입구탄젠트는 동일합니다. 원. 원에 접함
\[(\Large(\text(중앙 및 내접각)))\]
정의
중심각은 꼭지점이 원의 중심에 있는 각도입니다.
내접각은 꼭지점이 원 위에 있는 각도입니다.
원호의 각도 측정은 원호에 대응하는 중심각의 각도 측정입니다.
정리
내접각의 각도 측정은 해당 각도가 놓여 있는 호의 각도 측정의 절반과 같습니다.
증거
우리는 두 단계로 증명을 수행할 것입니다. 첫째, 내접한 변 중 하나에 직경이 포함되어 있는 경우에 대한 진술의 타당성을 증명할 것입니다. 점 \(B\)를 내접각 \(ABC\)의 꼭지점으로 하고 \(BC\)를 원의 지름으로 둡니다.
\(AOB\) 삼각형은 이등변이고, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) 는 외부입니다. \(\각 AOC = \각 OAB + \각 ABO = 2\각 ABC\), 어디 \(\각도 ABC = 0.5\cdot\각도 AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
이제 임의의 내접각 \(ABC\) 을 생각해 보세요. 내접각의 꼭지점에서 원의 지름 \(BD\)을 그려 보겠습니다. 두 가지 가능한 경우가 있습니다:
1) 직경은 각도를 두 개의 각도 \(\angle ABD, \angle CBD\)로 자릅니다. (각 정리는 위에서 입증된 것처럼 참이므로 이들 각도의 합인 원래 각도에도 해당됩니다. 2개이므로 그들이 놓여 있는 호의 합의 절반, 즉 그것이 놓여 있는 호의 절반과 같습니다). 쌀. 1.
2) 직경이 각도를 두 개의 각도로 자르지 않은 경우, 두 개의 새로운 내접 각도 \(\angle ABD, \angle CBD\)가 더 있습니다. 그 측면에는 직경이 포함되어 있으므로 정리는 해당됩니다. 원래 각도에 대해서도 마찬가지입니다(이 두 각도의 차이는 두 각도가 놓인 호의 차이의 절반, 즉 호의 절반과 같음을 의미합니다). 쌀. 2.
결과
1. 같은 호에 대응하는 내접각은 동일합니다.
2. 반원에 내접한 각은 직각이다.
3. 내접각은 같은 호가 이루는 중심각의 절반과 같습니다.
\[(\Large(\text(원에 접함)))\]
정의
선과 원의 상대 위치에는 세 가지 유형이 있습니다.
1) 직선 \(a\)은 두 점에서 원과 교차합니다. 이러한 선을 시컨트(Secant)라고 합니다. 이 경우 원의 중심에서 직선까지의 거리 \(d\)는 원의 반지름 \(R\)보다 작습니다(그림 3).
2) 직선 \(b\)는 원의 한 지점에서 교차합니다. 이러한 선을 접선이라고 하며, 이들의 공통점 \(B\)를 접선점이라고 합니다. 이 경우 \(d=R\)(그림 4).
정리
1. 원의 접선은 접선점에 그려진 반지름에 수직입니다.
2. 선이 원의 반지름 끝을 통과하고 이 반지름에 수직인 경우 해당 선은 원에 접합니다.
결과
한 점에서 원으로 그린 접선 세그먼트는 동일합니다.
증거
점 \(K\)에서 원에 두 개의 접선 \(KA\) 및 \(KB\)를 그려 보겠습니다.
이는 \(OA\perp KA, OB\perp KB\)가 반지름과 같다는 것을 의미합니다. 직각삼각형 \(\triangle KAO\)과 \(\triangle KBO\)는 다리와 빗변이 동일하므로 \(KA=KB\) 입니다.
결과
원 \(O\)의 중심은 동일한 점 \(K\)에서 그린 두 접선으로 형성된 각도 \(AKB\)의 이등분선에 있습니다.
\[(\Large(\text(각도 관련 정리)))\]
시컨트 사이의 각도에 관한 정리
동일한 점에서 그린 두 시컨트 사이의 각도는 절단된 더 큰 호와 작은 호의 각도 측정 차이의 절반과 같습니다.
증거
\(M\)을 그림에 표시된 대로 두 개의 시컨트가 그려지는 지점으로 설정합니다.
그걸 보여주자 \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\angle DAB\)는 삼각형 \(MAD\)의 외부 각도입니다. \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), 어디 \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), 그러나 각도 \(\angle DAB\) 및 \(\angle MDA\)는 내접되어 있습니다. \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), 이는 입증이 필요한 것이었습니다.
교차하는 현 사이의 각도에 관한 정리
교차하는 두 현 사이의 각도는 절단된 호의 각도 측정값 합계의 절반과 같습니다. \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]
증거
\(\angle BMA = \angle CMD\)는 수직입니다.
삼각형 \(AMD\)에서: \(\각 AMD = 180^\circ - \각 BDA - \각 CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
하지만 \(\각 AMD = 180^\circ - \각 CMD\), 그로부터 우리는 다음과 같은 결론을 내립니다. \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ 스마일\오버(CD)).\]
현과 접선 사이의 각도에 관한 정리
접선과 접선점을 통과하는 현 사이의 각도는 현이 이루는 호 각도 측정의 절반과 같습니다.
증거
직선 \(a\)가 원의 점 \(A\)에 닿도록 하고, \(AB\)는 이 원의 현이고, \(O\)는 중심입니다. \(OB\) 를 포함하는 선이 \(M\) 점에서 \(a\) 와 교차한다고 가정합니다. 그것을 증명해보자 \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
\(\angle OAB = \alpha\) 로 표시해 보겠습니다. \(OA\)와 \(OB\)는 반지름이므로 \(OA = OB\)와 \(\각 OBA = \각 OAB = \알파\). 따라서, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
\(OA\)는 접선점에 그려진 반지름이므로 \(OA\perp a\), 즉 \(\angle OAM = 90^\circ\)는 다음과 같습니다. \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
등화음에 대응되는 호에 관한 정리
동일 현은 반원보다 작은 동일 호를 대체합니다.
그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 동일한 호는 동일한 코드로 대체됩니다.
증거
1) \(AB=CD\) 로 둡니다. 호의 더 작은 반원이 임을 증명해 보겠습니다.
따라서 세 변에서는 \(\angle AOB=\angle COD\) 입니다. 하지만 왜냐하면 \(\각도 AOB, \각도 COD\) - 중심각, 호 위에 놓여 있음 \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)따라서 그러면 \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) 경우 \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), 저것 \(\삼각형 AOB=\삼각형 COD\)두 변 \(AO=BO=CO=DO\) 및 그 사이의 각도 \(\angle AOB=\angle COD\) . 따라서 \(AB=CD\) 입니다.
정리
반경이 현을 이등분하면 현에 수직입니다.
반대의 경우도 마찬가지입니다. 반경이 현에 수직이면 교차점에서 이를 이등분합니다.
증거
1) \(AN=NB\) 로 둡니다. \(OQ\perp AB\) 를 증명해 보겠습니다.
\(\triangle AOB\)를 고려해보세요. 왜냐하면 그것은 이등변이기 때문입니다. \(OA=OB\) – 원의 반지름. 왜냐하면 \(ON\) 은 밑면에 그려진 중앙값이고 높이이기도 하므로 \(ON\perp AB\) 입니다.
2) \(OQ\perp AB\) 로 둡니다. \(AN=NB\) 를 증명해 보겠습니다.
마찬가지로 \(\triangle AOB\)는 이등변이고 \(ON\)은 높이이므로 \(ON\)은 중앙값입니다. 따라서 \(AN=NB\) 입니다.
\[(\Large(\text(세그먼트 길이와 관련된 정리)))\]
코드 세그먼트의 곱에 관한 정리
원의 두 현이 교차하는 경우 한 현의 세그먼트 곱은 다른 현 세그먼트의 곱과 같습니다.
증거
\(AB\) 및 \(CD\) 코드가 \(E\) 지점에서 교차하도록 합니다.
삼각형 \(ADE\) 및 \(CBE\) 를 고려하십시오. 이 삼각형에서 각도 \(1\)과 \(2\)는 같은 호 \(BD\)에 내접되어 있고 각도 \(3\)와 \(4\)가 동일하므로 동일합니다. 수직으로. \(ADE\) 및 \(CBE\) 삼각형은 유사합니다(삼각형의 유사성에 대한 첫 번째 기준을 기반으로 함).
그 다음에 \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), 여기서 \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) 입니다.
접선 및 시컨트 정리
접선 세그먼트의 제곱은 시컨트와 그 외부 부분의 곱과 같습니다.
증거
접선이 \(M\) 점을 통과하고 \(A\) 점에서 원에 닿도록 합니다. 할선이 점 \(M\)을 통과하고 점 \(B\)와 \(C\)에서 원과 교차하여 \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
\(MBA\) 및 \(MCA\) 삼각형을 생각해 보세요. \(\angle M\)은 공통입니다. \(\각 BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). 접선과 시컨트 사이의 각도에 관한 정리에 따르면, \(\각 BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \각 BCA\). 따라서 삼각형 \(MBA\)와 \(MCA\)는 두 각도에서 유사합니다.
삼각형 \(MBA\)와 \(MCA\)의 유사성으로부터 우리는 다음을 얻습니다: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\)이는 \(MB\cdot MC = MA^2\) 와 동일합니다.
결과
외부 부분에 의해 점 \(O\)에서 그려진 할선의 곱은 점 \(O\)에서 그려진 할선의 선택에 의존하지 않습니다.
정의. 원의 접선은 원과 정확히 하나의 공통점을 갖는 평면 위의 선입니다.
다음은 몇 가지 예입니다.
중심이 있는 원 영형직선에 닿는다 엘그 시점에 에이
어디서나 중원 외부에 정확히 두 개의 접선을 그릴 수 있습니다. 
탄젠트의 차이점 엘, 시컨트 기원전그리고 똑바로 중, 원과 공통점이 없습니다. 여기서 끝낼 수도 있지만 연습을 통해 단순히 정의를 암기하는 것만으로는 충분하지 않다는 것을 알 수 있습니다. 도면에서 접선을 보고 그 속성을 아는 방법을 배워야 하며, 또한 실제 문제를 해결하여 이러한 속성을 올바르게 적용하는 연습도 해야 합니다. 오늘 우리는 이 모든 것을 할 것입니다.
접선의 기본 속성
어떤 문제를 해결하려면 네 가지 핵심 속성을 알아야 합니다. 그 중 두 개는 참고서/교과서에 설명되어 있지만 마지막 두 개는 잊혀졌지만 헛된 것입니다.
1. 한 점에서 그린 접선 세그먼트는 동일합니다.
조금 더 위에서 우리는 한 점 M에서 그린 두 개의 접선에 대해 이미 이야기했습니다. 따라서:
한 점에서 그린 원에 대한 접선 세그먼트는 동일합니다.
세그먼트 오전.그리고 B.M.동일한 2. 접선은 접선점에 그려진 반지름에 수직입니다.
위의 그림을 다시 살펴보겠습니다. 반지름을 그려보자 O.A.그리고 O.B., 그 후에 우리는 각도가 OAM그리고 O.B.M.- 똑바로.
접촉점에 그려진 반지름은 접선에 수직입니다.
이 사실은 어떤 문제에서도 증명 없이 사용될 수 있습니다.
접선점에 그려진 반지름은 접선에 수직입니다. 그건 그렇고, 참고: 세그먼트를 그리는 경우 옴, 그러면 두 개의 동일한 삼각형을 얻습니다. OAM그리고 O.B.M..
3. 탄젠트와 시컨트의 관계
그러나 이것은 더 심각한 사실이며 대부분의 학생들은 그것을 모릅니다. 동일한 공통점을 통과하는 접선과 할선을 고려하십시오. 중. 당연히 시컨트는 두 개의 세그먼트를 제공합니다. 원 내부(세그먼트 기원전- 화음이라고도 함) 및 외부(외부 부분이라고도 함) 엠씨).
전체 할선과 외부 부분의 곱은 접선 부분의 제곱과 같습니다.
시컨트와 탄젠트의 관계 4. 접선과 현 사이의 각도
복잡한 문제를 해결하는 데 자주 사용되는 훨씬 더 발전된 사실입니다. 서비스에 참여하는 것이 좋습니다.
접선과 현 사이의 각도는 이 현에 해당하는 내접각과 같습니다.
요점은 어디에서 나오는가? 비? 실제 문제에서는 일반적으로 해당 상태의 어딘가에서 "팝업"됩니다. 따라서 도면에서 이 구성을 인식하는 방법을 배우는 것이 중요합니다.
때로는 중요합니다 :) 원에 대한 접선의 개념
원에는 세 가지가 가능합니다. 상호 합의비교적 직선적이다:
원의 중심에서 직선까지의 거리가 반지름보다 작으면 직선에는 원과 두 개의 교차점이 있습니다.
원의 중심에서 직선까지의 거리가 반지름과 같으면 직선에는 원과 두 개의 교차점이 있습니다.
원의 중심에서 직선까지의 거리가 반지름보다 크면 직선에는 원과 두 개의 교차점이 있습니다.
이제 원에 대한 접선의 개념을 소개하겠습니다.
정의 1
원의 접선은 원과 하나의 교차점이 있는 선입니다.
원과 접선의 공통점을 접선점이라고 합니다(그림 1).
그림 1. 원에 접함
원에 대한 접선의 개념과 관련된 정리
정리 1
탄젠트 속성 정리: 원의 접선은 접선점에 그려진 반지름에 수직입니다.
증거.
중심이 $O$인 원을 생각해 보세요. $A$ 점에 접선 $a$을 그리겠습니다. $OA=r$(그림 2).
$a\bot r$을 증명해 보겠습니다.
우리는 모순을 통해 정리를 증명할 것입니다. 접선 $a$가 원의 반지름에 수직이 아니라고 가정합니다.
그림 2. 정리 1의 예시
즉, $OA$는 접선 방향으로 기울어집니다. 직선 $a$에 대한 수직선은 항상 같은 직선에 대한 기울어진 수직선보다 작으므로 원의 중심에서 직선까지의 거리는 반지름보다 작습니다. 우리가 알고 있듯이 이 경우 직선은 원과 두 개의 교차점을 갖습니다. 이는 접선의 정의와 모순됩니다.
따라서 접선은 원의 반지름에 수직입니다.
정리가 입증되었습니다.
정리 2
접선 속성 정리의 반대: 원의 반지름 끝을 지나는 선이 반지름에 수직이면 이 선은 이 원에 접합니다.
증거.
문제의 조건에 따르면 반지름은 원의 중심에서 주어진 직선에 수직인 것으로 나타났습니다. 따라서 원의 중심에서 직선까지의 거리는 반지름의 길이와 같습니다. 우리가 알고 있듯이, 이 경우 원은 이 선과 단 하나의 교차점을 갖습니다. 정의 1에 따르면 이 선이 원에 접한다는 것을 알 수 있습니다.
정리가 입증되었습니다.
정리 3
한 점에서 그린 원에 대한 접선의 선분은 이 점과 원의 중심을 통과하는 직선과 동일하고 동일한 각도를 이룹니다.
증거.
$O$ 점을 중심으로 하는 원을 생각해 보세요. $A$ 점(전체 원 위에 있음)에서 두 개의 서로 다른 접선이 그려집니다. 접촉 지점에서 각각 $B$ 및 $C$(그림 3).
$\angle BAO=\angle CAO$이고 $AB=AC$임을 증명해 보겠습니다.
그림 3. 정리 3의 예시
정리 1에 따르면 다음과 같습니다.
따라서 삼각형 $ABO$와 $ACO$는 직각삼각형입니다. $OB=OC=r$ 및 빗변 $OA$가 공통이므로 이 삼각형은 빗변과 변이 동일합니다.
따라서 $\angle BAO=\angle CAO$ 및 $AB=AC$를 얻습니다.
정리가 입증되었습니다.
원에 대한 접선 개념에 관한 문제의 예
실시예 1
중심이 $O$이고 반경이 $r=3\ cm$인 원이 주어졌습니다. 접선 $AC$에는 접선점 $C$이 있습니다. $AO=4\cm$. $AC$를 찾으세요.
해결책.
먼저 그림의 모든 것을 묘사해 보겠습니다(그림 4).
그림 4.
$AC$는 접선이고 $OC$는 반경이므로 정리 1에 의해 $\angle ACO=(90)^(()^\circ )$를 얻습니다. 우리는 $ACO$ 삼각형이 직사각형이라는 것을 알았습니다. 이는 피타고라스 정리에 따르면 다음과 같습니다.
\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \
직접 ( 미네소타), 원과 단 하나의 공통점( 에이), 라고 불리는 접선 서클에.
이 경우 공통점이 호출됩니다. 연락 지점.
존재 가능성 접선, 게다가 임의의 점을 통해 그려집니다. 원, 접선점으로서 다음과 같이 증명됩니다. 정리.
반드시 이행하도록 하라 원센터와 함께 영형 접선포인트를 통해 에이. 이것을 하기 위해서는 그 점에서 에이,중심에서 설명하듯이 호반지름 A.O., 그리고 그 점에서 영형, 중심으로서 우리는 이 호를 점에서 교차합니다 비그리고 와 함께주어진 원의 직경과 동일한 나침반 솔루션.
지출한 후 화음 O.B.그리고 OS, 점을 연결하세요 에이점이 있는 디그리고 이자형, 이 화음이 주어진 원과 교차합니다. 직접 광고그리고 A.E. - 원에 대한 접선 영형. 실제로 건설에서 다음이 분명합니다. 삼각형 AOB그리고 AOC 이등변(AO = AB = AC) 베이스 포함 O.B.그리고 OS, 원의 지름과 같습니다. 영형.
왜냐하면 외경그리고 O.E.- 반지름, 그러면 디 - 가운데 O.B., 에이 이자형- 가운데 OS, 수단 광고그리고 A.E. - 중앙값, 기지로 운반 이등변삼각형, 따라서 이 베이스에 수직입니다. 직선이라면 D.A.그리고 E.A.반경에 수직 외경그리고 O.E., 그러면 그들은 - 접선.
결과.
한 점에서 원까지 그린 두 접선은 동일하며 이 점과 중심을 연결하는 직선과 동일한 각도를 이룹니다..
그래서 AD=AE그리고 ∠ OAD = ∠OAE왜냐하면 직각삼각형 AOD그리고 AOE, 공통점이 있는 빗변 A.O.그리고 평등하다 다리 외경그리고 O.E.(반지름으로)는 동일합니다. 여기서 "접선"이라는 단어는 실제로 "를 의미합니다. 접선 세그먼트” 주어진 지점에서 접촉 지점까지.
원을 기준으로 한 직선은 다음 세 가지 위치에 있을 수 있습니다.- 원의 중심에서 직선까지의 거리가 반지름보다 큽니다.이 경우 선의 모든 점은 원 바깥에 있습니다.
- 원의 중심에서 직선까지의 거리가 반지름보다 작습니다.이 경우 직선은 원 내부에 점이 있고 양방향으로 무한대이므로 원과 2점에서 교차합니다.
- 원의 중심에서 직선까지의 거리가 반지름과 같습니다.직선은 접선이다.
원과 공통점이 단 하나뿐인 직선을 직선이라고 합니다. 접선서클에.
이 경우 공통점이 호출됩니다. 연락 지점.
접선의 존재 가능성, 더욱이 접선점으로서 원의 임의의 점을 통해 그려지는 가능성은 다음 정리에 의해 증명됩니다.
정리. 선이 원 위에 놓인 끝의 반지름에 수직이면 이 선은 접선입니다.
O(그림)를 원의 중심으로 하고 OA를 반지름으로 설정합니다. 끝 A를 통해 MN ^ OA를 그립니다.
MN선이 접한다는 것을 증명해야 합니다. 이 선에는 원과 단 하나의 공통점 A가 있습니다.
반대의 경우를 가정해 보겠습니다. MN이 원과 또 다른 공통점(예: B)을 갖는다고 가정해 보겠습니다.
그러면 직선 OB는 반지름이므로 OA와 같습니다.
그러나 OA가 수직이라면 OB는 MN에 대해 기울어져야 하고 기울어진 쪽이 수직보다 크기 때문에 그럴 수 없습니다.
역정리. 선이 원에 접하는 경우 접선 지점에 그려진 반지름은 원에 수직입니다.
MN을 원의 접선, A를 접선점, O를 원의 중심으로 지정합니다.
OA^MN임을 증명해야 합니다.
반대로 가정해보자. O에서 MN으로 떨어진 수직선이 OA가 아니라 OB와 같은 다른 선이라고 가정해 보겠습니다.
BC=AB라 하고 OS를 실행해보자.
그러면 OA와 OS는 수직 OB로부터 같은 거리로 기울어질 것이므로 OS = OA입니다.
이에 따라 우리의 가정을 고려한 원은 MN 선과 A 및 C라는 두 개의 공통점을 갖게 됩니다. MN은 접선이 아니라 조건에 모순되는 시컨트가 됩니다.
결과. 원 위의 임의의 점을 통해 이 원에 대한 접선은 단 하나만 그릴 수 있습니다. 왜냐하면 이 점을 통해 그 안에 그려진 반지름에 수직인 단 하나의 수직선만 그릴 수 있기 때문입니다.
정리. 현에 평행한 접선은 접촉 지점에서 현에 대응하는 호를 절반으로 나눕니다.
직선 AB(그림)가 M 지점의 원에 닿고 현 CD와 평행이 되도록 합니다.
ÈCM = ÈMD임을 증명해야 합니다.
접선점을 통해 직경 ME를 그리면 EM ^ AB, 따라서 EM ^ CB를 얻습니다.
따라서 CM=MD입니다.
일.주어진 점을 지나서 주어진 원에 접선을 그립니다.
주어진 점이 원 위에 있으면 그 점을 통과하는 반경을 그리고 반경의 끝을 통과하는 수직 직선을 그립니다. 이 선은 원하는 접선이 됩니다.
점이 원 바깥에 있는 경우를 생각해 봅시다.
점 A를 통해 중심이 O인 원에 접선을 그리는 것이 필요하다고 가정합니다(그림).
이를 위해 점 A를 중심으로 반경 AO를 갖는 호를 묘사하고 점 O를 중심으로 주어진 원의 직경과 동일한 나침반 개구부를 사용하여 점 B와 C에서 이 호를 교차합니다. .
그런 다음 코드 OB와 OS를 그린 후 점 A를 점 D 및 E와 연결합니다. 이 코드는 주어진 원과 교차합니다.
선 AD와 AE는 원 O에 접합니다.
실제로 구조를 통해 AOB 및 AOC 파이프는 밑변 OB 및 OS가 원 O의 직경과 동일한 이등변형(AO = AB = AC)이라는 것이 분명합니다.
OD와 OE가 반지름이므로 D는 OB의 중간이고 E는 OS의 중간입니다. 즉, AD와 AE는 이등변관의 밑면에 그려진 중앙값이므로 이 밑면에 수직입니다. 선 DA와 EA가 반지름 OD와 OE에 수직이면 접선입니다.
결과. 한 점에서 원까지 그린 두 접선은 동일하며 이 점과 중심을 연결하는 직선과 동일한 각도를 형성합니다.
따라서 AD=AE 및 ÐOAD = ÐOAE(그림), 왜냐하면 공통 빗변 AO와 동일한 다리 OD 및 OE(반지름)를 갖는 직사각형 tr-ki AOD 및 AOE가 동일하기 때문입니다.
여기서 "접선"이라는 단어는 특정 지점에서 접촉 지점까지의 실제 "접선 세그먼트"를 의미합니다.
일.주어진 직선 AB(그림)에 평행한 주어진 원 O에 접선을 그립니다.
중심 O에서 수직 OS를 AB로 낮추고 이 수직이 원과 교차하는 점 D를 통해 EF || AB.
우리가 찾고 있는 탄젠트는 EF가 될 것입니다.
실제로 OS ^ AB 및 EF || AB, EF ^ OD, 그리고 원 위에 놓인 끝의 반지름에 수직인 선은 접선입니다.
일.두 원 O와 O 1에 공통 접선을 그립니다(그림).
분석. 문제가 해결되었다고 가정해 보겠습니다.
AB를 공통접선으로, A와 B를 접선점으로 설정합니다.
분명히 이러한 점 중 하나(예: A)를 찾으면 다른 점도 쉽게 찾을 수 있습니다.
반지름 OA와 O 1 B를 그려 보겠습니다. 공통 접선에 수직인 이 반지름은 서로 평행합니다.
따라서 O 1에서 O 1 C || BA이면 파이프라인 OCO 1은 정점 C에서 직사각형이 됩니다.
결과적으로, O에서 시작하는 원을 중심으로 반경 OS를 사용하면 점 C에서 직선 O 1 C에 닿게 됩니다.
이 보조 원의 반경은 알려져 있습니다. 즉, OA – CA = OA – O 1 B와 같습니다. 이는 이 원의 반지름의 차이와 같습니다.
건설.중심 O에서 우리는 이 반지름의 차이와 동일한 반지름을 가진 원을 설명합니다.
O 1에서 우리는 이 원에 접선 O 1 C를 그립니다(이전 문제에서 표시된 방식으로).
접선점 C를 통해 반경 OS를 그리고 점 A에서 주어진 원을 만날 때까지 계속합니다. 마지막으로 A에서 CO 1과 평행한 AB를 그립니다.
똑같은 방법으로 또 다른 공통접선 A 1 B 1 을 구성할 수 있습니다(그림). 직선 AB와 A 1 B 1이 호출됩니다. 외부공통 접선.
두 개 더 쓸 수 있어요 내부다음과 같이 접선:
분석.문제가 해결되었다고 가정해 보겠습니다(그림). AB를 원하는 접선으로 둡니다.
접선점 A와 B에 대한 반지름 OA와 O 1 B를 그려 보겠습니다. 이 반지름은 모두 공통 접선에 수직이므로 서로 평행합니다.
따라서 O 1에서 O 1 C || BA 그리고 OA를 C 지점까지 계속 진행하면 OS는 O 1 C에 수직이 됩니다.
결과적으로, 점 O를 중심으로 하는 반경 OS로 표시된 원은 점 C에서 직선 O 1 C에 닿게 됩니다.
이 보조 원의 반경은 알려져 있습니다. 이는 OA+AC = OA+O 1 B와 같습니다. 즉 이는 주어진 원의 반지름의 합과 같습니다.
건설. O를 중심으로 반지름이 있는 원을 묘사합니다. 금액과 동일주어진 반경.
O 1에서 이 원에 접선 O 1 C를 그립니다.
접점 C를 O와 연결합니다.
마지막으로, OS가 주어진 원과 교차하는 점 A를 통해 AB = O 1 C를 그립니다.
비슷한 방식으로 또 다른 내부 접선 A 1 B 1을 구성할 수 있습니다.
접선의 일반적인 정의
접선 AT와 일부 시컨트 AM을 점 A를 통해 중심이 있는 원으로 그립니다(그림).
다른 교차점 B가 A에 점점 더 가까워지도록 이 시컨트를 점 A 주위로 회전시켜 보겠습니다.
그러면 중심에서 할선으로 낮아진 수직 OD는 반경 OA에 점점 더 가까워지고 각도 AOD는 작은 각도보다 작아질 수 있습니다.
할선과 접선으로 형성된 각도 MAT는 다음과 같습니다. 각도와 같음 AOD(측면의 수직성으로 인해).
따라서 점 B가 A에 무한정 접근함에 따라 각도 MAT도 임의로 작아질 수 있습니다.
이는 다른 말로 표현하면 다음과 같습니다.
접선은 두 번째 교차점이 접선점에 무한정 접근할 때 접선점을 통해 그려진 할선이 경향을 갖는 제한 위치입니다.
이 속성은 다음과 같은 경우 접선의 정의로 간주됩니다. 우리 얘기 중이야어떤 곡선에 대해서도.
따라서 곡선 AB(그림)의 접선은 교차점 P가 제한 없이 M에 접근할 때 할선 MN이 경향을 갖는 한계 위치 MT입니다.
이런 방식으로 정의된 접선은 곡선과 하나 이상의 공통점을 가질 수 있습니다(그림에서 볼 수 있음).