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“이차 방정식의 출현 역사. 이차 방정식 개발의 역사

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영웅의 이름을 딴 MOU 중등학교 소련
소트니코바 A.T. 및 Shepeleva N. G. s. Uritskoe

주제에 대한 보고:

"출현의 역사

이차 방정식»

의해서 준비되었다:이조토바 줄리아,
암플레바 엘레나,
셰펠레프 니콜라이,

디아첸코 유리.

오 수학. 수세기 동안 당신은 영광으로 덮여 있습니다.

세상의 모든 빛의 빛.

당신은 장엄한 여왕

가우스가 세례를 받은 것도 당연합니다.

엄격하고 논리적이며 위엄 있고,

화살처럼 날씬한,

당신의 영원한 영광

세월이 흐르면서 그녀는 불멸을 얻었습니다.

우리는 인간의 마음을 찬양합니다

그의 행위 마법의 손,

이 시대의 희망

모든 지구 과학의 여왕.

우리는 오늘 당신에게 말하고 싶습니다

발생 이력

모든 학생이 알아야 할 사항

이차 방정식의 역사.

유클리드, 기원전 3세기. 이자형. 그의 두 번째 책 전체에서 "Principles"에서 기하 대수학에 전념했습니다. 필요한 재료이차 방정식을 풀기 위해.

유클리드(Eνκλειδηζ), 고대 그리스 수학자, 수학에 대한 최초의 이론 논문 저자

유클리드에 대한 정보는 매우 부족합니다. 믿을 수 있는 유일한 것은 과학 활동기원전 3세기에 알렉산드리아에 흘렀다. 이자형. 유클리드는 알렉산드리아 학파의 첫 번째 수학자입니다. 그의 주요 작업 "시작"(라틴어 형식 - "요소")에는 평면도, 입체 측정법 및 정수론의 여러 문제에 대한 프레젠테이션이 포함되어 있습니다. 그것에서 그는 그리스 수학의 이전 발전을 요약하고 기초를 만들었습니다. 추가 개발수학. 왜가리 - 1세기 그리스 최초의 그리스 수학자이자 엔지니어. 깨끗한 제공 대수적 방법이차 방정식의 해.

알렉산드리아의 헤론; 헤론, 나 c. N. e., 그리스 기계공 및 수학자. 그의 생애는 불확실하며 그가 아르키메데스(기원전 212년에 사망)를 인용했다는 것만 알려져 있으며, 그 자신도 파푸스(300년 경)에 의해 인용되었습니다. 현재로서는 그가 1세기에 살았다는 것이 지배적인 견해이다. N. 이자형. 그는 기하학, 역학, 정수역학, 광학을 공부했습니다. 프로토타입을 발명했다 증기 기관및 정밀 레벨링 기기. 가장 인기있는 자동 장치는 자동 극장, 분수 및 기타였습니다.G.는 정역학 및 동역학 법칙에 의존하여 오돌 라이트를 설명하고 레버, 블록, 프로펠러 및 군용 차량에 대해 설명했습니다. 광학에서 그는 수학에서 빛의 반사 법칙을 공식화했습니다. 가장 중요한 측정 방법 기하학적 모양. G.의 주요 작품은 Ietrik, Pneumatics, Autopoietics, Mechanics(프랑스어, 작업은 완전히 아랍어로 보존됨), Catoptics(거울의 과학, 라틴어 번역으로만 보존됨) 등이 있습니다. 그의 전임자들의 업적: 유클리드, 아르키메데스, Lampsacus의 Strato. 그의 스타일은 단순하고 명확하지만 때로는 너무 간결하거나 구조화되지 않습니다. G.의 글에 대한 관심은 III 세기에 나타났습니다. N. 이자형. 그리스와 비잔틴, 아랍 학생들이 그의 작품에 대해 논평하고 번역했습니다.

디오판투스- 3세기 그리스 과학자는 기하학에 의존하지 않고 순전히 대수적 방식으로 일부 이차 방정식을 풀었고 방정식 자체와 그 해가 기호 형식으로 작성되었습니다.

“그리스 수학자 디오판토스가 이차 방정식을 어떻게 구성하고 풀었는지 알려 드리겠습니다. 예를 들어 다음은 그의 작업 중 하나입니다."합이 20이고 곱이 96이라는 것을 알고 두 숫자를 찾으십시오."

1. 문제의 조건에서 원하는 숫자가 같지 않다는 결과가 나옵니다. 만약 그들이 같다면 그들의 곱은 96이 아니라 100이 될 것입니다.

2. 따라서. 그들 중 하나는 합계의 절반 이상이 될 것입니다. 10 + x, 다른 하나는 더 작습니다. 10 - x.

3. 그들 사이의 차이는 2배입니다.

4. 따라서 방정식 (10 + x) * (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96 x 2 - 4 = 0

5. 답 x = 2. 원하는 숫자 중 하나는 12이고,
기타 - 8. Diophantus에 대한 솔루션 x = - 2는 존재하지 않습니다. 그리스 수학은 양수만 알았습니다.” Diophantus는 해결 방법을 매우 잘 알고 있었습니다. 복잡한 방정식, 미지수에 대한 문자 지정 사용, 계산을 위한 특수 기호 도입, 단어 약어 사용. 바스카레 - 아카리아- 서기 12세기 인도의 수학자. 이차 방정식을 푸는 일반적인 방법을 발견했습니다.

예를 들어 Bhaskara 문제와 같은 인도 수학자의 문제 중 하나를 분석해 보겠습니다.

“원숭이 떼가 즐겁게 놀고 있습니다. 전체 수의 8분의 1이 숲에서 네모난 장난을 치며 나머지 12마리는 언덕 꼭대기에서 비명을 지릅니다. 말해봐, 원숭이가 몇 마리야?"

문제에 대해 논평하면서 방정식 (x/8) 2 + 12 = x가 문제에 해당한다고 말하고 싶습니다. Bhaskara는 x 2 - 64x \u003d - 768로 씁니다. 두 부분에 제곱 32를 더하면 방정식은 다음 형식을 취합니다.

x 2 - 64 x + 32 2 = - 768 + 1024

(x - 32) 2 = 256

추출 후 제곱근우리는 x - 32 \u003d 16을 얻습니다.

"이 경우 첫 번째 부분의 음수 단위는 두 번째 부분의 단위가 두 번째 부분보다 작도록 되어 있으므로 후자는 양수와 음수 모두로 간주될 수 있으며 미지수의 두 배 값을 얻습니다. : 48과 16.”

Bhaskara의 솔루션은 그가 2차 방정식의 근의 2값성에 대해 알고 있음을 나타냅니다.

오래된 인도 Bhaskara 문제를 해결하기 위해 제안되었습니다.

“원숭이의 5분의 1의 제곱을 3으로 줄인, 동굴에 숨어 있던 한 원숭이가 나무에 올라간 것이 보였습니다. 원숭이는 몇 마리였습니까? 이 문제는 기본적으로 해결되어 2차 방정식으로 축소된다는 점에 유의해야 합니다.

알 - 코레즈미 - 825년에 "회복과 반대의 책"이라는 책을 쓴 아랍 학자. 세계 최초의 대수학 교과서였습니다. 그는 또한 6가지 유형의 이차 방정식을 제공했으며 6가지 방정식 각각에 대해 구두 형식으로 공식화하여 풀기 위한 특별한 규칙을 제공했습니다. 논문에서 Khorezmi는 6가지 유형의 방정식을 나열하여 다음과 같이 표현합니다.

1. "제곱은 뿌리와 같습니다", 즉 도끼 2 = 안으로.

2. "제곱은 숫자와 같습니다", 즉 도끼 2 = s.

3. "근은 숫자와 같다", 즉 아 = ㅅ.

4. "제곱과 숫자는 근과 같습니다", 즉 도끼 2 + c \u003d in.

5. "제곱과 근은 숫자와 같습니다", 즉 도끼 2 + in = s.

6. "근과 숫자는 제곱과 같습니다", 즉 + c \u003d 아 2에서.

2차 방정식을 푸는 것으로 축소된 알-콰리즈미의 문제를 분석해 봅시다. "제곱과 숫자는 근과 같습니다." 예를 들어, 하나의 정사각형과 숫자 21은 같은 정사각형의 10근과 같습니다. 문제는 21을 더한 후 같은 정사각형의 10근과 같은 정사각형이 형성되는 것입니다.

그리고 al-Khwarizmi의 네 번째 공식을 사용하여 학생들은 다음을 적어야 합니다. x 2 + 21 = 10x

프랑수아 비엣 - 프랑스 수학자, 주어진 이차 방정식의 근의 합과 곱에 대한 정리를 공식화하고 증명했습니다.

내가 제시하는 예술은 새롭거나 적어도 야만인의 영향으로 너무 타락하여 완전히 새로운 모습을 제공하기에 적합하다고 생각했습니다.

프랑수아 비엣

그러나 François(1540-13.12. 1603)는 유명한 La Rochelle 요새에서 멀지 않은 Poitou 지방의 Fontenay-le-Comte라는 마을에서 태어났습니다. 법학 학위를 받은 그는 19세부터 자신의 고향에서 변호사로 성공적으로 활동했습니다. 변호사로서 Viet은 사람들 사이에서 명성과 존경을 받았습니다. 그는 널리 교육받은 사람이었습니다. 천문학과 수학 등 모든 것을 알고 있었다 자유 시간이 과학에 주었다.

Vieta의 주요 열정은 수학이었습니다. 그는 카르다노, 봄벨리, 스테빈 등의 직계 조상인 고전 아르키메데스와 디오판투스의 작품을 깊이 연구했습니다. Vieta는 그것들을 존경했을 뿐만 아니라 언어적 상징주의로 인한 이해의 어려움이라는 큰 결함을 보았습니다. 거의 모든 행동과 기호가 말로 기록되었으며, 우리가 지금 사용하는 편리하고 거의 자동적인 규칙에 대한 암시가 없었습니다. . 녹음이 불가능하여 다음에서 시작합니다. 일반보기대수적 비교 또는 다른 대수적 표현. 수치 계수가 있는 각 유형의 방정식은 특별한 규칙에 따라 해결되었습니다. 따라서 이러한 숫자 자체에 의존하지 않는 모든 숫자에 이러한 일반적인 조치가 있음을 증명할 필요가 있었습니다. Viet과 그의 추종자들은 문제의 숫자가 물체의 수인지 또는 세그먼트의 길이인지는 중요하지 않다고 주장했습니다. 가장 중요한 것은 이러한 숫자로 대수 연산을 수행하고 결과적으로 같은 종류의 숫자를 다시 얻을 수 있다는 것입니다. 따라서 그것들은 몇 가지 추상적인 기호로 표시될 수 있습니다. 비엣이 그랬다. 그는 문자 그대로의 미적분학을 소개했을 뿐만 아니라 근본적으로 새로운 발견을 하여 숫자가 아닌 행동을 연구하는 것을 목표로 삼았습니다. 이러한 쓰기 방식을 통해 Vieta는 대수 방정식의 일반 속성 연구에서 중요한 발견을 할 수 있었습니다. Vieta가 문자 상징주의의 창시자인 대수학의 "아버지"라고 불리는 것은 우연이 아닙니다.

정보 자원:

http :// 솜. 피오. ko/ 자원/ 카르푸히나/2003/12/ 완전한%20 일하다/ 콘서트/ 인덱스1. htm

http :// 페이지. 마르수. ko/ 아이악/ 학교/ 에스4/ 페이지74. HTML

1.1. 이차 방정식의 출현 역사에서

대수학은 방정식을 사용하여 다양한 문제의 해결과 관련하여 발생했습니다. 일반적으로 문제에서는 원하는 수량과 주어진 수량에 대해 수행된 몇 가지 작업의 결과를 알면서 하나 또는 여러 개의 미지수를 찾아야 합니다. 이러한 문제는 하나 또는 여러 방정식의 시스템을 풀고 주어진 양에 대한 대수 연산의 도움으로 원하는 것을 찾는 것으로 축소됩니다. 대수학 연구 일반 속성수량에 대한 조치.

1차 및 2차 방정식을 풀기 위한 일부 대수적 기술은 이미 4000년 전에 알려져 있었습니다. 고대 바빌론.

고대 바빌론의 이차 방정식

고대에 1차 방정식뿐만 아니라 2차 방정식도 풀어야 하는 필요성은 천문과 토목의 발달은 물론 군사적 성질의 토지와 토공의 면적을 구하는 문제를 풀어야 했기 때문이다. 수학 그 자체. 바빌론 사람들은 기원전 2000년경에 이차 방정식을 푸는 방법을 알고 있었습니다. 현대 대수 표기법을 적용하면 설형 문자 텍스트에는 불완전한 것 외에도 예를 들어 완전한 이차 방정식이 있다고 말할 수 있습니다.

바빌로니아 문헌에 나와 있는 이 방정식을 푸는 규칙은 본질적으로 현대와 일치하지만 바빌론 사람들이 어떻게 이 규칙을 갖게 되었는지는 알려져 있지 않습니다. 지금까지 발견된 거의 모든 설형 문자 텍스트는 어떻게 발견되었는지에 대한 표시 없이 조리법의 형태로 언급된 솔루션에 대한 문제만 제공합니다. 에도 불구하고 높은 레벨바빌론의 대수학의 발전, 설형 문자 텍스트에는 음수 개념이 없으며 일반적인 방법이차 방정식의 솔루션.

Diophantus의 산술은 대수학의 체계적인 설명을 포함하지 않지만 설명과 함께 다양한 정도의 방정식을 공식화하여 해결되는 체계적인 일련의 문제를 포함합니다.

방정식을 컴파일할 때 Diophantus는 미지수를 능숙하게 선택하여 솔루션을 단순화합니다.

예를 들어 여기에 그의 작업 중 하나가 있습니다.

작업 2. "합이 20이고 곱이 96임을 알고 두 숫자를 찾으십시오."

Diophantus는 다음과 같이 주장합니다. 문제의 조건에서 원하는 숫자가 같지 않으면 제품이 96이 아니라 100이 되기 때문에 동일하지 않습니다. 따라서 그 중 하나는 다음보다 클 것입니다. 합계의 절반, 즉 .10 + x. 다른 하나는 더 작습니다. 즉, 10 - x입니다. 그들 사이의 차이는 2배입니다. 따라서 방정식:

(10+x)(10-x)=96,

따라서 x = 2입니다. 원하는 숫자 중 하나는 12이고 다른 하나는 8입니다. 그리스 수학은 양수만 알고 있었기 때문에 Diophantus에 대한 솔루션 x = - 2는 존재하지 않습니다.

이 문제를 풀고 미지수 중 하나를 미지수로 선택하면 방정식의 해를 구할 수 있습니다.

Diophantus는 원하는 숫자의 반차를 미지수로 선택하여 솔루션을 단순화한다는 것이 분명합니다. 그는 불완전한 이차 방정식을 푸는 문제를 줄이는 데 성공했습니다.

인도의 이차 방정식

이차 방정식에 대한 문제는 인도의 수학자이자 천문학자인 Aryabhatta가 499년에 편찬한 천문학 논문 "Aryabhattam"에서 이미 발견되었습니다. 또 다른 인도 학자인 브라마굽타(7세기)는 다음과 같이 설명했습니다. 일반 규칙단일 정준 형식으로 축소된 이차 방정식의 해:

ax 2 + bx \u003d c, a> 0. (1)

방정식 (1)에서 계수는 음수일 수 있습니다. 브라마굽타의 법칙은 본질적으로 우리와 일치합니다.

인도에서는 어려운 문제를 해결하기 위한 공개 경쟁이 일반적이었습니다. 고대 인도 서적 중 하나에서 그러한 경쟁에 대해 다음과 같이 말합니다. 작업은 종종 다음으로 포장되었습니다. 시적 형식.

다음은 XII 세기의 유명한 인도 수학자의 문제 중 하나입니다. 바스카라.

Bhaskara의 솔루션은 저자가 2차 방정식의 근의 2값을 알고 있었음을 나타냅니다.

문제 3에 해당하는 방정식은 다음과 같습니다.

Bhaskara는 다음과 같이 가장하여 씁니다.

x 2 - 64x = - 768

이 방정식의 좌변을 정사각형으로 완성하려면 양변에 32 2 를 더한 다음 다음을 얻습니다.

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

알 콰리즈미의 이차 방정식

Al-Khwarizmi의 대수 논문은 선형 및 이차 방정식의 분류를 제공합니다. 저자는 6가지 유형의 방정식을 나열하여 다음과 같이 표현합니다.

1) "제곱은 근과 같습니다", 즉 ax 2 = bx입니다.

2) "제곱은 숫자와 같습니다", 즉 ax 2 = c.

3) "근은 숫자와 같습니다", 즉 ax \u003d c.

4) "제곱과 숫자는 근과 같습니다", 즉 ax 2 + c = bx.

5) "제곱과 근은 숫자와 같습니다", 즉 ax 2 + bx \u003d c.

6) "근과 숫자는 제곱과 같습니다", 즉 bx + c == ax 2.

사용을 기피한 알콰리즈미를 위해 음수, 이러한 각 방정식의 항은 뺄셈이 아니라 항입니다. 이 경우 양의 해가 없는 방정식은 분명히 고려되지 않습니다. 저자는 al-jabr 및 al-muqabala의 방법을 사용하여 이러한 방정식을 푸는 방법을 설명합니다. 물론 그의 결정은 우리와 완전히 일치하지는 않습니다. 그것이 순전히 수사적이라는 사실은 말할 것도 없고, 예를 들어 첫 번째 유형의 불완전한 이차 방정식을 풀 때 Al-Khwarizmi는 17세기 이전의 모든 수학자와 마찬가지로 0을 고려하지 않습니다. 특정 실제 작업에서는 문제가 되지 않기 때문일 수 있습니다. 완전한 이차 방정식을 풀 때 Al-Khwarizmi는 특정 수치 예를 사용한 다음 기하학적 증명을 사용하여 풀기 위한 규칙을 설정합니다.

예를 들어 보겠습니다.

문제 4. “제곱과 숫자 21은 10개의 근과 같습니다. 루트 "(방정식의 루트 x 2 + 21 \u003d 10x를 의미)를 찾으십시오.

솔루션: 근의 수를 반으로 나누면 5가 되고, 5를 자체적으로 곱하고, 곱에서 21을 빼고, 4가 남습니다. 4의 근을 취하면 2가 됩니다. 5에서 2를 빼면 3이 됩니다. 원하는 루트. 또는 2에 5를 더하면 7이 됩니다. 이 역시 근입니다.

Al-Khwarizmi의 논문은 우리에게 내려온 첫 번째 책으로, 이차 방정식의 분류가 체계적으로 제시되고 해에 대한 공식이 제공됩니다.

유럽 XII-XVII 세기의 이차 방정식.

유럽의 Al-Khwarizmi 모델에서 2차 방정식을 푸는 형식은 1202년에 작성된 "주판의 책"에 처음 설명되었습니다. 이탈리아 수학자 레오나르도 피보나치. 저자는 문제 해결의 몇 가지 새로운 대수적 예를 독자적으로 개발했으며 유럽에서 처음으로 음수 도입에 접근했습니다.

이 책은 이탈리아는 물론 독일, 프랑스 등 유럽 국가에서도 대수학 지식의 보급에 기여했다. 이 책의 많은 작업이 14-17세기의 거의 모든 유럽 교과서로 옮겨졌습니다. 가능한 모든 기호 및 계수 조합 b, c를 사용하여 단일 표준 형식 x 2 + bx \u003d c로 축소된 이차 방정식을 푸는 일반적인 규칙은 M. Stiefel에 의해 1544년 유럽에서 공식화되었습니다.

Vieta는 이차 방정식을 푸는 공식의 일반적인 파생물을 가지고 있지만 Vieta는 양의 근만 인식했습니다. 이탈리아 수학자 Tartaglia, Cardano, Bombelli는 16세기 최초의 수학자 중 한 명입니다. 긍정적이고 부정적인 뿌리 외에도 고려하십시오. XVII 세기에만. Girard, Descartes, Newton 및 기타 과학자들의 연구 덕분에 이차 방정식을 푸는 방법은 현대적인 모습..

실제 문제를 해결하기 위한 대수적 방법의 기원은 과학과 관련이 있습니다. 고대 세계. 수학의 역사에서 알 수 있듯이 이집트, 수메르, 바빌로니아 서기관 컴퓨터(기원전 XX-VI 세기)가 해결한 수학 문제의 상당 부분은 계산된 성격을 띠고 있었습니다. 그러나 그때에도 때때로 우리의 현대적 관점에서 방정식의 공식화 또는 연립방정식의 공식화를 요구하는 일부 간접적인 조건에 의해 원하는 양의 값이 지정되는 문제가 발생했습니다. 처음에는 이러한 문제를 해결하기 위해 산술 방법이 사용되었습니다. 나중에 대수적 표현의 시작이 형성되기 시작했습니다. 예를 들어, 바빌로니아 계산기는 다음과 같이 줄일 수 있는 문제를 해결할 수 있었습니다. 현대 분류 2차 방정식으로. 텍스트 문제를 해결하는 방법이 만들어졌으며 나중에 대수 구성 요소와 그 독립적인 연구를 강조하는 기초가 되었습니다.

이 연구는 방정식이 표준 양식유사한 항의 축소, 부호 변경을 통해 방정식의 한 부분에서 다른 부분으로 항을 이동합니다. 그리고 나서 르네상스의 유럽 수학자들은 오랜 탐색의 결과로 현대 대수학의 언어, 문자의 사용, 산술 연산을 위한 기호의 도입, 대괄호 등을 만들었습니다. 17세기. 고유한 주제, 방법, 적용 영역이 있는 수학의 특정 부분으로서의 대수학은 이미 형성되었습니다. 우리 시대까지의 추가 개발은 방법 개선, 응용 범위 확장, 개념 및 수학의 다른 분야 개념과의 연결을 명확히하는 것으로 구성되었습니다.

따라서 방정식의 개념과 관련된 자료의 중요성과 광대함을 고려하여 현대 수학 방법론에 대한 연구는 발생 및 기능의 세 가지 주요 영역과 관련됩니다.

이차 방정식의 역사에서 저자: 9학년 "A" 학생 Radchenko Svetlana 감독자: Alabugina I.A. Kemerovo 지역의 MBOU "중등 학교 No.5 Guryevsk"의 수학 교사 발표 주제 영역: 수학 교사를 돕기 위해 만든 총 20 슬라이드 목차 소개 ...................................................................................... ……………………………………3 이차 방정식의 출현의 역사에서 고대 바빌론의 이차 방정식 ……………………………….4 인도의 이차 방정식 ………………………………………………5 Al-Khwarizmi의 2차 방정식………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………6, Diophantus가 컴파일되고, 해결 이차 방정식 ........................................................................... 7 유럽 Xll - XVll 세기의 이차 방정식 ........................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... 10 이차 방정식을 공부하기 위한 방법론 ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................10 이차 방정식을 푸는 10가지 방법 ...........................................................................12 불완전한 이차 방정식을 푸는 알고리즘... ........................................... 13 완전한 이차 방정식을 푸는 알고리즘 ........................................... 14 응용 문제 풀기 ........................................................................... ...........................................................................16 5. 결론. ........................................................................................................................... 18 1. 2. 6. 사용 문헌 목록 .................................................................. ...........................................19 2 서론 새로운 것을 배우지 못한 그날이나 그 시간을 불행하다고 생각하기 위해 교육에 아무 것도 추가하지 않았습니다. Jan Amos Comenius 3 이차 방정식은 장엄한 대수학의 기초가 됩니다. 삼각, 지수, 로그, 비합리 및 초월 방정식과 부등식을 푸는 데 널리 사용됩니다. 대수학의 학교 과정에서 이차 방정식은 선두 자리를 차지합니다. 수학에서 많은 학교 시간을 수학을 공부하는 데 할애합니다. 기본적으로 이차 방정식은 특정한 실용적인 목적을 제공합니다. 현실 세계의 공간적 형태와 양적 관계에 관한 대부분의 문제는 해결에 달려있다. 다양한 종류 2차 방정식을 포함한 방정식. 해결 방법을 숙달함으로써 사람들은 과학과 기술의 다양한 질문에 대한 답을 찾습니다. 이차 방정식의 출현의 역사에서 고대 바빌론: 이미 기원전 약 2000년, 바빌론 사람들은 이차 방정식을 푸는 방법을 알고 있었습니다. 완전 및 불완전 이차 방정식을 푸는 방법이 알려져 있습니다. 예를 들어, 고대 바빌론에서는 다음과 같은 이차 방정식이 풀렸습니다. 4 인도 이차 방정식을 사용하여 해결된 문제는 서기 499년 인도의 천문학자이자 수학자 Aryabhata가 쓴 천문학 논문 "Aryabhattiam"에서 찾을 수 있습니다. 또 다른 인도 과학자인 브라마굽타(Brahmagupta)는 정준 형식으로 축소된 이차 방정식을 푸는 보편적인 규칙을 설명했습니다. ax2+bx=c; 또한 ""를 제외한 모든 계수가 음수일 수 있다고 가정했습니다. 과학자가 공식화 한 규칙은 본질적으로 현대 규칙과 일치합니다. 5 Al-Khwarizmi의 이차 방정식: Al-Khwarizmi의 대수 논문은 선형 및 이차 방정식의 분류를 제공합니다. 저자는 6가지 유형의 방정식을 나열하여 다음과 같이 표현합니다. ax2 = bx.; "제곱은 숫자와 같습니다", 즉 ax2 = c; "근은 숫자와 같습니다", 즉 ax \u003d c; "제곱과 숫자는 근과 같습니다", 즉. ax2 + c = bx; "제곱과 근은 숫자와 같습니다", 즉 ax2 + bx = c; "근과 숫자는 제곱과 같습니다", 즉 bx + c = ax2입니다. 6 Diophantus가 이차 방정식을 편집하고 해결한 방법: 가장 독특한 고대 그리스 수학자 중 한 사람은 Alexandria의 Diophantus였습니다. 지금까지 Diophantus의 출생 연도와 사망 날짜는 명확하지 않습니다. 3세기에 살았던 것으로 추정된다. 기원 후 Diophantus의 작품 중 가장 중요한 것은 산술이며, 그 중 13권이 현재까지 6권만 남아 있습니다. Diophantus의 "산술"은 대수학의 체계적인 설명을 포함하지 않지만 설명과 함께 다양한 정도의 방정식을 그려서 해결하는 많은 문제를 포함합니다. 방정식을 컴파일할 때 Diophantus는 미지수를 능숙하게 선택하여 솔루션을 단순화합니다. 7 유럽의 이차 방정식 XII-XVII 세기: 이탈리아 수학자 레오나르도 피보나치(Leonard Fibonacci)는 독립적으로 문제 해결의 몇 가지 새로운 대수적 예를 개발했으며 유럽에서 처음으로 음수 도입에 접근했습니다. 기호와 계수 b, c의 가능한 모든 조합을 사용하여 단일 표준 형식 x2 + bx = c로 축소된 이차 방정식을 푸는 일반적인 규칙은 1544년 유럽에서 Michael Stiefel에 의해 공식화되었습니다. 8 François Viet 프랑스 수학자 F. 대수 기호 체계를 도입한 Viet(1540-1603)은 기초 대수의 기초를 개발했습니다. 그는 방정식 이론을 크게 발전시킨 문자로 숫자를 지정하기 시작한 최초의 사람 중 한 사람입니다. Vieta는 이차 방정식을 푸는 공식의 일반적인 파생물을 가지고 있지만 Vieta는 양의 근만 인식했습니다. 9 오늘날 이차 방정식 이차 방정식을 푸는 능력은 다른 방정식과 그 시스템을 풀기 위한 기초 역할을 합니다. 방정식을 푸는 방법을 배우는 것은 가장 간단한 유형으로 시작하며 프로그램은 두 유형과 동일하고 동등한 변환의 "기금"을 점진적으로 누적하여 임의의 방정식을 가장 단순하게 만들 수 있습니다. 학교 대수학 과정에서 방정식을 풀기 위한 일반화된 방법을 형성하는 과정도 이러한 방향으로 구축되어야 합니다. 고등학교 수학 과정에서 학생들은 새로운 방정식, 시스템 또는 이미 알려진 방정식에 대한 심층 연구에 직면합니다. 특별한 연구 대상이되는 이차 방정식을 푸는 방법에주의를 기울입니다. 이 주제는 특징 큰 깊이프레젠테이션과 학습에 도움이 되는 연결의 풍부함, 프레젠테이션의 논리적 타당성. 따라서 방정식과 불평등의 선에서 예외적 인 위치를 차지합니다. 2차 방정식 연구에서 중요한 점은 기약 2차 방정식의 근과 계수 사이의 관계가 존재한다는 Vieta의 정리를 고려하는 것입니다. Vieta 정리를 마스터하는 것의 복잡성은 몇 가지 상황과 관련이 있습니다. 우선, 직접 정리와 역 정리의 차이점을 고려해야 합니다. 11 이차 방정식을 푸는 10가지 방법: 방정식의 좌변 인수분해. 완전 정사각형 선택 방법. 공식에 의한 이차 방정식의 해. Vieta의 정리를 사용한 방정식의 해. "전달" 방법으로 방정식 풀기 이차 방정식 계수의 속성. 이차 방정식의 그래픽 솔루션. 나침반과 직선자를 사용하여 이차 방정식을 풉니다. 12 노모그램을 사용하여 이차 방정식 풀기. 이차 방정식을 푸는 기하학적 방법. 불완전한 이차 방정식을 풀기 위한 알고리즘 1) 방정식이 ax2 = 0 형식이면 하나의 근 x = 0을 갖습니다. 2) 방정식의 형식이 ax2 + bx = 0이면 인수분해 방법이 사용됩니다. x (ax + b) = 0; 따라서 x = 0 또는 ax + b = 0입니다. 결과적으로 두 개의 근이 얻어집니다. x1 = 0; x2 \u003d 3) 방정식의 형식이 ax2 + c \u003d 0이면 ax2 \u003d - c 및 x2 형식으로 변환됩니다. = 다음과 같은 경우 -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, 즉 - \u003d m, 여기서 m>0, 방정식 x2 \u003d m에는 두 개의 근이 있으므로 불완전한 이차 방정식은 두 개의 근, 하나의 근, 무근을 가질 수 있습니다. 13 완전한 이차 방정식을 푸는 알고리즘. 이들은 ax2 + bx + c = 0 형식의 방정식입니다. 여기서 a, b, c는 숫자가 지정되고 ≠ 0, x는 미지수입니다. 완전한 이차 방정식은 이차 방정식의 근의 수를 결정하고 이러한 근을 찾기 위해 형식으로 변환될 수 있습니다. 완전한 이차 방정식을 푸는 다음과 같은 경우가 고려됩니다. D< 0, D = 0, D >0. 1. 만약 D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0인 경우 이차 방정식 ax2 + bx + c = 0에는 다음 공식으로 찾을 수 있는 두 개의 근이 있습니다. 14 기약 이차 방정식의 해법 F. Vieta의 정리: 주어진 이차 방정식의 근의 합은 반대 부호로 취한 두 번째 계수와 같고, 근의 곱은 자유 항과 같습니다. 즉, x1과 x2가 방정식 x2 +px + q = 0의 근이면 x1 + x2 = - p, x1 x2 = q입니다. (*) 정리를 Vieta 정리로 변환: 공식(*)이 숫자 x1, x2, p, q에 대해 유효하면 x1 및 x2는 방정식 x2 + px + q = 0의 근입니다. 15 의 실제 적용 적용된 Bhaskar 문제를 해결하기 위한 이차 방정식( 1114-1185) - XII 세기의 가장 큰 인도 수학자이자 천문학자. 그는 Ujjain의 천문대를 이끌었습니다. Bhaskara는 논문 "Siddhanta-shiromani"( "가르침의 왕관")를 썼습니다. "Lilavati"는 산술에 전념하고 "Bizhdaganita"는 대수학에, "Goladhaya"는 구체에, "Granhaganita" - 행성 운동 이론. Bhaskara는 방정식의 음수 근을 받았지만 그 중요성을 의심했습니다. 그는 최초의 영구 운동 프로젝트 중 하나를 소유하고 있습니다. 16 XII 세기의 유명한 인도 수학자의 문제 중 하나. Bhaskara: Bhaskara의 솔루션은 작성자가 이차 방정식의 근의 2값을 알고 있음을 나타냅니다. 17 결론 이차 방정식을 푸는 과학의 발전은 길고 험난한 길을 왔습니다. Stiefel, Vieta, Tartaglia, Cardano, Bombelli, Girard, Descartes, Newton의 연구 이후에야 이차 방정식을 푸는 과학이 현대적인 형태를 갖추게 되었습니다. 이차 방정식의 가치는 문제 해결의 우아함과 간결함에 있을 뿐만 아니라 이것이 매우 중요합니다. 덜 중요한 것은 문제 해결에 2차 방정식을 사용한 결과 새로운 세부 사항이 자주 발견되고 흥미로운 일반화가 이루어지고 개선이 이루어질 수 있다는 사실이며 이는 얻은 공식과 관계의 분석에 의해 촉발됩니다. 이차 방정식 개발의 역사와 관련된 문헌 및 인터넷 리소스를 연구하면서 나는 스스로에게 이렇게 자문했습니다. 아마도 무엇보다도 과학 발전의 열쇠는 인간 마음의 탐구심일 것입니다. 세상의 본질에 대한 질문, 이 세상에서 인간의 위치에 대한 질문은 항상 생각하고 탐구하며 합리적인 사람들을 괴롭힙니다. 사람들은 항상 자신과 세상에서 자신의 위치를 이해하기 위해 노력했습니다. 자신을 돌아보십시오. 어쩌면 당신이 일상 생활, 게으름에 굴복했기 때문에 당신의 타고난 호기심이 고통받을 수 있습니까? 많은 과학자들의 운명 - 따라야 할 18가지 예. 모든 이름이 잘 알려져 있고 인기 있는 것은 아닙니다. 생각해 보세요. 주변 사람들에게 나는 무엇입니까? 그러나 가장 중요한 것은 나 자신에 대해 어떻게 느끼는가입니다. 내가 존경받을 자격이 있습니까? 그것에 대해 생각하십시오 ... 참고 문헌 1. Zvavich L.I. "대수학 8학년", M., 2002. 2. Savin Yu.P. " 백과사전젊은 수학자", M., 1985. 3. Yu.N.Makarychev "대수학 8학년", M, 2012. /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/ index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 관심을 가져주셔서 감사합니다 20

이차 방정식의 출현 역사에서

대수학은 방정식을 사용하여 다양한 문제의 해결과 관련하여 발생했습니다. 일반적으로 문제에서는 원하는 수량과 주어진 수량에 대해 수행된 몇 가지 작업의 결과를 알면서 하나 또는 여러 개의 미지수를 찾아야 합니다. 이러한 문제는 하나 또는 여러 방정식의 시스템을 풀고 주어진 양에 대한 대수 연산의 도움으로 원하는 것을 찾는 것으로 축소됩니다. 대수학은 양에 대한 동작의 일반적인 속성을 연구합니다.

1차 및 2차 방정식을 풀기 위한 일부 대수적 기술은 이미 4000년 전 고대 바빌론에서 알려졌습니다.

고대 바빌론의 이차 방정식

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" 너비="93" 높이="41 src=">

바빌로니아 문헌에 나와 있는 이 방정식을 푸는 규칙은 본질적으로 현대와 일치하지만 바빌론 사람들이 어떻게 이 규칙을 갖게 되었는지는 알려져 있지 않습니다. 지금까지 발견된 거의 모든 설형 문자 텍스트는 어떻게 발견되었는지에 대한 표시 없이 조리법의 형태로 언급된 솔루션에 대한 문제만 제공합니다. 바빌론의 높은 수준의 대수학 발전에도 불구하고 설형 문자 텍스트에는 음수의 개념과 이차 방정식을 푸는 일반적인 방법이 없습니다.

방정식을 컴파일할 때 Diophantus는 미지수를 능숙하게 선택하여 솔루션을 단순화합니다.

예를 들어 여기에 그의 작업 중 하나가 있습니다.

작업 2. "합이 20이고 곱이 96임을 알고 두 숫자를 찾으십시오."

(10+x)(10-x)=96,

이 문제를 풀고 미지수 중 하나를 미지수로 선택하면 방정식의 해를 구할 수 있습니다.

인도의 이차 방정식

이차 방정식에 대한 문제는 인도의 수학자이자 천문학자인 Aryabhatta가 499년에 편찬한 천문학 논문 "Aryabhattam"에서 이미 발견되었습니다. 또 다른 인도 과학자인 브라마굽타(7세기)는 단일 정준 형식으로 축소된 이차 방정식을 푸는 일반적인 규칙을 설명했습니다.

ax2 + bx = c, a>

방정식 (1)에서 계수는 음수일 수 있습니다. 브라마굽타의 법칙은 본질적으로 우리와 일치합니다.

인도에서는 어려운 문제를 해결하기 위한 공개 경쟁이 일반적이었습니다. 고대 인도 서적 중 하나에서 그러한 경쟁에 대해 다음과 같이 말합니다. 작업은 종종 시적인 형태로 옷을 입었습니다.

다음은 XII 세기의 유명한 인도 수학자의 문제 중 하나입니다. 바스카라.

Bhaskara의 솔루션은 저자가 2차 방정식의 근의 2값을 알고 있었음을 나타냅니다.

문제 3에 해당하는 방정식은 다음과 같습니다.

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" height="26 src=">x2 - 64x = - 768

그리고 이 방정식의 좌변을 정사각형으로 완성하기 위해 양변에 322를 더하고 다음을 얻습니다.

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

알 콰리즈미의 이차 방정식

Al-Khwarizmi의 대수 논문은 선형 및 이차 방정식의 분류를 제공합니다. 저자는 6가지 유형의 방정식을 나열하여 다음과 같이 표현합니다.

1) "제곱은 근과 같습니다", 즉 ax2 = bx입니다.

2) "제곱은 숫자와 같습니다", 즉 ax2 = c.

3) "근은 숫자와 같습니다", 즉 ax \u003d c.

4) "제곱과 숫자는 근과 같습니다", 즉 ax2 + c = bx.

5) "제곱과 근은 숫자와 같습니다", 즉 ax2 + bx = c.

6) "근과 숫자는 제곱과 같습니다", 즉 bx + c == ax2.

음수 사용을 피한 Al-Khwarizmi의 경우 이러한 각 방정식의 항은 뺄셈이 아니라 덧셈입니다. 이 경우 양의 해가 없는 방정식은 분명히 고려되지 않습니다. 저자는 al-jabr 및 al-muqabala의 방법을 사용하여 이러한 방정식을 푸는 방법을 설명합니다. 물론 그의 결정은 우리와 완전히 일치하지는 않습니다. 그것이 순전히 수사적이라는 사실은 말할 것도 없고, 예를 들어 첫 번째 유형의 불완전한 이차 방정식을 풀 때 Al-Khwarizmi는 17세기 이전의 모든 수학자와 마찬가지로 0을 고려하지 않습니다. 특정 실제 작업에서는 문제가 되지 않기 때문일 수 있습니다. 완전한 이차 방정식을 풀 때 Al-Khwarizmi는 특정 수치 예를 사용한 다음 기하학적 증명을 사용하여 풀기 위한 규칙을 설정합니다.

예를 들어 보겠습니다.

문제 4. “제곱과 숫자 21은 10개의 근과 같습니다. 루트 찾기 "(방정식 x2 + 21 \u003d 10x의 루트가 암시됨).

Al-Khwarizmi의 논문은 우리에게 내려온 첫 번째 책으로, 이차 방정식의 분류가 체계적으로 제시되고 해에 대한 공식이 제공됩니다.

유럽의 이차 방정식12- 17안에.

이 책은 이탈리아는 물론 독일, 프랑스 등 유럽 국가에서도 대수학 지식의 보급에 기여했다. 이 책의 많은 작업이 14-17세기의 거의 모든 유럽 교과서로 옮겨졌습니다. 기호와 계수 b, c의 가능한 모든 조합을 사용하여 단일 표준 형식 x2 + bx = c로 축소된 이차 방정식을 푸는 일반적인 규칙은 1544년 M. Stiefel에 의해 유럽에서 공식화되었습니다.

실용적인 문제를 해결하기 위한 대수적 방법의 기원은 고대 세계의 과학과 연결되어 있습니다. 수학의 역사에서 알 수 있듯이 이집트, 수메르, 바빌로니아 서기관 컴퓨터(기원전 XX-VI 세기)가 해결한 수학 문제의 상당 부분은 계산된 성격을 띠고 있었습니다. 그러나 그때에도 때때로 우리의 현대적 관점에서 방정식의 공식화 또는 연립방정식의 공식화를 요구하는 일부 간접적인 조건에 의해 원하는 양의 값이 지정되는 문제가 발생했습니다. 처음에는 이러한 문제를 해결하기 위해 산술 방법이 사용되었습니다. 나중에 대수적 표현의 시작이 형성되기 시작했습니다. 예를 들어, 바빌로니아 계산기는 현대 분류의 관점에서 볼 때 2차 방정식으로 축소되는 문제를 해결할 수 있었습니다. 텍스트 문제를 해결하는 방법이 만들어졌으며 나중에 대수 구성 요소와 그 독립적인 연구를 강조하는 기초가 되었습니다.

이 연구는 다른 시대에 이미 아랍 수학자(VI-X 세기 AD)에 의해 수행되었는데, 이들은 방정식이 표준 형식으로 축소되는 특징적인 동작, 유사한 항의 축소, 부호 변경으로 다른 방정식. 그리고 나서 르네상스의 유럽 수학자들은 오랜 탐색의 결과로 현대 대수학의 언어, 문자의 사용, 산술 연산을 위한 기호의 도입, 대괄호 등을 만들었습니다. 17세기. 고유한 주제, 방법, 적용 영역이 있는 수학의 특정 부분으로서의 대수학은 이미 형성되었습니다. 우리 시대까지의 추가 개발은 방법 개선, 응용 범위 확장, 개념 및 수학의 다른 분야 개념과의 연결을 명확히하는 것으로 구성되었습니다.

이차 방정식을 풀려면 다음을 알아야 합니다.

판별식을 찾는 공식;

이차 방정식의 근을 찾는 공식;

· 이 유형의 방정식을 푸는 알고리즘.

불완전한 이차 방정식 풀기;

완전한 이차 방정식 풀기;

주어진 이차 방정식을 푸십시오.

해결된 방정식에서 오류를 찾아 수정합니다.

확인하십시오.

각 방정식의 해는 두 가지 주요 부분으로 구성됩니다.

이 방정식을 가장 간단한 것으로 변환합니다.

알려진 규칙, 공식 또는 알고리즘에 따라 방정식을 푸는 것.

이차 방정식을 푸는 데있어 학생들의 활동 방법의 일반화는 점차적으로 발생합니다. "2차 방정식" 주제를 공부할 때 다음 단계를 구별할 수 있습니다.

단계 I - "불완전한 이차 방정식 풀기."

단계 II - "완전한 이차 방정식의 해".

III 단계 - "축소된 이차 방정식의 해".

첫 번째 단계에서는 불완전한 이차 방정식이 고려됩니다. 처음에 수학자들은 불완전한 이차 방정식을 푸는 법을 배웠기 때문에 이것을 위해 그들은 말했듯이 아무것도 발명할 필요가 없었습니다. 다음 형식의 방정식은 다음과 같습니다. ax2 = 0, ax2 + c = 0, 여기서 c≠ 0, ax2 + bx = 0, 여기서 b ≠ 0. 다음 방정식 중 몇 가지의 해를 고려합니다.

1. ax2 = 0인 경우 이 유형의 방정식은 다음 알고리즘에 따라 풀립니다.

1) x2를 찾습니다.

2) x를 찾습니다.

예를 들어 5x2 = 0 입니다. 방정식의 양변을 5로 나누면 x2 = 0이므로 x = 0이 됩니다.

2. ax2 + c = 0이면 c≠ 0 이 유형의 방정식은 알고리즘에 따라 풀립니다.

1) 용어를 오른쪽으로 이동합니다.

2) 제곱이 숫자 c와 같은 모든 숫자를 찾습니다.

예를 들어, x2 - 5 = 0, 이 방정식은 x2 = 5 방정식과 같습니다. 따라서 제곱이 숫자 5..gif" width="16" height="19와 같은 모든 숫자를 찾아야 합니다. ">..gif" width=" 16" height="19 src=">이고 다른 루트가 없습니다.

3. 만약 ах2 + bх = 0, b ≠ 0. 이러한 종류의 방정식은 알고리즘에 따라 풀립니다.

1) 공통 요소를 대괄호 밖으로 이동합니다.

2) x1, x2를 찾습니다.

예를 들어, x2 - 3x \u003d 0. 방정식 x2 - 3x \u003d 0을 x (x - 3) \u003d 0 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. 이 방정식에는 분명히 근 x1 \u003d 0, x2 \u003d 3이 있습니다. 다른 루트가 없습니다. x 대신 0과 3이 아닌 다른 숫자로 대체하면 방정식 x (x - 3) \u003d 0의 왼쪽에 0이 아닌 숫자가 표시되기 때문입니다.

따라서 다음 예는 불완전한 이차 방정식을 푸는 방법을 보여줍니다.

1) 방정식의 형식이 ax2 = 0이면 하나의 근 x = 0을 갖습니다.

2) 방정식의 형식이 ax2 + bx = 0이면 인수분해 방법이 사용됩니다. x (ax + b) = 0; 따라서 x = 0 또는 ax + b = 0..gif" width="16" height="41"> 다음과 같은 경우 -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, 즉 - = m, 여기서 m>0, 방정식 x2 = m에는 두 개의 근이 있습니다.

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" 너비="29" 높이="24 src=">.gif" 너비="29" 높이="24 src=">, (이 경우 더 짧은 표기법 =이 허용됩니다.

따라서 불완전한 이차 방정식은 두 개의 근을 가질 수 있습니다. 하나의 근은 근이 없습니다.

두 번째 단계에서 완전한 이차 방정식의 해로의 전환이 수행됩니다. 이들은 ax2 + bx + c = 0 형식의 방정식입니다. 여기서 a, b, c는 숫자가 주어지고 a ≠ 0, x는 미지수입니다.

완전한 이차 방정식은 다음 형식으로 변환될 수 있습니다. , 이차 방정식의 근의 수를 결정하고 이러한 근을 찾기 위해. 완전한 이차 방정식을 푸는 다음과 같은 경우가 고려됩니다. D< 0, D = 0, D > 0.

1. 만약 D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

예를 들어, 2x2 + 4x + 7 = 0입니다. 솔루션: 여기에서 a = 2, b = 4, c = 7입니다.

D \u003d b2-4ac \u003d 42-4 * 2 * 7 \u003d 16-56 \u003d-40.

D 이후로< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. D \u003d 0이면 이차 방정식 ax2 + bx + c \u003d 0에는 공식에 의해 발견되는 하나의 루트가 있습니다.

예를 들어, 4x - 20x + 25 = 0. 솔루션: a = 4, b = - 20, c = 25.

D \u003d b2-4ac \u003d (-20) 2-4 * 4 * 25 \u003d 400-400 \u003d 0.

D = 0이므로 이 방정식에는 하나의 근이 있습니다. 이 루트는 ..gif" width="100" height="45">.gif" width="445" height="45 src="> 수식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

ax2 + bx + c = 0 형식의 방정식을 푸는 알고리즘이 컴파일됩니다.

1. 공식 D = b2 - 4ac를 사용하여 판별식 D를 계산합니다.

2. 만약 D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. D = 0이면 이차 방정식에는 다음 공식에 의해 발견되는 하나의 근이 있습니다.

4..gif" 너비="101" 높이="45">.

이 알고리즘은 보편적이며 불완전한 이차 방정식과 완전한 이차 방정식 모두에 적용할 수 있습니다. 그러나 불완전한 이차 방정식은 일반적으로 이 알고리즘으로 풀지 않습니다.

수학자들은 실용적이고 경제적인 사람들이므로 https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53"> 공식을 사용합니다. (4)

2..gif" width="96" height="49 src="> D..gif" width="89" height="49"> 기호가 같으면 식 (3)은 두 개의 근을 가집니다.

2) 방정식에 두 개의 일치하는 근이 있는 경우

3) 그렇다면 방정식에 근이 없습니다.

2차 방정식 연구에서 중요한 점은 기약 2차 방정식의 근과 계수 사이의 관계가 존재한다는 Vieta의 정리를 고려하는 것입니다.

비에타의 정리. 주어진 이차 방정식의 근의 합은 반대 부호로 취한 두 번째 계수와 같고 근의 곱은 자유 항과 같습니다.

즉, x1과 x2가 방정식 x2 + px + q = 0의 근이면

이 공식은 대수 기호 시스템을 도입하고 기초 대수의 기초를 개발한 프랑스 수학자 F. Vieta()를 기리기 위해 Vieta 공식이라고 합니다. 그는 방정식 이론을 크게 발전시킨 문자로 숫자를 지정하기 시작한 최초의 사람 중 한 사람입니다.

예를 들어 위의 방정식 x2 - 7x +10 \u003d 0에는 근 2와 5가 있습니다. 근의 합은 7이고 곱은 10입니다. 근의 합은 두 번째 계수와 같습니다. , 반대 부호로 취하고 근의 곱은 자유 항과 같습니다.

Vieta의 정리와 반대되는 정리도 있습니다.

Vieta의 정리와 반대되는 정리. 공식 (5)가 숫자 x1, x2, p, q에 대해 유효하면 x1과 x2는 방정식 x2 + px + q = 0의 근입니다.

Vieta의 정리와 그 역 정리는 다양한 문제를 푸는 데 자주 사용됩니다.

예를 들어. 루트가 숫자 1과 -3인 주어진 이차 방정식을 작성해 보겠습니다.

Vieta의 공식에 따르면

– p = x1 + x2 = - 2,

따라서 원하는 방정식은 x2 + 2x - 3 = 0의 형식을 갖습니다.

Vieta 정리를 마스터하는 것의 복잡성은 몇 가지 상황과 관련이 있습니다. 우선, 직접 정리와 역 정리의 차이점을 고려해야 합니다. Vieta의 직접 정리에서는 2차 방정식과 그 근이 제공됩니다. 역수에는 두 개의 숫자만 있으며 정리의 결론에 이차 방정식이 나타납니다. 학생들은 종종 직접 또는 역 Vieta 정리에 대한 잘못된 참조로 자신의 추론을 입증하는 실수를 범합니다.

예를 들어, 선택에 의해 이차 방정식의 근을 찾을 때 학생들이 흔히 하는 것처럼 직접 비에타 정리가 아니라 역 비에타 정리를 참조해야 합니다. 비에타 정리를 판별식이 0인 경우까지 확장하려면 이 경우 이차 방정식이 2를 갖는다는 데 동의해야 합니다. 등근. 그러한 합의의 편리함은 분해에서 나타납니다. 제곱 삼항승수를 위해.

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세기와 국가를 통한 이차 방정식 프로젝트는 발견이 기초가 되는 수학자에게 학생들을 소개합니다. 과학 기술 진보, 역사적 자료와의 친분을 바탕으로 한 과목으로서 수학에 대한 관심을 발전시키고, 학생들의 지평을 넓히고, 인지 활동과 창의성을 자극합니다.

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Borisovka Kovalchuk Kirill Head Mulyukova G.V. 마을의 MOU 중등 학교 17 번 8 학년 학생의 디자인 작업.

세기와 국가를 통한 이차 방정식

프로젝트의 목적: 과학 및 기술 발전의 기초가 되는 수학 과학자들을 학생들에게 알리기 위함. 기하학과 물리학의 발전을 위한 과학자들의 작업의 중요성을 보여주십시오.???????????? 응용 프로그램을 명확하게 보여줍니다. 과학적 발견인생에서. 역사 자료에 대한 친숙함을 바탕으로 수학에 대한 흥미를 키울 수 있습니다. 학생들의 시야를 넓히기 위해 인지 활동과 창의성을 자극합니다.

고대에도 1차 방정식뿐만 아니라 2차 방정식도 풀어야 할 필요성은 천문학과 수학 자체의 발달과 함께 토지의 면적을 찾는 것과 관련된 문제를 해결해야 할 필요성에서 비롯되었습니다. 이차 방정식은 기원전 2000년경에 풀 수 있었습니다. 이자형. 바빌로니아인. 바빌로니아 문헌에 제시된 이러한 방정식의 풀이 규칙은 본질적으로 현대의 방정식과 일치하지만 이 텍스트에는 음수의 개념과 이차 방정식을 푸는 일반적인 방법이 없습니다.

. (c. 365 - 300 BC) - 고대 그리스 수학자, 우리에게 내려온 수학에 대한 최초의 이론 논문 저자. 유클리드 또는 유클리드

유클리드 시작 나일강이 바다와 합류하는 곳, 피라미드의 고대 뜨거운 땅에서 그리스 수학자 지식이 있고 현명한 유클리드가 살았습니다. 그가 공부한 기하학, 그가 가르친 기하학. 그는 훌륭한 작품을 썼습니다. 이 책의 제목은 "시작"입니다.

유클리드 기원전 3세기 Euclid는 기하학적 방법을 사용하여 이차 방정식을 풀었습니다. 다음은 고대 그리스 논문의 작업 중 하나입니다. 북문에서 20부(1부=1.6m) 떨어진 곳에 기둥이 있다. 에서 통과하는 경우 남문 14bu 직진 후 서쪽으로 꺾어 1775bu를 더 지나면 기둥이 보입니다. 문제는 도시 경계의 어느 쪽입니까? »

정사각형의 미지의 면을 결정하기 위해 이차 방정식 x ² +(k+l)x-2kd =0 을 얻습니다. 이 경우 방정식은 x ² +34x-71000=0 , x=250bu l x d k

인도의 이차 방정식 이차 방정식에 대한 문제는 인도의 수학자이자 천문학자인 Aryabhatta가 499년에 편찬한 천문학 논문 "Aryabhattam"에서도 찾아볼 수 있습니다. 또 다른 인도 과학자인 Brahmagupta는 이차 방정식을 풀기 위한 일반적인 규칙을 단일 정준 형식으로 축소했습니다. ax ² +bx=c, a>0 V 고대 인도어려운 문제를 해결하기 위한 공개 경쟁이 일반적이었습니다. 고대 인도 서적 중 하나에서는 그러한 경쟁에 대해 다음과 같이 말합니다.

12세기 인도의 유명한 수학자 Bhaskara의 과제 중 하나 Bhaskara 활기찬 원숭이 무리 마음껏 먹고 즐겼습니다. 광장에서 그들 중 8부는 공터에서 즐거웠습니다. 그리고 덩굴을 따라 12 ... 그들은 매달려 점프하기 시작했습니다 ... 얼마나 많은 원숭이가이 무리에서 나에게 말했습니까?.

해결책. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768, D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 \u003d, x 1 \u003d 48, x 2 \u003d 16. 답. 원숭이가 16~48마리 있었다. 풀어보자.

이차 방정식의 근에 대한 공식은 반복적으로 "재발견"되었습니다. 오늘날까지 살아남은 이 공식의 첫 번째 파생물 중 하나는 인도 수학자 Brahmagupta에 속합니다. 중앙 아시아 과학자 al-Khwarizmi는 논문 "Kitab al-dzherb wal-muqabala"에서 완전한 정사각형을 선택하여 이 공식을 얻었습니다.

al-Khwarizmi는 이 방정식을 어떻게 풀었습니까? 그는 다음과 같이 썼습니다. "규칙은 다음과 같습니다. 근의 수를 두 배로 늘리면 x = 2x 5가 이 문제에서 5가 되고 5를 곱하면 25가 되고 5 5 = 25를 39에 더합니다. , 25 + 39는 64가 되고, 64는 이것에서 근을 빼면 8, 8이 되고 여기서 근의 수의 절반을 뺍니다. 즉, 5, 8-5는 3으로 남습니다. 이것과 3은 근이 됩니다 당신이 찾던 광장. 두 번째 루트는 어떻습니까? 음수를 알 수 없기 때문에 두 번째 루트를 찾을 수 없습니다. x 2 +10 x = 39

13-17세기 유럽의 이차 방정식. 유럽의 알 콰리즈미 모델에서 이차 방정식을 푸는 공식은 이탈리아 수학자 레오나르도 피보나치(Leonardo Fibonacci)가 1202년에 쓴 "주판의 책(Book of the Abacus)"에서 처음으로 제시되었습니다. 이슬람과 두 나라 모두에서 수학의 영향을 반영하는 이 방대한 저작 고대 그리스, 프레젠테이션의 완전성과 명확성이 다릅니다. 저자는 문제에 대한 몇 가지 새로운 대수적 해법을 독자적으로 개발했으며 유럽에서 처음으로 음수 도입에 접근했습니다. 그의 책은 이탈리아뿐만 아니라 독일, 프랑스 및 기타 유럽 국가에서 대수 지식의 확산에 기여했습니다. "주판의 책"의 많은 문제는 16-17세기의 거의 모든 유럽 교과서에 적용되었습니다. 부분적으로 18.

François Viet - 16세기의 가장 위대한 수학자

F. Vieta 이전에는 이차 방정식의 해가 매우 긴 언어 추론과 설명의 형태로 자체 규칙에 따라 다소 번거로운 작업으로 수행되었습니다. 방정식 자체도 기록할 수 없었기 때문에 다소 길고 복잡한 구두 설명이 필요했습니다. 그는 "계수"라는 용어를 만들었습니다. 그는 필요한 값을 모음으로 표시하고 데이터를 자음으로 표시할 것을 제안했습니다. Vieta의 상징성 덕분에 ax 2 + bx + c \u003d 0 형식으로 이차 방정식을 작성할 수 있습니다. 정리: 주어진 이차 방정식의 근의 합은 반대 부호로 취한 두 번째 계수와 같고, 근의 곱은 자유 항과 같습니다. 이 정리가 '비에타의 정리'라는 사실에도 불구하고, 그것은 그 이전에 알려져 있었고 그는 그것을 현대적인 형태로 변형했을 뿐입니다. Vieta는 "대수학의 아버지"라고 불립니다.

인류는 이 길에서 불완전하고 불완전한 지식을 점점 더 완전하고 완전한 지식으로 끊임없이 대체하면서 무지에서 지식으로 먼 길을 갔습니다. 마지막 단어

사는 우리 초기 XXI세기, 고대가 끌립니다. 우리 조상들에게서 우리는 무엇보다도 현대적인 관점에서 그들에게 부족한 점을 깨닫고 대개 그들과 비교하여 우리 자신에게 부족한 점을 눈치 채지 못합니다.

그들을 잊지 말자...

관심을 가져주셔서 감사합니다!

“이차 방정식의 출현 역사. 이차 방정식 개발의 역사

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