비합리적인 방정식을 풀기 위한 알고리즘. 방법. 공식에 따른 큐브

방정식에 제곱근 기호 아래에 변수가 포함되어 있으면 해당 방정식을 무리수라고 합니다.

때로는 실제 상황의 수학적 모델이 IR입니다. 유리 방정식. 그러므로 우리는 최소한 가장 간단한 비합리 방정식을 푸는 방법을 배워야 합니다.

비합리 방정식 2 x + 1 = 3을 생각해 보세요.

주의하세요!

방정식의 양변을 제곱하는 방법은 비합리 방정식을 푸는 주요 방법입니다.

그러나 이것은 이해할 수 있습니다. 제곱근 기호를 어떻게 제거할 수 있습니까?

방정식 \(2x + 1 = 9\)에서 \(x = 4\)를 찾습니다. 이는 방정식 \(2x + 1 = 9\)과 주어진 비합리 방정식의 근입니다.

제곱 방법은 기술적으로는 간단하지만 때로는 문제가 발생할 수 있습니다.

예를 들어 비합리 방정식 2 x − 5 = 4 x − 7을 생각해 보세요.

양쪽 변을 제곱하면, 우리는 다음을 얻습니다:

2 x − 5 2 = 4x − 7 2 2 x − 5 = 4 x − 7

그러나 값 \(x = 1\)은 유리 방정식 \(2x - 5 = 4x - 7\)의 근임에도 불구하고 주어진 비합리 방정식의 근이 아닙니다. 왜? 주어진 비합리 방정식에 \(x\) 대신 \(1\)을 대입하면 − 3 = − 3 을 얻습니다.

왼쪽과 오른쪽에 모두 의미가 없는 표현이 포함되어 있으면 수치적 평등의 실현에 대해 어떻게 말할 수 있습니까?

그러한 경우 그들은 다음과 같이 말합니다: \(x = 1\) - 외부 뿌리주어진 비합리 방정식에 대해. 주어진 비합리 방정식에는 근이 없다는 것이 밝혀졌습니다.

외래 근은 새로운 개념이 아닙니다. 유리 방정식을 풀 때 외래 근이 이미 발견되어 이를 감지하는 데 도움이 됩니다.

비합리적인 방정식의 경우 검증은 방정식을 풀기 위한 필수 단계입니다. 이는 외부 근이 있는 경우 이를 탐지하고 폐기하는 데 도움이 됩니다(보통 "잡초 제거"라고 말합니다).

주의하세요!

따라서 무리 방정식은 양변을 제곱하여 해결됩니다. 결과 유리 방정식을 푼 후에는 가능한 외부 뿌리를 확인하고 제거해야 합니다.

이 결론을 사용하여 예를 살펴보겠습니다.

예:

방정식 5 x − 16 = x − 2 을 풉니다.

방정식 5 x − 16 = x − 2: 5 x − 16 2 = x − 2 2 의 양변을 제곱해 보겠습니다.

우리는 변환하여 다음을 얻습니다.

5 x − 16 = x 2 − 4 x 4 ; − x 2 9 x − 20 = 0 ; x 2 − 9 x 20 = 0 ; x 1 = 5 ; x 2 = 4.

시험.\(x = 5\)를 방정식 5 x − 16 = x − 2에 대입하면 9 = 3 - 올바른 평등을 얻습니다. \(x = 4\)를 방정식 5 x − 16 = x − 2에 대입하면 4 = 2 - 올바른 평등을 얻습니다. 이는 발견된 두 값이 모두 5 x − 16 = x − 2 방정식의 근임을 의미합니다.

당신은 이미 선형, 2차, 유리, 비합리 등 다양한 방정식을 푸는 경험을 얻었습니다. 방정식을 풀 때 다양한 변환이 수행된다는 것을 알고 있습니다. 예를 들어 방정식의 구성원은 반대 기호를 사용하여 방정식의 한 부분에서 다른 부분으로 이동됩니다. 방정식의 양쪽에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하거나 나눕니다. 즉, 방정식 p x q x = 0을 방정식 \(p(x)=0\)으로 대체합니다. 방정식의 양변은 제곱입니다.

물론 일부 변형의 결과로 외부 뿌리가 나타날 수 있으므로 경계해야 했습니다. 발견된 모든 뿌리를 확인하십시오. 이제 우리는 이론적 관점에서 이 모든 것을 이해하려고 노력할 것입니다.

두 방정식 \(f (x) = g(x)\) 및 \(r(x) = s(x)\)은 동일한 근을 갖는 경우(또는 특히 두 방정식 모두 근이 없는 경우 등가라고 함) ) .

일반적으로 방정식을 풀 때 그들은 이 방정식을 더 간단하지만 동등한 방정식으로 대체하려고 합니다. 이러한 대체를 방정식의 등가 변환이라고 합니다.

방정식의 등가 변환다음과 같은 변환이 있습니다.

1. 방정식의 한 부분에서 반대 부호를 사용하여 방정식의 항을 다른 부분으로 옮기는 것입니다.

예를 들어 방정식 \(2x + 5 = 7x - 8\)을 방정식 \(2x - 7x = - 8 - 5\)으로 바꾸는 것은 방정식의 동등한 변환입니다. 이는 \(2x + 5 = 7x -8\) 방정식과 \(2x - 7x = -8 - 5\) 방정식이 동일하다는 것을 의미합니다.

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대수학을 공부하는 동안 학생들은 다양한 유형의 방정식에 직면하게 됩니다. 가장 단순한 것 중에는 하나의 알려지지 않은 것을 포함하는 선형적인 것이 있습니다. 수학 표현식의 변수가 특정 거듭제곱으로 올라가면 방정식은 2차, 3차, 2차 등으로 불립니다. 이러한 표현식에는 유리수가 포함될 수 있습니다. 그러나 비합리적인 방정식도 있습니다. 미지수가 근호 아래에 있는 함수가 있다는 점에서 다른 것과 다릅니다(즉, 순전히 외부적으로 여기서 변수는 제곱근 아래에 기록된 것을 볼 수 있습니다). 비합리적인 방정식을 푸는 것은 그 자체로 형질. 정답을 얻기 위해 변수 값을 계산할 때 이를 고려해야 합니다.

"말로 할 수 없는 일"

고대 수학자들이 주로 작업했다는 것은 비밀이 아닙니다. 유리수. 여기에는 알려진 바와 같이 특정 커뮤니티를 대표하는 일반 및 소수 주기 분수를 통해 표현되는 정수가 포함됩니다. 그러나 삼각법, 천문학 및 대수학을 개발하는 인도뿐만 아니라 중동 및 근동의 과학자들도 비합리 방정식을 푸는 방법을 배웠습니다. 예를 들어 그리스인들은 비슷한 양을 알고 있었지만 그것을 구두 형태, "표현할 수 없음"을 의미하는 "alogos"라는 개념을 사용했습니다. 얼마 후 유럽인들은 그들을 모방하여 그러한 숫자를 "귀머거리"라고 불렀습니다. 그것들은 무한한 비주기적인 분수의 형태로만 표현될 수 있다는 점에서 다른 모든 것과 다릅니다. 최종 수치 표현은 단순히 얻을 수 없습니다. 따라서 숫자 왕국의 그러한 대표자는 두 번째 이상의 루트 아래에 위치한 일부 표현으로 숫자와 기호의 형태로 더 자주 작성됩니다.

위의 내용을 바탕으로 비합리 방정식을 정의해 보겠습니다. 이러한 표현에는 제곱근 기호를 사용하여 작성된 소위 "표현할 수 없는 숫자"가 포함됩니다. 다소 복잡한 옵션이 될 수 있지만 가장 간단한 형태는 아래 사진과 같습니다.

비합리 방정식을 풀려면 먼저 면적을 계산해야 합니다. 허용 가능한 값변하기 쉬운.

표현이 말이 됩니까?

알려진 바와 같이, 얻은 값을 확인해야 할 필요성은 속성에 따릅니다. 이러한 표현은 허용되며 특정 조건에서만 의미가 있습니다. 짝수 근의 경우 모든 근수 표현은 양수이거나 0과 같아야 합니다. 이 조건이 충족되지 않으면 제시된 수학적 표기법은 의미 있는 것으로 간주될 수 없습니다.

비합리 방정식을 푸는 방법에 대한 구체적인 예를 들어보겠습니다(아래 그림 참조).

안에 이 경우원하는 값이 허용하는 모든 값에 대해 지정된 조건을 충족할 수 없다는 것은 명백합니다. 11 ≤ x ≤ 4로 밝혀지기 때문입니다. 이는 Ø만이 해가 될 수 있음을 의미합니다.

분석방법

위에서부터 일부 유형의 비합리 방정식을 푸는 방법이 명확해졌습니다. 여기 효과적인 방법으로단순한 분석일 수도 있습니다.

이를 다시 명확하게 보여주는 여러 가지 예를 들어 보겠습니다(아래 그림).

첫 번째 경우, 표현을 주의 깊게 살펴보면 그것이 사실일 수 없다는 것이 즉시 매우 분명해집니다. 실제로, 평등의 왼쪽에서 우리는 다음을 얻어야 합니다. 정수, 이는 -1과 같을 수 없습니다.

두 번째 경우에는 두 개의 긍정적인 표현의 합을 고려할 수 있습니다. 0과 같음, x - 3 = 0과 x + 3 = 0이 동시에인 경우에만 해당됩니다. 그리고 이것은 다시 불가능합니다. 그리고 이는 답이 다시 Ø로 작성되어야 함을 의미합니다.

세 번째 예는 앞에서 이미 설명한 것과 매우 유사합니다. 실제로 여기서 ODZ의 조건은 다음과 같은 터무니없는 부등식을 충족해야 합니다: 5 ≤ x ≤ 2. 그리고 같은 방식으로 그러한 방정식은 합리적인 솔루션을 가질 수 없습니다.

무제한 줌

비합리적인 것의 본질은 끝없는 일련의 숫자를 통해서만 가장 명확하고 완전하게 설명되고 알려질 수 있습니다. 소수. 그리고 구체적으로, 빛나는 예이 가족의 구성원 중 하나는 πi입니다. 이 수학 상수가 고대부터 알려져 원의 둘레와 면적을 계산하는 데 사용되는 것은 당연합니다. 그러나 유럽인들 사이에서는 영국인 윌리엄 존스(William Jones)와 스위스의 레너드 오일러(Leonard Euler)가 처음으로 이를 실행했습니다.

이 상수는 다음과 같이 발생합니다. 원주가 다른 원을 비교하면 길이와 지름의 비율은 반드시 같은 숫자와 같습니다. 파이입니다. 이를 통해 표현하면 공통 분수, 그러면 우리는 대략 22/7을 얻습니다. 이것은 위 그림에 초상화가 표시된 위대한 아르키메데스가 처음으로 수행했습니다. 그렇기 때문에 비슷한 숫자그의 이름을 받았습니다. 그러나 이것은 명시적인 숫자는 아니지만 아마도 가장 놀라운 숫자의 대략적인 값입니다. 뛰어난 과학자가 0.02의 정확도로 원하는 값을 찾았지만 실제로 이 상수는 실제 의미가 없고 다음과 같이 표현됩니다. 3.1415926535... 그것은 신화적인 가치에 무기한 접근하는 끝없는 일련의 숫자입니다.

제곱

하지만 비합리적인 방정식으로 돌아가 보겠습니다. 이 경우 알려지지 않은 것을 찾기 위해 그들은 매우 자주 의지합니다. 간단한 방법: 기존 평등의 양쪽을 제곱합니다. 유사한 방법보통은 준다 좋은 결과. 그러나 비합리적인 양의 교활함을 고려해야합니다. 그 결과 얻은 모든 뿌리는 적합하지 않을 수 있으므로 확인해야 합니다.

하지만 계속해서 예제를 살펴보며 새로 제안된 방법을 사용하여 변수를 찾아보겠습니다.

Vieta의 정리를 사용하여 특정 작업의 결과로 원하는 양의 값을 찾는 것은 전혀 어렵지 않습니다. 이차 방정식. 여기서는 뿌리 중에 2와 -19가 있음이 밝혀졌습니다. 그러나 결과 값을 원래 표현식으로 대체하여 확인하면 이러한 근 중 어느 것도 적합한 것이 없는지 확인할 수 있습니다. 이는 비합리 방정식에서 흔히 발생하는 현상입니다. 이는 우리의 딜레마에는 다시 해결책이 없으며 대답은 빈 집합을 나타내야 함을 의미합니다.

더 복잡한 예

어떤 경우에는 수식의 양쪽 변을 한 번이 아니라 여러 번 제곱해야 하는 경우도 있습니다. 이것이 필요한 예를 살펴보겠습니다. 아래에서 볼 수 있습니다.

뿌리를 받은 후에는 추가 뿌리가 나타날 수 있으므로 확인하는 것을 잊지 마십시오. 왜 이것이 가능한지 설명되어야 합니다. 이 방법을 적용하면 방정식이 다소 합리화됩니다. 하지만 우리가 좋아하지 않는 뿌리를 제거하면 생산이 불가능해집니다. 산술 연산, 우리는 (이해할 수 있듯이) 결과로 가득 찬 기존 가치 범위를 확장하는 것 같습니다. 이를 예상하여 점검을 수행합니다. 이 경우 근 중 하나만 적합한지 확인할 수 있는 기회가 있습니다(x = 0).

시스템

비합리 방정식 시스템을 풀어야 하는데 미지수가 하나도 아니고 두 개인 경우 어떻게 해야 합니까? 여기서는 일반적인 경우와 동일한 방식으로 작동하지만 이러한 수학적 표현의 위 속성을 고려합니다. 그리고 매 새 작업물론 창의력을 발휘해야 합니다. 그러나 다시 말하지만 모든 것을 고려하는 것이 좋습니다 구체적인 예아래에 제시되어 있습니다. 여기서는 변수 x와 y를 찾아야 할 뿐만 아니라 답에 그 합도 표시해야 합니다. 따라서 비합리적인 수량을 포함하는 시스템이 있습니다(아래 사진 참조).

보시다시피 그러한 작업은 초자연적으로 어려운 작업을 나타내지 않습니다. 당신은 현명하게 첫 번째 방정식의 좌변이 합의 제곱이라고 추측하면 됩니다. 통합 상태 시험(Unified State Exam)에도 유사한 작업이 있습니다.

수학에서는 비합리적이다

일부 방정식을 풀 수 있는 "공간"이 충분하지 않을 때마다 인류 사이에서 새로운 유형의 숫자를 만들어야 할 필요성이 생겼습니다. 무리수도 예외는 아닙니다. 역사의 사실이 증언하듯이, 위대한 현자들은 우리 시대 이전인 7세기에 처음으로 이에 주목했습니다. 이것은 Manava라고 알려진 인도의 수학자에 의해 수행되었습니다. 그는 일부 사람들의 생각을 분명히 이해했습니다. 자연수뿌리를 추출하는 것은 불가능합니다. 예를 들어 여기에는 2가 포함됩니다. 17세 또는 61세, 그리고 다른 많은 사람들.

피타고라스학파의 사상가인 히파수스(Hippasus)도 다음과 같은 계산을 하여 같은 결론에 이르렀습니다. 수치 표현오각형의 측면. 수치로 표현할 수 없고, 보통 숫자의 성질도 갖지 않는 수학적 요소를 발견해 동료들을 너무 화나게 해서 배 밖으로 바다에 던져졌다. 사실 다른 피타고라스 학파 사람들은 그의 추론을 우주 법칙에 대한 반역으로 여겼습니다.

급진적 징후: 진화

"귀가 들리지 않는" 숫자의 수치를 표현하기 위한 루트 기호가 문제를 풀 때 사용되기 시작했습니다. 비합리적인 불평등방정식은 즉시 사용할 수 없습니다. 유럽, 특히 이탈리아의 수학자들은 13세기경에 처음으로 근호에 대해 생각하기 시작했습니다. 동시에 그들은 지정을 위해 라틴어 R을 사용한다는 아이디어를 내놓았습니다. 그러나 독일 수학자들은 그들의 작업에서 다르게 행동했습니다. 그들은 문자 V를 더 좋아했습니다. 독일에서는 2, 3 등의 제곱근을 표현하기 위해 V(2), V(3)이라는 명칭이 곧 퍼졌습니다. 나중에 네덜란드인이 개입하여 부수 기호를 수정했습니다. 그리고 르네 데카르트는 진화를 완성하여 제곱근 기호를 현대적인 완벽함으로 가져왔습니다.

불합리한 것을 없애기

불합리 방정식과 부등식에는 제곱근 기호 아래에만 변수가 포함될 수 있습니다. 어느 정도일 수 있습니다. 이를 제거하는 가장 일반적인 방법은 방정식의 양쪽을 적절한 거듭제곱으로 높이는 것입니다. 이것은 비합리적인 작업에 도움이 되는 주요 작업입니다. 짝수 경우의 조치는 앞서 이미 논의한 조치와 특별히 다르지 않습니다. 여기서는 급진적 표현의 음수가 아닌 조건을 고려해야 하며, 솔루션이 끝나면 이미 고려한 예에 표시된 것과 같은 방식으로 변수의 외부 값을 필터링해야 합니다. .

정답을 찾는 데 도움이 되는 추가 변환 중에는 켤레에 의한 표현식의 곱셈이 자주 사용되며, 솔루션을 더 쉽게 만들기 위해 새로운 변수를 도입해야 하는 경우도 많습니다. 어떤 경우에는 미지의 값을 찾기 위해 그래프를 사용하는 것이 좋습니다.

루트 부호 아래에 알 수 없는 양이 포함된 방정식을 무리수라고 합니다. 예를 들어 다음과 같은 방정식이 있습니다.

많은 경우, 방정식의 양쪽에 거듭제곱을 한 번 또는 반복적으로 적용함으로써 비합리 방정식을 1차 또는 다른 대수 방정식(원래 방정식의 결과)으로 줄이는 것이 가능합니다. 방정식을 거듭제곱할 때 관련 없는 해가 나타날 수 있으므로 다음을 풀면 됩니다. 대수 방정식, 이 비합리적인 방정식을 축소한 경우, 발견된 근은 원래 방정식에 대입하여 확인해야 하며 이를 만족하는 것만 유지하고 나머지(외부적인 것)는 폐기해야 합니다.

비합리적인 방정식을 풀 때 우리는 방정식의 실제 뿌리에만 국한됩니다. 방정식 작성 시 모든 짝수 근은 산술적 의미로 이해됩니다.

비합리 방정식의 몇 가지 전형적인 예를 살펴보겠습니다.

A. 제곱근 기호 아래에 미지수가 포함된 방정식. 주어진 방정식에 미지수의 부호가 있는 하나의 제곱근만 포함되어 있는 경우 이 근은 격리되어야 합니다. 즉, 방정식의 한 부분에 배치되고 다른 모든 항은 다른 부분으로 전송되어야 합니다. 방정식의 양쪽을 제곱하면 비합리성에서 벗어나 다음과 같은 대수방정식을 얻게 됩니다.

예 1. 방정식을 푼다.

해결책. 방정식의 왼쪽에 근을 분리합니다.

결과 평등을 제곱합니다.

우리는 이 방정식의 근원을 찾습니다:

검사 결과 원래 방정식만 만족하는 것으로 나타났습니다.

방정식에 x를 포함하는 두 개 이상의 근이 포함되어 있으면 제곱을 여러 번 반복해야 합니다.

예 2. 다음 방정식을 풉니다.

해결책, a) 방정식의 양변을 제곱합니다.

루트를 분리합니다.

결과 방정식을 다시 제곱합니다.

변환 후 다음과 같은 2차 방정식을 얻습니다.

그것을 해결하자:

원래 방정식에 대입함으로써 우리는 그것의 근이 있음을 확신하지만 그것은 그것의 외부 근입니다.

b) 예시 a)와 동일한 방법으로 예시를 풀 수 있습니다. 그러나 이 방정식의 우변에 알려지지 않은 양이 포함되어 있지 않다는 사실을 이용하여 다르게 행동하겠습니다. 방정식의 왼쪽에 있는 켤레 표현식을 곱해 보겠습니다. 우리는 얻는다

오른쪽에는 합과 차이의 곱, 즉 제곱의 차이가 있습니다. 여기에서

이 방정식의 왼쪽에는 합계가 있습니다. 제곱근; 이제 얻은 방정식의 왼쪽에는 동일한 근의 차이가 있습니다. 이 방정식과 결과 방정식을 적어 보겠습니다.

이 방정식의 합을 취하면 다음과 같습니다.

마지막 방정식을 제곱하고 단순화 후 다음을 얻습니다.

여기에서 우리는 찾습니다. 확인함으로써 우리는 이 방정식의 근본이 숫자라는 것을 확신합니다. 예 3: 방정식 풀기

여기 이미 근호 아래에 정사각형 삼항식이 있습니다.

해결책. 방정식에 왼쪽 변의 켤레 표현식을 곱합니다.

여기에서 마지막 방정식을 뺍니다.

이 방정식을 제곱해 보겠습니다.

마지막 방정식에서 우리는 . 이를 확인함으로써 우리는 이 방정식의 근이 단지 숫자 x = 1이라는 것을 확신합니다.

B. 3차 근을 포함하는 방정식. 비합리 방정식 시스템. 그러한 방정식과 시스템의 개별적인 예로만 제한해 보겠습니다.

예 4: 방정식 풀기

해결책. 방정식 (70.1)을 푸는 두 가지 방법을 보여 드리겠습니다. 첫 번째 방법. 이 방정식의 양변을 큐브로 만들어 보겠습니다(공식 (20.8) 참조).

(여기서는 금액을 대체했습니다. 입방근 4번, 방정식 사용).

그래서 우리는

즉, 단순화 후에

두 근이 원래 방정식을 만족하는 경우.

두 번째 방법. 넣어보자

식 (70.1)은 다음과 같은 형식으로 작성됩니다. 게다가 . 방정식 (70.1)에서 우리는 시스템으로 이동했습니다.

시스템 항의 첫 번째 방정식을 항별로 나누면 다음과 같습니다.