온라인에서 두 직선 사이의 각도의 코사인을 찾아보세요. 직선 사이의 각도 구하기

공간에 직선을 주자 엘그리고 중. 공간의 어떤 점 A를 통해 직선을 그립니다. 엘 1 || 엘그리고 중 1 || 중(그림 138).

점 A는 임의로 선택할 수 있으며 특히 이 선 중 하나에 있을 수 있습니다. 직선이라면 엘그리고 중교차하면 A는 이 선들의 교차점으로 간주될 수 있습니다( 엘 1 = 내가그리고 중 1 =m).

평행하지 않은 선 사이의 각도 엘그리고 중교차하는 선에 의해 형성된 가장 작은 인접 각도의 값입니다. 엘 1 그리고 중 1 (엘 1 || 엘, 중 1 || 중). 평행선 사이의 각도는 0으로 간주됩니다.

직선 사이의 각도 엘그리고 중\(\widehat((l;m))\)로 표시됩니다. 정의에 따르면 각도로 측정하면 0°입니다. < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, 라디안이면 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

일.입방체 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1이 주어졌습니다(그림 139).

직선 AB와 DC 1 사이의 각도를 구합니다.

직선 AB와 DC 1이 교차합니다. 직선 DC는 직선 AB와 평행하므로 정의에 따르면 직선 AB와 DC 1 사이의 각도는 \(\widehat(C_(1)DC)\)와 같습니다.

따라서 \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°입니다.

직접 엘그리고 중호출됩니다 수직, \(\widehat((l;m)) \) =인 경우 π / 2. 예를 들어 큐브에서

직선 사이의 각도 계산.

공간에서 두 직선 사이의 각도를 계산하는 문제는 평면에서와 같은 방식으로 해결됩니다. 선 사이의 각도의 크기를 ψ로 표시하겠습니다. 엘 1 그리고 엘 2 및 ψ를 통해 - 방향 벡터 사이의 각도 크기 ㅏ 그리고 비 이 직선들.

그렇다면 만약

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90°(그림 206.6), ø = 180° - ψ. 분명히 두 경우 모두 cos ψ = |cos ψ|가 동일합니다. 공식에 따르면(0이 아닌 벡터 a와 b 사이의 각도의 코사인은 이들 벡터의 스칼라 곱을 길이의 곱으로 나눈 값과 같습니다)

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

따라서,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

표준 방정식으로 선을 제공하십시오.

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; 그리고 \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

그런 다음 선 사이의 각도 ψ는 공식을 사용하여 결정됩니다.

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

선 중 하나(또는 둘 다)가 비정규 방정식으로 제공되는 경우 각도를 계산하려면 이 선의 방향 벡터 좌표를 찾은 다음 공식 (1)을 사용해야 합니다.

작업 1.선 사이의 각도 계산

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;및\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

직선의 방향 벡터에는 좌표가 있습니다.

a = (-√2 ; √2 ; -2), 비 = (√3 ; √3 ; √6 ).

공식 (1)을 사용하여 우리는 다음을 찾습니다.

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

따라서 두 선 사이의 각도는 60°입니다.

작업 2.선 사이의 각도 계산

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) 및 \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(건) $$

가이드 벡터 뒤에 ㅏ 첫 번째 직선을 타고 벡터 제품법선 벡터 N 1 = (3; 0; -12) 및 N 2 = 이 선을 정의하는 (1; 1; -3) 평면. \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

마찬가지로 두 번째 직선의 방향 벡터를 찾습니다.

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

그러나 공식 (1)을 사용하여 원하는 각도의 코사인을 계산합니다.

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

따라서 두 선 사이의 각도는 90°입니다.

작업 3.삼각형 피라미드 MABC에서 모서리 MA, MB 및 MC는 서로 수직입니다(그림 207).

길이는 각각 4, 3, 6입니다. 점 D는 중간 [MA]입니다. CA와 DB 사이의 각도 ψ를 구합니다.

CA와 DB를 직선 CA와 DB의 방향 벡터라고 하자.

M점을 좌표의 원점으로 삼자. 방정식의 조건에 따라 A(4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D(2; 0; 0)가 있습니다. 따라서 \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3)입니다. 공식 (1)을 사용해 보겠습니다.

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

코사인표를 사용하면 직선 CA와 DB 사이의 각도가 약 72°라는 것을 알 수 있습니다.

수학 통합 상태 시험을 준비하는 모든 학생에게 "직선 사이의 각도 찾기"라는 주제를 반복하는 것이 유용할 것입니다. 통계에 따르면 인증 테스트를 통과할 때 이 스테레오메트리 섹션의 작업으로 인해 어려움이 발생합니다. 많은 분량재학생. 동시에 직선 사이의 각도를 찾는 작업이 기본 및 통합 상태 시험에서 발견됩니다. 프로필 수준. 이는 모든 사람이 문제를 해결할 수 있어야 함을 의미합니다.

기본 순간

공간에서 선의 상대적 위치에는 4가지 유형이 있습니다. 일치하거나, ​​교차하거나, 평행하거나, 교차할 수 있습니다. 그들 사이의 각도는 예각이거나 직선일 수 있습니다.

통합 상태 시험에서 선 사이의 각도를 찾기 위해 또는 예를 들어 해결 시 모스크바와 다른 도시의 학생들은 이 입체 측정 섹션의 문제를 해결하기 위해 여러 가지 방법을 사용할 수 있습니다. 고전적인 구성을 사용하여 작업을 완료할 수 있습니다. 이를 위해서는 입체 측정의 기본 공리와 정리를 배우는 것이 좋습니다. 학생은 과제를 평면적 문제로 가져오려면 논리적으로 추론하고 그림을 그릴 수 있어야 합니다.

간단한 공식, 규칙 및 알고리즘을 사용하여 좌표 벡터 방법을 사용할 수도 있습니다. 이 경우 가장 중요한 것은 모든 계산을 올바르게 수행하는 것입니다. Shkolkovo 교육 프로젝트는 입체 측정 및 학교 과정의 다른 섹션에서 문제 해결 기술을 연마하는 데 도움이 될 것입니다.

이 자료는 두 개의 교차선 사이의 각도와 같은 개념에 전념합니다. 첫 번째 단락에서는 그것이 무엇인지 설명하고 그림으로 보여 드리겠습니다. 그런 다음 이 각도의 사인, 코사인 및 각도 자체를 찾을 수 있는 방법을 살펴보고(평면과 3차원 공간의 경우를 별도로 고려할 것입니다) 필요한 공식을 제공하고 예를 정확하게 보여 드리겠습니다. 실제로 어떻게 사용되는지.

Yandex.RTB R-A-339285-1

두 선이 교차할 때 형성되는 각도가 무엇인지 이해하려면 각도의 정의, 직각도 및 교차점을 기억해야 합니다.

정의 1

공통점이 하나 있으면 두 선을 교차한다고 부릅니다. 이 점을 두 직선의 교점이라고 합니다.

각 직선은 교차점을 기준으로 광선으로 나뉩니다. 두 직선은 모두 4개의 각도를 형성하며 그 중 2개는 수직이고 2개는 인접합니다. 그 중 하나의 척도를 알면 나머지도 결정할 수 있습니다.

각도 중 하나가 α와 같다는 것을 알고 있다고 가정해 보겠습니다. 이 경우 수직인 각도도 α와 같습니다. 나머지 각도를 찾으려면 차이 180° - α를 계산해야 합니다. α가 90도이면 모든 각도는 직각이 됩니다. 직각으로 교차하는 선을 수직이라고 합니다(직각성의 개념에 대해서는 별도의 기사에서 다룹니다).

사진을 살펴보세요:

주요 정의를 공식화하는 것으로 넘어 갑시다.

정의 2

두 개의 교차선이 이루는 각도는 이 두 선을 이루는 4개의 각도 중 더 작은 각도의 척도입니다.

정의에서 중요한 결론을 도출해야 합니다. 이 경우 각도의 크기는 간격(0, 90]의 실수로 표현됩니다. 선이 수직인 경우 선 사이의 각도는 어떤 경우에도 다음과 같습니다. 90도와 같습니다.

두 개의 교차선 사이의 각도 측정값을 찾는 기능은 많은 실제 문제를 해결하는 데 유용합니다. 해결 방법은 여러 옵션 중에서 선택할 수 있습니다.

우선 기하학적 방법을 사용할 수 있습니다. 보각에 대해 알고 있다면 같거나 유사한 도형의 속성을 사용하여 필요한 각도와 연관시킬 수 있습니다. 예를 들어, 삼각형의 변을 알고 있고 이 변이 위치한 선 사이의 각도를 계산해야 한다면 코사인 정리가 우리 솔루션에 적합합니다. 조건이 있다면 정삼각형, 계산을 위해서는 사인, 코사인 및 각도 탄젠트에 대한 지식도 필요합니다.

좌표 방법은 이러한 유형의 문제를 해결하는 데에도 매우 편리합니다. 올바르게 사용하는 방법을 설명하겠습니다.

두 개의 직선이 있는 직사각형(직교) 좌표계 O x y가 있습니다. 문자 a와 b로 표시합시다. 직선은 몇 가지 방정식을 사용하여 설명할 수 있습니다. 원래 선에는 교차점 M이 있습니다. 이 직선 사이에 필요한 각도(α로 표시)를 결정하는 방법은 무엇입니까?

주어진 조건에서 각도를 찾는 기본 원리를 공식화하는 것부터 시작하겠습니다.

우리는 직선의 개념이 방향 벡터, 법선 벡터와 같은 개념과 밀접한 관련이 있다는 것을 알고 있습니다. 특정 직선의 방정식이 있으면 그 방정식에서 이러한 벡터의 좌표를 가져올 수 있습니다. 우리는 두 개의 교차하는 선에 대해 동시에 이 작업을 수행할 수 있습니다.

두 개의 교차선이 이루는 각도는 다음을 사용하여 찾을 수 있습니다.

• 방향 벡터 사이의 각도;
• 법선 벡터 사이의 각도;
• 한 선의 법선 벡터와 다른 선의 방향 벡터 사이의 각도입니다.

이제 각 방법을 개별적으로 살펴보겠습니다.

1. 방향 벡터 a → = (a x, a y)를 갖는 선 a와 방향 벡터 b → (b x, b y)를 갖는 선 b가 있다고 가정합니다. 이제 교차점에서 두 벡터 a → 및 b →를 플로팅해 보겠습니다. 그 후에 우리는 그것들이 각자의 직선 위에 위치하는 것을 보게 될 것입니다. 그런 다음 상대적 배열에 대한 네 가지 옵션이 있습니다. 그림 참조:

두 벡터 사이의 각도가 둔각이 아닌 경우 교차하는 선 a와 b 사이에 필요한 각도가 됩니다. 둔각인 경우 원하는 각도는 각도 a →, b → ^에 인접한 각도와 같습니다. 따라서 a → , b → ^ ≤ 90 °이면 α = a → , b → ^, a → , b → ^ > 90 °이면 α = 180 ° - a → , b → ^입니다.

코사인이라는 사실을 바탕으로 동일한 각도동일하면 결과 동일성을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. cos α = cos a → , b → ^ , a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, a →인 경우 b → ^ > 90 °.

두 번째 경우에는 축소 공식이 사용되었습니다. 따라서,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

마지막 공식을 단어로 작성해 보겠습니다.

정의 3

두 개의 교차 직선으로 형성된 각도의 코사인은 방향 벡터 사이의 각도 코사인 계수와 같습니다.

두 벡터 a → = (a x , a y)와 b → = (b x , b y) 사이의 각도 코사인 공식의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

이것으로부터 주어진 두 직선 사이의 각도의 코사인 공식을 도출할 수 있습니다.

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

그런 다음 각도 자체는 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

여기서 a → = (a x , a y) 및 b → = (b x , b y)는 주어진 선의 방향 벡터입니다.

문제 해결의 예를 들어 보겠습니다.

실시예 1

평면 위의 직교 좌표계에는 두 개의 교차선 a와 b가 주어집니다. 이는 매개변수 방정식 x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R 및 x 5 = y - 6 - 3으로 설명할 수 있습니다. 이 선들 사이의 각도를 계산하십시오.

해결책

우리 조건에는 파라메트릭 방정식이 있는데, 이는 이 선에 대해 방향 벡터의 좌표를 즉시 기록할 수 있음을 의미합니다. 이를 위해서는 매개변수에 대한 계수 값을 가져와야 합니다. 즉, 직선 x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R은 방향 벡터 a → = (4, 1)을 갖습니다.

두 번째 줄은 표준 방정식 x 5 = y - 6 - 3을 사용하여 설명됩니다. 여기서 우리는 분모로부터 좌표를 얻을 수 있습니다. 따라서 이 선은 방향 벡터 b → = (5 , - 3) 을 갖습니다.

다음으로 각도 찾기로 직접 이동합니다. 이렇게 하려면 두 벡터의 기존 좌표를 위 공식 α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 에 대입하면 됩니다. 우리는 다음을 얻습니다:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

답변: 이 직선은 45도 각도를 이룹니다.

법선 벡터 사이의 각도를 찾아 비슷한 문제를 해결할 수 있습니다. 법선 벡터 n a → = (n a x , n a y)를 갖는 선 a와 법선 벡터 n b → = (n b x , n b y)를 갖는 선 b가 있는 경우, 그 사이의 각도는 n a →와 사이의 각도와 같습니다. n b → 또는 n a →, n b → ^에 인접할 각도. 이 방법은 그림에 나와 있습니다.

법선 벡터의 좌표를 사용하여 교차하는 선 사이의 각도와 이 각도 자체의 코사인을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

여기서 n a → 및 n b →는 주어진 두 선의 법선 벡터를 나타냅니다.

실시예 2

직각 좌표계에서는 방정식 3 x + 5 y - 30 = 0 및 x + 4 y - 17 = 0을 사용하여 두 개의 직선이 제공됩니다. 그들 사이의 각도의 사인과 코사인과 이 각도 자체의 크기를 구합니다.

해결책

원래 선은 A x + B y + C = 0 형식의 정규선 방정식을 사용하여 지정됩니다. 법선 벡터를 n → = (A, B)로 나타냅니다. 한 줄에 대한 첫 번째 법선 벡터의 좌표를 찾아 다음과 같이 작성해 보겠습니다. n a → = (3, 5) . 두 번째 라인 x + 4 y - 17 = 0의 경우 법선 벡터의 좌표는 n b → = (1, 4)입니다. 이제 얻은 값을 공식에 ​​추가하고 합계를 계산해 보겠습니다.

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

각도의 코사인을 알고 있으면 기본 공식을 사용하여 사인을 계산할 수 있습니다. 삼각함수 항등식. 직선이 이루는 각도 α는 둔각이 아니므로 sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34입니다.

이 경우 α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34입니다.

답: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

한 직선의 방향 벡터와 다른 직선의 법선 벡터의 좌표를 알고 있다면 직선 사이의 각도를 찾는 마지막 사례를 분석해 보겠습니다.

직선 a에는 방향 벡터 a → = (a x , a y) 가 있고 직선 b에는 법선 벡터 n b → = (n b x , n b y) 가 있다고 가정합니다. 이러한 벡터를 교차점에서 따로 설정하고 상대적 위치에 대한 모든 옵션을 고려해야 합니다. 그림을 참조하세요:

주어진 벡터 사이의 각도가 90도를 넘지 않으면 a와 b 사이의 각도를 직각으로 보완하는 것으로 나타났습니다.

a → , n b → ^ = 90 ° - a → 인 경우 α, n b → ^ ≤ 90 ° .

90도 미만이면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

a → , n b → ^ > 90 ° , 그런 다음 a → , n b → ^ = 90 ° + α

동일한 각도의 코사인 평등 규칙을 사용하여 다음과 같이 씁니다.

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α → a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - a → , n b → ^ > 90 °의 경우 sin α .

따라서,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

결론을 공식화합시다.

정의 4

평면에서 교차하는 두 선 사이의 각도의 사인을 찾으려면 첫 번째 선의 방향 벡터와 두 번째 선의 법선 벡터 사이의 각도의 코사인 계수를 계산해야 합니다.

필요한 수식을 적어 봅시다. 각도의 사인 구하기:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

각도 자체 찾기:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

여기서 a →는 첫 번째 선의 방향 벡터이고, n b →는 두 번째 선의 법선 벡터입니다.

실시예 3

두 개의 교차 선은 방정식 x - 5 = y - 6 3 및 x + 4 y - 17 = 0으로 제공됩니다. 교차 각도를 찾아보세요.

해결책

주어진 방정식에서 가이드와 법선 벡터의 좌표를 가져옵니다. a → = (-5, 3) 및 n → b = (1, 4)로 나타납니다. α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 공식을 사용하여 계산합니다.

α = 아크사인 = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = 아크사인 7 2 34

이전 문제에서 방정식을 가져와 정확히 동일한 결과를 얻었지만 방식은 다릅니다.

답변:α = arcsin7234

다른 방법을 찾아보자 원하는 각도주어진 선의 각도 계수를 사용합니다.

방정식 y = k 1 x + b 1을 사용하여 직각 좌표계로 정의된 선 a와 y = k 2 x + b 2로 정의된 선 b가 있습니다. 이것은 기울기가 있는 선의 방정식입니다. 교차 각도를 찾으려면 다음 공식을 사용합니다.

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, 여기서 k 1과 k 2는 다음과 같습니다. 각도 계수주어진 직선. 이 기록을 얻기 위해 법선 벡터의 좌표를 통해 각도를 결정하는 공식이 사용되었습니다.

실시예 4

평면 위에 두 개의 직선이 교차하고, 방정식으로 주어진 y = - 3 5 x + 6 및 y = - 1 4 x + 17 4 . 교차 각도의 값을 계산합니다.

해결책

우리 선의 각도 계수는 k 1 = - 3 5 및 k 2 = - 1 4와 같습니다. 이를 공식 α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1에 추가하고 계산해 보겠습니다.

α = 아크코사인 - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = 아크코사인 23 20 34 24 · 17 16 = 아크코사인 23 2 34

답변:α = a r c cos 23 2 34

이 단락의 결론에서는 여기에 제공된 각도를 찾는 공식을 암기할 필요가 없다는 점에 유의해야 합니다. 이를 위해서는 주어진 선의 안내선 및/또는 법선 벡터의 좌표를 알고 다양한 유형의 방정식을 사용하여 이를 결정할 수 있으면 충분합니다. 그러나 각도의 코사인을 계산하는 공식을 기억하거나 적어 두는 것이 좋습니다.

공간에서 교차하는 선 사이의 각도를 계산하는 방법

이러한 각도의 계산은 방향 벡터의 좌표를 계산하고 이러한 벡터에 의해 형성된 각도의 크기를 결정하는 것으로 축소될 수 있습니다. 이러한 예의 경우 이전에 제시한 것과 동일한 추론이 사용됩니다.

3차원 공간에 위치한 직각 좌표계가 있다고 가정해 보겠습니다. 여기에는 교차점 M이 있는 두 개의 직선 a와 b가 포함되어 있습니다. 방향 벡터의 좌표를 계산하려면 이 선의 방정식을 알아야 합니다. 방향 벡터 a → = (a x , a y , a z) 및 b → = (b x , b y , b z) 를 나타냅니다. 그들 사이의 각도의 코사인을 계산하기 위해 다음 공식을 사용합니다.

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

각도 자체를 찾으려면 다음 공식이 필요합니다.

α = a r c cos a x b x + a y by y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

실시예 5

방정식 x 1 = y - 3 = z + 3 - 2를 사용하여 3차원 공간에 정의된 선이 있습니다. Oz축과 교차하는 것으로 알려져 있습니다. 절편각과 해당 각도의 코사인을 계산합니다.

해결책

계산해야 할 각도를 문자 α로 표시해 보겠습니다. 첫 번째 직선(a → = (1, - 3, - 2))에 대한 방향 벡터의 좌표를 적어 보겠습니다. 해당 축의 경우 좌표 벡터 k → = (0, 0, 1)을 기준으로 사용할 수 있습니다. 필요한 데이터를 받았으며 이를 원하는 공식에 추가할 수 있습니다.

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

결과적으로 우리는 필요한 각도가 a r c cos 1 2 = 45 °와 같다는 것을 발견했습니다.

답변: cos α = 1 2 , α = 45° .

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평면 사이의 각도

다음 방정식으로 각각 정의된 두 평면 α 1 및 α 2를 고려합니다.

아래에 각도두 평면 사이에서 우리는 다음 중 하나를 이해하게 될 것입니다 2면체 각도이 평면에 의해 형성됩니다. 법선 벡터와 평면 α 1 및 α 2 사이의 각도는 표시된 인접한 2면체 각도 중 하나와 동일하거나 . 그렇기 때문에 . 왜냐하면 그리고 , 저것

.

예.평면 사이의 각도 결정 엑스+2와이-3지+4=0과 2 엑스+3와이+지+8=0.

두 평면의 평행성에 대한 조건.

두 평면 α 1 과 α 2 는 법선 벡터가 평행한 경우에만 평행하며 따라서 .

따라서 해당 좌표의 계수가 비례하는 경우에만 두 평면이 서로 평행합니다.

또는

평면의 직각도 조건.

법선 벡터가 수직인 경우에만 두 평면이 수직이라는 것이 분명합니다.

따라서, .

예.

우주에서 곧장.

선에 대한 벡터 방정식.

매개변수 직접 방정식

공간에서 선의 위치는 고정된 점을 지정하여 완전히 결정됩니다. 중 1과 이 선에 평행한 벡터입니다.

직선에 평행한 벡터를 벡터라고 합니다. 가이드이 선의 벡터입니다.

그래서 직선을 보자 엘한 지점을 통과한다 중 1 (엑스 1 , 와이 1 , 지 1) 벡터와 평행한 선 위에 놓여 있다.

임의의 점을 고려하십시오. 남(x,y,z)직선으로. 그림에서 알 수 있듯이 .

벡터와 는 동일선상에 있으므로 그러한 숫자가 있습니다. 티, 뭐야, 승수는 어디에 있어? 티점의 위치에 따라 임의의 숫자 값을 사용할 수 있습니다. 중직선으로. 요인 티매개변수라고 합니다. 점의 반경 벡터를 지정하면 중 1과 중각각 및 를 통해 우리는 를 얻습니다. 이 방정식은 벡터직선의 방정식. 각 매개변수 값에 대해 다음을 보여줍니다. 티어떤 점의 반경 벡터에 해당 중, 직선으로 누워 있습니다.

이 방정식을 좌표 형식으로 작성해 보겠습니다. 그것을주의해라 , 그리고 여기서부터

결과 방정식은 다음과 같습니다. 파라메트릭직선의 방정식.

매개변수를 변경할 때 티좌표 변경 엑스, 와이그리고 지및 기간 중직선으로 움직입니다.

직접의 정식 방정식

허락하다 중 1 (엑스 1 , 와이 1 , 지 1) – 직선 위에 놓인 점 엘, 그리고 방향 벡터입니다. 다시 선상의 임의의 점을 선택해 보겠습니다. 남(x,y,z)그리고 벡터를 고려해보세요.

벡터도 동일선상에 있으므로 해당 좌표는 비례해야 합니다.

– 표준적인직선의 방정식.

참고 1.매개변수를 제거하여 매개변수 방정식에서 선의 표준 방정식을 얻을 수 있습니다. 티. 실제로, 우리가 얻는 매개변수 방정식으로부터 또는 .

예.직선의 방정식을 적어보세요 파라메트릭 형태로.

나타내자 , 여기에서 엑스 = 2 + 3티, 와이 = –1 + 2티, 지 = 1 –티.

노트 2.직선이 좌표축 중 하나(예: 축)에 수직이 되도록 합니다. 황소. 그러면 선의 방향 벡터는 수직입니다. 황소, 따라서, 중=0. 결과적으로 선의 매개변수 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

방정식에서 매개변수 제외 티, 우리는 다음과 같은 형태로 선의 방정식을 얻습니다.

그러나 이 경우에도 우리는 공식적으로 해당 선의 표준 방정식을 다음 형식으로 작성하는 데 동의합니다. . 따라서 분수 중 하나의 분모가 0이면 직선이 해당 좌표축에 수직임을 의미합니다.

표준 방정식과 유사 축에 수직인 직선에 해당합니다. 황소그리고 아야또는 축에 평행 온스.

예.

두 평면의 교차점인 직선의 일반 방정식

우주의 모든 직선에는 수많은 평면이 있습니다. 교차하는 두 개는 공간에서 그것을 정의합니다. 결과적으로, 함께 고려된 임의의 두 평면의 방정식은 이 선의 방정식을 나타냅니다.

일반적으로 두 개는 그렇지 않습니다. 평행면, 일반 방정식으로 주어진다.

교차점의 직선을 결정하십시오. 이러한 방정식은 다음과 같습니다. 일반 방정식똑바로.

예.

방정식으로 주어진 선을 구성하십시오

직선을 구성하려면 두 개의 점을 찾는 것으로 충분합니다. 가장 쉬운 방법은 직선과 좌표 평면의 교차점을 선택하는 것입니다. 예를 들어 평면과의 교차점 xOy우리는 직선의 방정식으로부터 얻습니다. 지= 0:

이 시스템을 해결한 후 요점을 찾았습니다. 중 1 (1;2;0).

마찬가지로, 와이= 0, 선과 평면의 교차점을 얻습니다. xOz:

직선의 일반 방정식에서 표준 또는 매개변수 방정식으로 이동할 수 있습니다. 그러기 위해서는 어떤 점을 찾아야 합니다. 중 1은 직선이고 직선의 방향 벡터입니다.

점좌표 중 1 우리는 이 방정식 시스템으로부터 좌표 중 하나에 임의의 값을 제공하여 얻습니다. 방향 벡터를 찾으려면 이 벡터가 두 법선 벡터에 수직이어야 합니다. 그리고 . 그러므로 직선의 방향벡터를 넘어서 엘법선 벡터의 벡터 곱을 취할 수 있습니다.

.

예.선두 일반 방정식똑바로 정식 형식으로.

직선 위에 있는 점을 찾아봅시다. 이를 위해 좌표 중 하나를 임의로 선택합니다. 예를 들어 다음과 같습니다. 와이= 0이고 연립방정식을 푼다:

선을 정의하는 평면의 법선 벡터에는 좌표가 있습니다. 따라서 방향 벡터는 직선이 됩니다.

. 따라서, 엘: .

직선 사이의 각도

각도공간의 직선 사이에서 데이터에 평행한 임의의 점을 통해 그려진 두 개의 직선으로 형성된 인접 각도를 호출합니다.

공간에 두 줄을 입력해 보겠습니다.

분명히 직선 사이의 각도 ψ는 방향 벡터와 사이의 각도로 간주될 수 있습니다. 이후 벡터 사이의 각도의 코사인 공식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

각도공간의 직선 사이에서 데이터에 평행한 임의의 점을 통해 그려진 두 개의 직선으로 형성된 인접 각도를 호출합니다.

공간에 두 줄을 입력해 보겠습니다.

분명히 직선 사이의 각도 ψ는 방향 벡터와 사이의 각도로 간주될 수 있습니다. 이후 벡터 사이의 각도의 코사인 공식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

두 직선의 평행도 및 직각도 조건은 해당 방향 벡터의 평행도 및 직각도 조건과 동일하며 다음과 같습니다.

2개 연속 평행한해당 계수가 비례하는 경우에만, 즉 엘 1개의 평행 엘 2 병렬인 경우에만 .

2개 연속 수직해당 계수의 곱의 합이 0인 경우에만: .

유 선과 평면 사이의 골

똑바로하자 디- θ 평면에 수직이 아닙니다.
디'− 선의 투영 디θ 평면으로;
직선 사이의 가장 작은 각도 디그리고 디'우리가 전화할게 직선과 평면 사이의 각도.
이를 ψ=( 디,θ)
만약에 디⊥θ, 그러면 ( 디,θ)=π/2

오이→제이→케이→− 직각 좌표계.
평면 방정식:

θ: 도끼+에 의해+Cz+디=0

직선은 점과 방향 벡터로 정의된다고 가정합니다. 디[중 0,피→]
벡터 N→(ㅏ,비,씨)⊥θ
그런 다음 벡터 사이의 각도를 찾는 것이 남아 있습니다. N→ 그리고 피→, 이를 γ=( N→,피→).

각도 γ이면<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

각도가 γ>π/2이면 원하는 각도는 Φ=γ−π/2입니다.

sinΦ=sin(2π−γ)=cosγ

sinΦ=sin(γ−2π)=−cosγ

그 다음에, 직선과 평면 사이의 각도다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

sinψ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+CP 3∣ ∣ √ㅏ 2+비 2+씨 2√피 21+피 22+피 23

질문29. 이차 형태의 개념. 이차 형태의 부호 명확성.

2차 형식 j (x 1, x 2, …, x n) n 실수 변수 x 1, x 2, …, x n형태의 합이라고 불린다.
, (1)

어디 에이 ij – 계수라고 불리는 일부 숫자. 일반성을 잃지 않으면서 다음과 같이 가정할 수 있습니다. 에이 ij = 지.

이차형은 다음과 같이 불린다. 유효한,만약에 에이 ij Î GR. 이차 형태의 행렬계수로 구성된 행렬이라고 합니다. 이차 형식(1)은 유일한 대칭 행렬에 해당합니다.
그건 A T = A. 결과적으로, 이차 형식(1)은 행렬 형식 j( 엑스) = x T 아, 어디 x티 = (엑스 1 엑스 2 … xn). (2)

그리고 반대로, 모든 대칭 행렬(2)은 변수 표기까지 고유한 이차 형태에 해당합니다.

이차 형태의 순위행렬의 순위라고 합니다. 이차형은 다음과 같이 불린다. 비퇴화,행렬이 비특이인 경우 ㅏ. (매트릭스는 ㅏ행렬식이 아닌 경우 비퇴화(non-degenerate)라고 합니다. 0과 같음). 그렇지 않으면 이차 형식이 퇴화됩니다.

긍정적인 확실성(또는 엄밀히 말하면 긍정적인 경우)

제이 ( 엑스) > 0 , 누구에게나 엑스 = (엑스 1 , 엑스 2 , …, xn), 제외하고 엑스 = (0, 0, …, 0).

행렬 ㅏ양의 정부호 이차 형태 j ( 엑스)은 양의 정부호라고도 합니다. 따라서 양의 정부호 2차 형식은 고유한 양의 정부호 행렬에 해당하고 그 반대도 마찬가지입니다.

이차 형식 (1)은 다음과 같습니다. 부정적으로 정의됨(또는 엄격히 음수)인 경우

제이 ( 엑스) < 0, для любого 엑스 = (엑스 1 , 엑스 2 , …, xn), 제외하고 엑스 = (0, 0, …, 0).

위와 마찬가지로 음의 정부호 2차 형식의 행렬을 음의 정부호라고도 합니다.

결과적으로, 양의 (음의) 명확한 이차 형태 j ( 엑스)는 최소(최대) 값 j에 도달합니다( 엑스*) = 0 엑스* = (0, 0, …, 0).

대부분의 이차 형식은 부호가 한정적이지 않습니다. 즉, 양수도 아니고 음수도 아닙니다. 이러한 이차 형태는 좌표계의 원점뿐만 아니라 다른 지점에서도 0으로 변합니다.

언제 N> 2, 이차 형태의 부호를 확인하려면 특별한 기준이 필요합니다. 그들을 살펴보자.

주요 미성년자이차 형태를 미성년자라고 합니다:

즉, 이들은 1, 2, ... 순서의 미성년자입니다. N행렬 ㅏ, 왼쪽 상단에 위치하며 마지막은 행렬의 행렬식과 일치합니다. ㅏ.

양의 확실성 기준 (실베스터 기준)

엑스) = x T 아양의 정부호이면 행렬의 모든 주요 마이너가 필요하고 충분합니다. ㅏ긍정적이었습니다. 즉, 중 1 > 0, 중 2 > 0, …, 남n > 0. 부정적인 확실성 기준 이차 형식 j( 엑스) = x T 아부정확한 경우, 짝수의 주요 부차는 양수이고 홀수 차수는 음수인 것이 필요하고 충분합니다. 즉: 중 1 < 0, 중 2 > 0, 중 3 < 0, …, (–1)N