역도함수 중 하나의 함수 그래프가 주어지면

직선 y=3x+2는 함수 y=-12x^2+bx-10의 그래프에 접합니다. 접선점의 가로좌표가 0보다 작은 경우 b를 구합니다.

솔루션 표시

해결책

x_0을 이 그래프에 대한 접선이 통과하는 함수 y=-12x^2+bx-10의 그래프에서 점의 가로좌표로 설정합니다.

x_0 지점의 도함수 값은 다음과 같습니다. 경사접선, 즉 y"(x_0)=-24x_0+b=3입니다. 반면 접선점은 함수의 그래프와 접선 모두에 동시에 속합니다. 즉 -12x_0^2+bx_0- 10=3x_0+2 방정식 시스템을 얻습니다. \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(건)

이 연립방정식을 풀면 x_0^2=1을 얻습니다. 이는 x_0=-1 또는 x_0=1을 의미합니다. 가로좌표 조건에 따르면 접선 지점은 0보다 작으므로 x_0=-1, b=3+24x_0=-21입니다.

답변

상태

그림은 함수 y=f(x)(3개의 직선 세그먼트로 구성된 점선)의 그래프를 보여줍니다. 그림을 사용하여 F(9)-F(5)를 계산합니다. 여기서 F(x)는 함수 f(x)의 역도함수 중 하나입니다.

솔루션 표시

해결책

뉴턴-라이프니츠 공식에 따르면, F(x)가 함수 f(x)의 역도함수 중 하나인 차이 F(9)-F(5)는 제한된 곡선 사다리꼴의 면적과 같습니다. 함수 y=f(x), 직선 y=0 , x=9 및 x=5의 그래프로. 그래프에서 우리는 표시된 곡선 사다리꼴이 밑변이 4와 3이고 높이가 3인 사다리꼴임을 확인합니다.

그 면적은 동일하다 \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

답변

출처: “수학. 2017년 통합국가시험 준비. 프로필 수준" 에드. F. F. Lysenko, S. Yu.

상태

그림은 y=f"(x)의 그래프를 보여줍니다 - 구간 (-4; 10)에 정의된 함수 f(x)의 도함수입니다. 감소하는 함수 f(x)의 구간을 찾으세요. 답은 다음과 같습니다. 그 중 가장 큰 길이를 나타냅니다.

솔루션 표시

해결책

알려진 바와 같이 함수 f(x)는 도함수 f"(x)가 0보다 작은 각 지점의 간격에서 감소합니다. 가장 큰 길이를 찾아야 한다는 점을 고려하면 이러한 간격 3개는 다음과 같습니다. 그림과 자연스럽게 구별됩니다: (-4; -2) ; (0; 3);

가장 큰 길이 - (5; 9)는 4입니다.

답변

출처: “수학. 2017년 통합국가시험 준비. 프로필 수준." 에드. F. F. Lysenko, S. Yu.

상태

그림은 y=f"(x)의 그래프를 보여줍니다 - 구간 (-8; 7)에 정의된 함수 f(x)의 도함수입니다. 다음에 속하는 함수 f(x)의 최대 점 수를 찾습니다. 간격 [-6;

솔루션 표시

해결책

그래프는 함수 f(x)의 도함수 f"(x)가 간격 [ -6; -2 ] 따라서 간격 [-6; -2]에는 정확히 1개의 최대 지점이 있습니다.

답변

출처: “수학. 2017년 통합국가시험 준비. 프로필 수준." 에드. F. F. Lysenko, S. Yu.

상태

그림은 구간 (-2; 8)에 정의된 함수 y=f(x)의 그래프를 보여줍니다. 함수 f(x)의 도함수가 0과 같은 점의 수를 결정합니다.

솔루션 표시

해결책

0에 대한 점에서 도함수의 동일성은 이 점에서 그려진 함수 그래프의 접선이 Ox 축과 평행하다는 것을 의미합니다. 따라서 함수 그래프의 접선이 Ox 축과 평행한 지점을 찾습니다. 이 차트에서 이러한 지점은 극한 지점(최대 또는 최소 지점)입니다. 보시다시피 5개의 극단점이 있습니다.

답변

출처: “수학. 2017년 통합국가시험 준비. 프로필 수준." 에드. F. F. Lysenko, S. Yu.

상태

직선 y=-3x+4는 함수 y=-x^2+5x-7의 그래프에 대한 접선과 평행합니다. 접선점의 가로좌표를 찾습니다.

솔루션 표시

해결책

임의의 점 x_0에서 함수 y=-x^2+5x-7의 그래프에 대한 직선의 각도 계수는 y"(x_0)와 같습니다. 그러나 y"=-2x+5, 이는 y"를 의미합니다. (x_0)=-2x_0+5. 조건에 지정된 선 y=-3x+4의 계수는 -3입니다. 따라서 평행선은 동일한 각도 계수를 갖습니다. -2x_0 +5=-3.

우리는 x_0 = 4를 얻습니다.

답변

출처: “수학. 2017년 통합국가시험 준비. 프로필 수준." 에드. F. F. Lysenko, S. Yu.

상태

그림은 함수 y=f(x)의 그래프를 보여주며, 가로좌표에는 -6, -1, 1, 4 지점이 표시되어 있습니다. 다음 중 어느 지점에서 도함수가 가장 작습니까? 답변에 이 점을 표시해 주십시오.

51. 그림은 그래프를 보여줍니다 y=f "(x)- 함수의 파생물 에프엑스(F(x)),구간(− 4; 6)에 정의됩니다. 함수 그래프의 접선이 되는 점의 가로좌표를 찾습니다. y=f(x) 선과 평행 y=3x또는 그에 부합합니다.

답: 5

52. 그림은 그래프를 보여줍니다 y=F(x) 에프엑스(f(x)) 에프엑스(f(x))긍정적인?

답: 7

53. 그림은 그래프를 보여줍니다 y=F(x)일부 함수의 역도함수 중 하나 에프(엑스) 및 8개의 점이 x축에 표시됩니다. x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8.함수는 이 점 중 몇 개에 있습니까? 에프엑스(f(x))부정적인?

답: 3

54. 그림은 그래프를 보여줍니다 y=F(x)일부 함수의 역도함수 중 하나 에프엑스(f(x)) x축에는 10개의 점이 표시되어 있습니다. x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. 함수는 이 점 중 몇 개에 있습니까? 에프엑스(f(x))긍정적인?

답: 6

55. 그림은 그래프를 보여줍니다 y=F(x 에프엑스(F(x)),구간(− 7; 5)에서 정의됩니다. 그림을 사용하여 방정식의 해 개수를 결정합니다. 에프(엑스)=0세그먼트에서 [− 5;  2].

답: 3

56. 그림은 그래프를 보여줍니다 y=F(x)일부 함수 f의 역도함수 중 하나 (엑스),구간(− 8; 7)에서 정의됩니다. 그림을 사용하여 방정식의 해 개수를 결정합니다. 에프(엑스)=간격 [− 5;  5].

답: 4

57. 그림은 그래프를 보여줍니다 y=F(엑스) 일부 함수의 역도함수 중 하나 에프(엑스), 간격(1;13)에 정의됩니다. 그림을 사용하여 방정식의 해 개수를 결정합니다. 에프 (엑스)=0 세그먼트에서 .

답: 4

58. 그림은 특정 기능의 그래프를 보여줍니다 y=f(x)(공통 시작점이 있는 두 개의 광선) 그림을 이용하여 계산해 보세요. F(−1)−F(−8),어디 에프엑스(F(x)) 에프엑스(f(x)).

답: 20

59. 그림은 특정 기능의 그래프를 보여줍니다 y=f(x) (공통 시작점이 있는 두 개의 광선). 그림을 이용하여 계산해 보세요. F(−1)−F(−9),어디 에프엑스(F(x))- 기본 기능 중 하나 에프엑스(f(x)).

답: 24

60. 그림은 특정 기능의 그래프를 보여줍니다. y=f(x). 기능

-원시적인 기능 중 하나 에프엑스(f(x)).음영처리된 그림의 넓이를 구하세요.

답: 6

61. 그림은 특정 기능의 그래프를 보여줍니다. y=f(x).기능

원시적인 기능 중 하나 에프엑스(f(x)). 음영처리된 그림의 면적을 구합니다.

답: 14.5

함수 그래프의 접선에 평행

답:0.5

접선점의 가로좌표를 찾습니다.

답: -1

함수의 그래프에 접한다

찾다 씨.

답: 20

함수의 그래프에 접한다

찾다 ㅏ.

답:0.125

함수의 그래프에 접한다

찾다 비, 접선점의 가로좌표가 0보다 크다는 점을 고려합니다.

답: -33

67. 물질점은 법칙에 따라 직선으로 움직인다

어디 엑스 티- 움직임이 시작된 순간부터 측정된 시간(초)입니다. 어느 시점(초)에 속도가 96m/s였습니까?

답: 18

68. 물질점은 법칙에 따라 직선으로 움직인다

어디 엑스- 기준점으로부터의 거리(미터), 티- 움직임이 시작된 순간부터 측정된 시간(초)입니다. 어느 시점(초)에 속도가 48m/s였습니까?

답: 9

69. 물질점은 법칙에 따라 직선으로 움직인다

어디 엑스 티 티=6 와 함께.

답: 20

70. 물질점은 법칙에 따라 직선으로 움직인다

어디 엑스- 기준점으로부터의 거리(미터), 티- 이동 시작부터 측정된 시간(초)입니다. 그 순간의 속도(m/s 단위)를 구하세요. 티=3 와 함께.

답: 59

안녕하세요 친구! 이번 글에서는 역도함수에 대한 작업을 살펴보겠습니다. 이러한 작업은 수학 통합 상태 시험에 포함됩니다. 섹션 자체(미분과 통합)는 대수학 과정에서 상당히 방대하고 이해에 대한 책임감 있는 접근 방식이 필요하다는 사실에도 불구하고 수학의 개방형 작업 은행에 포함되어 있으며 통합에서는 매우 간단할 작업 자체입니다. 주 시험은 한두 단계로 해결할 수 있습니다.

역도함수의 본질, 특히 적분의 기하학적 의미를 정확히 이해하는 것이 중요합니다. 이론적 기초를 간단히 살펴 보겠습니다.

적분의 기하학적 의미

적분에 대해 간단히 말하면 다음과 같이 말할 수 있습니다. 적분은 면적입니다.

정의: 선분에 정의된 양의 함수 f의 그래프를 좌표평면에 나타내자. 하위 그래프(또는 곡선 사다리꼴)는 함수 f의 그래프, x = a 및 x = b 선과 x축으로 둘러싸인 도형입니다.

정의: 유한 세그먼트에 정의된 양의 함수 f가 주어지도록 합니다. 세그먼트에서 함수 f의 적분은 해당 하위 그래프의 영역입니다.

이미 말했듯이 F′(x) = f(x).우리는 어떤 결론을 내릴 수 있습니까?

간단 해. 우리는 F′(x) = 0인 이 그래프에 몇 개의 점이 있는지 결정해야 합니다. 우리는 함수 그래프의 접선이 x 축과 평행한 점에서 알고 있습니다. 구간 [–2;4]에 다음 점을 표시해 보겠습니다.

이는 주어진 함수 F(x)의 극점입니다. 10개가 있습니다.

답: 10

323078. 그림은 특정 함수 y = f(x)(공통 시작점을 갖는 두 개의 광선)의 그래프를 보여줍니다. 그림을 사용하여 F(8) – F(2)를 계산합니다. 여기서 F(x)는 함수 f(x)의 역도함수 중 하나입니다.

뉴턴-라이프니츠 정리를 다시 적어 보겠습니다.f를 주어진 함수로 두고, F를 임의의 역도함수로 둡니다. 그 다음에

그리고 이것은 이미 말했듯이 함수의 하위 그래프 영역입니다.

따라서 문제는 사다리꼴의 면적(2에서 8까지의 간격)을 찾는 것입니다.

셀 단위로 계산하는 것은 어렵지 않습니다. 우리는 7을 얻습니다. 그림이 x축 위에(또는 y축의 양의 절반 평면에) 위치하므로 부호는 양수입니다.

이 경우에도 다음과 같이 말할 수 있습니다. 점에서 역도함수 값의 차이는 그림의 영역입니다.

답: 7

323079. 그림은 특정 함수 y = f(x)의 그래프를 보여줍니다. 함수 F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1.875는 함수 y = f (x)의 역도함수 중 하나입니다. 음영처리된 그림의 면적을 구합니다.

이미 말했듯이 기하학적 감각적분은 함수 f (x)의 그래프, 직선 x = a 및 x = b 및 ox 축에 의해 제한되는 그림의 영역입니다.

정리(뉴턴-라이프니츠):

따라서 작업은 -11에서 -9까지의 구간에서 주어진 함수의 정적분을 계산하는 것으로 귀결됩니다. 즉, 표시된 지점에서 계산된 역도함수 값의 차이를 찾아야 합니다.

답: 6

323080. 그림은 일부 함수 y = f(x)의 그래프를 보여줍니다.

함수 F(x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8은 함수 f(x)의 역도함수 중 하나입니다. 음영처리된 그림의 면적을 구합니다.

정리(뉴턴-라이프니츠):

문제는 -10에서 -8까지의 구간에 걸쳐 주어진 함수의 정적분을 계산하는 것입니다.

답: 4 당신은 볼 수 있습니다 .

파생 및 미분 규칙도 에 있습니다. 그러한 문제를 해결하는 것뿐만 아니라 그것들을 알아야합니다.

당신은 또한 볼 수 있습니다 배경 정보웹사이트와 .

짧은 비디오를 시청하세요. 영화 "The Blind Side"에서 발췌한 내용입니다. 이것은 교육, 자비, 우리 삶에서 "무작위" 만남의 중요성에 관한 영화라고 말할 수 있습니다... 하지만 이 말로는 충분하지 않을 것입니다. 영화 자체를 시청하는 것이 좋습니다. 적극 권장합니다.

나는 당신의 성공을 기원합니다!

감사합니다, Alexander Krutitskikh

추신: 소셜 네트워크 사이트에 대해 알려주시면 감사하겠습니다.

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

콘텐츠

콘텐츠 요소

도함수, 탄젠트, 역도함수, 함수 그래프 및 도함수.

유도체\(f(x)\) 함수가 \(x_0\) 점 근처에서 정의된다고 가정합니다.

\(x_0\) 지점에서 함수 \(f\)의 미분한계라고 불리는

\(f"(x_0)=\lim_(x\오른쪽 화살표 x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

이 제한이 존재하는 경우.

한 지점에서 함수의 미분은 주어진 지점에서 이 함수의 변화율을 나타냅니다.

파생상품표

기능	유도체
\(상수\)	\(0\)
\(엑스\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\죄 x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tgx\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)

차별화 규칙\(f\)와 \(g\)는 변수 \(x\)에 따른 함수입니다. \(c\)는 숫자입니다.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\왼쪽(\dfrac(f)(g)\오른쪽)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - 복소 함수의 미분

미분의 기하학적 의미 선의 방정식- 축과 평행하지 않은 \(Oy\)는 \(y=kx+b\) 형식으로 쓸 수 있습니다. 이 방정식의 계수 \(k\)는 다음과 같습니다. 직선의 기울기. 탄젠트와 같습니다 경사각이 직선.

직선 각도- \(Ox\) 축의 양의 방향과 이 직선 사이의 각도는 양의 각도 방향(즉, \(Ox\) 축에서 \로의 가장 작은 회전 방향으로 측정됨) (Oy\) 축).

\(x_0\) 지점에서 함수 \(f(x)\)의 도함수는 이 지점에서 함수 그래프에 대한 접선의 기울기와 같습니다. \(f"(x_0)=\tg\ 알파.\)

\(f"(x_0)=0\)이면 \(x_0\) 지점에서 함수 \(f(x)\)의 그래프에 대한 접선은 \(Ox\) 축과 평행합니다.

탄젠트 방정식

\(x_0\) 점에서 함수 \(f(x)\)의 그래프에 대한 접선 방정식:

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

함수의 단조성함수의 도함수가 구간의 모든 지점에서 양수인 경우 함수는 이 구간에서 증가합니다.

함수의 도함수가 구간의 모든 지점에서 음수인 경우 함수는 이 구간에서 감소합니다.

최소, 최대 및 변곡점 긍정적인~에 부정적인이 시점에서 \(x_0\)은 함수 \(f\)의 최대점입니다.

함수 \(f\)가 점 \(x_0\)에서 연속이고 이 함수 \(f"\)의 도함수 값이 다음과 같이 변경되면 부정적인~에 긍정적인이 시점에서 \(x_0\)은 함수 \(f\)의 최소점입니다.

도함수 \(f"\)가 0과 같거나 존재하지 않는 점을 호출합니다. 임계점함수 \(f\).

\(f"(x)=0\)이 최소, 최대 또는 변곡점이 될 수 있는 함수 \(f(x)\) 정의 영역의 내부 지점입니다.

파생 상품의 물리적 의미물질 점이 직선으로 움직이고 \(x=x(t)\) 법칙에 따라 시간에 따라 좌표가 변경되면 이 점의 속도는 시간에 대한 좌표의 미분과 같습니다.

가속 재료 포인트시간에 대한 이 지점의 속도의 미분과 같습니다.

\(a(t)=v"(t).\)

직업 유형: 7
주제: 함수의 역도함수

상태

그림은 함수 y=f(x)(3개의 직선 세그먼트로 구성된 점선)의 그래프를 보여줍니다. 그림을 사용하여 F(9)-F(5)를 계산합니다. 여기서 F(x)는 함수 f(x)의 역도함수 중 하나입니다.

솔루션 표시

해결책

뉴턴-라이프니츠 공식에 따르면, F(x)가 함수 f(x)의 역도함수 중 하나인 차이 F(9)-F(5)는 제한된 곡선 사다리꼴의 면적과 같습니다. 함수 y=f(x), 직선 y=0 , x=9 및 x=5의 그래프로. 그래프에서 우리는 표시된 곡선 사다리꼴이 밑변이 4와 3이고 높이가 3인 사다리꼴임을 확인합니다.

그 면적은 동일하다 \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

답변

직업 유형: 7
주제: 함수의 역도함수

상태

그림은 함수 y=F(x)의 그래프를 보여줍니다. 이는 구간 (-5; 5)에 정의된 일부 함수 f(x)의 역도함수 중 하나입니다. 그림을 사용하여 세그먼트 [-3; 4].

솔루션 표시

해결책

역도함수의 정의에 따르면 등식은 F"(x)=f(x)로 유지됩니다. 따라서 방정식 f(x)=0은 F"(x)=0으로 쓸 수 있습니다. 그림은 함수 y=F(x)의 그래프를 보여주기 때문에 간격 [-3; 4], 여기서 함수 F(x)의 미분은 0과 같습니다. 이는 F(x) 그래프의 극점(최대 또는 최소)의 가로좌표가 될 것이라는 것이 그림에서 분명합니다. 표시된 간격에는 정확히 7개가 있습니다(최소 지점 4개, 최대 지점 3개).

답변

출처: “수학. 2017년 통합국가시험 준비. 프로필 수준." 에드. F. F. Lysenko, S. Yu.

직업 유형: 7
주제: 함수의 역도함수

상태

그림은 함수 y=f(x)(3개의 직선 세그먼트로 구성된 점선)의 그래프를 보여줍니다. 그림을 사용하여 F(5)-F(0)을 계산합니다. 여기서 F(x)는 함수 f(x)의 역도함수 중 하나입니다.

솔루션 표시

해결책

뉴턴-라이프니츠 공식에 따르면, F(x)가 함수 f(x)의 역도함수 중 하나인 차이 F(5)-F(0)는 제한된 곡선 사다리꼴의 면적과 같습니다. 함수 y=f(x), 직선 y=0 , x=5 및 x=0의 그래프로. 그래프에서 우리는 표시된 곡선 사다리꼴이 밑변이 5와 3이고 높이가 3인 사다리꼴임을 확인합니다.

그 면적은 동일하다 \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

답변

출처: “수학. 2017년 통합국가시험 준비. 프로필 수준." 에드. F. F. Lysenko, S. Yu.

직업 유형: 7
주제: 함수의 역도함수

상태

그림은 구간 (-5; 4)에 정의된 일부 함수 f(x)의 역도함수 중 하나인 함수 y=F(x)의 그래프를 보여줍니다. 그림을 사용하여 세그먼트 (-3; 3]에서 방정식 f (x) = 0에 대한 해의 수를 결정합니다.

솔루션 표시

해결책

역도함수의 정의에 따르면 등식은 F"(x)=f(x)로 유지됩니다. 따라서 방정식 f(x)=0은 F"(x)=0으로 쓸 수 있습니다. 그림은 함수 y=F(x)의 그래프를 보여주기 때문에 간격 [-3; 3], 여기서 함수 F(x)의 미분은 0과 같습니다.

이는 F(x) 그래프의 극점(최대 또는 최소)의 가로좌표가 될 것이라는 것이 그림에서 분명합니다. 표시된 간격에는 정확히 5개가 있습니다(최소 지점 2개, 최대 지점 3개).

답변

출처: “수학. 2017년 통합국가시험 준비. 프로필 수준." 에드. F. F. Lysenko, S. Yu.

직업 유형: 7
주제: 함수의 역도함수

상태

그림은 일부 함수 y=f(x)의 그래프를 보여줍니다. 함수 F(x)=-x^3+4.5x^2-7은 함수 f(x)의 역도함수 중 하나입니다.

음영처리된 그림의 면적을 구합니다.

솔루션 표시

해결책

음영 처리된 그림은 함수 y=f(x), 직선 y=0, x=1 및 x=3의 그래프로 위에서 경계가 지정된 곡선 사다리꼴입니다. 뉴턴-라이프니츠 공식에 따르면 면적 S는 차이 F(3)-F(1)과 같습니다. 여기서 F(x)는 조건에 지정된 함수 f(x)의 역도함수입니다. 그렇기 때문에 에스= 에프(3)-에프(1)= -3^3 +(4.5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4.5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

답변

출처: “수학. 2017년 통합국가시험 준비. 프로필 수준." 에드. F. F. Lysenko, S. Yu.

직업 유형: 7
주제: 함수의 역도함수

상태

그림은 일부 함수 y=f(x)의 그래프를 보여줍니다. 함수 F(x)=x^3+6x^2+13x-5는 함수 f(x)의 역도함수 중 하나입니다. 음영처리된 그림의 면적을 구합니다.