 삼각 함수 값 사이의 대응 관계를 기억하는 것으로 충분합니다.
\(\left.\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(기억하거나 표시할 수 있어야 합니다!! \) !}
그러나 각도의 삼각 함수 값과 \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)아래 표에 나와 있는 내용을 기억해야 합니다.
겁먹지 마세요. 이제 해당 값을 아주 간단하게 기억하는 한 가지 예를 보여 드리겠습니다.
이 방법을 사용하려면 세 가지 각도 측정 값 모두에 대한 사인 값을 기억하는 것이 중요합니다( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(삼)\)) 및 \(30()^\circ \) 의 각도 탄젠트 값. 이러한 \(4\) 값을 알면 전체 테이블을 복원하는 것이 매우 간단합니다. 코사인 값은 화살표에 따라 전송됩니다.
\(\begin(배열)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\\end(배열)\)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), 이를 알면 다음에 대한 값을 복원할 수 있습니다. \(\텍스트(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). 분자 "\(1 \)"은 \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \)에 해당하고 분모 "\(\sqrt(\text(3)) \)"는 다음에 해당합니다. \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . 코탄젠트 값은 그림에 표시된 화살표에 따라 전송됩니다. 이것을 이해하고 화살표가 있는 다이어그램을 기억한다면 표에서 \(4\) 값만 기억하면 충분할 것입니다.
원 위의 한 점의 좌표
원 중심의 좌표, 반지름, 회전 각도를 알고 원 위의 점(좌표)을 찾는 것이 가능합니까? 물론 가능합니다! 그것을 꺼내자 일반식점의 좌표를 찾으려면. 예를 들어, 여기 우리 앞에 원이 있습니다.
우리에게 그 점이 주어졌습니다. \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- 원의 중심. 원의 반지름은 \(1.5\) 입니다. 점 \(O\)를 \(\delta\)도만큼 회전시켜 얻은 점 \(P\)의 좌표를 구해야 합니다.
그림에서 볼 수 있듯이 \(P\) 점의 좌표 \(x\)는 세그먼트 \(TP=UQ=UK+KQ\)의 길이에 해당합니다. \(UK\) 세그먼트의 길이는 원 중심의 좌표 \(x\)에 해당합니다. 즉, \(3\) 과 같습니다. 세그먼트 \(KQ\)의 길이는 코사인의 정의를 사용하여 표현될 수 있습니다.
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\오른쪽 화살표 KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
그러면 우리는 점 \(P\)에 대한 좌표를 얻습니다. \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
동일한 논리를 사용하여 점 \(P\) 에 대한 y 좌표 값을 찾습니다. 따라서,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
그래서, 일반적인 견해점의 좌표는 다음 공식에 의해 결정됩니다.
\(\begin(배열)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(배열) \), 어디
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - 원 중심의 좌표,
\(r\) - 원의 반경,
\(\delta\) - 벡터 반경의 회전 각도.
보시다시피, 우리가 고려하고 있는 단위원의 경우 중심 좌표가 0이고 반경이 1이기 때문에 이러한 공식이 크게 줄어듭니다.
\(\begin(배열)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(배열) \)
귀하의 브라우저에서 Javascript가 비활성화되어 있습니다.계산을 수행하려면 ActiveX 컨트롤을 활성화해야 합니다!
지침
코사인을 구해야 한다면 각도임의의 삼각형에서는 코사인 정리를 사용해야 합니다.
각도가 예각인 경우: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
각도: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), 여기서 a, b는 모서리에 인접한 변의 길이이고, c는 모서리 반대쪽 변의 길이입니다.
코사인의 수학적 표기법은 cos입니다.
코사인 값은 1보다 크고 -1보다 작을 수 없습니다.
출처:
- 각도의 코사인을 계산하는 방법
- 단위원의 삼각함수
코사인- 이건 기본이야 삼각 함수모서리. 코사인을 결정하는 기능은 벡터 대수학에서 다양한 축에 대한 벡터 투영을 결정할 때 유용합니다.
지침
сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)
변 a, b, c가 각각 3, 4, 5mm인 삼각형이 있습니다.
찾다 코사인더 큰 변 사이의 각도.
변 a의 반대편 각도를 ?로 표시하면 위에서 도출된 공식에 따라 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0.8
답: 0.8.
삼각형이 직각이면 다음을 구하세요. 코사인각도에 대해서는 임의의 두 변의 길이를 아는 것만으로도 충분합니다( 코사인직각은 0).
변이 a, b, c인 직각삼각형이 있다고 가정합니다. 여기서 c는 빗변입니다.
모든 옵션을 고려해 보겠습니다.
cos를 찾으세요?(삼각형의) 변 a와 b의 길이를 알고 있는 경우
추가로 피타고라스 정리를 사용해 보겠습니다.
сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)
결과 공식이 올바른지 확인하기 위해 예제 1의 공식을 대체합니다.
몇 가지 기본 계산을 수행하면 다음을 얻습니다.
유사하게 발견됨 코사인직사각형으로 삼각형다른 경우에는:
알려진 a와 c(빗변 및 반대쪽 다리), cos를 찾으시나요?
сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.
예제에서 a=3 및 c=5 값을 대체하면 다음을 얻습니다.
b와 c(빗변과 인접 다리)로 알려져 있습니다.
왜냐면 찾아?
유사한 변환을 수행한 후(예제 2 및 3 참조), 이 경우 다음을 얻습니다. 코사인 V 삼각형매우 간단한 공식을 사용하여 계산됩니다.
파생된 공식의 단순성은 간단하게 설명할 수 있습니다. 실제로 모서리에 인접합니까? 다리는 빗변의 투영이며, 그 길이는 빗변의 길이에 cos?를 곱한 것과 같습니다.
첫 번째 예에서 b=4 및 c=5 값을 대체하면 다음을 얻습니다.
이는 우리의 모든 공식이 정확하다는 것을 의미합니다.
팁 5: 직각삼각형에서 예각을 찾는 방법
곧장 탄소삼각형은 아마도 역사적 관점에서 볼 때 가장 유명한 기하학적 도형 중 하나일 것입니다. 피타고라스의 “바지”는 “유레카!”와만 경쟁할 수 있습니다. 아르키메데스.
필요할 것이예요
- - 삼각형 그리기;
- - 자;
- - 각도기
지침
삼각형 내각의 합은 180도입니다. 직사각형에서 삼각형한 각도(직선)는 항상 90도이고 나머지는 예각입니다. 각각 90도 미만. 직사각형의 각도를 확인하려면 삼각형직선인 경우 눈금자를 사용하여 삼각형의 변을 측정하고 가장 큰 것을 결정합니다. 빗변(AB)이며 직각(C)의 반대편에 위치합니다. 나머지 두 변은 직각과 다리(AC, BC)를 이룬다.
어떤 각도가 예각인지 결정한 후에는 각도기를 사용하여 각도를 계산할 수 있습니다. 수학 공식.
각도기를 사용하여 각도를 결정하려면 각도기 중앙에 있는 눈금자의 특수 표시에 상단(문자 A로 표시)을 정렬합니다. 다리 AC는 상단 가장자리와 일치해야 합니다. 빗변 AB가 통과하는 지점을 각도기의 반원 부분에 표시합니다. 이 지점의 값은 각도(도)에 해당합니다. 각도기에 표시된 2개의 값이 있는 경우 예각의 경우 더 작은 값을 선택하고 둔각의 경우 더 큰 값을 선택해야 합니다.
Bradis 참고서에서 결과 값을 찾고 결과 수치가 어느 각도에 해당하는지 확인합니다. 우리 할머니들은 이 방법을 사용했습니다.
우리의 경우에는 계산 기능을 사용하면 충분합니다. 삼각법 공식. 예를 들어 내장된 Windows 계산기가 있습니다. "계산기" 애플리케이션을 실행하고 "보기" 메뉴 항목에서 "엔지니어링"을 선택합니다. 원하는 각도의 사인을 계산합니다(예: sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5).
계산기를 다음으로 전환하세요. 역함수, 계산기 디스플레이에서 INV 버튼을 클릭한 다음 아크사인 기능 버튼을 클릭합니다(디스플레이에 sin의 마이너스 1승으로 표시됨). 계산 창에 asind (0.5) = 30이라는 메시지가 나타납니다. 원하는 각도의 값은 30도입니다.
출처:
- Bradis 테이블(사인, 코사인)
수학에서 코사인 정리는 각도의 세 번째 변과 두 변을 찾아야 할 때 가장 자주 사용됩니다. 그러나 때로는 문제의 조건이 반대 방향으로 설정되는 경우도 있습니다. 즉, 주어진 세 변의 각도를 찾아야 합니다.
지침
두 변의 길이와 한 각의 값을 알고 있는 삼각형이 있다고 상상해 보십시오. 이 삼각형의 모든 각도는 서로 동일하지 않으며 변의 크기도 다릅니다. 각도 γ는 이 그림인 AB로 지정된 삼각형의 변 반대편에 있습니다. 이 각도와 나머지 변 AC 및 BC를 통해 코사인 정리를 사용하여 알 수 없는 삼각형의 변을 찾을 수 있으며, 이로부터 아래 공식이 도출됩니다.
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, 여기서 a=BC, b=AB, c=AC
코사인 정리는 일반화된 피타고라스 정리라고도 합니다.
이제 그림의 세 변이 모두 주어졌으나 각도 γ는 알 수 없다고 상상해 보십시오. a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ 형식을 알고 원하는 값이 각도 γ가 되도록 이 표현식을 변환합니다: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
그런 다음 위의 방정식을 약간 다른 형식(b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ)으로 바꾸세요.
그러면 이 표현식은 cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc로 변환되어야 합니다.
남은 것은 공식에 숫자를 대입하고 계산을 수행하는 것뿐입니다.
γ로 표시된 코사인을 찾으려면 아크 코사인이라고 하는 삼각법의 역으로 표현해야 합니다. 숫자 m의 아크 코사인은 각도 γ의 코사인이 m과 같은 각도 γ의 값입니다. 함수 y=arccos m은 감소하고 있습니다. 예를 들어, 각도 γ의 코사인이 1/2과 같다고 상상해 보세요. 그러면 각도 γ는 아크 코사인을 통해 다음과 같이 정의될 수 있습니다.
γ = 아크코사인, m = 아크코사인 1/2 = 60°, 여기서 m = 1/2입니다.
비슷한 방법으로, 알려지지 않은 다른 두 변과 함께 삼각형의 나머지 각도를 찾을 수 있습니다.
사인과 코사인은 "직접"이라고 불리는 두 가지 삼각 함수입니다. 그것들은 다른 것보다 더 자주 계산되어야 하며 오늘날 이 문제를 해결하기 위해 우리 각자는 상당한 옵션을 선택할 수 있습니다. 다음은 가장 많은 것 중 일부입니다. 간단한 방법.
지침
다른 계산 방법을 사용할 수 없는 경우 각도기, 연필, 종이를 사용하십시오. 코사인의 정의 중 하나는 직각 삼각형의 예각으로 제공됩니다. 이는 이 각도 반대쪽 다리 길이와 길이 사이의 비율과 같습니다. 한 각도가 직각(90°)이고 다른 각도가 계산하려는 각도인 삼각형을 그립니다. 변의 길이는 중요하지 않습니다. 측정하기 더 편리한 방식으로 그립니다. 원하는 다리와 빗변의 길이를 측정하고 편리한 방법으로 첫 번째를 두 번째로 나눕니다.
내장된 계산기를 사용하여 삼각함수의 가치를 활용해보세요. 검색 엔진 Nigma, 인터넷에 접속할 수 있다면. 예를 들어, 20° 각도의 코사인을 계산해야 한다면 홈페이지서비스 http://nigma.ru, 검색어 필드에 "cosine 20"을 입력하고 "Find!" 버튼을 클릭하세요. "도"를 생략하고 "코사인"이라는 단어를 cos로 바꿀 수 있습니다. 어떤 경우에도 검색 엔진은 소수점 이하 15자리(0.939692620785908)까지 정확한 결과를 표시합니다.
운영 체제와 함께 설치된 표준 프로그램을 엽니다. 윈도우 시스템, 인터넷에 접속할 수 없는 경우. 예를 들어, win과 r 키를 동시에 누른 다음 calc 명령을 입력하고 확인 버튼을 클릭하면 됩니다. 삼각 함수를 계산하기 위해 "엔지니어링" 또는 "과학적"(OS 버전에 따라 다름)이라는 인터페이스가 있습니다. 계산기 메뉴의 "보기" 섹션에서 원하는 항목을 선택하세요. 그런 다음 각도 값을 입력하고 프로그램 인터페이스에서 cos 버튼을 클릭하십시오.
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팁 8: 직각 삼각형의 각도를 결정하는 방법
직사각형은 모서리와 측면 사이의 특정 관계가 특징입니다. 그 중 일부 값을 알면 다른 값도 계산할 수 있습니다. 이를 위해 기하학의 공리와 정리를 기반으로 공식이 사용됩니다.
코사인은 삼각법의 주요 함수 중 하나이기도 한 잘 알려진 삼각 함수입니다. 직각 삼각형 각도의 코사인은 삼각형의 빗변에 대한 삼각형의 인접한 변의 비율입니다. 대부분의 경우 코사인의 정의는 직사각형 유형의 삼각형과 관련됩니다. 그러나 직사각형 삼각형에서 코사인을 계산하는 데 필요한 각도가 바로 이 직사각형 삼각형에 위치하지 않는 경우도 있습니다. 그러면 무엇을 해야 할까요? 삼각형 각도의 코사인을 찾는 방법은 무엇입니까?
직사각형 삼각형 각도의 코사인을 계산해야 한다면 모든 것이 매우 간단합니다. 이 문제에 대한 해결책이 포함된 코사인의 정의만 기억하면 됩니다. 다음과 같은 관계를 찾으면 됩니다. 인접한 다리, 삼각형의 빗변도 마찬가지입니다. 실제로 여기서 각도의 코사인을 표현하는 것은 어렵지 않습니다. 공식은 다음과 같습니다: - cosα = a/c, 여기서 "a"는 다리의 길이이고 변 "c"는 각각 빗변의 길이입니다. 예를 들어, 직각삼각형의 예각의 코사인은 이 공식을 사용하여 구할 수 있습니다.
임의의 삼각형 각도의 코사인이 무엇인지 관심이 있다면 코사인 정리가 도움이 되며 이러한 경우에 사용해야 합니다. 코사인 정리는 삼각형의 변의 제곱이 선험적이라는 것을 나타냅니다. 합계와 동일동일한 삼각형의 나머지 변의 제곱. 단, 이들 변의 곱을 두 변 사이에 있는 각도의 코사인으로 두 배로 곱하지 않음.
- 삼각형의 예각의 코사인을 구하려면 다음 공식을 사용해야 합니다: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
- 삼각형에서 둔각의 코사인을 구하려면 다음 공식을 사용해야 합니다: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). 공식의 지정(a 및 b)은 원하는 각도에 인접한 변의 길이이고, c는 원하는 각도에 반대되는 변의 길이입니다.
각도의 코사인은 사인 정리를 사용하여 계산할 수도 있습니다. 삼각형의 모든 변은 마주보는 각의 사인에 비례한다는 뜻입니다. 사인 정리를 사용하면 두 변과 한 변과 반대되는 각도, 또는 두 각도와 한 변에 대한 정보만 가지고 삼각형의 나머지 요소를 계산할 수 있습니다. 예를 들어 이것을 고려하십시오. 문제 조건: a=1; b=2; c=3. 변 "A"에 반대되는 각도는 α로 표시되며 공식에 따르면 다음과 같습니다. cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. 답: 1.
각도의 코사인을 삼각형이 아닌 다른 임의의 각도로 계산해야 하는 경우 기하학적 도형, 그러면 상황이 좀 더 복잡해집니다. 각도의 크기는 먼저 라디안 또는 도 단위로 결정되어야 하며 그런 다음 이 값에서 코사인을 계산해야 합니다. 숫자 값에 따른 코사인은 Bradis 테이블, 엔지니어링 계산기 또는 특수 수학 응용 프로그램을 사용하여 결정됩니다.
특수 수학적 응용 프로그램에는 특정 그림의 각도 코사인을 자동으로 계산하는 기능이 있을 수 있습니다. 이러한 응용 프로그램의 장점은 정답을 제공하고 사용자가 때때로 매우 복잡한 문제를 해결하는 데 시간을 낭비하지 않는다는 것입니다. 반면에 문제 해결을 위해 지속적으로 응용 프로그램을 사용하면 삼각형 각도의 코사인 및 기타 임의 수치를 찾는 수학적 문제를 해결하는 모든 기술이 손실됩니다.
나는 당신이 이보다 더 많은 자격이 있다고 생각합니다. 삼각법의 핵심은 다음과 같습니다.
- 돔, 벽, 천장 그리기
- 삼각함수는 그 이상도 이하도 아니다. 백분율이 세 가지 형태.
사인과 코사인에 대한 은유: 돔
삼각형 자체만 보는 대신 구체적인 실제 사례를 찾아 삼각형이 실제로 작동하는 모습을 상상해 보세요.
당신이 돔 한가운데에 있고 영화 프로젝터 스크린을 걸고 싶다고 상상해보십시오. 특정 각도 "x"에서 돔을 손가락으로 가리키면 화면이 이 지점에 매달려 있어야 합니다.
가리키는 각도에 따라 다음이 결정됩니다.
- sine(x) = sin(x) = 스크린 높이(바닥에서 돔 장착 지점까지)
- cosine(x) = cos(x) = 사용자로부터 화면까지의 거리(층별)
- 빗변, 화면 상단까지의 거리. 항상 동일하며 돔의 반경과 같습니다.
화면을 최대한 크게 하시겠습니까? 바로 위에 걸어두세요.
화면을 가능한 한 멀리 떨어지게 하시겠습니까? 수직으로 똑바로 걸어주세요. 이 위치에서는 화면의 높이가 0이 되며 요청한 대로 가장 멀리 매달려 있게 됩니다.
높이와 화면으로부터의 거리는 반비례합니다. 화면이 가까울수록 높이가 커집니다.
사인과 코사인은 백분율입니다.
아쉽게도 제가 공부하는 동안 삼각 함수 사인과 코사인이 백분율에 지나지 않는다고 설명하는 사람은 아무도 없었습니다. 해당 값의 범위는 +100%에서 0~-100%까지이거나 양의 최대값에서 0, 음의 최대값까지입니다.
내가 14루블의 세금을 냈다고 가정해 보겠습니다. 당신은 그것이 얼마인지 모릅니다. 하지만 내가 세금의 95%를 냈다고 하면 내가 단순히 횡령을 당했다는 뜻이라는 것을 이해하실 것입니다.
절대적인 높이는 아무 의미가 없습니다. 하지만 사인값이 0.95라면 TV가 돔 꼭대기에 거의 걸려 있다는 뜻입니다. 곧 그는 도달할 것이다 최대 높이돔 중앙에 있다가 다시 쇠퇴하기 시작합니다.
이 비율을 어떻게 계산할 수 있나요? 매우 간단합니다. 현재 화면 높이를 가능한 최대값(빗변이라고도 하는 돔의 반경)으로 나눕니다.
그렇기 때문에"코사인 = 대변/빗변"이라고 들었습니다. 관심을 받는 것이 전부입니다! 사인을 "가능한 최대값에서 현재 높이의 백분율"로 정의하는 것이 가장 좋습니다. (귀하의 각도가 "지하"를 가리키면 사인은 음수가 됩니다. 각도가 뒤에 있는 돔 지점을 향하면 코사인은 음수가 됩니다.)
단위원의 중심(반지름 = 1)에 있다고 가정하여 계산을 단순화해 보겠습니다. 나눗셈을 건너뛰고 높이와 동일한 사인을 취하면 됩니다.
각 원은 기본적으로 원하는 크기로 확대 또는 축소되는 단일 원입니다. 따라서 단위원 연결을 결정하고 그 결과를 특정 원 크기에 적용하십시오.
실험: 어떤 각도로든 촬영하여 무엇인지 확인하세요. 백분율높이와 너비가 다음과 같이 표시됩니다.
사인값의 증가 그래프는 단순한 직선이 아닙니다. 처음 45도는 높이의 70%를 차지하지만 마지막 10도(80°에서 90°)는 2%만 차지합니다.
이렇게 하면 더 명확해집니다. 원을 그리며 걷는 경우 0°에서 거의 수직으로 올라가지만 돔 상단에 접근하면 높이가 점점 덜 변경됩니다.
탄젠트와 시컨트. 벽
어느 날 이웃이 벽을 쌓았습니다. 바로 옆에당신의 돔으로. 창밖으로 보이는 너의 모습에 울었고 좋은 가격재판매를 위해!
하지만 이런 상황에서 어떻게든 승리할 수 있을까?
물론 예. 이웃집 벽에 영화 스크린을 걸면 어떨까요? 각도(x)를 목표로 하고 다음을 얻습니다.
- tan(x) = tan(x) = 벽의 화면 높이
- 당신으로부터 벽까지의 거리: 1 (이것은 돔의 반경입니다. 벽은 당신에게서 아무데도 움직이지 않습니다. 그렇죠?)
- secant(x) = sec(x) = 돔 중앙에 서 있는 사용자부터 매달린 스크린 상단까지의 "사다리의 길이"
접선 또는 화면 높이와 관련된 몇 가지 사항을 명확히 하겠습니다.
- 0부터 시작해서 무한히 높아질 수 있습니다. 벽에 화면을 점점 더 높이 늘려 좋아하는 영화를 볼 수 있는 무한한 캔버스를 만들 수 있습니다! (물론 이렇게 큰 규모의 경우 많은 돈을 지출해야 합니다.)
- 탄젠트는 사인의 확장 버전입니다! 그리고 돔의 꼭대기로 갈수록 사인의 증가는 느려지지만 접선은 계속해서 커집니다!
세칸수에게도 자랑거리가 있습니다.
- 시컨트는 1부터 시작하고(사다리는 바닥에 있고, 사용자에서 벽까지) 거기서부터 올라가기 시작합니다.
- 할선은 항상 접선보다 길다. 스크린을 걸 때 사용하는 기울어진 사다리는 스크린 자체보다 길어야겠죠? (비현실적인 크기의 경우 화면이 너무 길고 사다리를 거의 수직으로 배치해야 하는 경우 크기는 거의 동일합니다. 하지만 그래도 시컨트는 조금 더 길어집니다.)
값은 다음과 같습니다. 퍼센트. 화면을 50도 각도로 걸기로 결정한 경우 tan(50)=1.19입니다. 화면은 벽까지의 거리(돔 반경)보다 19% 더 큽니다.
(x=0을 입력하고 직관을 확인하십시오. tan(0) = 0 및 sec(0) = 1입니다.)
코탄젠트와 코시컨트. 천장
놀랍게도, 당신의 이웃이 이제 당신의 돔 위에 지붕을 짓기로 결정했습니다. (그 사람에게 무슨 문제가 있는 걸까요? 알몸으로 마당을 돌아다니는 동안 자신을 감시하는 것을 원하지 않는 것 같습니다...)
자, 이제 지붕에 출구를 만들고 이웃과 대화할 시간입니다. 경사각을 선택하고 공사를 시작합니다.
- 지붕 출구와 바닥 사이의 수직 거리는 항상 1(돔의 반경)입니다.
- cotangent(x) = cot(x) = 돔 상단과 출구 지점 사이의 거리
- cosecant(x) = csc(x) = 지붕까지의 경로 길이
접선과 시컨트는 벽을 나타내고 CO탄젠트와 COsecant는 천장을 나타냅니다.
이번 직관적인 결론은 이전 결론과 유사합니다.
- 각도를 0°로 잡으면 지붕으로의 출구는 결코 천장에 도달하지 않기 때문에 영원히 지속됩니다. 문제.
- 바닥과 90도 각도로 지붕을 만들면 지붕까지 가장 짧은 "사다리"를 얻을 수 있습니다. 코탄젠트는 0(지붕을 따라 전혀 움직이지 않고 엄격하게 수직으로 종료)과 같고 코시컨트는 1과 같습니다(“사다리의 길이”는 최소화됩니다).
연결 시각화
세 가지 사례를 모두 돔-벽-천장 조합으로 그리는 경우 결과는 다음과 같습니다.
글쎄, 그것은 여전히 같은 삼각형이지만 벽과 천장에 도달하도록 크기가 커졌습니다. 수직 변(사인, 탄젠트), 수평 변(코사인, 코탄젠트) 및 빗변(시컨트, 코시컨트)이 있습니다. (화살표를 통해 각 요소가 도달하는 위치를 확인할 수 있습니다. 코시컨트는 사용자로부터 지붕까지의 총 거리입니다.)
약간의 마법. 모든 삼각형은 동일한 동등성을 공유합니다.
피타고라스 정리(a 2 + b 2 = c 2)를 통해 각 삼각형의 변이 어떻게 연결되어 있는지 확인할 수 있습니다. 또한, "높이 대 너비" 비율도 모든 삼각형에 대해 동일해야 합니다. (가장 큰 삼각형에서 작은 삼각형으로 이동하면 됩니다. 예, 크기는 변경되었지만 변의 비율은 동일하게 유지됩니다.)
각 삼각형의 어느 쪽이 1(돔의 반지름)인지 알면 "sin/cos = tan/1"을 쉽게 계산할 수 있습니다.
나는 항상 단순한 시각화를 통해 이러한 사실을 기억하려고 노력해 왔습니다. 그림에서 이러한 종속성을 명확하게 확인하고 해당 종속성이 어디에서 왔는지 이해합니다. 이 기술은 건조한 공식을 암기하는 것보다 훨씬 낫습니다.
다른 각도도 잊지 마세요
잠깐... 탄젠트가 항상 1보다 작다고 생각하면서 하나의 그래프에 얽매이지 마세요. 각도를 늘리면 벽에 닿지 않고 천장에 도달할 수 있습니다.
피타고라스 연결은 항상 작동하지만 상대적인 크기는 다를 수 있습니다.
(사인과 코사인 비율은 돔 내에 포함되어 있기 때문에 항상 가장 작다는 것을 알 수 있습니다.)
요약하자면, 우리가 기억해야 할 것은 무엇입니까?
우리 대부분에게는 이것으로 충분하다고 생각합니다.
- 삼각법은 원 및 반복 간격과 같은 수학적 대상의 해부학을 설명합니다.
- 돔/벽/지붕 비유는 다양한 삼각 함수 간의 관계를 보여줍니다.
- 삼각 함수는 백분율로 나타나며 이를 시나리오에 적용합니다.
1 2 + cot 2 = csc 2 와 같은 공식을 외울 필요는 없습니다. 이는 사실에 대한 지식을 이해하는 것으로 간주하는 어리석은 테스트에만 적합합니다. 잠시 시간을 내어 돔, 벽, 지붕 형태로 반원을 그리고 요소에 라벨을 붙이면 모든 공식이 종이에 나타납니다.
응용: 역함수
모든 삼각 함수는 각도를 입력 매개변수로 사용하고 결과를 백분율로 반환합니다. 죄(30) = 0.5. 이는 30도 각도가 최대 높이의 50%를 차지한다는 의미입니다.
역삼각함수는 sin -1 또는 arcsin으로 표시됩니다. Asin은 다양한 프로그래밍 언어로도 작성되는 경우가 많습니다.
높이가 돔 높이의 25%라면 각도는 얼마입니까?
비율 표에서 시컨트를 1로 나눈 비율을 찾을 수 있습니다. 예를 들어 시컨트를 1로 나눈 값(가로에 대한 빗변)은 1을 코사인으로 나눈 값과 같습니다.
시컨트가 3.5라고 가정해 보겠습니다. 단위원 반지름의 350%입니다. 이 값은 벽에 대한 어떤 경사각에 해당합니까?
부록: 몇 가지 예
예: 각도 x의 사인을 구합니다.
지루한 작업입니다. 진부한 "사인 찾기"를 "최대값(빗변)에 대한 백분율로 나타낸 높이는 얼마입니까?"로 복잡하게 만들어 보겠습니다.
먼저 삼각형이 회전된 것을 확인하세요. 아무 문제가 없습니다. 삼각형에도 높이가 있으며 그림에서 녹색으로 표시됩니다.
빗변은 무엇과 같나요? 피타고라스의 정리에 따르면 우리는 다음을 알고 있습니다.
3 2 + 4 2 = 빗변 2 25 = 빗변 2 5 = 빗변
괜찮은! 사인은 삼각형의 가장 긴 변, 즉 빗변 높이의 백분율입니다. 이 예에서 사인은 3/5 또는 0.60입니다.
물론 우리는 여러 가지 방법으로 갈 수 있습니다. 이제 사인이 0.60이라는 것을 알았으므로 간단히 아크사인을 찾을 수 있습니다.
아신(0.6)=36.9
또 다른 접근 방식이 있습니다. 삼각형이 "벽을 향하고" 있으므로 사인 대신 탄젠트를 사용할 수 있습니다. 높이는 3이고 벽까지의 거리는 4이므로 접선은 3/4, 즉 75%입니다. 아크탄젠트를 사용하여 백분율 값에서 각도로 다시 이동할 수 있습니다.
탄 = 3/4 = 0.75 atan(0.75) = 36.9 예: 해변까지 수영해서 갈 건가요?
당신은 보트 안에 있고 2km를 이동할 수 있는 충분한 연료가 있습니다. 이제 해안에서 0.25km 떨어져 있습니다. 충분한 연료를 확보하기 위해 해안까지 최대 몇도까지 헤엄쳐 갈 수 있습니까? 문제 설명에 추가: 우리는 아크 코사인 값 테이블만 가지고 있습니다.
우리가 가진 것? 해안선는 우리의 유명한 삼각형에서 "벽"으로 표현될 수 있으며, 벽에 부착된 "사다리의 길이"는 보트로 해안까지 이동할 수 있는 최대 거리(2km)입니다. 시컨트가 나타납니다.
먼저 백분율로 이동해야합니다. 2 / 0.25 = 8입니다. 즉, 해안(또는 벽)까지의 직접 거리의 8배에 해당하는 거리를 수영할 수 있습니다.
"8의 시컨트가 무엇입니까?"라는 질문이 생깁니다. 하지만 우리는 아크코사인만 가지고 있기 때문에 대답할 수 없습니다.
이전에 파생된 종속성을 사용하여 시컨트를 코사인과 연관시킵니다. "sec/1 = 1/cos"
8의 시컨트는 ⅛의 코사인과 같습니다. 코사인이 ⅛인 각도는 acos(1/8) = 82.8과 같습니다. 그리고 이것은 지정된 양의 연료를 사용하여 보트에서 감당할 수 있는 가장 큰 각도입니다.
나쁘지 않죠? 돔-벽-천장 비유가 없었다면 저는 수많은 공식과 계산에 빠져 헤매었을 것입니다. 문제를 시각화하면 솔루션 검색이 크게 단순화되며 어떤 삼각 함수가 궁극적으로 도움이 될지 확인하는 것도 흥미롭습니다.
각 문제에 대해 다음과 같이 생각하십시오. 돔(sin/cos), 벽(tan/sec) 또는 천장(cot/csc)에 관심이 있습니까?
그리고 삼각법은 훨씬 더 재미있어질 것입니다. 당신을 위한 쉬운 계산!