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교환소에서 하시면 됩니다. 통합 국가 시험을 위한 동전 변경

문제 공식화:교환소에서는 두 가지 작업 중 하나를 수행할 수 있습니다. K 금화의 경우 M 은화와 구리 1개를 얻을 수 있습니다. N개의 은화에 대해 P개의 금과 1개의 구리를 얻습니다. 니콜라스는 은화만 가지고 있었습니다. 여러 번 환전소를 방문한 후 그의 은화는 작아졌고 금화는 나타나지 않았지만 R 구리 동전은 나타났습니다. 니콜라스의 은화 개수는 얼마나 줄어들었나요?

동전 문제는 11학년 20번(독창성의 문제)에 대한 기본 수준 수학의 통합 상태 시험의 일부입니다.

이러한 문제가 어떻게 해결되는지 예제를 통해 살펴보겠습니다.

예시 작업:

교환소에서는 두 가지 작업 중 하나를 수행할 수 있습니다. 금화 2개로 은화 3개와 구리 1개를 얻을 수 있습니다. 은화 5개로 금 3개와 구리 1개를 얻을 수 있습니다. 니콜라스는 은화만 가지고 있었습니다. 환전소를 여러 번 방문한 후 그의 은화는 작아졌고 금화는 나타나지 않았지만 구리 동전 50 개가 나타났습니다. 니콜라스의 은화 개수는 얼마나 줄어들었나요?

편의를 위해 우리는 각 교환 후 현재 금, 은, 구리 코인의 수를 포함하는 테이블을 구축할 것입니다.

거래 번호	금화의 수	은화 개수	구리 동전의 수
0	0	엑스	0
1	0 + 3 = 3	엑스 - 5	0 + 1 = 1
2	3 - 2 = 1	X - 5 + 3 = X - 2	1 + 1 = 2
3	1 + 3 = 4	X - 2 - 5 = X - 7	2 + 1 = 3
4	4 - 2 = 2	X - 7 + 3 = X - 4	3 + 1 = 4
5	2 - 2 = 0	X - 4 + 3 = X - 1	4 + 1 = 5
...	...	...	...
50	0	X - (5 * 2 + 3 * 3) * 10 = X - 100 + 90 = X - 10	50

0단계에서 Nikolai는 여러 개의 은화(X)를 가지고 있지만 금화나 구리 동전은 없습니다. 첫 번째 작업은 은화 5개를 금 3개와 구리 1개로 교환하는 것뿐입니다. 우리는 금화 3개, X-5 은화, 구리 동전 1개가 있다는 것을 알게 되었습니다.

다음으로, 모든 교환의 결과로 Nikolai의 금화가 부족해지기 때문에 금화를 제거하려고 시도할 수 있습니다. 금화 2개를 은화 3개와 구리 1개로 교환합니다. 두 번째 단계 이후에는 금화 1개만 남았으므로 세 번째 작업에서는 다시 은화를 교환해야 합니다. 그리고 네 번째와 다섯 번째는 금화를 없앨 수 있습니다.

이 다섯 단계를 완료하고 나면 몇 가지 결론을 내릴 수 있습니다. 첫째, 새로운 단계를 밟을 때마다 새로운 구리 동전이 생깁니다. 결과는 50개의 구리 동전이어야 하므로 완료하려면 정확히 50개의 단계가 있다는 결론을 내릴 수 있습니다. 둘째, 5단계를 거쳐 우리는 금화를 받고 이를 제거하는데, 이는 결과적으로 요구되는 것입니다. 총 단계 수(50)를 5로 나누면 이 단계를 10번 반복해야 하며 금화가 없고 정확히 50개의 구리 동전이 있으며 은화의 수는 다음과 같습니다. 감소할 것입니다.

남은 것은 은화의 수가 얼마나 감소했는지 계산하는 것입니다. 5단계에서 은화가 5개씩 2배 감소하고, 3개가 3배 증가하여 은화가 1개가 줄어듭니다. 이 다섯 단계를 정확히 10번 반복하면 은화가 10개씩 줄어들게 됩니다. 이것이 답입니다.

우리는 계속해서 결승전을 준비하고 있다 주정부 인증. 오늘 우리는 문제를 해결합니다
기본으로 제공되는 통합 상태 시험 수준수학 번호 20. 문제는 공개 문제 은행에서 가져옵니다.

과제 20.

환전소에서는 다음 두 가지 작업 중 하나를 수행할 수 있습니다.

· 금화 2개로 은화 3개와 구리 1개를 얻습니다.

· 은화 5개로 금 3개와 구리 1개를 얻습니다.

니콜라스는 은화만 가지고 있었습니다. 여러 번 환전소를 방문한 후 그의 은화는 작아졌고 금화는 나타나지 않았지만 구리 동전 100 개가 나타났습니다. 니콜라스의 은화 개수는 얼마나 줄어들었나요?

해결책:

조건에 따라 평등이 있습니다(약어: gm - 금화, cm - 은화, mm - 구리 동전).

2gp = 3cm + 1mm,

5cm = 3gp + 1mm.

니콜라스는 은화만 갖고 있었고, 교환 후에는 은화가 남고 동화가 등장했기 때문에, 교환 때 등장한 금화는 모두 다시 교환되었다.

두 번째 평등에서 우리는 은화 10개로 금 6개와 구리 2개를 받았다는 것을 알 수 있습니다.

10cm = 6gp + 2mm. 그러나 첫 번째 평등에서 우리는 금화 6개로 은화 9개와 구리 3개를 받는다는 것을 알 수 있습니다.

6gp = 9cm + 3mm. 이러한 교환 결과 은화 10개가 아닌 9개가 남았으나 동화 5개가 나타났다. 즉, 은화 1개는 구리화 5개와 같습니다. 그에게는 구리 100닢이 있으므로 은 20닢을 주었읍니다.

답 20.

비슷한 문제를 푸는 연습을 해보세요.

· 은화 8개로 금 5개와 구리 1개를 얻습니다.

나타나지 않았지만 45 개의 구리가 나타났습니다. 니콜라스의 은화 개수는 얼마나 줄어들었나요?

2. 환전소에서는 다음 두 가지 작업 중 하나를 수행할 수 있습니다.

· 금화 4개로 은화 5개와 구리 1개를 얻습니다.

· 은화 7개로 금 5개와 구리 1개를 얻습니다.

니콜라스는 은화만 가지고 있었습니다. 여러 번 환전소를 방문한 후, 그는 은화와 금화의 수가 적어졌습니다.
나타나지 않았지만 구리 90 개가 나타났습니다. 니콜라스의 은화 개수는 얼마나 줄어들었나요?

3. 환전소에서는 다음 두 가지 작업 중 하나를 수행할 수 있습니다.

· 금화 5개로 은화 7개와 구리 1개를 얻습니다.

· 은화 10개로 금 7개와 구리 1개를 얻습니다.

니콜라스는 은화만 가지고 있었습니다. 여러 번 환전소를 방문한 후, 그는 은화와 금화의 수가 적어졌습니다.
나타나지 않았지만 구리 60 개가 나타났습니다. 니콜라스의 은화 개수는 얼마나 줄어들었나요?

한 가난한 사람은 대장간에서 일하기 위해 고용되어 그곳에서 20년 동안 일하고 곧 떠날 예정이었습니다.

그는 대장장이에게 “내 일의 대가를 지불해 주세요”라고 요청했습니다. "나는 집에 가서 그곳에서 무슨 일이 일어나고 있는지 알아보기로 결정했습니다."

대장장이는 그에게 “1~2년 더 일하세요”라고 물었다. "나는 내 아들처럼 당신에게 익숙합니다." 당신은 대장간에서 내 오른손이었습니다.

“할 수 없어요.” 직원이 대답했다. - 마을을 떠날 때 젊은 아내를 그곳에 남겨두고 떠났습니다. 그녀는 나를 20년 동안 기다리겠다고 맹세했습니다. 이제 돌아가야 할 때입니다. 그로부터 20년이 지났고 올해도 돌아오지 않으면 아내가 집을 떠날 것이기 때문입니다.

자, 이 일이니까 가세요.” 대장장이가 말했다. “그냥 갚아버리자.”

대장장이는 일꾼을 비밀의 방으로 데려가 상자를 열고 금화 3개를 꺼냈습니다.

당신은 나를 충실히 섬겼으니 나는 당신이 한 일에 대한 대가를 전액 갚고 싶습니다. 하지만 나는 부자가 아닙니다. 망치와 모루로는 부자가 될 수 없습니다. 나한테는 금화 세 개밖에 없어. 가져가세요. 그다지 많은 금액은 아니지만 진심을 다해 드렸습니다. 내가 필요하다면 나에게로 오세요. 나는 당신에게 내 대장간이라도 줄 준비가 되어 있습니다.

일꾼은 금 세 닢을 들고 대장장이에게 작별 인사를 한 뒤 그의 마을로 갔다. 길을 따라 세 명의 여행자가 그를 따라 잡았습니다. 두 명의 젊은이가 인피 신발을 신고 걸었고 세 번째는 백발의 노인이 그의 지지대에 간신히 절뚝 거리고있었습니다. 젊은 여행자들은 그 직원에게 그가 어디서 왔는지, 무엇을 하는지, 얼마를 벌는지 물었습니다. 일꾼이 그들에게 말하기 시작했고, 노인은 아무 말도 없이 길가 덤불 사이에서 지저귀는 새들의 소리를 듣고 콧수염 사이로 미소를 지었다.

이 말없는 노인은 누구인가? -대장장이 조수에게 물었습니다.

그 사람은 왜 그렇게 웃고 있는 걸까?

그는 새들의 언어를 알고 있기 때문에 길가 덤불에 앉아 있는 새들의 유쾌한 대화에 귀를 기울입니다.

왜 그는 항상 침묵합니까? - 직원이 다시 물었습니다.

그가 말하는 모든 말에는 돈이 들기 때문입니다.

그 사람은 얼마를 청구하나요?

두세 단어 - 황금색.

그 노동자는 주머니에 금화 세 닢을 가지고 있었고 이렇게 생각했습니다.

“나는 가난한 사람이고, 이 수염 난 노인에게 금화 한 닢을 준다고 해서 더 가난해질 것 같지는 않습니다. 하지만 나는 그가 나에게 말하는 것을 듣게 될 것입니다.”

그는 주머니에서 금화 한 닢을 꺼내 노인에게 건넸습니다.

진흙탕 강에 들어가지 마세요! -노인이 말하고 다시 침묵했습니다.

“멋진 노인님! 그는 새의 언어를 알고 두세 단어로 금을 얻을 수 있습니다. 나는 궁금해

내가 그에게 두 번째 금을 주면 그가 나에게 말해줄까요?”

그리고 그는 다시 주머니에 손을 뻗었습니다.

노인은 두 번째 금을 가져갔습니다.

독수리가 땅 위를 맴돌고 있는 것을 보면 가서 무슨 일이 일어나고 있는지 알아보세요! -노인이 말하고 다시 침묵했습니다.

직원은 머리를 긁적이며 이렇게 생각했습니다.

“그 사람이 하는 말을 보세요! 나는 독수리가 빙빙 도는 것을 여러 번 보았지만 무슨 일이 일어나고 있는지 알아보기 위해 멈추지 않았습니다. 나는 그 노인에게 세 번째 금화를 줄 것입니다. 그 사람이 있든 없든 무슨 일이 일어나든 상관없습니다.”

세 번째로 그는 주머니에 손을 넣어 꺼냈다. 마지막 동전그리고 그것을 노인에게 건넸다.

노인은 금을 받아들고 이렇게 말했습니다.

무엇이든 결정하기 전에 25까지 세십시오.

네 사람은 한동안 걷다가 갈림길에 멈춰서 작별 인사를 했습니다. 아버지와 아들은 더 멀리 나아갔고, 대장장이의 조수는 그의 마을로 향했습니다. 그는 강에 접근했습니다. 그것은 위협적인 포효와 함께 나뭇잎, 가지, 나무 전체를 끌고 끓고 끓었습니다. 일꾼은 침묵하는 노인의 첫 번째 조언을 기억하고 진흙탕에 들어가지 않았습니다. 그는 물가에 앉아 가방에서 빵을 꺼냈습니다.

“먼저 식사를 하고 나서 다리나 여울목을 찾아보겠습니다.”라고 그는 결정했습니다.

이때 발굽 소리가 들렸다. 길가에 백마를 탄 상인이 나타났다.

상인은 “형님, 왜 반대편으로 건너가지 않았나요?”라고 소리쳤습니다.

난 감히 험난한 물속으로 들어가지 못해요. “정말 기이하다!” -상인을 생각하고 말에 박차를 가했습니다.

종마가 달려들었다 깊은 강. 강한 물살이 그를 기수와 함께 끌어올려 강 아래로 데려갔습니다. 그들은 돌고 돌고있었습니다. 기수는 소용돌이에 빠져 숨이 막혀 익사했고, 말은 짐에서 벗어나 뒤로 돌아 해변으로 올라갔습니다. 물이 그것에서 시내로 흘러 나왔습니다. 일꾼은 말을 잡고 말에 올라 다리를 발견하고 반대편으로 이동하여 마을을 향해 질주했습니다. 계곡을 지나갈 때 그는 세 마리의 큰 독수리가 그 위로 돌고 있는 것을 보았습니다.

기수는 "거기에 무엇이 있는지 알아보겠다"고 생각하고 말에서 내려 덤불 속으로 달려갔습니다. 작은 공터에서 그는 긴뿔딱정벌레 두 마리가 죽어 누워 있는 것을 보았습니다. 그리고 그 옆에는 금화가 가득 담긴 가죽 가방이 놓여 있었습니다. 이들은 강도였습니다. 밤에 그들은 누군가를 강탈하고 움푹 들어간 곳으로 와서 전리품을 나누기 시작했지만 합의에 이르지 못하고 권총을 꺼내 서로를 죽였습니다.

우리 여행자는 가방을 들고 권총 중 하나를 벨트에 넣고 계속 길을 갔습니다. 저녁이 되자 그는 집에 도착했습니다. 그는 문을 열고 마당으로 달려가 말에서 뛰어 내려 그를 캐노피 아래 묶고 집으로 갔다. 들어가기 전에 그는 이렇게 생각했다.

“창문을 통해 아내가 무엇을 하고 있는지 살펴보겠습니다.”

창문이 열려 있었습니다. 방에 불이 켜져 있었어요. 방 한가운데에는 탁자가 놓여 있었고 그 위에는 두 사람이 앉아 있었습니다. 아내와 남자가 창을 등지고 있었습니다. 그를 본 대장장이의 전 조수는 놀라서 몸을 떨며 이렇게 생각했습니다.

“정말 불성실한 여자군요! 내가 돌아올 때까지 나와 결혼하지 않겠다고 맹세했고, 내 집에서 다른 남자와 함께 살고 있다”고 말했다.

그는 권총을 꺼내 조준했다. 그러나 바로 그 순간 그는 자신의 마지막 금을 바친 노인의 말을 기억했습니다. “무엇이든 결정하기 전에 25까지 세십시오.” “25까지 센 다음 쏠 게요.”라고 그는 생각했습니다. 그들은 탈출할 시간이 없을 것입니다.

어머니, 내일 저는 아버지를 찾으러 세계를 돌아다닐 것입니다. 그 사람 없이는 나에게 힘들다. 그 사람이 떠난 지 몇 년이 지났나요?

스물아들아. 네 아버지가 떠났을 때 너는 태어난 지 석 달밖에 안 됐어.

글쎄요! “계산을 시작하지 않았다면 문제를 일으켰을 것입니다.” 전직 대장장이 조수가 겁에 질려 창밖으로 소리쳤다.

아들, 아내, 오랫동안 기다려온 손님을 만나러 나오십시오.

우리는 최종 주 인증을 위한 준비를 계속하고 있습니다. 오늘 우리는 문제를 해결합니다
에서 제공되는 기본 레벨수학 통합 국가 시험 번호 20. 문제는 공개 과제 은행에서 가져옵니다.