예각의 탄젠트 코사인의 사인을 결정합니다. 새로운 소재의 통합. 학위 감소 공식

먼저, 반지름이 1이고 중심이 (0;0)인 원을 생각해 보세요. 임의의 αЄR에 대해 0A와 0x 축 사이 각도의 라디안 측정값이 α와 같도록 반경 0A를 그릴 수 있습니다. 시계 반대 방향은 양수로 간주됩니다. 반경 A의 끝 부분에 좌표 (a,b)가 있다고 가정합니다.

사인의 정의

정의: 설명된 방식으로 구성된 단위 반경의 세로좌표와 동일한 숫자 b는 sinα로 표시되며 각도 α의 사인이라고 합니다.

예: 사인 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

코사인의 정의

정의: 설명된 방식으로 구성된 단위 반경 끝의 가로좌표와 동일한 숫자 a는 cosα로 표시되며 각도 α의 코사인이라고 합니다.

예: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2

이 예에서는 단위 반경 끝의 좌표를 기준으로 각도의 사인 및 코사인 정의를 사용합니다. 단위원. 보다 시각적으로 표현하려면 단위원을 그리고 그 위에 해당 점을 그린 다음 가로좌표를 세어 코사인을 계산하고 세로좌표를 계산하여 사인을 계산해야 합니다.

탄젠트 정의

정의: x≠π/2+πk, kЄZ에 대한 함수 tgx=sinx/cosx를 각도 x의 코탄젠트라고 합니다. 도메인 tgx 기능 x=π/2+πn, nЄZ를 제외하고는 모두 실수입니다.

예: tg0 tgπ = 0 0 = 0

이 예는 이전 예와 유사합니다. 각도의 탄젠트를 계산하려면 점의 세로 좌표를 가로 좌표로 나누어야 합니다.

코탄젠트의 정의

정의: x≠πk, kЄZ에 대한 함수 ctgx=cosx/sinx를 각도 x의 코탄젠트라고 합니다. 함수 ctgx =의 정의 영역은 점 x=πk, kЄZ를 제외한 모든 실수입니다.

정삼각형을 사용한 예를 살펴보겠습니다.

코사인, 사인, 탄젠트, 코탄젠트가 무엇인지 더 명확하게 설명합니다. 각도 y가 있는 정삼각형을 사용하는 예를 살펴보겠습니다. 측면 a,b,c. 빗변 c, 다리 a 및 b 각각. 빗변 c와 다리 b y 사이의 각도입니다.

정의:각도 y의 사인은 빗변에 대한 대변의 비율입니다: siny = a/c

정의:각도 y의 코사인은 빗변에 대한 인접한 다리의 비율입니다. cosy= in/c

정의:각도 y의 접선은 인접 변에 대한 반대 변의 비율입니다: tgy = a/b

정의:각도 y의 코탄젠트는 인접한 변과 반대쪽 변의 비율입니다. ctgy= in/a

사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트를 삼각 함수라고도 합니다. 각 각도에는 자체 사인과 코사인이 있습니다. 그리고 거의 모든 사람은 자신만의 탄젠트와 코탄젠트를 가지고 있습니다.

각도가 주어지면 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트가 우리에게 알려지는 것으로 믿어집니다! 그 반대. 사인이나 기타 삼각 함수가 주어지면 각도를 알 수 있습니다. 각 각도에 대해 삼각 함수가 작성된 특수 테이블도 만들어졌습니다.

사인, 코사인, 탄젠트, 각도의 코탄젠트는 직각삼각형을 이해하는 데 도움이 됩니다.

측면을 무엇이라고 부르나요? 정삼각형? 맞습니다, 빗변과 다리: 빗변은 직각 반대편에 있는 변입니다(이 예에서는 \(AC\) 변입니다). 다리는 나머지 두 변 \(AB\) 및 \(BC\)입니다(옆에 있는 변). 직각) 그리고 각도 \(BC\)에 상대적인 다리를 고려하면 다리 \(AB\)는 인접한 다리이고 다리 \(BC\)는 반대쪽 다리입니다. 이제 각도의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트가 무엇인지에 대한 질문에 답해 보겠습니다.

각도의 사인– 빗변에 대한 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.

우리의 삼각형에서는:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

각도의 코사인– 빗변에 대한 인접한(닫힌) 다리의 비율입니다.

우리의 삼각형에서는:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

각도의 탄젠트– 반대쪽(먼 쪽)과 인접한 쪽(가까운 쪽)의 비율입니다.

우리의 삼각형에서는:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

각도의 코탄젠트– 인접한(가까운) 다리와 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.

우리의 삼각형에서는:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

이러한 정의가 필요합니다 기억하다! 어느 다리를 무엇으로 나누어야 할지 기억하기 쉽도록 하기 위해서는 접선그리고 코탄젠트다리만 앉고 빗변은 공동그리고 코사인. 그런 다음 일련의 연관을 생각해 낼 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

코사인→터치→터치→인접;

코탄젠트→터치→터치→인접.

우선, 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트는 삼각형의 변의 비율이 (같은 각도에서) 이들 변의 길이에 의존하지 않는다는 것을 기억해야 합니다. 믿을 수 없어? 그런 다음 그림을 보고 확인하십시오.

예를 들어 각도 \(\beta\) 의 코사인을 생각해 보세요. 정의에 따르면 삼각형 \(ABC\)에서 다음과 같습니다. \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), 그러나 삼각형 \(AHI \)에서 각도 \(\beta \)의 코사인을 계산할 수 있습니다. \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). 보시다시피, 변의 길이는 다르지만 한 각도의 코사인 값은 같습니다. 따라서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 값은 각도의 크기에만 의존합니다.

정의를 이해했다면 계속해서 통합하세요!

아래 그림에 표시된 삼각형 \(ABC \)에 대해 다음을 찾습니다. \(\sin \ \알파 ,\ \cos \ \알파 ,\ tg\ \알파 ,\ ctg\ \알파 \).

\(\begin(배열)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(배열) \)

글쎄요, 이해하셨나요? 그런 다음 직접 시도해 보십시오. 각도 \(\beta \) 에 대해서도 동일하게 계산하십시오.

답변: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

단위(삼각) 원

각도와 라디안의 개념을 이해하면서 반지름이 \(1\) 인 원을 고려했습니다. 그러한 원을 호출합니다. 하나의. 삼각법을 공부할 때 매우 유용할 것입니다. 그러므로 조금 더 자세히 살펴보겠습니다.

보시다시피 이 원은 데카르트 좌표계로 구성됩니다. 원 반경 1과 같다, 원의 중심은 원점에 있지만 반지름 벡터의 초기 위치는 \(x\) 축의 양의 방향을 따라 고정됩니다(이 예에서는 반지름 \(AB\)임).

원의 각 점은 \(x\) 축 좌표와 \(y\) 축 좌표라는 두 숫자에 해당합니다. 이 좌표 번호는 무엇입니까? 그리고 일반적으로 그들은 당면한 주제와 어떤 관련이 있습니까? 이렇게 하려면 고려된 직각삼각형에 대해 기억해야 합니다. 위 그림에서 두 개의 완전한 직각삼각형을 볼 수 있습니다. 삼각형 \(ACG\) 을 고려하십시오. \(CG\)가 \(x\) 축에 수직이므로 직사각형입니다.

삼각형 \(ACG \)에서 \(\cos \ \alpha \)는 무엇입니까? 좋아요 \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). 또한, \(AC\)는 단위원의 반지름, 즉 \(AC=1\)이라는 것을 알고 있습니다. 이 값을 코사인 공식에 대입해 보겠습니다. 일어나는 일은 다음과 같습니다.

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

삼각형 \(ACG \)에서 \(\sin \ \alpha \)는 무엇과 같습니까? 물론이죠. \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! 이 공식에 반경 \(AC\) 값을 대입하면 다음을 얻습니다.

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

그렇다면 원에 속한 점 \(C\)의 좌표는 무엇인지 알 수 있나요? 글쎄요? \(\cos \ \alpha \)와 \(\sin \alpha \)가 단지 숫자라는 것을 알게 되면 어떻게 될까요? \(\cos \alpha \)는 어떤 좌표에 해당합니까? 물론 좌표 \(x\) 입니다! 그리고 \(\sin \alpha \)는 어떤 좌표에 해당합니까? 그렇죠, 좌표 \(y\)! 그래서 요점은 \(C(x;y)=C(\cos \알파 ;\sin \알파) \).

그러면 \(tg \alpha \)와 \(ctg \alpha \)는 무엇입니까? 맞습니다. 탄젠트와 코탄젠트의 해당 정의를 사용하여 \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), ㅏ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

각도가 더 크면 어떨까요? 예를 들어, 이 그림과 같습니다:

이 예에서는 무엇이 변경되었나요? 그것을 알아 봅시다. 이를 위해 다시 직각삼각형으로 돌아가 보겠습니다. 직각삼각형 \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : 각도(각 \(\beta \) 에 인접한 각도)를 생각해 보세요. 각도에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 값은 무엇입니까 \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\베타 \ \)? 그렇습니다. 우리는 삼각 함수의 해당 정의를 준수합니다.

\(\begin(배열)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\각 ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(배열) \)

보시다시피 각도의 사인 값은 여전히 ​​좌표 \(y\) 에 해당합니다. 각도의 코사인 값 - 좌표 \(x\) ; 해당 비율에 대한 탄젠트 및 코탄젠트 값. 따라서 이러한 관계는 반경 벡터의 모든 회전에 적용됩니다.

반경 벡터의 초기 위치는 \(x\) 축의 양의 방향을 따른다는 것이 이미 언급되었습니다. 지금까지 우리는 이 벡터를 시계 반대 방향으로 회전했습니다. 그러나 시계 방향으로 회전하면 어떻게 될까요? 특별한 것은 없습니다. 특정 값의 각도도 얻을 수 있지만 이는 음수일 뿐입니다. 따라서 반경 벡터를 시계 반대 방향으로 회전하면 다음을 얻습니다. 양의 각도, 그리고 시계방향으로 회전할 때 - 부정적인.

따라서 원 주위의 반지름 벡터의 전체 회전은 \(360()^\circ \) 또는 \(2\pi \) 입니다. 반경 벡터를 \(390()^\circ \) 또는 \(-1140()^\circ \)로 회전할 수 있습니까? 물론 가능합니다! 첫 번째 경우, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \)따라서 반경 벡터는 한 바퀴 완전히 회전하고 \(30()^\circ \) 또는 \(\dfrac(\pi )(6) \) 위치에서 중지됩니다.

두 번째 경우에는 \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \)즉, 반지름 벡터는 완전히 세 번 회전하고 \(-60()^\circ \) 또는 \(-\dfrac(\pi )(3) \) 위치에서 중지됩니다.

따라서 위의 예에서 우리는 각도가 \(360()^\circ \cdot m \) 또는 \(2\pi \cdot m \)(여기서 \(m \)은 임의의 정수임)만큼 다르다는 결론을 내릴 수 있습니다. 반경 벡터의 동일한 위치에 해당합니다.

아래 그림은 각도 \(\beta =-60()^\circ \) 를 보여줍니다. 같은 이미지가 모서리에 해당합니다. \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)등. 이 목록은 무기한으로 계속될 수 있습니다. 이 모든 각도는 일반 공식으로 쓸 수 있습니다 \(\beta +360()^\circ \cdot m\)또는 \(\beta +2\pi \cdot m \) (여기서 \(m \)은 정수임)

\(\begin(배열)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(배열) \)

이제 기본 삼각 함수의 정의를 알고 단위원을 사용하여 값이 무엇인지 답해 보세요.

\(\begin(배열)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\텍스트(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(배열) \)

여기에 도움이 되는 단위원이 있습니다:

어려움이 있나요? 그럼 알아 봅시다. 그래서 우리는 다음을 알고 있습니다.

\(\begin(배열)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(배열)\)

여기에서 특정 각도 측정에 해당하는 점의 좌표를 결정합니다. 글쎄, 순서대로 시작하자 : 코너 \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)좌표가 \(\left(0;1 \right) \) 인 점에 해당하므로 다음과 같습니다.

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\오른쪽 화살표 \text(tg)\ 90()^\circ \)- 존재하지 않는다;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

또한 동일한 논리를 따르면 모서리가 \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )좌표가 있는 점에 대응 \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \오른쪽) \), 각각. 이를 알면 해당 지점의 삼각함수 값을 쉽게 결정할 수 있습니다. 먼저 직접 시도해보고 답을 확인해 보세요.

답변:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- 존재하지 않는다

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\오른쪽 화살표 \text(tg)\ 270()^\circ \)- 존재하지 않는다

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\오른쪽 화살표 \text(ctg)\ 2\pi \)- 존재하지 않는다

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- 존재하지 않는다

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

따라서 우리는 다음과 같은 표를 만들 수 있습니다.

이 값을 모두 기억할 필요는 없습니다. 단위원의 점 좌표와 삼각 함수 값 사이의 대응 관계를 기억하는 것으로 충분합니다.

\(\left.\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(기억하거나 표시할 수 있어야 합니다!! \) !}

그러나 각도의 삼각 함수 값과 \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)아래 표에 나와 있는 내용을 기억해야 합니다.

겁먹지 마세요. 이제 해당 값을 아주 간단하게 기억하는 한 가지 예를 보여 드리겠습니다.

이 방법을 사용하려면 세 가지 각도 측정 값 모두에 대한 사인 값을 기억하는 것이 중요합니다( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(삼)\)) 및 \(30()^\circ \) 의 각도 탄젠트 값. 이러한 \(4\) 값을 알면 전체 테이블을 복원하는 것이 매우 간단합니다. 코사인 값은 화살표에 따라 전송됩니다. 즉,

\(\begin(배열)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(배열) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), 이를 알면 다음에 대한 값을 복원할 수 있습니다. \(\텍스트(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). 분자 "\(1 \)"은 \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \)에 해당하고 분모 "\(\sqrt(\text(3)) \)"는 다음에 해당합니다. \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . 코탄젠트 값은 그림에 표시된 화살표에 따라 전송됩니다. 이것을 이해하고 화살표가 있는 다이어그램을 기억한다면, 테이블에서 \(4\) 값만 기억하면 충분할 것입니다.

원 위의 한 점의 좌표

원 중심의 좌표, 반지름, 회전 각도를 알고 원 위의 점(좌표)을 찾는 것이 가능합니까? 물론 가능합니다! 그것을 꺼내자 일반식점의 좌표를 찾으려면. 예를 들어, 여기 우리 앞에 원이 있습니다.

우리에게 그 점이 주어졌습니다. \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- 원의 중심. 원의 반지름은 \(1.5\) 입니다. 점 \(O\)를 \(\delta\)도만큼 회전시켜 얻은 점 \(P\)의 좌표를 구해야 합니다.

그림에서 볼 수 있듯이 \(P\) 점의 좌표 \(x\)는 세그먼트 \(TP=UQ=UK+KQ\)의 길이에 해당합니다. \(UK\) 세그먼트의 길이는 원 중심의 좌표 \(x\)에 해당합니다. 즉, \(3\) 과 같습니다. 세그먼트 \(KQ\)의 길이는 코사인의 정의를 사용하여 표현될 수 있습니다.

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\오른쪽 화살표 KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

그러면 우리는 점 \(P\)에 대한 좌표를 얻습니다. \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

동일한 논리를 사용하여 점 \(P\) 에 대한 y 좌표 값을 찾습니다. 따라서,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

그래서, 일반적인 견해점의 좌표는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

\(\begin(배열)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(배열) \), 어디

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - 원 중심의 좌표,

\(r\) - 원의 반경,

\(\delta\) - 벡터 반경의 회전 각도.

보시다시피, 우리가 고려하고 있는 단위원의 경우 중심 좌표가 0이고 반경이 1이기 때문에 이러한 공식이 크게 줄어듭니다.

\(\begin(배열)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(배열) \)

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계산을 수행하려면 ActiveX 컨트롤을 활성화해야 합니다!

"직각삼각형의 예각의 사인, 코사인 및 탄젠트" 주제에 대한 강의

수업 목표:

교육 - 직각 삼각형의 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 개념을 소개하고 이러한 양 사이의 종속성과 관계를 탐구합니다.

개발 - 각도의 함수로서 사인, 코사인, 탄젠트의 개념 형성, 삼각 함수 정의 영역, 개발 논리적 사고, 올바른 수학적 언어 개발;

교육 – 독립적인 업무 기술 개발, 행동 문화, 기록 보관의 정확성.

수업 진행 상황:

1. 정리 시간

“교육은 배운 횟수가 아니라 이해한 횟수입니다. 그러니 앞으로 나아가고 싶다면 천천히 서두르고 조심하세요."

2. 수업 동기.

한 현자는 이렇게 말했습니다. “영의 가장 높은 표현은 마음입니다. 이성의 가장 높은 표현은 기하학입니다. 기하학 셀은 삼각형입니다. 그것은 우주만큼 무궁무진합니다. 원은 기하학의 영혼이다. 원을 알면 기하학의 영혼을 알게 될 뿐만 아니라 영혼도 고양될 것입니다.”

우리는 당신과 함께 작은 연구를 하려고 노력할 것입니다. 마음속에 떠오르는 아이디어를 공유하고, 실수하는 것을 두려워하지 마세요. 어떤 생각이든 검색의 새로운 방향을 제시할 수 있습니다. 우리의 성취가 누군가에게는 대단해 보이지 않을 수도 있지만, 그것은 우리 자신의 성취가 될 것입니다!

3. 기본 지식의 업데이트.

어떤 각도가 있을 수 있나요?

삼각형이란 무엇입니까?

삼각형을 정의하는 주요 요소는 무엇입니까?

변에 따라 어떤 종류의 삼각형이 있습니까?

각도에 따라 어떤 종류의 삼각형이 있습니까?

다리란 무엇입니까?

빗변이란 무엇입니까?

직각삼각형의 변을 뭐라고 부르나요?

이 삼각형의 변과 각 사이의 어떤 관계를 알고 있나요?

왜 변과 각의 관계를 알아야 합니까?

인생의 어떤 문제로 인해 삼각형의 알려지지 않은 변을 계산해야 할 수 있습니까?

"hypotenuse"라는 용어는 "뭔가 위로 뻗는다", "수축하다"를 의미하는 그리스어 "hyponeinous"에서 유래되었습니다. 이 단어는 고대 그리스 하프의 이미지에서 유래되었으며, 두 개의 서로 수직인 스탠드 끝에 줄이 늘어져 있습니다. "cathetus"라는 용어는 "다림줄", "수직"의 시작을 의미하는 그리스어 "kathetos"에서 유래되었습니다.

유클리드(Euclid)는 "다리는 직각을 이루는 측면이다"라고 말했습니다.

안에 고대 그리스지상에 직각삼각형을 만드는 방법은 이미 알려져 있었다. 이를 위해 그들은 서로 같은 거리에 13개의 매듭이 묶인 로프를 사용했습니다. 이집트에서 피라미드를 건설할 때 이런 방식으로 직각삼각형이 만들어졌습니다. 이것이 아마도 변이 3,4,5인 직각삼각형을 이집트 삼각형이라고 부르는 이유일 것입니다.

4. 새로운 자료를 연구합니다.

고대에 사람들은 별을 관찰하고 이러한 관찰을 바탕으로 달력을 작성하고 파종 날짜를 계산하며 강이 범람하는 시간을 기록했습니다. 바다의 배와 육지의 캐러밴은 별을 따라 여행을 했습니다. 이 모든 것이 삼각형의 변을 계산하는 방법을 배워야 하는 필요성으로 이어졌습니다. 그 정점 중 두 개는 땅에 있고 세 번째는 별이 빛나는 하늘의 한 점으로 표시됩니다. 이러한 필요성을 바탕으로 삼각형의 변 사이의 연결을 연구하는 과학인 삼각법 과학이 탄생했습니다.

우리가 이미 알고 있는 관계만으로도 그러한 문제를 해결할 수 있다고 생각하시나요?

오늘 수업의 목적은 새로운 연결과 종속성을 탐색하고, 다음 기하학 수업에서 이러한 문제를 해결할 수 있는 관계를 도출하는 것입니다.

과학자의 역할을 느끼고 고대 천재 탈레스, 유클리드, 피타고라스를 따라 진리를 찾는 길을 걷자.

이를 위해서는 이론적 근거가 필요합니다.

각도 A와 다리 BC를 빨간색으로 강조 표시합니다.

가장 밝은 부분 녹색다리 AC.

이를 위해 빗변에 대한 예각 A의 반대쪽 부분을 계산해 보겠습니다. 빗변에 대한 반대쪽의 비율을 구성합니다.

이 관계에는 특별한 이름이 있습니다. 즉, 지구상의 모든 지점에 있는 모든 사람이 우리 얘기 중이야예각의 대변과 빗변의 비율을 나타내는 숫자입니다. 이 단어는 사인입니다. 받아 적어. 각도의 이름이 없는 사인이라는 단어는 모든 의미를 잃기 때문에 수학적 표기법은 다음과 같습니다.

이제 예각 A에 대한 빗변에 대한 인접한 다리의 비율을 구성합니다.

이 비율을 코사인이라고 합니다. 수학적 표기법:

예각 A에 대한 또 다른 비율, 즉 반대쪽과 인접한 쪽의 비율을 고려해 보겠습니다.

이 비율을 접선이라고 합니다. 수학적 표기법:

5. 새로운 자료의 통합.

중간 발견을 통합해 보겠습니다.

사인은...

코사인은...

탄젠트는...

죄 A =	죄 에 대한 =	죄 A 1 =
왜냐하면 A =	코사인 에 대한 =	왜냐하면 A 1 =
황갈색 A =	tg 에 대한 =	황갈색 A 1 =

88, 889, 892 번을 구두로 해결하십시오 (쌍으로 작업).

습득한 지식을 활용하여 실제 문제를 해결합니다.

“70m 높이의 등대 타워에서 수평선과 3° 각도로 배가 보입니다. 그것을 무엇처럼

등대에서 배까지의 거리는?

문제는 정면으로 해결됩니다. 토론하는 동안 우리는 칠판과 노트에 그림과 필요한 메모를 작성합니다.

문제를 해결할 때 Bradis 테이블이 사용됩니다.

문제에 대한 해결책을 고려하십시오. p.175.

902(1)번을 해결하세요.

6. 눈을 위한 운동.

머리를 돌리지 않고 둘레를 따라 교실 벽을 시계 방향으로, 둘레를 따라 칠판을 시계 반대 방향으로, 스탠드에 표시된 삼각형을 시계 방향으로, 등각 삼각형을 시계 반대 방향으로 둘러보세요. 고개를 왼쪽으로 돌려 수평선을 바라보고, 이제는 코끝을 보세요. 눈을 감고 5까지 세고 눈을 뜨고...

우리는 손바닥을 눈에 대고
튼튼한 다리를 벌려보자.
오른쪽으로 회전
위엄있게 둘러보자.
그리고 너도 왼쪽으로 가야 해
손바닥 아래에서보세요.
그리고 - 오른쪽으로! 그리고 더 나아가
왼쪽 어깨 너머로!
이제 계속 작업해 보겠습니다.

7. 독립적 인 일재학생.

아니오를 해결하십시오.

8. 수업 요약. 반사. D/z.

어떤 새로운 것을 배웠나요? 수업에서 :

생각해 보셨나요...

당신은 분석했다 ...

너는 받았다 …

당신은 결론을 내렸습니다 ...

당신은 다음 용어로 어휘력을 확장했습니다 ...

세계과학은 기하학에서 시작되었습니다. 학교에서 기하학을 공부하지 않으면 문화적으로나 영적으로 진정으로 발전할 수 없습니다. 기하학은 실용적인 것뿐만 아니라 인간의 영적인 필요에서도 생겨났습니다.

이것이 그녀가 기하학에 대한 사랑을 시적으로 설명한 방법입니다.

나는 기하학을 좋아한다..

나는 기하학을 좋아하기 때문에 기하학을 가르친다.

기하학이 필요합니다. 기하학이 없으면 아무데도 갈 수 없습니다.

사인, 코사인, 원주 - 여기에서는 모든 것이 중요합니다.

여기에는 모든 것이 필요합니다

모든 것을 아주 명확하게 배우고 이해하면 됩니다.

제시간에 과제와 시험을 완료하세요.

코사인은 삼각법의 주요 함수 중 하나이기도 한 잘 알려진 삼각 함수입니다. 직각 삼각형 각도의 코사인은 삼각형의 빗변에 대한 삼각형의 인접한 변의 비율입니다. 대부분의 경우 코사인의 정의는 직사각형 유형의 삼각형과 관련됩니다. 그러나 직사각형 삼각형에서 코사인을 계산하는 데 필요한 각도가 바로 이 직사각형 삼각형에 위치하지 않는 경우도 있습니다. 그러면 무엇을 해야 할까요? 삼각형 각도의 코사인을 찾는 방법은 무엇입니까?

직사각형 삼각형 각도의 코사인을 계산해야 한다면 모든 것이 매우 간단합니다. 이 문제에 대한 해결책이 포함된 코사인의 정의만 기억하면 됩니다. 다음과 같은 관계를 찾으면 됩니다. 인접한 다리, 삼각형의 빗변도 마찬가지입니다. 실제로 여기서 각도의 코사인을 표현하는 것은 어렵지 않습니다. 공식은 다음과 같습니다: - cosα = a/c, 여기서 "a"는 다리의 길이이고 변 "c"는 각각 빗변의 길이입니다. 예를 들어, 직각삼각형의 예각의 코사인은 이 공식을 사용하여 구할 수 있습니다.

임의의 삼각형 각도의 코사인이 무엇인지 관심이 있다면 코사인 정리가 도움이 되며 이러한 경우에 사용해야 합니다. 코사인 정리는 삼각형의 변의 제곱이 선험적이라고 말합니다. 합계와 동일동일한 삼각형의 나머지 변의 제곱. 단, 이들 변의 곱을 두 변 사이에 있는 각도의 코사인으로 두 배로 곱하지 않음.

1. 삼각형의 예각의 코사인을 구하려면 다음 공식을 사용해야 합니다: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
2. 삼각형에서 둔각의 코사인을 구하려면 다음 공식을 사용해야 합니다: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). 공식의 지정(a 및 b)은 원하는 각도에 인접한 변의 길이이고, c는 원하는 각도에 반대되는 변의 길이입니다.

각도의 코사인은 사인 정리를 사용하여 계산할 수도 있습니다. 삼각형의 모든 변은 마주보는 각의 사인에 비례한다는 뜻입니다. 사인 정리를 사용하면 두 변과 한 변과 반대되는 각도, 또는 두 각도와 한 변에 대한 정보만 가지고 삼각형의 나머지 요소를 계산할 수 있습니다. 예를 들어 이것을 고려하십시오. 문제 조건: a=1; b=2; c=3. 변 "A"에 반대되는 각도는 α로 표시되며 공식에 따르면 다음과 같습니다. cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. 답: 1.

각도의 코사인을 삼각형이 아닌 다른 임의의 각도로 계산해야 하는 경우 기하학적 도형, 그러면 상황이 좀 더 복잡해집니다. 각도의 크기는 먼저 라디안 또는 도 단위로 결정되어야 하며 그런 다음 이 값에서 코사인을 계산해야 합니다. 숫자 값에 따른 코사인은 Bradis 테이블, 엔지니어링 계산기 또는 특수 수학 응용 프로그램을 사용하여 결정됩니다.

특수 수학적 응용 프로그램에는 특정 그림의 각도 코사인을 자동으로 계산하는 기능이 있을 수 있습니다. 이러한 응용 프로그램의 장점은 정답을 제공하고 사용자가 때때로 매우 복잡한 문제를 해결하는 데 시간을 낭비하지 않는다는 것입니다. 반면에 문제 해결을 위해 지속적으로 응용 프로그램을 독점적으로 사용하면 삼각형 각도의 코사인 및 기타 임의 수치를 찾는 수학적 문제를 해결하는 모든 기술이 손실됩니다.

빗변에 대한 대변의 비율을 빗변이라고 합니다. 예각의 부비동정삼각형.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

직각삼각형의 예각의 코사인

인접한 다리와 빗변의 비율을 빗변이라고 합니다. 예각의 코사인정삼각형.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

직각삼각형의 예각의 접선

반대쪽과 인접한 쪽의 비율을 이라고 합니다. 예각의 탄젠트정삼각형.

tg \alpha = \frac(a)(b)

직각삼각형의 예각의 코탄젠트

가까운 다리와 가까운 다리의 비율 반대편~라고 불리는 예각의 코탄젠트정삼각형.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

임의 각도의 사인

각도 \alpha가 대응하는 단위원 위의 한 점의 세로좌표는 다음과 같습니다. 임의 각도의 사인회전 \알파 .

\sin \알파=y

임의 각도의 코사인

각도 \alpha가 대응하는 단위원 위의 한 점의 가로좌표를 다음과 같이 부릅니다. 임의 각도의 코사인회전 \알파 .

\cos\alpha=x

임의 각도의 탄젠트

임의의 회전 각도 \alpha의 사인과 코사인의 비율을 임의의 각도의 탄젠트회전 \알파 .

탄 \알파 = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

임의 각도의 코탄젠트

임의의 회전 각도 \alpha의 코사인 대 사인의 비율을 임의 각도의 코탄젠트회전 \알파 .

ctg\알파 =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

임의의 각도를 찾는 예

\alpha가 어떤 각도 AOM이고, 여기서 M은 단위원 위의 한 점이라면,

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

예를 들어, \angle AOM = -\frac(\pi)(4), 그러면 점 M의 세로 좌표는 다음과 같습니다. -\frac(\sqrt(2))(2), 가로좌표는 다음과 같습니다. \frac(\sqrt(2))(2)그리고 그게 이유야

\sin \left(-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

CTG \왼쪽(-\frac(\pi)(4) \오른쪽)=-1.

코탄젠트 탄젠트의 코사인 사인 값 표

자주 발생하는 주요 각도의 값은 표에 나와 있습니다.

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right)	180^(\circ)\왼쪽(\pi\오른쪽)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right)	360^(\circ)\왼쪽(2\pi\오른쪽)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\알파	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\알파	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—