연립방정식을 빠르게 푸는 방법. 방정식 시스템을 해결하기 위한 그래픽 방법. 뺄셈법을 이용한 쉬운 문제 풀기

1. 대체방법: 시스템의 모든 방정식에서 우리는 미지수를 다른 방정식으로 표현하고 이를 시스템의 두 번째 방정식으로 대체합니다.

일.방정식 시스템을 푼다:

해결책.우리가 표현하는 시스템의 첫 번째 방정식으로부터 ~에~을 통해 엑스이를 시스템의 두 번째 방정식에 대입합니다. 시스템을 갖추자 원본과 동일합니다.

유사한 용어를 가져온 후 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

두 번째 방정식에서 우리는 다음을 찾습니다: . 이 값을 방정식에 대입하면 ~에 = 2 - 2엑스, 우리는 얻는다 ~에= 3. 따라서 이 연립방정식의 해는 숫자 쌍입니다.

2. 대수적 덧셈 방법: 두 개의 방정식을 추가하면 변수가 하나인 방정식이 생성됩니다.

일.시스템 방정식을 푼다:

해결책.두 번째 방정식의 양변에 2를 곱하면 다음 시스템을 얻습니다. 원본과 동일합니다. 이 시스템의 두 방정식을 추가하면 시스템에 도달합니다.

비슷한 용어를 가져온 후 이 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다. 두 번째 방정식에서 우리는 를 찾습니다. 이 값을 방정식 3에 대입하면 엑스 + 4~에= 5, 우리는 얻는다 , 어디 . 따라서 이 시스템의 해는 숫자 쌍입니다.

3. 새로운 변수를 도입하는 방법: 우리는 시스템에서 새로운 변수로 표시할 몇 가지 반복적인 표현을 찾고 있으며 이를 통해 시스템의 모양을 단순화합니다.

일.방정식 시스템을 푼다:

해결책.이 시스템을 다르게 작성해 보겠습니다.

허락하다 x + y = 너, XY = V.그럼 우리는 시스템을 얻을

치환법을 이용하여 풀어보자. 우리가 표현하는 시스템의 첫 번째 방정식으로부터 유~을 통해 V이를 시스템의 두 번째 방정식에 대입합니다. 시스템을 갖추자 저것들.

우리가 찾은 시스템의 두 번째 방정식에서 V 1 = 2, V 2 = 3.

이 값을 방정식에 대입하면 유 = 5 - V, 우리는 얻는다 유 1 = 3,
유 2 = 2. 그러면 우리는 두 개의 시스템을 갖게 됩니다.

첫 번째 시스템을 풀면 두 쌍의 숫자 (1; 2), (2; 1)를 얻습니다. 두 번째 시스템에는 솔루션이 없습니다.

독립적인 작업을 위한 연습

1. 대입법을 사용하여 연립방정식을 푼다.

먼저 두 개의 변수가 있는 방정식 시스템에 대한 해의 정의를 생각해 보겠습니다.

정의 1

한 쌍의 숫자를 방정식에 대입하면 진정한 평등이 되는 경우 두 변수의 방정식 시스템에 대한 해법이라고 합니다.

앞으로 우리는 두 개의 변수를 갖는 두 방정식의 시스템을 고려할 것입니다.

존재하다 연립방정식을 푸는 네 가지 기본 방법: 치환방법, 첨가방법, 그래픽 방법, 새로운 변수를 유지하는 방법입니다. 이 방법들을 살펴 보겠습니다. 구체적인 예. 처음 세 가지 방법을 사용하는 원리를 설명하기 위해 두 가지 시스템을 고려할 것입니다. 선형 방정식두 개의 미지수가 있는 경우:

대체방법

대체 방법은 다음과 같습니다. 다음 방정식 중 하나를 선택하고 $y$를 $x$로 표현한 다음 $y$를 변수 $x가 있는 시스템 방정식으로 대체합니다.$ 이후에 다음과 같이 할 수 있습니다. 변수 $y.$를 쉽게 계산합니다.

실시예 1

두 번째 방정식의 $y$를 $x$로 표현해 보겠습니다.

첫 번째 방정식에 대입하여 $x$를 구해 보겠습니다.

\ \ \

$y$를 찾아봅시다:

답변: $(-2,\ 3)$

추가 방법.

예를 사용하여 이 방법을 살펴보겠습니다.

실시예 2

\[\left\( \begin(배열)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(배열) \right.\]

두 번째 방정식에 3을 곱하면 다음을 얻습니다.

\[\left\( \begin(배열)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(배열) \right.\]

이제 두 방정식을 모두 추가해 보겠습니다.

\ \ \

두 번째 방정식에서 $y$를 구해 보겠습니다.

\[-6-y=-9\] \

답변: $(-2,\ 3)$

참고 1

이 방법에서는 하나 또는 두 방정식에 추가하는 동안 변수 중 하나가 "사라지는" 숫자를 곱해야 합니다.

그래픽 방식

그래픽 방법은 다음과 같습니다. 시스템의 두 방정식이 모두 좌표 평면에 표시되고 교차점을 찾습니다.

실시예 3

\[\left\( \begin(배열)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(배열) \right.\]

두 방정식의 $y$를 $x$로 표현해 보겠습니다.

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

두 그래프를 동일한 평면에 그려보겠습니다.

그림 1.

답변: $(-2,\ 3)$

새로운 변수를 도입하는 방법

다음 예제를 사용하여 이 방법을 살펴보겠습니다.

실시예 4

\[\left\( \begin(배열)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(배열) \right .\]

해결책.

이 시스템은 시스템과 동일합니다.

\[\left\( \begin(배열)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(배열) \ 오른쪽.\]

$2^x=u\ (u>0)$, $3^y=v\ (v>0)$라고 하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

덧셈법을 사용하여 결과 시스템을 풀어보겠습니다. 방정식을 더해 보겠습니다.

\ \

그런 다음 두 번째 방정식에서 다음을 얻습니다.

교체품으로 돌아가서 우리는 새로운 시스템지수 방정식:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

우리는 다음을 얻습니다:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

이 수학 프로그램을 사용하면 두 가지 선형 방정식 시스템을 풀 수 있습니다. 가변 방법대체 및 추가 방법.

이 프로그램은 문제에 대한 답을 제공할 뿐만 아니라, 상세한 솔루션치환법과 덧셈법이라는 두 가지 방법으로 풀이 단계를 설명합니다.

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방정식 입력 규칙

모든 라틴 문자는 변수 역할을 할 수 있습니다.
예: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) 등

방정식을 입력할 때 괄호를 사용할 수 있습니다. 이 경우 방정식은 먼저 단순화됩니다. 단순화 후의 방정식은 선형이어야 합니다. 즉, 요소 순서의 정확성을 갖는 ax+by+c=0 형식입니다.
예: 6x+1 = 5(x+y)+2

방정식에 정수뿐만 아니라 분수소수와 일반 분수의 형태로.

소수점 이하 자릿수 입력 규칙.
정수 및 분수 부분 소수점이나 쉼표로 구분할 수 있습니다.
예: 2.1n + 3.5m = 55

일반 분수 입력 규칙.
정수만이 분수의 분자, 분모 및 정수 부분으로 작용할 수 있습니다.
분모는 음수가 될 수 없습니다.
숫자 분수를 입력할 때 분자는 나누기 기호로 분모와 구분됩니다. /
전체 부분은 앰퍼샌드 기호로 분수와 구분됩니다. &

예.
-1&2/3년 + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

연립방정식 풀기

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약간의 이론.

선형 방정식 시스템 풀기. 대체방법

대체 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 풀 때의 동작 순서:
1) 시스템의 일부 방정식에서 하나의 변수를 다른 방정식으로 표현합니다.
2) 결과 표현식을 이 변수 ​​대신 시스템의 다른 방정식으로 대체합니다.

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

첫 번째 방정식: y = 7-3x에서 y를 x로 표현해 보겠습니다. y 대신 두 번째 방정식에 표현식 7-3x를 대체하면 다음 시스템을 얻습니다.
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

첫 번째 시스템과 두 번째 시스템이 동일한 솔루션을 가지고 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 두 번째 시스템에서 두 번째 방정식에는 변수가 하나만 포함됩니다. 이 방정식을 풀어보겠습니다.
$$ -5x+2(7-3x)=3 \오른쪽 화살표 -5x+14-6x=3 \오른쪽 화살표 -11x=-11 \오른쪽 화살표 x=1 $$

x 대신 숫자 1을 등식 y=7-3x로 대체하면 해당하는 y 값을 찾습니다.
$$ y=7-3 \cdot 1 \오른쪽 화살표 y=4 $$

쌍(1;4) - 시스템 솔루션

동일한 해를 갖는 두 변수의 방정식 시스템을 호출합니다. 동등한. 솔루션이 없는 시스템도 동등한 것으로 간주됩니다.

덧셈을 통한 선형 방정식 시스템 풀기

선형 방정식 시스템을 해결하는 또 다른 방법인 덧셈 방법을 고려해 보겠습니다. 이러한 방식으로 시스템을 풀 때나 치환으로 풀 때, 우리는 이 시스템에서 방정식 중 하나에 하나의 변수만 포함하는 다른 등가 시스템으로 이동합니다.

덧셈 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 풀 때의 동작 순서:
1) 시스템 항의 방정식에 항을 곱하여 변수 중 하나의 계수가 반대 숫자가 되도록 요인을 선택합니다.
2) 시스템 방정식의 왼쪽과 오른쪽을 항별로 추가합니다.
3) 하나의 변수를 사용하여 결과 방정식을 푼다.
4) 두 번째 변수에 해당하는 값을 찾습니다.

예. 방정식 시스템을 풀어 보겠습니다.
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

이 시스템의 방정식에서 y의 계수는 반대 숫자입니다. 방정식의 왼쪽과 오른쪽을 항별로 더하면 하나의 변수가 3x=33인 방정식을 얻습니다. 시스템 방정식 중 하나(예: 첫 번째 방정식)를 방정식 3x=33으로 바꾸겠습니다. 시스템을 갖추자
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

방정식 3x=33에서 x=11임을 알 수 있습니다. 이 x 값을 방정식 \(x-3y=38\)에 대체하면 변수 y: \(11-3y=38\)를 갖는 방정식을 얻습니다. 이 방정식을 풀어보겠습니다.
\(-3y=27 \오른쪽 화살표 y=-9 \)

따라서 우리는 \(x=11; y=-9\) 또는 \((11;-9)\)를 추가하여 연립방정식의 해를 찾았습니다.

시스템의 방정식에서 y의 계수가 반대 숫자라는 사실을 이용하여 우리는 해당 솔루션을 등가 시스템의 솔루션으로 줄였습니다(원래 시스템의 각 방정식의 양쪽을 합산하여). 방정식 중 하나의 변수만 포함됩니다.

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시스템을 해결하다두 개의 미지수가 있는 경우 - 이는 주어진 방정식을 각각 만족하는 변수 값의 모든 쌍을 찾는 것을 의미합니다. 이러한 각 쌍을 호출합니다. 시스템 솔루션.

예:
값 쌍 ​​\(x=3\);\(y=-1\)은 첫 번째 시스템에 대한 솔루션입니다. 왜냐하면 이 3과 마이너스 1을 시스템에 \(x\) 및 \ 대신 대체할 때 때문입니다. (y\)이면 두 방정식 모두 올바른 등식 \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( 경우)\)

하지만 \(x=1\); \(y=-2\) - 치환 후 두 번째 방정식이 "수렴하지 않기" 때문에 첫 번째 시스템에 대한 해가 아닙니다. \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(건수)\)

이러한 쌍은 종종 더 짧게 작성된다는 점에 유의하십시오. "\(x=3\); \(y=-1\)" 대신 다음과 같이 작성합니다: \((3;-1)\).

선형 방정식 시스템을 해결하는 방법은 무엇입니까?

선형 방정식 시스템을 푸는 세 가지 주요 방법이 있습니다.

1. 대체 방법.

\(\begin(케이스)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(케이스)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(케이스)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(건수)\)\(\Leftrightarrow\)

이 변수 대신 결과 표현식을 시스템의 다른 방정식으로 대체하십시오.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(사례)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(사례)\)

   두 번째 방정식에서는 각 항이 짝수이므로 \(2\)로 나누어 방정식을 단순화합니다.
   

   \(\begin(사례)13x+9y=17\\6x-y=13\end(사례)\)

   이 시스템은 다음 방법 중 하나로 해결할 수 있지만 여기서는 대체 방법이 가장 편리한 것 같습니다. 두 번째 방정식에서 y를 표현해보자.
   

   \(\begin(케이스)13x+9y=17\\y=6x-13\end(케이스)\)

   첫 번째 방정식에 \(y\) 대신 \(6x-13\)을 대입해 보겠습니다.
   

   \(\begin(케이스)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(케이스)\)

   첫 번째 방정식은 일반적인 방정식으로 바뀌었습니다. 해결해 봅시다.

   먼저 괄호를 열어 보겠습니다.
   

   \(\begin(케이스)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(케이스)\)

   \(117\)을 오른쪽으로 이동시켜 비슷한 용어를 제시해 보겠습니다.

   \(\begin(케이스)67x=134\\y=6x-13\end(케이스)\)

   첫 번째 방정식의 양변을 \(67\)로 나누어 보겠습니다.

   \(\begin(케이스)x=2\\y=6x-13\end(케이스)\)

   만세, \(x\)를 찾았습니다! 그 값을 두 번째 방정식에 대입하고 \(y\)를 구해 보겠습니다.

   \(\begin(케이스)x=2\\y=12-13\end(케이스)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(케이스)x=2\\y=-1\end(케이스 )\)

   답을 적어보자.

방정식 시스템에 대한 두 가지 유형의 솔루션을 분석해 보겠습니다.

1. 대체 방법을 사용하여 시스템을 해결합니다.
2. 시스템 방정식의 항별 덧셈(뺄셈)으로 시스템을 해결합니다.

연립방정식을 풀기 위해 대체 방법으로간단한 알고리즘을 따라야 합니다.
1. 익스프레스. 모든 방정식에서 우리는 하나의 변수를 표현합니다.
2. 대체. 결과 값을 표현된 변수 대신 다른 방정식으로 대체합니다.
3. 하나의 변수를 사용하여 결과 방정식을 풉니다. 우리는 시스템에 대한 해결책을 찾습니다.

해결하다 항별 덧셈(뺄셈) 방식에 의한 시스템필요하다:
1. 동일한 계수를 만들 변수를 선택합니다.
2. 방정식을 더하거나 빼면 변수가 하나인 방정식이 생성됩니다.
3. 결과 선형 방정식을 풉니다. 우리는 시스템에 대한 해결책을 찾습니다.

시스템에 대한 해법은 함수 그래프의 교차점입니다.

예제를 사용하여 시스템 솔루션을 자세히 살펴 보겠습니다.

예시 #1:

대체법으로 풀어보자

대체 방법을 사용하여 연립방정식 풀기

2x+5y=1 (1개 방정식)
x-10y=3 (두 번째 방정식)

1. 익스프레스
두 번째 방정식에는 계수가 1인 변수 x가 있다는 것을 알 수 있는데, 이는 두 번째 방정식에서 변수 x를 표현하는 것이 가장 쉽다는 것을 의미한다.
x=3+10년

2. 이를 표현한 후 첫 번째 방정식에 변수 x 대신 3+10y를 대체합니다.
2(3+10년)+5년=1

3. 하나의 변수를 사용하여 결과 방정식을 풉니다.
2(3+10y)+5y=1 (괄호 열기)
6+20년+5년=1
25년=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

방정식 시스템의 해는 그래프의 교차점이므로 교차점은 x와 y로 구성되어 있으므로 x와 y를 찾아야 합니다. x를 구한 첫 번째 점에서 y를 대체합니다.
x=3+10년
x=3+10*(-0.2)=1

먼저 변수 x를 쓰고 두 번째로 변수 y를 쓰는 것이 관례입니다.
답: (1; -0.2)

예시 #2:

항별 덧셈(뺄셈) 방법을 이용하여 풀어보겠습니다.

덧셈법을 사용하여 연립방정식 풀기

3x-2y=1 (1개 방정식)
2x-3y=-10 (두 번째 방정식)

1. 변수를 선택합니다. x를 선택한다고 가정해 보겠습니다. 첫 번째 방정식에서 변수 x의 계수는 3이고 두 번째 방정식은 2입니다. 계수를 동일하게 만들어야 합니다. 이를 위해 방정식을 곱하거나 임의의 숫자로 나눌 수 있는 권리가 있습니다. 첫 번째 방정식에 2를 곱하고 두 번째 방정식에 3을 곱하여 총 계수 6을 얻습니다.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 빼서 변수 x를 제거합니다.
__6x-4y=2

5년=32 | :5
y=6.4

3. x를 찾으세요. 발견된 y를 임의의 방정식, 즉 첫 번째 방정식에 대체합니다.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

교차점은 x=4.6입니다. y=6.4
답: (4.6; 6.4)

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