입구코사인은 빗변에 대한 대변의 비율입니다. 사인, 코사인, 탄젠트: 그게 뭐죠? 사인, 코사인, 탄젠트를 찾는 방법
이번 글에서는 기부 방법을 알려드리겠습니다. 삼각법에서 각도와 숫자의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 정의. 여기에서는 표기법에 대해 이야기하고 항목의 예를 제공하며 그래픽 일러스트레이션을 제공합니다. 결론적으로 삼각법과 기하학에서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의 사이에 유사점을 그려 보겠습니다.
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사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트의 정의
학교 수학 과정에서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 개념이 어떻게 형성되는지 살펴 보겠습니다. 기하학 수업에서는 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트의 정의가 제공됩니다. 예각직각 삼각형에서. 그리고 나중에 회전 각도와 숫자의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트에 대해 이야기하는 삼각법이 연구됩니다. 이러한 모든 정의를 제시하고 예를 제시하고 필요한 설명을 제공하겠습니다.
직각삼각형의 예각
기하학 과정에서 우리는 직각 삼각형의 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의를 알고 있습니다. 이는 직각 삼각형의 변의 비율로 제공됩니다. 그들의 공식을 제시해 보겠습니다.
정의.
직각 삼각형의 예각 사인빗변에 대한 대변의 비율입니다.
정의.
직각삼각형의 예각의 코사인빗변에 대한 인접한 다리의 비율입니다.
정의.
직각삼각형의 예각의 접선– 인접면에 대한 반대면의 비율입니다.
정의.
직각삼각형의 예각의 코탄젠트- 인접면과 반대면의 비율입니다.
사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트에 대한 지정(sin, cos, tg 및 ctg)도 각각 도입되었습니다.
예를 들어 ABC가 다음과 같다면 정삼각형직각 C를 사용하면 예각 A의 사인은 대변 BC와 빗변 AB의 비율, 즉 sin∠A=BC/AB와 같습니다.
이러한 정의를 사용하면 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값을 계산할 수 있습니다. 알려진 길이직각삼각형의 변뿐만 아니라 알려진 값사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 및 한 변의 길이를 사용하여 다른 변의 길이를 구합니다. 예를 들어, 직각 삼각형에서 변 AC가 3이고 빗변 AB가 7이라는 것을 안다면 정의에 따라 예각 A의 코사인 값을 계산할 수 있습니다. cos∠A=AC/ AB=3/7.
회전 각도
삼각법에서는 각도를 더 광범위하게 보기 시작합니다. 회전 각도의 개념을 도입합니다. 예각과 달리 회전 각도의 크기는 0~90도로 제한되지 않습니다. 각도(및 라디안) 단위의 회전 각도는 -무한대에서 +무한대까지의 실수로 표현될 수 있습니다.
이 관점에서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의는 예각이 아니라 임의 크기의 각도, 즉 회전 각도로 제공됩니다. 이는 점 A 1의 x 및 y 좌표를 통해 제공되며, 소위 시작점 A(1, 0)는 점 O를 중심으로 각도 α만큼 회전한 후 이동합니다. 이는 직교 직교 좌표계의 시작입니다. 그리고 단위원의 중심.
정의.
회전 각도의 사인α는 점 A1의 세로좌표, 즉 sinα=y이다.
정의.
회전 각도의 코사인α는 점 A1의 가로좌표, 즉 cosα=x라고 불린다.
정의.
회전 각도의 접선α는 점 A1의 세로 좌표와 가로 좌표의 비율, 즉 tanα=y/x입니다.
정의.
회전 각도의 코탄젠트α는 점 A1의 가로좌표와 세로좌표의 비율, 즉 ctgα=x/y입니다.
사인과 코사인은 모든 각도 α에 대해 정의됩니다. 왜냐하면 시작점을 각도 α만큼 회전하여 얻은 점의 가로좌표와 세로좌표를 항상 결정할 수 있기 때문입니다. 그러나 탄젠트와 코탄젠트는 어떤 각도에도 정의되지 않습니다. 접선은 시작점이 가로좌표가 0(0, 1) 또는 (0, −1)인 점으로 가는 각도 α에 대해 정의되지 않으며 이는 각도 90°+180° k, k∈Z(π)에서 발생합니다. /2+π·k rad). 실제로 이러한 회전 각도에서 tgα=y/x라는 표현은 0으로 나누기를 포함하므로 의미가 없습니다. 코탄젠트의 경우 시작점이 세로 좌표가 0인 (1, 0) 또는 (−1, 0) 점으로 가는 각도 α에 대해서는 정의되지 않으며 이는 각도 180° k, k ∈Z에 대해 발생합니다. (π·k rad).
따라서 모든 회전 각도에 대해 사인과 코사인이 정의되고, 90°+180°k, k∈Z(π/2+πk rad)를 제외한 모든 각도에 대해 탄젠트가 정의되고, 180°·k를 제외한 모든 각도에 대해 코탄젠트가 정의됩니다. , k∈Z(π·k rad).
정의에는 이미 우리에게 알려진 sin, cos, tg 및 ctg 지정이 포함되며 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트를 지정하는 데에도 사용됩니다(때로는 탄젠트 및 코탄젠트에 해당하는 지정 tan 및 cot를 찾을 수 있음) . 따라서 30도 회전 각도의 사인은 sin30°로 쓸 수 있으며 항목 tg(−24°17′) 및 ctgα는 회전 각도 −24 도 17분의 탄젠트 및 회전 각도 α의 코탄젠트에 해당합니다. . 각도의 라디안 단위를 쓸 때 "rad"라는 명칭이 종종 생략된다는 점을 기억하십시오. 예를 들어, 3pi rad의 회전각의 코사인은 일반적으로 cos3·π로 표시됩니다.
이 점의 결론적으로 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트에 대해 말할 때 "회전 각도"라는 문구 또는 "회전"이라는 단어가 생략되는 경우가 많다는 점에 주목할 가치가 있습니다. 즉, "회전 각도 알파의 사인"이라는 문구 대신 "알파 각도의 사인" 또는 더 짧게는 "사인 알파"라는 문구가 일반적으로 사용됩니다. 코사인, 탄젠트, 코탄젠트에도 동일하게 적용됩니다.
또한 직각 삼각형의 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의는 0도에서 90도 범위의 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트에 대해 주어진 정의와 일치한다고 말할 것입니다. 우리는 이것을 정당화할 것입니다.
숫자
정의.
사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 숫자 t는 각각 t 라디안 단위의 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트와 동일한 숫자입니다.
예를 들어, 정의에 따라 숫자 8·π의 코사인은 8·π rad 각도의 코사인과 동일한 숫자입니다. 그리고 각도의 코사인은 8 π rad입니다. 1과 같다이므로 숫자 8·π의 코사인은 1과 같습니다.
숫자의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트를 결정하는 또 다른 접근 방식이 있습니다. 이는 각 실수 t에 점을 할당하는 것으로 구성됩니다. 단위원직교좌표계의 원점을 중심으로 하며, 이 점의 좌표를 통해 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트가 결정됩니다. 이에 대해 좀 더 자세히 살펴보겠습니다.
실수와 원 위의 점 사이에 대응 관계가 어떻게 설정되는지 보여드리겠습니다.
- 숫자 0에는 시작점 A(1, 0)이 할당됩니다.
- 정수 t는 단위원의 점과 연관되어 있으며, 시작점에서 반시계 방향으로 원을 따라 이동하고 길이 t의 경로를 걸으면 도달하게 됩니다.
- 음수 t는 단위원의 한 점과 연관되어 있으며, 시작점에서 시계 방향으로 원을 따라 이동하고 길이 |t|의 경로를 걸으면 도달하게 됩니다. .
이제 숫자 t의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의로 넘어갑니다. 숫자 t가 원 A 1 (x, y) 위의 한 점에 해당한다고 가정합니다(예를 들어 숫자 &pi/2;는 점 A 1 (0, 1)에 해당함).
정의.
숫자의 사인 t는 숫자 t에 해당하는 단위원 위 점의 세로 좌표, 즉 sint=y입니다.
정의.
숫자의 코사인 t는 숫자 t에 해당하는 단위원 점의 가로좌표, 즉 비용=x라고 합니다.
정의.
숫자의 탄젠트 t는 숫자 t에 해당하는 단위원 위의 점의 가로 좌표에 대한 세로 좌표의 비율, 즉 tgt=y/x입니다. 또 다른 등가 공식에서 숫자 t의 탄젠트는 이 숫자의 사인 대 코사인의 비율, 즉 tgt=sint/cost입니다.
정의.
숫자의 코탄젠트 t는 숫자 t에 해당하는 단위원 위의 점의 세로 좌표에 대한 가로 좌표의 비율, 즉 ctgt=x/y입니다. 또 다른 공식은 다음과 같습니다: 숫자 t의 탄젠트는 숫자 t의 코사인과 숫자 t의 사인의 비율입니다: ctgt=cost/sint.
여기서 우리는 방금 제공된 정의가 이 단락의 시작 부분에 제공된 정의와 일치한다는 점에 주목합니다. 실제로 단위원 위의 숫자 t에 해당하는 점은 시작점을 t라디안 각도만큼 회전시켜 얻은 점과 일치합니다.
이 점을 명확히 하는 것은 여전히 가치가 있습니다. 항목 sin3이 있다고 가정해 보겠습니다. 숫자 3의 사인에 대해 이야기하고 있는지 아니면 3라디안 회전 각도의 사인에 대해 이야기하고 있는지 어떻게 이해할 수 있습니까? 이는 일반적으로 문맥을 보면 분명하지만, 그렇지 않으면 근본적으로 중요하지 않을 가능성이 높습니다.
각도 및 숫자 인수의 삼각 함수
이전 단락에 제공된 정의에 따르면 각 회전 각도 α는 cosα 값뿐만 아니라 매우 구체적인 값 sinα에 해당합니다. 또한 90°+180°k, k∈Z(π/2+πk rad) 이외의 회전각은 모두 tgα 값에 해당하고, 180°k 이외의 값은 k∈Z(πk rad) – 값에 해당합니다. ctgα의 . 따라서 sinα, cosα, tanα 및 ctgα는 각도 α의 함수입니다. 즉, 이들은 각도 인수의 함수입니다.
수치 인수의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 함수에 대해서도 비슷하게 말할 수 있습니다. 실제로 각 실수 t는 비용뿐만 아니라 매우 구체적인 값 sint에 해당합니다. 또한, π/2+π·k, k∈Z 이외의 모든 숫자는 tgt 값에 해당하고, 숫자 π·k, k∈Z - ctgt 값에 해당합니다.
사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 함수를 호출합니다. 기본 삼각 함수.
우리가 각도 인수 또는 수치 인수의 삼각 함수를 다루고 있는지는 일반적으로 문맥에서 명확합니다. 그렇지 않으면 독립 변수를 각도 측정값(각 인수)과 숫자 인수로 생각할 수 있습니다.
그러나 학교에서는 주로 수치 함수, 즉 인수와 해당 함수 값이 숫자인 함수를 공부합니다. 그러므로 만일 우리 얘기 중이야특히 함수에 대해서는 삼각 함수를 수치 인수의 함수로 간주하는 것이 좋습니다.
기하학과 삼각법의 정의 사이의 관계
0도에서 90도 범위의 회전 각도 α를 고려하면 삼각법의 맥락에서 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의는 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의와 완전히 일치합니다. 기하학 과정에서 제공되는 직각 삼각형의 예각. 이것을 정당화해 봅시다.
직사각형 직교 좌표계 Oxy에서 단위원을 묘사해 보겠습니다. 시작점 A(1, 0) 을 표시해 보겠습니다. 0도에서 90도 사이의 각도 α만큼 회전하면 점 A 1(x, y)을 얻습니다. A 1 지점에서 Ox 축으로 수직 A 1 H를 떨어뜨려 보겠습니다.
직각삼각형의 각 A 1 OH에서 각도와 같음회전 α, 이 각도에 인접한 다리 OH의 길이는 점 A 1의 가로 좌표와 같습니다. 즉, |OH|=x, 모서리 반대쪽 다리 A 1 H의 길이는 세로 좌표와 같습니다. 점 A 1, 즉 |A 1 H|=y이고, 빗변 OA 1의 길이는 단위원의 반지름이므로 1과 같습니다. 그런 다음 기하학의 정의에 따라 직각 삼각형 A 1 OH의 예각 α의 사인은 빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율, 즉 sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. 그리고 삼각법의 정의에 따르면 회전 각도 α의 사인은 점 A 1의 세로 좌표와 같습니다. 즉, sinα=y입니다. 이는 직각 삼각형의 예각의 사인을 결정하는 것이 α가 0에서 90도일 때 회전 각도 α의 사인을 결정하는 것과 동일하다는 것을 보여줍니다.
유사하게, 예각 α의 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의는 회전 각도 α의 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의와 일치한다는 것을 알 수 있습니다.
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먼저, 반지름이 1이고 중심이 (0;0)인 원을 생각해 보세요. 임의의 αЄR에 대해 0A와 0x 축 사이 각도의 라디안 측정값이 α와 같도록 반경 0A를 그릴 수 있습니다. 시계 반대 방향은 양의 방향으로 간주됩니다. 반경 A의 끝 부분에 좌표 (a,b)가 있다고 가정합니다.
사인의 정의
정의: 설명된 방식으로 구성된 단위 반경의 세로좌표와 동일한 숫자 b는 sinα로 표시되며 각도 α의 사인이라고 합니다.
예: 사인 3π cos3π/2 = 0 0 = 0
코사인의 정의
정의: 설명된 방식으로 구성된 단위 반경 끝의 가로좌표와 동일한 숫자 a는 cosα로 표시되며 각도 α의 코사인이라고 합니다.
예: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2
이 예에서는 단위 반지름 끝과 단위원의 좌표를 기준으로 각도의 사인 및 코사인 정의를 사용합니다. 보다 시각적으로 표현하려면 단위원을 그리고 그 위에 해당 점을 그린 다음 가로좌표를 세어 코사인을 계산하고 세로좌표를 계산하여 사인을 계산해야 합니다.
탄젠트 정의
정의: x≠π/2+πk, kЄZ에 대한 함수 tgx=sinx/cosx를 각도 x의 코탄젠트라고 합니다. 도메인 tgx 기능 x=π/2+πn, nЄZ를 제외한 모든 숫자는 실수입니다.
예: tg0 tgπ = 0 0 = 0
이 예는 이전 예와 유사합니다. 각도의 탄젠트를 계산하려면 점의 세로 좌표를 가로 좌표로 나누어야 합니다.
코탄젠트의 정의
정의: x≠πk, kЄZ에 대한 함수 ctgx=cosx/sinx를 각도 x의 코탄젠트라고 합니다. 함수 ctgx =의 정의 영역은 점 x=πk, kЄZ를 제외한 모든 실수입니다.
정삼각형을 사용한 예를 살펴보겠습니다.
코사인, 사인, 탄젠트, 코탄젠트가 무엇인지 더 명확하게 설명합니다. 각도 y가 있는 정삼각형을 사용하는 예를 살펴보겠습니다. 측면 a,b,c. 빗변 c, 다리 a 및 b 각각. 빗변 c와 다리 b y 사이의 각도입니다.
정의:각도 y의 사인은 빗변에 대한 대변의 비율입니다: siny = a/c
정의:각도 y의 코사인은 빗변에 대한 인접한 다리의 비율입니다. cosy= in/c
정의:각도 y의 접선은 인접 변에 대한 반대 변의 비율입니다: tgy = a/b
정의:각도 y의 코탄젠트는 인접한 변과 반대쪽 변의 비율입니다. ctgy= in/a
사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트를 삼각 함수라고도 합니다. 각 각도에는 자체 사인과 코사인이 있습니다. 그리고 거의 모든 사람은 자신만의 탄젠트와 코탄젠트를 가지고 있습니다.
각도가 주어지면 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트가 우리에게 알려지는 것으로 믿어집니다! 그 반대. 사인이나 기타 삼각 함수가 주어지면 각도를 알 수 있습니다. 각 각도에 대해 삼각 함수가 작성된 특수 테이블도 만들어졌습니다.
사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 개념은 수학의 한 분야인 삼각법의 주요 범주이며 각도의 정의와 불가분하게 연결되어 있습니다. 이 수학적 과학을 숙달하려면 공식과 정리를 암기하고 이해하는 것뿐만 아니라 공간적 사고도 발달해야 합니다. 그렇기 때문에 초등학생과 학생들은 삼각법 계산어려움을 겪는 경우가 많습니다. 이를 극복하려면 삼각함수와 공식에 좀 더 익숙해져야 합니다.
삼각법의 개념
이해하다 기본 개념삼각법을 사용하려면 먼저 직각삼각형과 원의 각도가 무엇인지, 그리고 모든 기본 삼각법 계산이 왜 이들과 연관되어 있는지 결정해야 합니다. 한 각의 크기가 90도인 삼각형은 직사각형입니다. 역사적으로 이 수치는 건축, 항해, 예술, 천문학 분야의 사람들이 자주 사용했습니다. 따라서 사람들은 이 그림의 특성을 연구하고 분석함으로써 해당 매개변수의 해당 비율을 계산하게 되었습니다.
직각 삼각형과 관련된 주요 범주는 빗변과 다리입니다. 빗변은 직각 반대편에 있는 삼각형의 변입니다. 다리는 각각 나머지 두면입니다. 모든 삼각형의 내각의 합은 항상 180도입니다.
구면삼각법(Spherical trigonometry)은 학교에서는 공부하지 않지만 천문학, 측지학과 같은 응용과학에서는 과학자들이 사용하는 삼각법의 한 분야이다. 구면삼각법에서 삼각형의 특징은 각의 합이 항상 180도보다 크다는 것입니다.
삼각형의 각도
직각 삼각형에서 각도의 사인은 원하는 각도 반대쪽 다리와 삼각형의 빗변의 비율입니다. 따라서 코사인은 인접한 다리와 빗변의 비율입니다. 이 두 값 모두 항상 크기를 갖습니다. 1개 미만, 빗변은 항상 다리보다 길기 때문입니다.
각도의 탄젠트는 원하는 각도의 반대쪽과 인접한 쪽의 비율, 즉 사인 대 코사인의 비율과 같은 값입니다. 코탄젠트는 원하는 각도의 인접면과 반대면의 비율입니다. 각도의 코탄젠트 값은 각도를 탄젠트 값으로 나누어 구할 수도 있습니다.
단위원
기하학에서 단위원은 반지름이 1인 원입니다. 이러한 원은 원점과 원의 중심이 일치하는 데카르트 좌표계로 구성되며, 반경 벡터의 초기 위치는 X축(가로축)의 양의 방향을 따라 결정됩니다. 원의 각 점에는 XX와 YY라는 두 개의 좌표, 즉 가로 좌표와 세로 좌표가 있습니다. XX 평면의 원에서 임의의 점을 선택하고 그 점에서 가로축에 수직을 놓으면 선택한 점(문자 C로 표시)까지의 반경으로 형성된 직각 삼각형을 얻습니다. (교차점은 문자 G로 표시됨) 원점(점은 문자 A로 지정됨)과 교차점 G 사이의 가로축을 분할합니다. 결과 삼각형 ACG는 원에 내접하는 직각삼각형이며, 여기서 AG는 빗변이고 AC와 GC는 다리입니다. 원 AC의 반경과 AG로 표시된 가로축 세그먼트 사이의 각도는 α(알파)로 정의됩니다. 따라서 cos α = AG/AC입니다. AC가 단위원의 반지름이고 1과 같다는 점을 고려하면 cosα=AG임을 알 수 있다. 마찬가지로, sinα=CG입니다.
또한, 이 데이터를 알면 cos α=AG이고 sin α=CG이므로 원 위의 점 C의 좌표를 결정할 수 있습니다. 이는 점 C가 다음을 의미합니다. 주어진 좌표(cos α;sin α). 탄젠트가 사인 대 코사인의 비율과 동일하다는 것을 알면 tan α = y/x, cot α = x/y를 결정할 수 있습니다. 음의 좌표계에서 각도를 고려하면 일부 각도의 사인 및 코사인 값이 음수가 될 수 있음을 계산할 수 있습니다.
계산 및 기본 공식
삼각 함수 값
단위원을 통해 삼각 함수의 본질을 고려한 후 일부 각도에 대한 이러한 함수의 값을 도출할 수 있습니다. 값은 아래 표에 나열되어 있습니다.
가장 간단한 삼각법 항등식
삼각 함수의 부호 아래에 알 수 없는 값이 있는 방정식을 삼각 함수라고 합니다. sin x = α, k - 임의의 정수 값을 갖는 항등식:
- 사인 x = 0, x = πk.
- 2. 사인 x = 1, x = π/2 + 2πk.
- 사인 x = -1, x = -π/2 + 2πk.
- 죄 x = a, |a| > 1, 해결책이 없습니다.
- 죄 x = a, |a| DF 1, x = (-1)^k * 아크사인 α + πk.
값이 cos x = a인 항등식(여기서 k는 정수임):
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x = -1, x = π + 2πk.
- 왜냐하면 x = a, |a| > 1, 해결책이 없습니다.
- 왜냐하면 x = a, |a| 1, x = ±arccos α + 2πk.
값이 tg x = a인 항등식. 여기서 k는 임의의 정수입니다.
- tan x = 0, x = π/2 + πk.
- tan x = a, x = 아크탄 α + πk.
값이 ctg x = a인 ID(여기서 k는 정수임):
- cot x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
감소 공식
이 카테고리 상수 공식형식의 삼각 함수에서 인수 함수로 이동할 수 있는 방법을 나타냅니다. 즉, 모든 값의 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트를 간격 각도의 해당 표시기로 0에서 0까지 줄입니다. 계산의 편의를 위해 90도.
각도의 사인에 대한 함수를 줄이는 공식은 다음과 같습니다.
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- 죄(1800 - α) = 죄 α;
- 죄(1800 + α) = -죄 α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- 죄(3600 + α) = 죄 α.
각도의 코사인의 경우:
- cos(900 - α) = 사인 α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = 사인 α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
위 공식의 사용은 두 가지 규칙에 따라 가능합니다. 첫째, 각도를 (π/2 ± a) 또는 (3π/2 ± a) 값으로 표현할 수 있으면 함수 값이 다음과 같이 변경됩니다.
- 죄에서 코스로;
- 코스에서 죄로;
- tg에서 ctg로;
- ctg에서 tg로.
각도가 (π ± a) 또는 (2π ± a)로 표시될 수 있으면 함수 값은 변경되지 않습니다.
둘째, 감소된 기능의 부호는 변하지 않습니다. 처음에 양수였다면 그대로 유지됩니다. 부정적인 기능과 동일합니다.
덧셈 공식
이 공식은 삼각 함수를 통해 두 회전 각도의 합과 차이의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값을 표현합니다. 일반적으로 각도는 α와 β로 표시됩니다.
수식은 다음과 같습니다.
- 죄(α ± β) = 죄 α * cos β ± cos α * 죄.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
이 공식은 모든 각도 α 및 β에 유효합니다.
이중 및 삼중 각도 공식
이중 및 삼중각 삼각함수 공식은 각도 2α와 3α의 함수를 각각 각도 α의 삼각함수와 연관시키는 공식입니다. 덧셈 공식에서 파생됨:
- 죄2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2 α.
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
- 죄3α = 3sinα - 4sin^3 α.
- cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
합계에서 곱으로의 전환
2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y)를 고려하여 이 공식을 단순화하면 sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2라는 항등식을 얻습니다. 마찬가지로 sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
제품에서 합계로 전환
이 공식은 합계가 곱으로 전환되는 ID를 따릅니다.
- 죄α * 죄β = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
학위 감소 공식
이러한 항등식에서 사인과 코사인의 제곱과 3차 거듭제곱은 다중 각도의 1차 거듭제곱인 사인과 코사인으로 표현될 수 있습니다.
- 죄^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- 죄^3 α = (3 * 죄α - 죄3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
보편적인 대체
범용 삼각법 대체 공식은 반각의 탄젠트 측면에서 삼각 함수를 표현합니다.
- sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), x = π + 2πn;
- cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), 여기서 x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), 여기서 x = π + 2πn;
- cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), x = π + 2πn입니다.
특수한 상황들
원생동물의 특별한 경우 삼각 방정식아래에 주어진다(k는 임의의 정수이다).
사인의 몫:
| 죄 x 값 | x 값 |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk 또는 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk 또는 -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk 또는 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk 또는 -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk 또는 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk 또는 -2π/3 + 2πk |
코사인의 몫:
| cos x 값 | x 값 |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
탄젠트의 몫:
| tg x 값 | x 값 |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
코탄젠트의 몫:
| CTG x 값 | x 값 |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
정리
사인의 정리
정리에는 단순 버전과 확장 버전의 두 가지 버전이 있습니다. 간단한 정리사인: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. 이 경우, a, b, c는 삼각형의 변이고, α, β, γ는 각각 반대각이다.
임의의 삼각형에 대한 확장 사인 정리: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. 이 항등식에서 R은 주어진 삼각형이 내접하는 원의 반지름을 나타냅니다.
코사인 정리
항등식은 다음과 같이 표시됩니다: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. 공식에서 a, b, c는 삼각형의 변이고 α는 변 a에 반대되는 각도입니다.
탄젠트 정리
이 공식은 두 각도의 접선과 그 반대쪽 변의 길이 사이의 관계를 표현합니다. 측면에는 a, b, c로 표시되어 있으며 해당 반대 각도는 α, β, γ입니다. 탄젠트 정리의 공식: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).
코탄젠트 정리
삼각형에 내접하는 원의 반지름과 변의 길이를 연결합니다. a, b, c가 삼각형의 변이고 A, B, C가 각각 마주보는 각도라면, r은 내접원의 반지름, p는 삼각형의 반주변이므로 다음과 같습니다. 신원은 유효합니다:
- cot A/2 = (p-a)/r;
- 침대 B/2 = (p-b)/r;
- cot C/2 = (p-c)/r.
애플리케이션
삼각법은 다음과 관련된 이론 과학뿐만 아니라 수학 공식. 그 속성, 정리 및 규칙은 실제로 다양한 산업 분야에서 사용됩니다. 인간 활동— 천문학, 항공 및 해상 항해, 음악 이론, 측지학, 화학, 음향학, 광학, 전자, 건축, 경제, 기계 공학, 측정 작업, 컴퓨터 그래픽, 지도 제작, 해양학 및 기타 여러 분야.
사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트는 삼각법의 기본 개념으로, 이를 사용하여 삼각형의 각도와 변의 길이 사이의 관계를 수학적으로 표현하고 항등식, 정리 및 규칙을 통해 필요한 수량을 찾을 수 있습니다.
중요 사항!
1. 수식 대신 gobbledygook이 표시되면 캐시를 삭제하세요. 브라우저에서 이를 수행하는 방법은 다음과 같습니다.
2. 기사를 읽기 전에 네비게이터에 가장 주의를 기울이십시오. 유용한 자원을 위한
사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트
사인(), 코사인(), 탄젠트(), 코탄젠트()의 개념은 각도의 개념과 불가분의 관계가 있습니다. 언뜻보기에 이러한 복잡한 개념 (많은 학생들에게 공포 상태를 유발하는)을 잘 이해하고 "악마가 그려진 것만 큼 끔찍하지 않다는 것을 확인하기 위해"부터 시작하겠습니다. 각도의 개념을 이해하고 시작하세요.
각도 개념: 라디안, 도
사진을 보자. 벡터는 점을 기준으로 일정량만큼 "회전"했습니다. 따라서 초기 위치에 대한 회전의 측정값은 다음과 같습니다. 모서리.
각도의 개념에 대해 또 무엇을 알아야 합니까? 물론, 각도 단위입니다!
기하학과 삼각법 모두에서 각도는 도와 라디안으로 측정할 수 있습니다.
(1도)의 각도를 호출합니다. 중심각원의 일부와 동일한 원호를 기반으로 하는 원. 따라서 전체 원은 원호의 "조각"으로 구성됩니다. 즉 원이 나타내는 각도는 동일합니다.
즉, 위 그림은 다음과 같은 각도를 보여줍니다. 즉, 이 각도는 원주 크기의 원호에 있습니다.
라디안 단위의 각도는 길이가 원의 반지름과 같은 원호에 해당하는 원의 중심각입니다. 글쎄, 알아냈어? 그렇지 않다면 그림에서 알아 봅시다.
따라서 그림은 라디안과 같은 각도를 보여줍니다. 즉, 이 각도는 길이가 원의 반경과 같은 원호에 있습니다 (길이는 길이와 같거나 반경은 호의 길이). 따라서 호 길이는 다음 공식으로 계산됩니다.
라디안 단위의 중심각은 어디에 있습니까?
글쎄, 이것을 알면 원이 나타내는 각도에 몇 라디안이 포함되는지 답할 수 있습니까? 예, 이를 위해서는 원주 공식을 기억해야 합니다. 여기 그녀가 있습니다:
자, 이제 이 두 공식을 연관시키고 원이 나타내는 각도가 같다는 것을 알아봅시다. 즉, 도와 라디안 값을 연관시켜서 알 수 있습니다. 각각 . 보시다시피, "도"와 달리 "라디안"이라는 단어는 생략됩니다. 왜냐하면 일반적으로 측정 단위가 문맥에서 명확하기 때문입니다.
몇 라디안이 있나요? 좋아요!
알았어요? 그런 다음 계속해서 수정하세요.
어려움이 있나요? 그럼 봐 답변:
직각 삼각형: 사인, 코사인, 탄젠트, 각도의 코탄젠트
그래서 우리는 각도의 개념을 알아냈습니다. 그런데 각도의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트는 무엇일까요? 그것을 알아 봅시다. 이를 위해서는 직각삼각형이 도움이 될 것입니다.
직각삼각형의 변을 뭐라고 부르나요? 맞습니다, 빗변과 다리: 빗변은 직각 반대편에 있는 변입니다(이 예에서는 이것이 변입니다). 다리는 나머지 두 측면이고 (인접한 측면은 직각) 그리고 각도를 기준으로 다리를 고려하면 다리는 다음과 같습니다. 인접한 다리, 다리는 반대입니다. 이제 각도의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트가 무엇인지에 대한 질문에 답해 보겠습니다.
각도의 사인- 빗변에 대한 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.
우리 삼각형에서.
각도의 코사인- 빗변에 대한 인접한 (닫힌) 다리의 비율입니다.
우리 삼각형에서.
각도의 탄젠트- 반대쪽(먼 쪽)과 인접한 쪽(가까운 쪽)의 비율입니다.
우리 삼각형에서.
각도의 코탄젠트- 인접한(가까운) 다리와 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.
우리 삼각형에서.
이러한 정의가 필요합니다 기억하다! 어느 다리를 무엇으로 나누어야 할지 기억하기 쉽도록 하기 위해서는 접선그리고 코탄젠트다리만 앉고 빗변은 공동그리고 코사인. 그런 다음 일련의 연관을 생각해 낼 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
코사인→터치→터치→인접;
코탄젠트→터치→터치→인접.
우선, 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트는 삼각형의 변의 비율이 (같은 각도에서) 이들 변의 길이에 의존하지 않는다는 것을 기억해야 합니다. 믿을 수 없어? 그런 다음 그림을 보고 확인하십시오.
예를 들어 각도의 코사인을 생각해 보세요. 정의에 따르면 삼각형에서: 이지만 삼각형에서 각도의 코사인을 계산할 수 있습니다: . 보시다시피, 변의 길이는 다르지만 한 각도의 코사인 값은 같습니다. 따라서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 값은 각도의 크기에만 의존합니다.
정의를 이해했다면 계속해서 통합하세요!
아래 그림에 표시된 삼각형에 대해 우리는 찾습니다.
글쎄요, 이해하셨나요? 그런 다음 직접 시도해 보십시오. 각도에 대해서도 동일하게 계산하십시오.
단위(삼각) 원
각도와 라디안의 개념을 이해하면서 반지름이 다음과 같은 원을 고려했습니다. 그러한 원을 호출합니다. 하나의. 삼각법을 공부할 때 매우 유용할 것입니다. 그러므로 조금 더 자세히 살펴보겠습니다.
보시다시피 이 원은 데카르트 좌표계로 구성됩니다. 원의 반지름은 1과 같고 원의 중심은 좌표 원점에 있고 반지름 벡터의 초기 위치는 축의 양의 방향을 따라 고정됩니다(이 예에서는 반지름입니다).
원의 각 점은 축 좌표와 축 좌표라는 두 숫자에 해당합니다. 이 좌표 번호는 무엇입니까? 그리고 일반적으로 그들은 당면한 주제와 어떤 관련이 있습니까? 이렇게 하려면 고려된 직각삼각형에 대해 기억해야 합니다. 위 그림에서 두 개의 완전한 직각삼각형을 볼 수 있습니다. 삼각형을 생각해 보세요. 축에 수직이므로 직사각형입니다.
삼각형은 무엇과 같습니까? 좋아요. 또한, 우리는 이것이 단위원의 반지름이라는 것을 알고 있습니다. 이 값을 코사인 공식에 대입해 보겠습니다. 일어나는 일은 다음과 같습니다.
삼각형은 무엇과 같습니까? 물론이죠! 이 공식에 반경 값을 대입하면 다음을 얻습니다.
그러면 원에 속한 점이 어떤 좌표를 가지고 있는지 알 수 있나요? 글쎄요? 그것을 깨닫고 단지 숫자일 뿐이라면 어떨까요? 어느 좌표에 해당합니까? 물론 좌표도요! 그리고 그것은 어떤 좌표에 해당합니까? 그렇죠, 좌표! 따라서 기간.
그렇다면 과 는 무엇입니까? 맞습니다. 탄젠트와 코탄젠트의 해당 정의를 사용하여 다음을 얻습니다.
각도가 더 크면 어떨까요? 예를 들어, 이 그림과 같습니다:
이 예에서는 무엇이 변경되었나요? 그것을 알아 봅시다. 이를 위해 다시 직각삼각형으로 돌아가 보겠습니다. 직각 삼각형을 생각해 보세요: 각도(각에 인접한 각도). 각도에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값은 무엇입니까? 그렇습니다. 우리는 삼각함수의 해당 정의를 준수합니다.
보시다시피 각도의 사인 값은 여전히 좌표에 해당합니다. 각도의 코사인 값 - 좌표; 해당 비율에 대한 탄젠트 및 코탄젠트 값. 따라서 이러한 관계는 반경 벡터의 모든 회전에 적용됩니다.
반경 벡터의 초기 위치는 축의 양의 방향을 따른다는 것이 이미 언급되었습니다. 지금까지 우리는 이 벡터를 시계 반대 방향으로 회전시켰습니다. 그러나 시계 방향으로 회전하면 어떻게 될까요? 특별한 것은 없습니다. 특정 값의 각도도 얻을 수 있지만 이는 음수일 뿐입니다. 따라서 반경 벡터를 시계 반대 방향으로 회전하면 다음을 얻습니다. 양의 각도, 그리고 시계방향으로 회전할 때 - 부정적인.
따라서 우리는 원 주위의 반지름 벡터의 전체 회전이 or라는 것을 알고 있습니다. 반경 벡터를 회전할 수 있나요? 물론 가능합니다! 따라서 첫 번째 경우에는 반경 벡터가 완전히 한 바퀴 회전하고 위치 또는 위치에서 정지합니다.
두 번째 경우, 즉 반경 벡터는 세 번 완전히 회전하고 위치 또는 위치에서 정지합니다.
따라서 위의 예에서 우리는 또는 (여기서 정수는 어디입니까)만큼 다른 각도가 반경 벡터의 동일한 위치에 해당한다는 결론을 내릴 수 있습니다.
아래 그림은 각도를 보여줍니다. 같은 이미지가 모서리 등에 해당합니다. 이 목록은 무기한으로 계속될 수 있습니다. 이 모든 각도는 일반 공식 또는 (정수는 어디에 있습니까)로 쓸 수 있습니다
이제 기본 삼각 함수의 정의를 알고 단위원을 사용하여 값이 무엇인지 답해 보세요.
여기에 도움이 되는 단위원이 있습니다:
어려움이 있나요? 그럼 알아 봅시다. 그래서 우리는 다음을 알고 있습니다.
여기에서 특정 각도 측정에 해당하는 점의 좌표를 결정합니다. 음, 순서대로 시작하겠습니다. 각도는 좌표가 있는 점에 해당하므로 다음과 같습니다.
존재하지 않는다;
또한 동일한 논리를 사용하여 모서리가 각각 좌표가 있는 점에 해당한다는 것을 알 수 있습니다. 이를 알면 해당 지점의 삼각함수 값을 쉽게 결정할 수 있습니다. 먼저 직접 시도해보고 답을 확인해 보세요.
답변:
따라서 우리는 다음과 같은 표를 만들 수 있습니다.
이 값을 모두 기억할 필요는 없습니다. 단위원의 점 좌표와 삼각 함수 값 사이의 대응 관계를 기억하는 것으로 충분합니다.
그러나 아래 표에 주어진 각도의 삼각 함수 값은, 기억해야 한다:
겁내지 마세요. 이제 한 가지 예를 보여드리겠습니다. 해당 값을 기억하는 것은 매우 간단합니다.:
이 방법을 사용하려면 각도()의 세 가지 측정값 모두에 대한 사인 값과 각도의 탄젠트 값을 기억하는 것이 중요합니다. 이 값을 알면 전체 테이블을 복원하는 것이 매우 간단합니다. 코사인 값은 화살표에 따라 전송됩니다. 즉,
이를 알면 값을 복원할 수 있습니다. 분자 " "가 일치하고 분모 " "가 일치합니다. 코탄젠트 값은 그림에 표시된 화살표에 따라 전송됩니다. 이것을 이해하고 화살표가 있는 다이어그램을 기억한다면 표의 모든 값을 기억하는 것으로 충분할 것입니다.
원 위의 한 점의 좌표
원 위의 점(좌표)을 찾는 것이 가능합니까? 원의 중심 좌표, 반경 및 회전 각도를 아는 것?
물론 가능합니다! 그것을 꺼내자 일반식점의 좌표를 찾으려면.
예를 들어, 여기 우리 앞에 원이 있습니다.
점이 원의 중심이라는 것을 알 수 있습니다. 원의 반지름은 같습니다. 점을 각도만큼 회전시켜 얻은 점의 좌표를 찾는 것이 필요합니다.
그림에서 볼 수 있듯이 점의 좌표는 세그먼트의 길이에 해당합니다. 세그먼트의 길이는 원 중심의 좌표에 해당합니다. 즉, 동일합니다. 세그먼트의 길이는 코사인의 정의를 사용하여 표현될 수 있습니다.
그런 다음 점 좌표에 대한 정보를 얻습니다.
동일한 논리를 사용하여 점의 y 좌표 값을 찾습니다. 따라서,
그래서, 일반적인 견해점의 좌표는 다음 공식에 의해 결정됩니다.
원의 중심 좌표,
원 반경,
벡터 반경의 회전 각도입니다.
보시다시피, 우리가 고려하고 있는 단위원의 경우 중심 좌표가 0이고 반경이 1이기 때문에 이러한 공식이 크게 줄어듭니다.
자, 원에서 점 찾기를 연습하면서 이 공식들을 시험해 볼까요?
1. 점을 회전시켜 얻은 단위원 위의 점의 좌표를 구합니다.
2. 점을 회전시켜 얻은 단위원 위의 점의 좌표를 구합니다.
3. 점을 회전시켜 얻은 단위원 위의 점의 좌표를 구합니다.
4. 점은 원의 중심입니다. 원의 반지름은 같습니다. 초기 반경 벡터를 회전시켜 얻은 점의 좌표를 찾는 것이 필요합니다.
5. 점은 원의 중심입니다. 원의 반지름은 같습니다. 초기 반경 벡터를 회전시켜 얻은 점의 좌표를 찾는 것이 필요합니다.
원 위의 한 점의 좌표를 찾는 데 문제가 있습니까?
다음 다섯 가지 예를 풀면(또는 잘 풀 수 있게 되면) 그 예를 찾는 방법을 배우게 될 것입니다!
요약 및 기본 공식
각도의 사인은 반대쪽(먼 쪽) 다리와 빗변의 비율입니다.
각도의 코사인은 빗변에 대한 인접한(닫힌) 다리의 비율입니다.
각도의 탄젠트는 반대쪽(먼 쪽)과 인접한(가까운 쪽) 쪽의 비율입니다.
각도의 코탄젠트는 인접한(가까운) 변과 반대(먼) 변의 비율입니다.
자, 주제는 끝났습니다. 이 글을 읽고 있다면 당신이 매우 멋지다는 뜻입니다.
왜냐하면 오직 5%의 사람들만이 스스로 무언가를 마스터할 수 있기 때문입니다. 그리고 끝까지 읽으면 당신은 이 5% 안에 속합니다!
이제 가장 중요한 것입니다.
당신은 이 주제에 대한 이론을 이해했습니다. 그리고 반복합니다. 이건... 정말 최고예요! 당신은 이미 대다수의 동료들보다 더 뛰어납니다.
문제는 이것만으로는 충분하지 않을 수 있다는 것입니다.
무엇을 위해?
성공을 위해 통합 국가 시험에 합격, 예산에 맞춰 대학에 입학하기 위해 그리고 가장 중요하게는 평생 동안.
아무것도 설득하지 않고 딱 하나만 말씀드리겠습니다...
좋은 교육을 받은 사람은 그렇지 않은 사람보다 훨씬 더 많은 돈을 번다. 이것은 통계입니다.
그러나 이것이 중요한 것은 아닙니다.
가장 중요한 것은 그들이 더 행복하다는 것입니다 (그런 연구가 있습니다). 아마도 그들 앞에 더 많은 기회가 열리고 삶이 더 밝아지기 때문일까요? 모른다...
하지만 스스로 생각해 보세요...
통합 상태 시험에서 다른 사람보다 더 뛰어나고 궁극적으로 더 행복해지려면 무엇이 필요합니까?
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'이해한다'와 '해결할 수 있다'는 완전히 다른 능력이다. 둘 다 필요합니다.
문제를 찾아 해결해보세요!
이 기사에는 다음이 포함되어 있습니다. 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 표. 먼저 삼각 함수의 기본 값 표, 즉 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360도 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 표를 제공합니다 ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π라디안). 그런 다음 V. M. Bradis의 사인 및 코사인 표와 탄젠트 및 코탄젠트 표를 제공하고 삼각 함수 값을 찾을 때 이러한 표를 사용하는 방법을 보여줍니다.
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0, 30, 45, 60, 90, ... 각도에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 표
서지.
- 대수학:교과서 9학년용. 평균 학교/유. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; 에드. S. A. Telyakovsky. - M.: 교육, 1990. - 272 페이지: ISBN 5-09-002727-7
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- Gusev V. A., Mordkovich A. G.수학(전문학교 입학을 위한 매뉴얼): Proc. 수당.-M.; 더 높은 학교, 1984.-351 p., 아픈.
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