로그 방정식의 예. 문제와 불평등의 예

아시다시피, 표현식에 거듭제곱을 곱할 때 지수는 항상 합산됩니다(a b *a c = a b+c). 이 수학 법칙은 아르키메데스에 의해 도출되었으며, 이후 8세기에 수학자 비라센(Virasen)이 정수 지수 표를 만들었습니다. 로그의 추가 발견을 위해 봉사 한 것은 바로 그들이었습니다. 이 함수를 사용하는 예는 간단한 덧셈을 통해 번거로운 곱셈을 단순화해야 하는 거의 모든 곳에서 찾을 수 있습니다. 이 글을 10분만 투자하시면 로그가 무엇인지, 그리고 로그를 사용하는 방법을 설명해 드리겠습니다. 간단하고 접근하기 쉬운 언어로.

수학에서의 정의

로그는 다음 형식의 표현입니다: log a b=c, 즉 음수가 아닌 숫자(즉, 양수) "b"의 밑수 "a"의 로그는 "c"의 거듭제곱으로 간주됩니다. ” 궁극적으로 "b" 값을 얻으려면 밑수 "a"를 올려야 합니다. 예를 사용하여 로그를 분석해 보겠습니다. log 2 8이라는 표현식이 있다고 가정해 보겠습니다. 답을 찾는 방법은 무엇입니까? 매우 간단합니다. 2에서 필요한 전력까지 8이 되도록 거듭제곱을 찾아야 합니다. 머릿속으로 몇 가지 계산을 하면 숫자 3이 나옵니다! 그리고 그것은 사실입니다. 왜냐하면 2의 3제곱은 8이 되기 때문입니다.

로그의 유형

많은 학생과 학생에게 이 주제는 복잡하고 이해하기 어려운 것처럼 보이지만 실제로 로그는 그렇게 무섭지 않습니다. 가장 중요한 것은 일반적인 의미를 이해하고 속성과 일부 규칙을 기억하는 것입니다. 세 가지가 있습니다 개별 종로그 표현식:

1. 밑이 오일러 수(e = 2.7)인 자연 로그 ln a.
2. 밑이 10인 십진수 a.
3. 밑수 a>1에 대한 임의의 숫자 b의 로그입니다.

각 문제는 로그 정리를 사용하여 단순화, 축소 및 단일 로그로의 후속 축소를 포함하는 표준 방식으로 해결됩니다. 올바른 로그 값을 얻으려면 로그를 풀 때 해당 속성과 동작 순서를 기억해야 합니다.

규칙 및 일부 제한사항

수학에는 공리로 인정되는 몇 가지 규칙 제약 조건이 있습니다. 즉, 논의 대상이 아니며 진실입니다. 예를 들어, 숫자를 0으로 나누는 것은 불가능하며, 음수의 짝수 근을 추출하는 것도 불가능합니다. 로그에는 또한 자체 규칙이 있으며, 이에 따라 길고 방대한 로그 표현을 사용해도 작업하는 방법을 쉽게 배울 수 있습니다.

• 밑수 "a"는 항상 0보다 커야 하고 1이 아니어야 합니다. 그렇지 않으면 "1"과 "0"이 어느 정도든 항상 해당 값과 동일하기 때문에 표현의 의미가 상실됩니다.
• a > 0이면 a b >0이면 "c"도 0보다 커야 합니다.

로그를 푸는 방법?

예를 들어, 방정식 10 x = 100에 대한 답을 찾는 작업이 제공됩니다. 이것은 매우 쉽습니다. 100이 되는 숫자 10을 올려 거듭제곱을 선택해야 합니다. 물론 이것은 10 2 =입니다. 100.

이제 이 표현을 로그 형식으로 표현해 보겠습니다. 우리는 로그 10 100 = 2를 얻습니다. 로그를 풀 때 모든 동작은 실제로 주어진 숫자를 얻기 위해 로그의 밑을 입력하는 데 필요한 거듭제곱을 찾기 위해 수렴됩니다.

알 수 없는 학위의 값을 정확하게 결정하려면 학위 표를 사용하여 작업하는 방법을 배워야 합니다. 다음과 같습니다.

보시다시피 일부 지수는 구구단에 대한 기술적 사고와 지식이 있으면 직관적으로 추측할 수 있습니다. 그러나 더 큰 값의 경우 전력 테이블이 필요합니다. 콤플렉스에 대해 전혀 모르는 사람도 사용할 수 있습니다. 수학 주제. 왼쪽 열에는 숫자(기본 a)가 포함되고, 숫자의 맨 위 행은 숫자 a에 제곱되는 c의 거듭제곱 값입니다. 교차점의 셀에는 답(a c =b)인 숫자 값이 포함됩니다. 예를 들어 숫자 10이 있는 첫 번째 셀을 제곱하면 두 셀의 교차점에 표시되는 값 100을 얻습니다. 모든 것이 너무 간단하고 쉽기 때문에 가장 진정한 인본주의자라도 이해할 수 있습니다!

방정식과 부등식

특정 조건에서 지수는 로그임이 밝혀졌습니다. 따라서 모든 수학적 수치 표현은 대수 방정식으로 작성될 수 있습니다. 예를 들어, 3 4 =81은 81의 밑이 3인 로그가 4와 같다(log 3 81 = 4)라고 쓸 수 있습니다. 음수 거듭제곱의 경우 규칙은 동일합니다. 2 -5 = 1/32 이를 로그로 쓰면 로그 2(1/32) = -5를 얻습니다. 수학에서 가장 흥미로운 부분 중 하나는 "로그"라는 주제입니다. 속성을 연구한 후 즉시 아래 방정식의 예와 해를 살펴보겠습니다. 이제 불평등이 어떻게 생겼는지, 그리고 이를 방정식과 구별하는 방법을 살펴보겠습니다.

다음 형식의 표현식이 주어지면: log 2 (x-1) > 3 - 대수 부등식, 알 수 없는 값 "x"가 로그 기호 아래에 있기 때문입니다. 또한 표현식에서는 두 가지 양이 비교됩니다. 밑수 2에 대한 원하는 숫자의 로그가 숫자 3보다 큽니다.

로그 방정식과 부등식의 가장 중요한 차이점은 로그 방정식(예: 로그 2 x = √9)이 답에 하나 이상의 특정 수치 값을 암시하는 반면, 부등식을 풀 때는 영역으로 정의된다는 것입니다. 허용 가능한 값, 그리고 이 함수의 중단점. 결과적으로 답은 방정식에 대한 답처럼 단순한 개별 숫자 집합이 아니라 연속적인 일련의 숫자 또는 숫자 집합입니다.

로그에 관한 기본 정리

로그 값을 찾는 기본 작업을 해결할 때 해당 속성을 알 수 없을 수도 있습니다. 그러나 로그 방정식이나 부등식에 관해서는 우선 로그의 모든 기본 속성을 명확하게 이해하고 실제로 적용하는 것이 필요합니다. 나중에 방정식의 예를 살펴보겠습니다. 먼저 각 속성을 더 자세히 살펴보겠습니다.

1. 주요 신원은 다음과 같습니다: a logaB =B. a가 0보다 크고 1이 아니고 B가 0보다 큰 경우에만 적용됩니다.
2. 곱의 로그는 다음 공식으로 나타낼 수 있습니다: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. 이 경우 필수 조건은 d, s 1 및 s 2 > 0입니다. a≠1. 예제와 해법을 통해 이 로그 공식에 대한 증명을 제공할 수 있습니다. log a s 1 = f 1 및 log a s 2 = f 2라고 하면 a f1 = s 1, a f2 = s 2입니다. 우리는 s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2(속성)을 얻습니다. 도 ), 그리고 정의에 따라: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log as s 2, 이는 증명이 필요한 것입니다.
3. 몫의 로그는 다음과 같습니다: log a (s 1/ s 2) = log as 1 - log a s 2.
4. 공식 형태의 정리는 다음과 같은 형식을 취합니다: log a q b n = n/q log a b.

이 공식을 "로그 정도의 특성"이라고 합니다. 이는 일반적인 학위의 속성과 유사하며 모든 수학은 자연적인 가정을 기반으로 하기 때문에 놀라운 일이 아닙니다. 증거를 살펴보겠습니다.

log a b = t라고 하면 a t =b가 됩니다. 두 부분을 모두 m의 거듭제곱으로 올리면: a tn = bn ;

그러나 a tn = (a q) nt/q = bn이므로 log a q b n = (n*t)/t가 되고 log a q b n = n/q log a b가 됩니다. 정리가 입증되었습니다.

문제와 불평등의 예

로그에 관한 가장 일반적인 유형의 문제는 방정식과 부등식의 예입니다. 거의 모든 문제집에 나와 있으며, 수학 시험에서도 필수 부분입니다. 대학에 입학하거나 수학 입학 시험에 합격하려면 이러한 문제를 올바르게 해결하는 방법을 알아야합니다.

불행하게도 로그의 알려지지 않은 값을 해결하고 결정하기 위한 단일한 계획이나 방식은 없지만 각 수학적 부등식 또는 로그 방정식에 특정 규칙이 적용될 수 있습니다. 우선, 표현이 단순화될 수 있는지, 아니면 다음과 같이 이어질 수 있는지를 알아보아야 합니다. 일반적인 모습. 긴 것을 단순화하라 대수 표현식해당 속성을 올바르게 사용하면 가능합니다. 빨리 알아봅시다.

로그 방정식을 풀 때 우리는 어떤 유형의 로그를 가지고 있는지 결정해야 합니다. 예제 표현식에는 자연 로그 또는 십진수 1이 포함될 수 있습니다.

다음은 ln100, ln1026의 예입니다. 그들의 해결책은 기본 10이 각각 100과 1026이 되는 거듭제곱을 결정해야 한다는 사실로 귀결됩니다. 솔루션의 경우 자연로그로그 항등식이나 해당 속성을 적용해야 합니다. 예제를 통해 솔루션을 살펴보겠습니다. 대수 문제다른 유형.

로그 공식을 사용하는 방법: 예제 및 솔루션 포함

그럼 로그에 관한 기본 정리를 활용한 예를 살펴보겠습니다.

1. 제품의 로그 속성은 확장이 필요한 작업에 사용될 수 있습니다. 큰 중요성숫자 b를 더 간단한 요소로 나눕니다. 예를 들어 로그 2 4 + 로그 2 128 = 로그 2 (4*128) = 로그 2 512입니다. 답은 9입니다.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - 보시다시피 로그 거듭제곱의 네 번째 속성을 사용하여 겉보기에는 복잡하고 풀 수 없는 표현식을 풀 수 있었습니다. 밑을 인수분해한 다음 로그 부호에서 지수 값을 빼면 됩니다.

통합 상태 시험의 과제

로그는 입학 시험에서 자주 발견되며, 특히 통합 상태 시험(모든 학교 졸업생을 대상으로 하는 상태 시험)에서 로그 문제가 많이 발견됩니다. 일반적으로 이러한 작업은 파트 A(가장 쉬운 작업)에만 존재하는 것이 아닙니다. 테스트 부분시험)뿐만 아니라 파트 C(가장 복잡하고 방대한 작업)에도 있습니다. 시험에는 "자연 로그"라는 주제에 대한 정확하고 완벽한 지식이 필요합니다.

문제에 대한 예와 해결책은 공식에서 가져옵니다. 통합 상태 시험 옵션. 이러한 작업이 어떻게 해결되는지 살펴 보겠습니다.

주어진 로그 2(2x-1) = 4. 해결 방법:
표현식을 다시 작성하여 약간 log 2 (2x-1) = 2 2로 단순화하겠습니다. 로그의 정의에 따라 2x-1 = 2 4이므로 2x = 17이 됩니다. x = 8.5.

• 솔루션이 번거롭고 혼란스럽지 않도록 모든 로그를 동일한 밑으로 줄이는 것이 가장 좋습니다.
• 로그 기호 아래의 모든 표현식은 양수로 표시되므로 로그 기호 아래에 있는 표현식의 지수를 승수로 취하면 로그 아래에 남아 있는 표현식은 양수여야 합니다.

예:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

로그 방정식을 푸는 방법:

로그 방정식을 풀 때 이를 \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) 형식으로 변환한 다음 \(f(x)로 전환해야 합니다. )=g(x)\).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

예:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

해결책: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) 시험:\(10>2\) - DL에 적합 답변:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

매우 중요!이 전환은 다음과 같은 경우에만 이루어질 수 있습니다.

원래 방정식에 대해 작성했으며 마지막에는 찾은 방정식이 DL에 포함되어 있는지 확인합니다. 이것이 완료되지 않으면 추가 뿌리가 나타날 수 있으며 이는 잘못된 결정을 의미합니다.

왼쪽과 오른쪽의 숫자(또는 표현)는 동일합니다.

왼쪽과 오른쪽의 로그는 "순수"합니다. 즉, 곱셈, 나눗셈 등이 없어야 합니다. – 등호 양쪽에 단일 로그만 있습니다.

예를 들어:

방정식 3과 4는 로그의 필수 속성을 적용하여 쉽게 풀 수 있습니다.

예 . 방정식 \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)을 푼다.

해결책 :

		ODZ: \(x>0\)를 작성해 보겠습니다.
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		로그 앞의 왼쪽은 계수이고, 오른쪽은 로그의 합입니다. 이것은 우리를 괴롭힌다. 속성에 따라 두 값을 지수 \(x\)로 이동해 보겠습니다: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). 로그의 합을 속성에 따라 하나의 로그로 표현해 보겠습니다. \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		방정식을 \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) 형식으로 줄이고 ODZ를 기록했습니다. 이는 \(f(x)) 형식으로 이동할 수 있음을 의미합니다. =g(x)\ ).
		일어난 . 우리는 그것을 해결하고 뿌리를 얻습니다.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		뿌리가 ODZ에 적합한지 확인합니다. 이를 위해 \(x>0\)에서 \(x\) 대신 \(5\)와 \(-5\)를 대체합니다. 이 작업은 구두로 수행할 수 있습니다.
\(5>0\), \(-5>0\)		첫 번째 부등식은 참이지만 두 번째 부등식은 그렇지 않습니다. 이는 \(5\)가 방정식의 근이지만 \(-5\)는 그렇지 않음을 의미합니다. 우리는 답을 적습니다.

답변 : \(5\)

예 : 방정식 \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)을 푼다.

해결책 :

		ODZ: \(x>0\)를 작성해 보겠습니다.
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		를 사용하여 풀 수 있는 일반적인 방정식입니다. \(\log_2⁡x\)를 \(t\)로 바꾸세요.
\(t=\log_2⁡x\)
		우리는 평범한 것을 얻었습니다. 우리는 그 뿌리를 찾고 있습니다.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		역 교체 수행
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		우변을 변환하여 로그로 나타냅니다: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) 및 \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		이제 방정식은 \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\)이고 \(f(x)=g(x)\)로 전환할 수 있습니다.
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		ODZ의 뿌리가 일치하는지 확인합니다. 이렇게 하려면 \(x\) 대신 \(4\) 및 \(2\)를 부등식 \(x>0\)으로 대체합니다.
\(4>0\) \(2>0\)		두 불평등은 모두 사실입니다. 이는 \(4\)와 \(2\)가 모두 방정식의 근임을 의미합니다.

답변 : \(4\); \(2\).

우리 모두는 방정식에 익숙합니다. 기본 수업. 그곳에서 우리는 가장 간단한 예를 해결하는 방법도 배웠으며, 이러한 예가 다음과 같은 경우에도 적용된다는 점을 인정해야 합니다. 고등 수학. 이차 방정식을 포함한 방정식으로 모든 것이 간단합니다. 이 주제에 대해 문제가 있는 경우 해당 주제를 검토해 보시기 바랍니다.

당신도 이미 로그를 살펴봤을 것입니다. 그러나 아직 모르는 사람들을 위해 그것이 무엇인지 알려주는 것이 중요하다고 생각합니다. 로그는 로그 기호 오른쪽에 있는 숫자를 얻기 위해 밑을 올려야 하는 거듭제곱과 동일합니다. 모든 것이 명확해질 수 있는 예를 들어 보겠습니다.

3의 4승을 올리면 81이 됩니다. 이제 비유를 통해 숫자를 대입하면 마침내 로그가 어떻게 해결되는지 이해하게 될 것입니다. 이제 남은 것은 논의된 두 가지 개념을 결합하는 것입니다. 처음에는 상황이 매우 복잡해 보이지만 자세히 살펴보면 무게가 제자리에 있습니다. 이 짧은 기사 후에는 통합 상태 시험의 이 부분에서 문제가 발생하지 않을 것이라고 확신합니다.

오늘날 이러한 구조를 해결하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 통합 상태 시험 작업의 경우 가장 간단하고 효과적이며 적용 가능한 방법을 알려 드리겠습니다. 로그 방정식 풀이는 맨 처음부터 시작해야 합니다. 간단한 예. 원생 동물문 대수 방정식함수와 그 안에 하나의 변수로 구성됩니다.

x가 인수 내부에 있다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. A와 b는 숫자여야 합니다. 이 경우 간단히 숫자의 거듭제곱으로 함수를 표현할 수 있습니다. 이렇게 생겼습니다.

물론, 이 방법을 이용하여 로그방정식을 풀면 정답을 얻을 수 있을 것이다. 이 경우 대다수 학생들의 문제는 무엇이 어디서 오는지 이해하지 못한다는 것입니다. 결과적으로 실수를 참아야 하고 원하는 점수를 얻지 못하게 됩니다. 가장 공격적인 실수는 글자를 혼동하는 것입니다. 이런 식으로 방정식을 풀려면 이해하기 어렵기 때문에 이 표준 학교 공식을 외워야 합니다.

더 쉽게 만들기 위해 표준 형식이라는 다른 방법을 사용할 수 있습니다. 아이디어는 매우 간단합니다. 문제에 다시 주의를 돌리십시오. 문자 a는 함수나 변수가 아니라 숫자라는 점을 기억하세요. A는 1과 같지 않고 0보다 큽니다. b에는 제한이 없습니다. 이제 모든 공식 중에서 하나를 기억해 봅시다. B는 다음과 같이 표현될 수 있다.

이에 따라 로그가 포함된 모든 원래 방정식은 다음 형식으로 표현될 수 있습니다.

이제 로그를 삭제할 수 있습니다. 그 결과는 우리가 이미 앞에서 본 단순한 디자인입니다.

이 공식의 편리함은 가장 단순한 디자인뿐만 아니라 다양한 경우에 사용할 수 있다는 사실에 있습니다.

OOF에 대해 걱정하지 마세요!

경험이 풍부한 많은 수학자들은 우리가 정의 영역에 주의를 기울이지 않았다는 것을 알게 될 것입니다. 이 규칙은 F(x)가 반드시 0보다 크다는 사실로 귀결됩니다. 아니요, 우리는 이 점을 놓치지 않았습니다. 이제 우리는 정식 형식의 또 다른 심각한 이점에 대해 이야기하고 있습니다.

여기에는 추가 뿌리가 없습니다. 변수가 한 위치에만 나타나면 범위가 필요하지 않습니다. 자동으로 수행됩니다. 이 판단을 검증하려면 몇 가지 간단한 예를 풀어보세요.

다양한 밑수를 사용하여 로그 방정식을 푸는 방법

이는 이미 복잡한 로그 방정식이므로 이를 해결하는 접근 방식은 특별해야 합니다. 여기서는 악명 높은 표준 형식으로 제한하는 것이 거의 불가능합니다. 우리의 시작하자 상세한 이야기. 우리는 다음과 같은 구성을 가지고 있습니다.

분수에 주의하세요. 여기에는 로그가 포함되어 있습니다. 작업에서 이 내용을 본다면 한 가지 흥미로운 트릭을 기억해 두는 것이 좋습니다.

무슨 뜻이에요? 각 로그는 편리한 밑을 갖는 두 로그의 몫으로 표현될 수 있습니다. 그리고 이 공식에는 이 예에 적용할 수 있는 특별한 경우가 있습니다(c=b인 경우를 의미합니다).

이것이 바로 우리의 예에서 볼 수 있는 분수입니다. 따라서.

본질적으로 우리는 분수를 뒤집어서 좀 더 편리한 표현을 얻었습니다. 이 알고리즘을 기억하세요!

이제 우리는 로그 방정식에 다음이 포함되지 않아야 합니다. 다른 이유. 밑을 분수로 표현해 봅시다.

수학에는 기본에서 학위를 파생할 수 있는 규칙이 있습니다. 다음과 같은 시공 결과입니다.

이제 우리의 표현을 정식 형식으로 바꾸고 초보적인 방법으로 해결하는 것을 막는 것은 무엇일까요? 그렇게 간단하지는 않습니다. 로그 앞에는 분수가 없어야 합니다. 이 상황을 해결하자! 분수를 학위로 사용할 수 있습니다.

각기.

밑이 동일하면 로그를 제거하고 표현식 자체를 동일시할 수 있습니다. 이렇게 하면 상황이 이전보다 훨씬 단순해질 것입니다. 남을 것이다 기본 방정식, 우리 각자는 8학년이나 심지어 7학년 때 해결 방법을 알고 있었습니다. 계산은 직접 할 수 있습니다.

우리는 이 로그 방정식의 유일한 참근을 얻었습니다. 로그 방정식을 푸는 예는 매우 간단합니다. 그렇죠? 이제 통합 상태 시험을 준비하고 통과하기 위한 가장 복잡한 작업도 독립적으로 처리할 수 있습니다.

결과는 무엇입니까?

로그 방정식의 경우, 우리는 매우 하나부터 시작합니다. 중요한 규칙. 표현을 최대한 활용하는 방식으로 행동해야합니다 간단한 보기. 이 경우 작업을 올바르게 해결할 수 있을 뿐만 아니라 가능한 가장 간단하고 논리적인 방법으로 작업을 수행할 수 있는 더 나은 기회를 갖게 됩니다. 이것이 바로 수학자들이 항상 일하는 방식입니다.

특히 이 경우에는 어려운 경로를 찾는 것을 강력히 권장하지 않습니다. 몇 가지를 기억하세요 간단한 규칙, 이를 통해 어떤 표현이든 변환할 수 있습니다. 예를 들어 로그 2~3개를 동일한 밑수로 줄이거나 밑수에서 거듭제곱을 도출하여 이에 승리합니다.

로그 방정식을 푸는 데는 지속적인 연습이 필요하다는 점을 기억할 가치가 있습니다. 점차적으로 당신은 점점 더 많은 곳으로 이동할 것입니다. 복잡한 구조, 이를 통해 통합 상태 시험의 모든 변형 문제를 자신있게 해결할 수 있습니다. 시험을 미리 잘 준비하시고 행운을 빕니다!

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이 단원에서는 로그에 대한 기본적인 이론적 사실을 검토하고 가장 간단한 로그 방정식을 푸는 방법을 고려할 것입니다.

중심 정의, 즉 로그의 정의를 떠올려 보겠습니다. 결정과 관련이 있습니다 지수 방정식. 이 방정식은 단일 근을 가지며, 이를 밑수 a에 대한 b의 로그라고 합니다.

정의:

밑수 a에 대한 b의 로그는 b를 얻기 위해 밑수 a를 올려야 하는 지수입니다.

우리가 당신에게 상기시켜 드리겠습니다 기본 로그 항등.

식(식 1)은 방정식(식 2)의 근입니다. x 대신 표현식 1의 값 x를 표현식 2로 대체하고 주요 로그 항등식을 얻습니다.

따라서 우리는 각 값이 값과 연관되어 있음을 알 수 있습니다. b를 x()로, c를 y로 표시하여 로그 함수를 얻습니다.

예를 들어:

기본 속성을 기억하자 로그 함수.

로그 아래에는 로그의 밑수로서 엄격하게 긍정적인 표현이 있을 수 있으므로 여기서 다시 한 번 주목해 보겠습니다.

쌀. 1. 다양한 밑수의 로그 함수 그래프

함수의 그래프는 검정색으로 표시됩니다. 쌀. 1. 인수가 0에서 무한대로 증가하면 함수는 마이너스에서 플러스 무한대로 증가합니다.

함수의 그래프는 빨간색으로 표시됩니다. 쌀. 1.

이 기능의 속성:

도메인: ;

값 범위: ;

이 함수는 전체 정의 영역에서 단조롭습니다. 단조적으로(엄격하게) 증가하면, 더 높은 가치인수는 함수의 더 큰 값에 해당합니다. 단조적으로(엄격하게) 감소하는 경우 인수의 값이 클수록 함수의 값이 작아집니다.

로그 함수의 속성은 다양한 로그 방정식을 푸는 열쇠입니다.

가장 간단한 로그 방정식을 생각해 봅시다. 일반적으로 다른 모든 로그 방정식은 이 형식으로 축소됩니다.

로그의 밑과 로그 자체가 동일하므로 로그 아래의 함수도 동일하지만 정의 영역을 놓쳐서는 안 됩니다. 로그는 단지 성립할 수 있다 정수, 우리는 다음을 가지고 있습니다 :

우리는 함수 f와 g가 동일하다는 것을 알았으므로 ODZ를 준수하려면 부등식 중 하나를 선택하는 것으로 충분합니다.

따라서 방정식과 부등식이 있는 혼합 시스템이 있습니다.

일반적으로 부등식을 풀 필요는 없습니다. 방정식을 풀고 발견된 근을 부등식에 대입하여 검사를 수행하는 것으로 충분합니다.

가장 간단한 로그 방정식을 푸는 방법을 공식화해 보겠습니다.

로그의 밑을 균등화합니다.

하위 대수 함수를 동일시합니다.

점검을 수행하십시오.

구체적인 예를 살펴 보겠습니다.

예 1 - 방정식 풀기:

로그의 밑은 처음에는 동일합니다. 우리는 하위 로그 표현을 동일시할 권리가 있으며 ODZ를 잊지 말고 부등식을 구성하기 위해 첫 번째 로그를 선택합니다.

예 2 - 방정식 풀기:

이 방정식은 로그의 밑이 다음과 같다는 점에서 이전 방정식과 다릅니다. 1개 미만, 그러나 이는 어떤 식으로든 솔루션에 영향을 미치지 않습니다.

루트를 찾아 부등식에 대입해 보겠습니다.

잘못된 부등식을 받았습니다. 이는 발견된 루트가 ODZ를 충족하지 않음을 의미합니다.

예 3 - 방정식 풀기:

로그의 밑은 처음에는 동일합니다. 우리는 하위 로그 표현을 동일시할 권리가 있으며 ODZ를 잊지 말고 부등식을 구성하기 위해 두 번째 로그를 선택합니다.

루트를 찾아 부등식에 대입해 보겠습니다.

분명히 첫 번째 루트만이 DD를 만족합니다.