같은 차수의 지수 방정식의 해. 지수 방정식의 해. 기초

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먼저 도의 기본 공식과 그 속성을 기억합시다.

숫자의 곱 ㅏ n 번 발생하면 이 표현식을 a … a=a n으로 쓸 수 있습니다.

1. 0 = 1 (a ≠ 0)

3. 아나 m = 엔 + m

4. (n) m = a nm

5. n b n = (ab) n

7. n / a m \u003d a n - m

거듭제곱 또는 지수 방정식- 이들은 변수가 거듭제곱(또는 지수)이고 밑이 숫자인 방정식입니다.

지수 방정식의 예:

이 예에서 숫자 6은 밑수이고 항상 맨 아래에 있으며 변수는 엑스정도 또는 측정.

지수 방정식의 더 많은 예를 들어 보겠습니다.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

이제 지수 방정식을 푸는 방법을 살펴 보겠습니다.

간단한 방정식을 봅시다.

2 x = 2 3

그러한 예는 마음 속에서도 풀 수 있습니다. x=3임을 알 수 있다. 결국 왼쪽과 오른쪽이 같게 하려면 x 대신 숫자 3을 넣어야 합니다.
이제 이 결정이 어떻게 내려져야 하는지 봅시다.

2 x = 2 3
x = 3

이 방정식을 풀기 위해 우리는 같은 근거(즉, 듀스) 남은 것을 적는 것이 정도입니다. 우리는 우리가 찾던 답을 얻었습니다.

이제 솔루션을 요약해 보겠습니다.

지수 방정식을 푸는 알고리즘:
1. 확인해야 할 사항 똑같다방정식의 밑이 오른쪽과 왼쪽에 있는지 여부. 근거가 같지 않다면 이 예를 해결하기 위한 옵션을 찾고 있습니다.
2. 베이스가 같으면 같게 하다학위를 받고 결과로 나오는 새로운 방정식을 풉니다.

이제 몇 가지 예를 해결해 보겠습니다.

간단하게 시작해 보겠습니다.

왼쪽과 오른쪽의 밑변은 숫자 2와 같습니다. 즉, 밑변을 버리고 차수를 같게 할 수 있습니다.

x+2=4 가장 간단한 방정식이 나왔습니다.
x=4 - 2
x=2
답: x=2

다음 예에서 밑이 3과 9가 다른 것을 볼 수 있습니다.

3 3x - 9 x + 8 = 0

우선 9를 오른쪽으로 옮기면 다음을 얻습니다.

이제 동일한 기초를 만들어야합니다. 우리는 9=3 2 를 알고 있습니다. 거듭제곱 공식 (an n) m = a nm 를 사용합시다.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

우리는 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16을 얻습니다.

3 3x \u003d 3 2x + 16 이제 왼쪽과 오른쪽의 밑변이 동일하고 3과 동일하다는 것이 분명해졌습니다.

3x=2x+16은 가장 간단한 방정식을 얻었습니다.
3x-2x=16
x=16
답: x=16입니다.

다음 예를 살펴보겠습니다.

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

우선, 우리는베이스를보고베이스는 2와 4가 다릅니다. 그리고 우리는 같아야 합니다. 공식 (an n) m = a nm 에 따라 쿼드러플을 변환합니다.

4 x = (2 2) x = 2 2x

그리고 우리는 또한 하나의 공식을 사용합니다: a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

방정식에 추가:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

우리는 같은 이유로 예를 들었습니다. 그러나 다른 숫자 10과 24는 우리를 방해합니다. 자세히 보면 왼쪽에서 2 2x를 반복한다는 것을 알 수 있습니다. 여기에 답이 있습니다. 대괄호 안에 2 2x를 넣을 수 있습니다.

2 2x (2 4 - 10) = 24

괄호 안의 표현식을 계산해 보겠습니다.

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

전체 방정식을 6으로 나눕니다.

4=2 2를 상상해보세요.

2 2x \u003d 2 2 2개의 염기는 동일하므로 버리고 도를 동일시하십시오.
2x \u003d 2가 가장 간단한 방정식으로 판명되었습니다. 우리는 그것을 2로 나누면 다음을 얻습니다.
x = 1
답: x = 1.

방정식을 풀자:

9 x - 12*3 x +27= 0

변환해 보겠습니다.
9 x = (3 2) x = 3 2x

우리는 방정식을 얻습니다.
3 2x - 12 3 x +27 = 0

우리의 밑수는 3과 같습니다.이 예에서 첫 번째 트리플은 두 번째(단지 x)보다 두 배(2x) 차수가 있음이 분명합니다. 이 경우 결정할 수 있습니다. 대체 방법. 차수가 가장 작은 숫자는 다음으로 대체됩니다.

그런 다음 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

t가 있는 방정식의 모든 각도를 x로 바꿉니다.

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
우리는 이차 방정식을 얻습니다. 판별식을 통해 해결하면 다음을 얻습니다.
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

변수로 돌아가기 엑스.

우리는 t 1을 취합니다:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

그건,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

하나의 뿌리가 발견되었습니다. 우리는 t 2에서 두 번째 것을 찾고 있습니다.
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
답: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

사이트에서 HELP DECIDE 섹션에서 관심있는 질문을 할 수 있습니다. 우리는 확실히 대답 할 것입니다.

그룹에 가입

장비:

• 컴퓨터,
• 멀티미디어 프로젝터,
• 화면,
• 첨부 1(PowerPoint 슬라이드 프레젠테이션) "지수 방정식 풀이 방법"
• 부록 2(Word에서 "Three different bases of degree"와 같은 방정식의 해법)
• 부록 3(Word의 유인물 실무).
• 부록 4(Word 숙제용 유인물).

수업 중

1. 조직 단계

• 공과 주제의 메시지(보드에 적음),
• 10-11학년에서 일반화 수업의 필요성:

지식의 적극적인 동화를 위해 학생들을 준비시키는 단계

되풀이

정의.

지수 방정식은 지수에 변수를 포함하는 방정식입니다(학생이 답함).

선생님의 메모. 지수 방정식은 초월 방정식의 클래스에 속합니다. 이 발음하기 어려운 이름은 일반적으로 이러한 방정식이 공식의 형태로 풀릴 수 없음을 나타냅니다.

그것들은 컴퓨터에서 대략적인 수치적 방법으로만 풀 수 있습니다. 그러나 시험 문제는 어떻습니까? 전체 트릭은 시험관이 분석 솔루션을 승인하는 방식으로 문제를 구성한다는 것입니다. 다시 말해, 다음과 같은 작업을 할 수 있습니다(그리고 해야 합니다!). 동일한 변형, 주어진 지수 방정식을 가장 간단한 지수 방정식으로 줄입니다. 이것은 가장 간단한 방정식이며 다음과 같이 불립니다. 가장 간단한 지수 방정식. 해결된다 로그.

지수 방정식의 솔루션이 있는 상황은 문제의 컴파일러가 특별히 고안한 미로를 통한 여행과 유사합니다. 이러한 매우 일반적인 고려 사항에서 매우 구체적인 권장 사항이 따릅니다.

지수 방정식을 성공적으로 풀려면 다음을 수행해야 합니다.

1. 모든 지수 항등식을 능동적으로 알 뿐만 아니라 이러한 항등식을 정의하는 변수의 값 집합을 찾아 이러한 항등식을 사용할 때 불필요한 근을 얻지 않고 더 나아가 손실되지 않도록 합니다. 방정식에 대한 솔루션.

2. 모든 지수 아이덴티티를 적극적으로 알고 있습니다.

3. 명확하게 오류 없이 방정식의 수학적 변환을 수행하십시오(방정식의 한 부분에서 다른 부분으로 항을 옮기고 부호를 변경하는 것을 잊지 말고 분수를 공통 분모로 줄이는 등). 이것을 수학적 문화라고 합니다. 동시에 계산 자체는 손으로 자동으로 수행되어야 하며 머리는 솔루션의 일반적인 안내 스레드에 대해 생각해야 합니다. 가능한 한 신중하고 자세하게 변환해야합니다. 그래야만 정확하고 오류 없는 솔루션을 보장할 수 있습니다. 그리고 기억하십시오. 작은 산술 오류는 원칙적으로 분석적으로 풀 수 없는 초월 방정식을 간단히 생성할 수 있습니다. 길을 잃고 미로의 벽에 부딪힌 것으로 나타났습니다.

4. 문제 해결 방법을 알고 있습니다(즉, 솔루션의 미로를 통과하는 모든 경로를 알고 있어야 함). 각 단계에서 올바른 방향을 위해 다음을 수행해야 합니다(의식적으로 또는 직관적으로!).

• 정의하다 방정식 유형;
• 해당 유형을 기억 해결 방법작업.

연구 자료의 일반화 및 체계화 단계.

교사는 학생과 함께 컴퓨터를 사용하여 모든 유형의 지수 방정식 및 해결 방법에 대한 개요 반복을 수행하고 작성합니다. 일반 계획. (튜토리얼을 사용하여 컴퓨터 프로그램라야. Borevsky "Course of Mathematics - 2000", PowerPoint 프레젠테이션 작성자 - T.N. 쿠프초프.)

쌀. 하나.그림은 모든 유형의 지수 방정식의 일반적인 계획을 보여줍니다.

이 다이어그램에서 알 수 있듯이 지수 방정식을 푸는 전략은 이 지수 방정식을 방정식으로 줄이는 것입니다. 우선, 같은 베이스로 , 그리고 - 그리고 같은 지수로.

동일한 밑수와 지수를 가진 방정식을 얻은 후 이 차수를 새 변수로 바꾸고 이 새 변수에 대한 간단한 대수 방정식(보통 분수 유리 또는 이차)을 얻습니다.

이 방정식을 풀고 역치환을 하면 다음과 같은 간단한 지수 방정식 세트가 됩니다. 일반보기로그를 사용합니다.

(사적) 힘의 곱만 발생하는 방정식은 별개입니다. 지수 항등식을 사용하면 이러한 방정식을 즉시 하나의 밑수로, 특히 가장 단순한 지수 방정식으로 가져올 수 있습니다.

3개의 다른 도를 갖는 지수 방정식을 푸는 방법을 고려하십시오.

(교사가 L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000"의 교육용 컴퓨터 프로그램을 가지고 있다면 자연스럽게 디스크로 작업하지만 그렇지 않은 경우 아래 제시된 각 책상에 대해 이러한 유형의 방정식을 인쇄할 수 있습니다. .)

쌀. 2.방정식 솔루션 계획.

쌀. 삼.방정식 풀기 시작

쌀. 넷.방정식의 해의 끝.

실용적인 작업을 수행

방정식의 유형을 결정하고 해결하십시오.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

수업 요약

수업을 채점합니다.

수업 끝

선생님을 위해

실제 작업 답변의 계획.

운동:방정식 목록에서 지정된 유형의 방정식을 선택합니다(표에 답 번호 입력).

1. 세 가지 다른 베이스
2. 두 개의 다른 밑수 - 다른 지수
3. 거듭제곱 - 한 수의 거듭제곱
4. 같은 밑수, 다른 지수
5. 같은 지수 밑 - 같은 지수
6. 힘의 곱
7. 두 가지 다른 도수 - 동일한 표시기
8. 가장 간단한 지수 방정식

1. (힘의 곱)

2. (같은 밑수 - 다른 지수)

예:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

지수 방정식을 푸는 방법

지수 방정식을 풀 때 우리는 그것을 \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \) 형식으로 가져온 다음 지표의 평등으로 전환하려고 노력합니다. 즉,

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

예를 들어:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

중요한! 동일한 논리에서 이러한 전환에는 두 가지 요구 사항이 따릅니다.
- 번호 왼쪽과 오른쪽이 같아야 합니다.
- 왼쪽과 오른쪽 각도는 "순수"여야 합니다.즉, 곱셈, 나눗셈 등이 없어야 합니다.

예를 들어:

방정식을 \(a^(f(x))=a^(g(x))\) 형식으로 가져오고 사용됩니다.

예시 . 지수 방정식 \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) 풀기
해결책:

\(\제곱(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		우리는 \(27 = 3^3\)이라는 것을 알고 있습니다. 이를 염두에 두고 방정식을 변환합니다.
\(\제곱(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		루트 \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) 의 속성에 의해 \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). 또한, 차수 속성 \((a^b)^c=a^(bc)\)을 사용하여 \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		우리는 또한 \(a^b a^c=a^(b+c)\)임을 압니다. 이것을 왼쪽에 적용하면 다음을 얻습니다. \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		이제 \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\)을 기억하십시오. 이 공식은 다음에서도 사용할 수 있습니다. 반대쪽: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). 그런 다음 \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\)입니다.
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)		\((a^b)^c=a^(bc)\) 속성을 오른쪽에 적용하면 \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)		이제 우리는 염기가 동일하고 간섭 계수 등이 없습니다. 그래서 우리는 전환을 할 수 있습니다.
		예시 . 지수 방정식 \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) 풀기 해결책: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) 다시 우리는 반대 방향으로 차수 속성 \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\)을 사용합니다. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) 이제 \(4=2^2\)를 기억하십시오. \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) 정도의 속성을 사용하여 다음을 변환합니다. \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) 방정식을 주의 깊게 살펴보고 \(t=2^x\) 대체가 여기에서 제안됨을 알 수 있습니다. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) 그러나 우리는 ​\(t\) 값을 찾았고 \(x\)가 필요합니다. 우리는 X로 돌아가서 역대입을 합니다. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) 음의 거듭제곱 속성을 사용하여 두 번째 방정식을 변환합니다... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...그리고 답이 나올 때까지 풀어보세요. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) 대답 : \(-1; 1\). 문제는 남아 있습니다. 언제 어떤 방법을 적용해야 하는지 이해하는 방법은 무엇입니까? 그것은 경험과 함께 옵니다. 그동안 획득하지 못한 일반적인 권장 사항복잡한 문제를 해결하기 위해 - "당신이 무엇을해야할지 모르겠다면 - 당신이 할 수있는 일을하십시오." 즉, 원리적으로 방정식을 변환할 수 있는 방법을 찾고 시도해 보십시오. 만약 나온다면 어떻게 될까요? 가장 중요한 것은 수학적으로 정당화된 변환만 수행하는 것입니다. 해가 없는 지수 방정식 학생들을 종종 당황하게 만드는 두 가지 상황을 더 살펴보겠습니다. - 양의 거듭제곱은 0과 같습니다(예: \(2^x=0\)). - 양의 거듭제곱은 음수와 같습니다(예: \(2^x=-4\)). 무차별 대입으로 해결해 봅시다. x가 양수이면 x가 증가함에 따라 전체 거듭제곱 \(2^x\)만 증가합니다. \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) 또한 과거. 음수 x가 있습니다. \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) 속성을 기억하면서 다음을 확인합니다. \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1)=\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) 숫자가 각 단계마다 작아진다는 사실에도 불구하고 결코 0에 도달하지 않습니다. 그래서 부정적인 학위도 우리를 구하지 못했습니다. 우리는 논리적인 결론에 도달합니다. 모든 거듭제곱에 대한 양수는 양수로 유지됩니다. 따라서 위의 두 방정식에는 해가 없습니다. 다른 밑을 가진 지수 방정식 실제로, 때로는 서로 축소할 수 없고 동시에 지수가 동일한 지수 방정식이 있습니다. \(a^(f(x))=b^(f(x))\)와 같이 보입니다. 여기서 \(a\) 및 \(b\)는 양수입니다. 예를 들어: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) 이러한 방정식은 방정식의 어느 부분으로나 나누면 쉽게 풀 수 있습니다(보통 오른쪽으로 나누기, 즉 \(b ^ (f(x)) \)). 이런 식으로 나눌 수 있습니다. 왜냐하면 a 양수는 어느 정도 양수입니다(즉, 0으로 나누지 않음). 우리는 다음을 얻습니다. \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) 예시 . 지수 방정식 \(5^(x+7)=3^(x+7)\) 풀기 해결책: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) 여기서 우리는 5를 3으로 또는 그 반대로 (적어도 사용하지 않고) 바꿀 수 없습니다. 따라서 \(a^(f(x))=a^(g(x))\) 형식으로 올 수 없습니다. 동시에 지표는 동일합니다. 방정식을 우변, 즉 \(3^(x+7)\)로 나눕니다(우리는 트리플이 어느 정도 0이 아니라는 것을 알고 있기 때문에 이것을 할 수 있습니다). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) 이제 \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) 속성을 기억하고 왼쪽에서 반대 방향으로 사용하십시오. 오른쪽에서는 단순히 분수를 줄입니다. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) 나아질 기미가 보이지 않았다. 그러나 차수의 또 다른 속성인 \(a^0=1\), 즉 "0의 거듭제곱은 \(1\)과 같습니다"를 기억하십시오. 그 반대도 마찬가지입니다. "단위는 0의 거듭제곱으로 거듭난 숫자로 나타낼 수 있습니다." 오른쪽 베이스를 왼쪽 베이스와 동일하게 만들어 사용합니다. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) 짜잔! 우리는 기초를 제거합니다. 우리는 답을 씁니다. 대답 : \(-7\). 때로는 지수의 "동일함"이 명확하지 않지만 차수의 속성을 능숙하게 사용하면 이 문제가 해결됩니다. 예시 . 지수 방정식 \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) 풀기 해결책: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) 방정식은 매우 슬프게 보입니다... 밑수를 같은 수로 줄일 수 없을 뿐만 아니라(7은 \(\frac(1)(3)\)과 같지 않음), 지표도 다릅니다... 그러나 왼쪽도 듀스의 지수를 사용합시다. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) \((a^b)^c=a^(b c)\) 속성을 염두에 두고 왼쪽으로 변환하십시오. \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) 이제 음의 거듭제곱 속성 \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\)을 기억하고 오른쪽으로 변환합니다. \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) 할렐루야! 점수는 동일합니다! 우리에게 이미 친숙한 계획에 따라 행동하면 대답보다 먼저 결정합니다. 대답 : \(2\).

강의: "지수 방정식 풀이 방법."

1 . 지수 방정식.

지수에 미지수를 포함하는 방정식을 지수 방정식이라고 합니다. 이들 중 가장 간단한 것은 a > 0이고 a ≠ 1인 방정식 ax = b입니다.

1) b의 경우< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 지수 함수, 해결책이 없습니다.

2) b > 0의 경우 함수의 단조성과 근 정리를 사용하여 방정식은 단일 근을 갖습니다. 그것을 찾으려면 b는 b = aс, ax = bс ó x = c 또는 x = logab로 표현되어야 합니다.

대수 변환을 통해 지수 방정식은 다음 방법을 사용하여 해결되는 표준 방정식으로 이어집니다.

1) 하나의 염기로 환원하는 방법;

2) 평가 방법;

3) 그래픽 방법;

4) 새로운 변수를 도입하는 방법;

5) 인수분해 방법;

6) 표시 - 거듭제곱 방정식;

7) 매개변수가 있는 지수.

2 . 하나의 기준으로 줄이는 방법.

이 방법은 도의 다음 속성을 기반으로 합니다. 두 도가 같고 밑이 같으면 지수가 동일합니다. 즉, 방정식은 다음 형식으로 축소되어야 합니다.

예. 방정식을 풉니다.

1 . 3x=81;

방정식의 우변을 81 = 34 형식으로 표현하고 원래의 3 x = 34에 해당하는 방정식을 작성해 보겠습니다. x = 4. 답: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> 그리고 지수 방정식 3x+1 = 3 – 5x, 8x = 4, x = 0.5 답: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" 너비="105" 높이="47">

숫자 0.2, 0.04, √5, 25는 5의 거듭제곱입니다. 이를 이용하여 원래 방정식을 다음과 같이 변환해 보겠습니다.

, 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2일 때 x = -1 솔루션을 찾습니다. 답: -1.

5. 3x = 5. 로그 정의에 따르면 x = log35입니다. 답: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

방정식을 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, 즉..png" width="181" height="49 src="> 따라서 다시 작성해 보겠습니다. 따라서 x - 4 =0, x = 4입니다. 답: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. 거듭제곱의 속성을 사용하여 방정식을 e. x+1 = 2, x =1 형식으로 씁니다. 답: 1.

작업 은행 번호 1.

방정식을 풉니다.

테스트 번호 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0,2 4) 뿌리 없음
	1) 7;1 2) 뿌리 없음 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

테스트 #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) 뿌리 없음 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 평가 방법.

루트 정리: 함수 f(x)가 구간 I에서 증가(감소)하면 숫자 a는 이 구간에서 f가 취한 값이면 방정식 f(x) = a는 구간 I에서 단일 근을 갖습니다.

추정 방법으로 방정식을 풀 때 이 정리와 함수의 단조 특성이 사용됩니다.

예. 방정식 풀기: 1. 4x = 5 - x.

해결책. 방정식을 4x + x = 5로 다시 작성해 보겠습니다.

1. x \u003d 1이면 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5가 참이면 1이 방정식의 근입니다.

함수 f(x) = 4x는 R에서 증가하고 g(x) = x는 R에서 증가합니다 => h(x)= f(x)+g(x)는 R에서 증가하는 함수의 합으로 증가합니다. 따라서 x = 1은 방정식 4x = 5 – x의 유일한 근입니다. 답: 1.

2.

해결책. 우리는 방정식을 다음 형식으로 다시 씁니다. .

1. x = -1이면 , 3 = 3-참이므로 x = -1은 방정식의 근입니다.

2. 고유함을 증명합니다.

3. 함수 f(x) = - R에서 감소하고 g(x) = - x - R에서 감소 => h(x) = f(x) + g(x) - R에서 감소 감소 기능의 . 따라서 근 정리에 따르면 x = -1은 방정식의 유일한 근입니다. 답: -1.

작업 은행 번호 2. 방정식을 풀다

a) 4x + 1 = 6 - x;

비)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. 새로운 변수를 도입하는 방법.

방법은 섹션 2.1에 설명되어 있습니다. 새로운 변수의 도입(대체)은 일반적으로 방정식 항의 변환(단순화) 후에 수행됩니다. 예를 고려하십시오.

예. 아르 자형방정식을 먹다: 1. .

방정식을 다르게 다시 작성해 보겠습니다. https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

해결책. 방정식을 다르게 다시 작성해 보겠습니다.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> 표시 - 적합하지 않습니다.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" 너비="268" 높이="51"> - 비합리적인 방정식. 우리는

방정식의 해는 x = 2.5 ≤ 4이므로 2.5는 방정식의 근입니다. 답: 2.5.

해결책. 형식의 방정식을 다시 작성하고 양변을 56x+6 ≠ 0으로 나눕니다. 우리는 방정식을 얻습니다.

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, so..png" 너비="118" 높이="56">

이차 방정식의 근 - t1 = 1 및 t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

해결책 . 우리는 방정식을 다음 형식으로 다시 씁니다.

그리고 그것은 2차의 동차 방정식임을 주목하십시오.

방정식을 42x로 나누면 다음을 얻습니다.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> 를 바꿉니다.

답: 0; 0.5.

태스크 뱅크 #3. 방정식을 풀다

비)

G)

테스트 #3 답변의 선택과 함께. 최소 수준.

A1	1) -0.2;2 2) log52 3) -log52 4) 2
А2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0.	1) 2,1 2) -1,0 3) 뿌리 없음 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) 뿌리가 없음 2) 2,4 3) 3 4) -1,2

테스트 #4 답변의 선택과 함께. 일반 수준.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0,1 4) 뿌리 없음

5. 인수분해 방법.

1. 방정식을 풉니다: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , 어디서부터

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

해결책. 방정식의 좌변에서 6x를, 우변에서 2x를 취합시다. 방정식 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x를 얻습니다.

모든 x에 대해 2x >0이므로 해를 잃을 염려 없이 이 방정식의 양변을 2x로 나눌 수 있습니다. 우리는 3x = 1ó x = 0을 얻습니다.

3.

해결책. 인수분해를 통해 방정식을 풉니다.

우리는 이항의 제곱을 선택합니다.

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2는 방정식의 근입니다.

방정식 x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 = 270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

테스트 #6 일반 수준.

A1(22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1,3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3,4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. 지수 - 거듭제곱 방정식.

지수 방정식은 소위 지수 거듭제곱 방정식, 즉 (f(x))g(x) = (f(x))h(x) 형식의 방정식에 인접합니다.

f(x)>0이고 f(x) ≠ 1이라는 것을 알고 있으면 지수 g(x) = f(x)와 같은 방정식을 풉니다.

조건이 f(x)=0 및 f(x)=1의 가능성을 배제하지 않는 경우 지수 거듭제곱 방정식을 풀 때 이러한 경우를 고려해야 합니다.

1..png" 너비="182" 높이="116 src=">

2.

해결책. x2 +2x-8 - 다항식이므로 모든 x에 대해 의미가 있으므로 방정식은 집합과 동일합니다.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" 너비="137" 높이="35">

비)

7. 매개변수가 있는 지수 방정식.

1. 매개변수 p의 어떤 값에 대해 방정식 4(5 – 3)2 +4p2–3p = 0(1)에 고유한 솔루션이 있습니까?

해결책. 변화 2x = t, t > 0을 도입하면 방정식 (1)은 t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0의 형식을 취합니다. (2)

식 (2)의 판별식은 D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2입니다.

방정식 (2)에 하나의 양의 근이 있는 경우 방정식 (1)은 고유한 솔루션을 갖습니다. 다음과 같은 경우에 가능합니다.

1. D = 0, 즉 p = 1이면 방정식 (2)는 t2 – 2t + 1 = 0 형식을 취하므로 t = 1이므로 방정식 (1)은 고유한 솔루션 x = 0을 갖습니다.

2. p1이면 9(p – 1)2 > 0이면 방정식 (2)는 두 개의 다른 근 t1 = p, t2 = 4p – 3을 갖습니다. 시스템 집합은 문제의 조건을 충족합니다.

시스템에 t1과 t2를 대입하면

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

해결책. 허락하다 그러면 방정식 (3)은 t2 – 6t – a = 0의 형식을 취합니다. (4)

방정식 (4)의 적어도 하나의 근이 조건 t > 0을 충족하는 매개변수 a의 값을 찾자.

함수 f(t) = t2 – 6t – a를 소개하겠습니다. 다음과 같은 경우가 가능합니다.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} 제곱 삼항 f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

사례 2. 식 (4)는 다음과 같은 경우 고유한 양의 솔루션을 갖습니다.

D = 0, a = – 9이면 방정식 (4)는 (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 형식을 취합니다.

사례 3. 식 (4)는 두 개의 근을 가지고 있지만 그 중 하나는 부등식 t > 0을 충족하지 않습니다. 다음과 같은 경우 가능합니다.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

따라서, a 0에서 방정식 (4)는 단일 양의 근을 갖습니다. . 그런 다음 방정식 (3)에는 고유한 솔루션이 있습니다.

를 위해< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

만약< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9이면 x = – 1입니다.

 0이면

방정식 (1)과 (3)을 푸는 방법을 비교합시다. 식 (1)을 풀 때 판별식은 완전 제곱인 이차 방정식으로 축소되었습니다. 따라서 식 (2)의 근은 2차 방정식의 근의 공식에 의해 즉시 계산되어 이들 근에 대한 결론이 도출되었다. 식 (3)은 판별식이 완전제곱식이 아닌 이차식 (4)로 축소되었으므로 식 (3)을 풀 때 제곱 삼항식의 근 위치에 대한 정리를 사용하는 것이 좋습니다. 그래픽 모델. 방정식 (4)는 Vieta 정리를 사용하여 풀 수 있습니다.

더 복잡한 방정식을 풀어 봅시다.

작업 3. 방정식 풀기

해결책. ODZ: x1, x2.

대체품을 소개합니다. 2x = t, t > 0이라고 하면 변환의 결과로 방정식은 t2 + 2t – 13 – a = 0의 형식을 취합니다. (*) 의 값을 찾자. 방정식(*)은 조건 t > 0을 충족합니다.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

답: a > - 13, a  11, a  5이면 a - 13,

a = 11, a = 5이면 근이 없습니다.

서지.

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이 강의는 지수 방정식을 이제 막 배우기 시작하는 사람들을 위한 것입니다. 항상 그렇듯이 정의와 간단한 예부터 시작하겠습니다.

이 강의를 읽고 있다면 선형 및 정사각형과 같은 가장 간단한 방정식에 대해 최소한의 이해가 이미 있다고 생각합니다. $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ 등 이러한 구성을 해결할 수 있는 것은 지금 논의될 주제에 "매달리지" 않기 위해 절대적으로 필요합니다.

그래서, 지수 방정식. 몇 가지 예를 들어보겠습니다.

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 삼\]

그들 중 일부는 당신에게 더 복잡해 보일 수 있고, 그들 중 일부는 반대로 너무 간단합니다. 그러나 한 가지가 모든 것을 하나로 묶습니다. 중요한 기능: 그들의 표기법에 지수 함수 $f\left(x \right)=((a)^(x))$가 있습니다. 따라서 정의를 소개합니다.

지수 방정식은 지수 함수를 포함하는 모든 방정식입니다. $((a)^(x))$ 형식의 표현식입니다. 지정된 기능 외에도 이러한 방정식에는 다항식, 근, 삼각법, 로그 등의 다른 대수 구조가 포함될 수 있습니다.

그래 그리고 나서. 정의를 이해했습니다. 이제 문제는 이 모든 쓰레기를 해결하는 방법입니다. 답은 간단하면서도 동시에 복잡합니다.

좋은 소식부터 시작하겠습니다. 많은 학생들과의 경험에 따르면 대부분의 학생들에게 지수 방정식은 같은 로그보다 훨씬 쉽고 삼각법은 훨씬 더 쉽다고 말할 수 있습니다.

그러나 나쁜 소식도 있습니다. 때때로 모든 종류의 교과서와 시험에 대한 문제의 컴파일러는 "영감"에 의해 방문되고 약물에 염증이 있는 두뇌는 잔인한 방정식을 생성하기 시작하여 학생들이 푸는 것뿐만 아니라 문제가 되기 시작합니다. 많은 교사들조차도 그러한 문제에 매달립니다.

그러나 슬픈 이야기는 하지 맙시다. 그리고 이야기의 맨 처음에 주어진 세 가지 방정식으로 돌아가 봅시다. 각각의 문제를 해결해 봅시다.

첫 번째 방정식: $((2)^(x))=4$. 글쎄, 숫자 4를 얻으려면 숫자 2를 몇 거듭 제곱해야합니까? 아마도 두 번째? 결국, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — 그리고 우리는 정확한 수치 평등을 얻었습니다. 실제로 $x=2$입니다. 글쎄요, 감사합니다. 하지만 이 방정식은 너무 간단해서 우리 고양이도 풀 수 있었습니다. :)

다음 방정식을 살펴보겠습니다.

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

하지만 여기서는 조금 더 어렵습니다. 많은 학생들이 $((5)^(2))=25$가 곱셈표라는 것을 알고 있습니다. 어떤 사람들은 $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$가 본질적으로 음의 지수의 정의라고 생각합니다(공식 $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

마지막으로, 이러한 사실을 결합할 수 있고 출력은 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다는 소수의 추측만 가능합니다.

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

따라서 원래 방정식은 다음과 같이 다시 작성됩니다.

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\오른쪽 화살표 ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

그리고 이제 이것은 이미 완전히 해결되었습니다! 방정식의 왼쪽에는 지수 함수가 있고 방정식의 오른쪽에는 지수 함수가 있으며 다른 곳에는 그것들 외에는 아무 것도 없습니다. 따라서 기초를 "폐기"하고 지표를 어리석게 동일시하는 것이 가능합니다.

우리는 모든 학생이 단 몇 줄로 풀 수 있는 가장 간단한 선형 방정식을 얻었습니다. 네 줄로:

\[\시작(정렬)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\끝(정렬)\]

마지막 네 줄에서 무슨 일이 일어나고 있는지 이해하지 못했다면 " 선형 방정식' 하고 반복합니다. 이 주제에 대한 명확한 이해 없이는 지수 방정식을 취하기에는 너무 이르기 때문입니다.

\[((9)^(x))=-3\]

글쎄, 어떻게 결정합니까? 첫 번째 생각: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, 따라서 원래 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

그런 다음 1도를 거듭제곱할 때 지표가 곱해짐을 기억합니다.

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\오른쪽 화살표 ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(정렬)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(정렬)\]

그리고 그러한 결정에 대해 우리는 정직하게 합당한 듀스를 얻습니다. 우리는 포켓몬의 평정심으로 셋 앞에 마이너스 기호를 이 셋의 거듭제곱으로 보냈습니다. 그리고 당신은 그렇게 할 수 없습니다. 그리고 그 이유입니다. 트리플의 다양한 기능을 살펴보세요.

\[\begin(행렬) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(행렬)\]

이 태블릿을 컴파일할 때 가능한 한 빨리 변태하지 않았습니다. 나는 양수, 음수, 심지어 분수까지 고려했습니다. 글쎄요, 적어도 하나는 어디에 있습니까? 음수? 그는 아니다! 지수 함수 $y=((a)^(x))$는 첫째로 항상 만 취하기 때문에 그럴 수 없습니다. 양수 값(1을 곱하거나 2로 나눈 값에 관계없이 여전히 양수입니다.) 두 번째로 이러한 함수의 밑수인 $a$는 정의상 양수입니다!

그렇다면 $((9)^(x))=-3$ 방정식을 어떻게 푸는가? 아니요, 뿌리가 없습니다. 이러한 의미에서 지수 방정식은 2차 방정식과 매우 유사합니다. 또한 근이 없을 수도 있습니다. 하지만 만약에 이차 방정식근의 수는 판별식에 의해 결정됩니다( 판별식은 양수 - 2 근, 음수 - 근 없음). 그런 다음 지수에서는 등호 오른쪽에 있는 것에 따라 달라집니다.

따라서 우리는 핵심 결론을 공식화합니다. $((a)^(x))=b$ 형식의 가장 간단한 지수 방정식은 $b>0$인 경우에만 근을 갖습니다. 이 간단한 사실을 알면 자신에게 제안된 방정식에 근이 있는지 여부를 쉽게 결정할 수 있습니다. 저것들. 그것을 해결할 가치가 있습니까? 아니면 뿌리가 없다고 즉시 적어 두십시오.

이 지식은 더 복잡한 문제를 해결해야 할 때 여러 번 도움이 될 것입니다. 그 동안 가사는 충분합니다. 지수 방정식을 풀기 위한 기본 알고리즘을 공부할 시간입니다.

지수 방정식을 푸는 방법

따라서 문제를 공식화해 보겠습니다. 지수 방정식을 푸는 것이 필요합니다.

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

우리가 이전에 사용한 "순진한" 알고리즘에 따르면, 숫자 $b$를 숫자 $a$의 거듭제곱으로 나타내는 것이 필요합니다.

또한 변수 $x$ 대신 표현식이 있으면 이미 풀릴 수 있는 새로운 방정식을 얻을 수 있습니다. 예를 들어:

\[\begin(정렬)& ((2)^(x))=8\오른쪽 화살표 ((2)^(x))=((2)^(3))\오른쪽 화살표 x=3; \\& ((3)^(-x))=81\오른쪽 화살표 ((3)^(-x))=((3)^(4))\오른쪽 화살표 -x=4\오른쪽 화살표 x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\오른쪽 화살표 ((5)^(2x))=((5)^(3))\오른쪽 화살표 2x=3\오른쪽 화살표 x=\frac(3)( 2). \\끝(정렬)\]

그리고 이상하게도 이 계획은 약 90%의 경우에 작동합니다. 그럼 나머지 10%는? 나머지 10%는 다음 형식의 약간 "정신분열증" 지수 방정식입니다.

\[((2)^(x))=3;\쿼드((5)^(x))=15;\쿼드((4)^(2x))=11\]

3을 얻으려면 2를 얼마나 올려야합니까? 처음에는? 하지만 아니오: $((2)^(1))=2$ 로는 충분하지 않습니다. 두 번째에? 둘 다: $((2)^(2))=4$는 너무 많습니다. 그럼?

지식이 풍부한 학생들은 아마도 이미 추측했을 것입니다. 이러한 경우 "아름답게"해결할 수 없을 때 "중포병"이 대수와 연결됩니다. 로그를 사용하면 모든 양수를 다른 양수의 거듭제곱으로 나타낼 수 있습니다(1 제외).

이 공식을 기억하십니까? 제가 제 학생들에게 로그에 대해 말할 때 저는 항상 경고합니다. 이 공식(이 공식은 로그의 정의이기도 합니다. 예상치 못한 장소. 그녀가 떠올랐습니다. 방정식과 이 공식을 살펴보겠습니다.

\[\begin(정렬)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(정렬) \]

$a=3$이 오른쪽의 원래 숫자이고 $b=2$가 오른쪽을 줄이려는 지수 함수의 바로 밑이라고 가정하면 다음을 얻습니다.

\[\begin(정렬)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\오른쪽 화살표 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\오른쪽 화살표 ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\오른쪽 화살표 x=( (\로그 )_(2))3. \\종료(정렬)\]

$x=((\log )_(2))3$와 같이 약간 이상한 대답을 얻었습니다. 다른 작업에서 그러한 답변을 사용하면 많은 사람들이 의심을 품고 솔루션을 다시 확인하기 시작할 것입니다. 어딘가에 실수가 있다면 어떻게 될까요? 나는 당신을 기쁘게하기 위해 서두릅니다. 여기에는 오류가 없으며 지수 방정식의 근에있는 로그는 매우 일반적인 상황입니다. 그러니 익숙해지세요. :)

이제 나머지 두 방정식을 유추하여 풉니다.

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\오른쪽 화살표 ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \오른쪽 화살표 x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\오른쪽 화살표 ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\오른쪽 화살표 2x=( (\log )_(4))11\오른쪽 화살표 x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\종료(정렬)\]

그게 다야! 그건 그렇고, 마지막 답변은 다르게 작성할 수 있습니다.

로그 인수에 승수를 도입한 것은 바로 우리였습니다. 그러나 아무도 우리가 이 요소를 기본에 추가하는 것을 막지 않습니다.

이 경우 세 가지 옵션이 모두 정확합니다. 다른 형태같은 번호의 기록. 이 결정에서 어느 것을 선택하고 기록할지는 귀하에게 달려 있습니다.

따라서 $((a)^(x))=b$ 형식의 지수 방정식을 푸는 방법을 배웠습니다. 여기서 $a$와 $b$는 완전히 양수입니다. 하지만 가혹한 현실우리 세상은 비슷하다 간단한 작업아주 아주 드물게 만날 것입니다. 더 자주 당신은 다음과 같은 것을 보게 될 것입니다:

\[\시작(정렬)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\종료(정렬)\]

글쎄, 어떻게 결정합니까? 이 문제가 전혀 해결될 수 있습니까? 그렇다면 어떻게?

당황할 필요 없음. 이 모든 방정식은 우리가 이미 고려한 간단한 공식으로 빠르고 간단하게 축소됩니다. 대수학 과정에서 몇 가지 트릭을 기억하기 위해 알아야 합니다. 그리고 물론 여기에 학위 작업에 대한 규칙은 없습니다. 이제 이 모든 것에 대해 이야기하겠습니다. :)

지수 방정식의 변환

가장 먼저 기억해야 할 점은 지수 방정식이 아무리 복잡하더라도 어떤 식으로든 가장 간단한 방정식으로 줄여야 한다는 것입니다. 즉, 지수 방정식을 푸는 계획은 다음과 같습니다.

1. 원래 방정식을 쓰십시오. 예: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. 멍청한 짓 좀 해. 또는 "방정식 변환"이라는 쓰레기도 있습니다.
3. 출력에서 $((4)^(x))=4$ 또는 이와 유사한 것과 같은 가장 간단한 표현식을 얻으십시오. 더욱이, 하나의 초기 방정식은 한 번에 여러 가지 이러한 표현을 제공할 수 있습니다.

첫 번째 요점으로 모든 것이 명확합니다. 심지어 고양이도 잎사귀에 방정식을 쓸 수 있습니다. 세 번째 요점도 어느 정도 명확해 보입니다. 우리는 이미 위의 여러 방정식을 풀었습니다.

그러나 두 번째 점은 어떻습니까? 변환은 무엇입니까? 무엇으로 무엇으로 변환할까요? 그리고 어떻게?

자, 알아봅시다. 우선 다음 사항을 지적하고 싶습니다. 모든 지수 방정식은 두 가지 유형으로 나뉩니다.

1. 방정식은 밑이 같은 지수 함수로 구성됩니다. 예: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. 공식에는 다른 밑을 가진 지수 함수가 포함되어 있습니다. 예: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ 및 $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

첫 번째 유형의 방정식부터 시작하겠습니다. 가장 풀기 쉽습니다. 그리고 그들의 솔루션에서 우리는 안정적인 표현 선택과 같은 기술의 도움을 받을 것입니다.

안정적인 표현 강조

이 방정식을 다시 살펴보겠습니다.

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

우리는 무엇을 봅니까? 4개는 서로 다른 수준으로 올라갑니다. 그러나 이 모든 거듭제곱은 변수 $x$와 다른 숫자의 단순 합입니다. 따라서 학위 작업 규칙을 기억해야 합니다.

\[\begin(정렬)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\끝(정렬)\]

간단히 말해서, 지수의 덧셈은 거듭제곱의 곱으로 변환될 수 있고, 뺄셈은 나눗셈으로 쉽게 변환됩니다. 다음 공식을 방정식의 거듭제곱에 적용해 보겠습니다.

\[\시작(정렬)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\끝(정렬)\]

이 사실을 고려하여 원래 방정식을 다시 작성한 다음 왼쪽에 있는 모든 항을 수집합니다.

\[\시작(정렬)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -열하나; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\끝(정렬)\]

처음 4개의 항에는 $((4)^(x))$ 요소가 포함되어 있습니다. 대괄호에서 빼보겠습니다.

\[\begin(정렬)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\끝(정렬)\]

방정식의 두 부분을 분수 $-\frac(11)(4)$로 나누어야 합니다. 본질적으로 역 분수를 곱하십시오 - $-\frac(4)(11)$. 우리는 다음을 얻습니다.

\[\begin(정렬)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\끝(정렬)\]

그게 다야! 우리는 원래 방정식을 가장 간단한 것으로 줄이고 최종 답을 얻었습니다.

동시에 해결하는 과정에서 공통 요소 $((4)^(x))$를 발견했습니다 (심지어 대괄호에서 제외). 이것이 안정적인 표현입니다. 새로운 변수로 지정할 수도 있고 간단하게 정확하게 표현하고 답을 얻을 수도 있습니다. 어쨌든 솔루션의 핵심 원칙은 다음과 같습니다.

모든 지수 함수와 쉽게 구별되는 변수를 포함하는 안정적인 표현식을 원래 방정식에서 찾으십시오.

좋은 소식은 거의 모든 지수 방정식이 이러한 안정적인 표현을 허용한다는 것입니다.

그러나 나쁜 소식도 있습니다. 그러한 표현은 매우 까다로울 수 있으며 구별하기가 매우 어려울 수 있습니다. 다른 문제를 살펴보겠습니다.

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

아마도 누군가는 이제 다음과 같은 질문을 할 것입니다. 다음은 5와 0.2의 다른 기수입니다. 하지만 밑이 0.2인 거듭제곱을 변환해 보겠습니다. 예를 들어, 소수점 이하 자릿수를 없애고 평소대로 가져 가자.

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

보시다시피, 숫자 5는 분모임에도 불구하고 여전히 나타났습니다. 동시에 지표는 음수로 다시 작성되었습니다. 이제 우리는 다음 중 하나를 기억합니다. 필수 규칙학위 작업:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\오른쪽 화살표 ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

물론 여기서 나는 약간의 속임수를 썼다. 완전한 이해를 위해서는 부정적인 지표를 제거하는 공식을 다음과 같이 작성해야 했기 때문입니다.

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\오른쪽 화살표 ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ 오른쪽))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

반면에 단 하나의 분수로 작업하는 데 방해가 되는 것은 없었습니다.

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ 오른쪽))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

그러나이 경우 학위를 다른 수준으로 올릴 수 있어야합니다 (이 경우 지표가 합산됨을 상기시킵니다). 그러나 분수를 "뒤집기"할 필요가 없었습니다. 누군가에게는 더 쉬울 것입니다. :)

어쨌든 원래 지수 방정식은 다음과 같이 다시 작성됩니다.

\[\시작(정렬)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\끝(정렬)\]

따라서 원래 방정식은 이전에 고려한 것보다 훨씬 더 쉽게 풀 수 있습니다. 여기에서는 안정적인 표현식을 골라낼 필요도 없습니다. 모든 것이 저절로 줄어듭니다. $1=((5)^(0))$ 만 기억하면 됩니다.

\[\시작(정렬)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\끝(정렬)\]

그것이 전체 솔루션입니다! 우리는 최종 답을 얻었습니다: $x=-2$. 동시에 모든 계산을 크게 단순화한 한 가지 트릭에 주목하고 싶습니다.

지수 방정식에서 다음을 제거하십시오. 소수, 정상으로 변환합니다. 이렇게 하면 동일한 도수를 보고 솔루션을 크게 단순화할 수 있습니다.

더 진행해보자 복잡한 방정식, 일반적으로 학위의 도움으로 서로 축소되지 않는 다른 염기가 있습니다.

지수 속성 사용

두 가지 더 특별히 가혹한 방정식이 있음을 상기시켜 드리겠습니다.

\[\시작(정렬)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\끝(정렬)\]

여기서 가장 큰 어려움은 무엇을 그리고 어떤 근거로 이끌어야 하는지 명확하지 않다는 것입니다. 고정 표현식은 어디에 있습니까? 공통점은 어디에 있습니까? 이 아무것도 없습니다.

하지만 다른 길을 가도록 합시다. 준비되지 않은 경우 같은 기지, 사용 가능한 기반을 인수분해하여 찾을 수 있습니다.

첫 번째 방정식부터 시작하겠습니다.

\[\시작(정렬)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\오른쪽 화살표 ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\끝(정렬)\]

그러나 결국, 당신은 반대로 할 수 있습니다 - 숫자 7과 3에서 숫자 21을 구성하십시오. 두 학위의 지표가 동일하기 때문에 왼쪽에서 이것을하는 것이 특히 쉽습니다.

\[\begin(정렬)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\끝(정렬)\]

그게 다야! 제품에서 지수를 빼면 몇 줄로 풀 수 있는 아름다운 방정식을 즉시 얻을 수 있습니다.

이제 두 번째 방정식을 다루겠습니다. 여기 모든 것이 훨씬 더 복잡합니다.

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

이 경우 분수는 기약할 수 없는 것으로 판명되었지만 줄일 수 있는 것이 있으면 반드시 줄이십시오. 이것은 종종 당신이 이미 작업할 수 있는 흥미로운 근거로 귀결됩니다.

불행히도, 우리는 아무것도 생각해내지 못했습니다. 그러나 제품의 왼쪽에 있는 지수는 반대임을 알 수 있습니다.

지수에서 빼기 기호를 제거하려면 분수를 "뒤집기"만 하면 됩니다. 따라서 원래 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\끝(정렬)\]

두 번째 줄에서 우리는 방금 꺼냈습니다. 총 점수$((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x))$ 규칙에 따라 괄호 곱에서 후자는 단순히 숫자 100에 분수를 곱했습니다.

이제 왼쪽(베이스)과 오른쪽의 숫자가 다소 비슷하다는 점에 유의하십시오. 어떻게? 예, 분명히: 그들은 같은 수의 거듭제곱입니다! 우리는 다음을 가지고 있습니다:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \오른쪽))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \오른쪽))^(2)). \\끝(정렬)\]

따라서 방정식은 다음과 같이 다시 작성됩니다.

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \오른쪽))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

동시에 오른쪽에서 동일한 기준으로 학위를 얻을 수도 있습니다. 분수를 "뒤집기"만하면 충분합니다.

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

마지막으로 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\끝(정렬)\]

이것이 전체 솔루션입니다. 주요 아이디어는 다른 이유에도 불구하고 후크 또는 사기꾼을 사용하여 이러한 이유를 동일한 것으로 줄이려고 한다는 사실로 요약됩니다. 이것에서 우리는 방정식의 기본 변환과 거듭제곱을 사용하는 규칙의 도움을 받습니다.

그러나 어떤 규칙과 언제 사용해야합니까? 한 방정식에서 양변을 무언가로 나누고 다른 방정식에서 지수 함수의 기저를 요인으로 분해해야한다는 것을 이해하는 방법?

이 질문에 대한 답은 경험과 함께 나옵니다. 처음에는 손을 사용해보십시오 간단한 방정식, 그리고 점차적으로 작업을 복잡하게 만듭니다. 그러면 곧 동일한 USE 또는 독립/테스트 작업의 지수 방정식을 풀기에 충분한 기술이 될 것입니다.

이 어려운 작업에 도움이 되도록 내 웹사이트에서 방정식 세트를 다운로드할 것을 제안합니다. 독립 솔루션. 모든 방정식에는 답이 있으므로 항상 자신을 확인할 수 있습니다.